【夺分天天练】(新课标)2014中考数学总复习 第14讲 三角形与全等三角形课件(含13年试题)
中考数学总复习 基础讲练 第14讲 三角形与全等三角形(含答案点拨) 新人教版
第14讲三角形与全等三角形考纲要求命题趋势1．了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系．2．理解三角形内角和定理及推论．3．理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．4．掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明.中考中多以填空题、选择题的形式考查三角形的边角关系，通过解答题来考查全等三角形的性质及判定．全等三角形在中考中常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合，考查学生综合运用知识的能力.知识梳理一、三角形的概念及性质1．概念(1)由三条线段________顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．2．性质(1)三角形的内角和是______；三角形的一个外角等于与它不相邻的____________；三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和______第三边；三角形任意两边之差________第三边．二、三角形中的重要线段1．三角形的角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的________．2．三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作______，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的______．3．三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边______的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的______．4．三角形的中位线连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的________．三、全等三角形的性质与判定1．概念能够________的两个三角形叫做全等三角形．2．性质全等三角形的__________、__________分别相等．3．判定(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．四、定义、命题、定理、公理1．定义对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．2．命题判断一件事情的语句．(1)命题由________和________两部分组成．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．(2)命题的真假：正确的命题称为________；错误的命题称为________．(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．3．定理经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．4．公理有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理．五、证明1．证明从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过________，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．2．证明的一般步骤(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．3．反证法先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．自主测试1．△ABC的内角和为( )A．180° B．360°C．540° D．720°2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )A．3,8,4 B．4,9,6C．15,20,8 D．9,15,83．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA4．下面的命题中，真命题是( )A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等5．如图，D，E分别是AB，AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE.求证：∠B＝∠C.考点一、三角形的边角关系【例1】若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是( )A．1 B．5 C．7 D．9解析：设第三边为x，根据三角形三边的关系可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.答案：B方法总结1．在具体判断时，可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较．若这两条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形．否则就不能组成三角形．2．三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系．触类旁通1 已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )A．2 B．3 C．5 D．13考点二、全等三角形的性质与判定【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板AED如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．解：BE＝EC，BE⊥EC.证明如下：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.又∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE ＝EC，BE⊥EC.方法总结1．判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．在具体的证明中，要根据已知条件灵活选择证明方法．2．全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系．触类旁通2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.求证：△BEC ≌△CDA . 考点三、真假命题的判断【例3】下列命题，正确的是( ) A ．如果|a |＝|b |，那么a ＝b B ．等腰梯形的对角线互相垂直C ．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D ．相等的圆周角所对的弧相等解析：A 项错误，例如：|－2|＝|2|，但－2≠2；B 项错误，等腰梯形的对角线可能垂直，但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；C 项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到；D 项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中．答案：C方法总结 对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题．触类旁通3 已知三条不同的直线a ，b ，c 在同一平面内，下列四个命题：①如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c ；②如果b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥c ；③如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ⊥c ；④如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ∥c .其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号)考点四、证明的方法【例4】如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E .求证：(1)△BFC ≌△DFC ； (2)AD ＝DE .证明：(1)∵CF 平分∠BCD ，∴∠BCF ＝∠DCF .在△BFC 和△DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCF ＝∠DCF ，FC ＝FC ，∴△BFC ≌△DFC .(2)如图，连接BD .∵△BFC ≌△DFC ，∴BF ＝DF .∴∠FBD ＝∠FDB . ∵DF ∥AB ，∴∠ABD ＝∠FDB . ∴∠ABD ＝∠FBD .∵AD ∥BC ，∴∠BDA ＝∠DBC . ∵BC ＝DC ，∴∠DBC ＝∠BDC . ∴∠BDA ＝∠BDC .又BD 是公共边，∴△BAD ≌△BED .∴AD ＝DE .方法总结 1．证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密．要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法．2．证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；(2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；(3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法．触类旁通4 如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F.求证：BE＝CF.1．(2012浙江嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( ) A．40° B．60° C．80° D．90°2．(2012贵阳)如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( )A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠EC．BC∥EF D．∠A＝∠EDF3．(2012四川雅安)在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC.能得出△ADB≌△ADC的序号是__________．4．(2012广东广州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE ＝CD.5．(2012江苏苏州)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE，AC.(1)求证：△ABE≌△CDA；(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．1．如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16 m，PB＝12 m，那么AB间的距离不可能是( )A．5 m B．15 mC．20 m D．28 m2．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( )A．2 2 B．4C．3 2 D．4 23．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B ＝__________.4．如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．5．如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为__________．6．如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__________(只需写出一个)．7．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F .求证：AB ＝FC .8．如图，点A ，B ，D ，E 在同一直线上，AD ＝EB ，BC ∥DF ，∠C ＝∠F .求证：AC ＝EF .参考答案导学必备知识 自主测试1．A 2．A 3．B 4．D5．证明：在△ABE 和△ACD 中， ∵AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ， ∴△ABE ≌△ACD . ∴∠B ＝∠C . 探究考点方法触类旁通1．B 由三角形三边的关系可得13－2＜x ＜13＋2，即11＜x ＜15，∵x 为正整数，∴x 为12,13,14，故选B.触类旁通2．证明：∵BE ⊥CF 于点E ，AD ⊥CE 于点D ， ∴∠BEC ＝∠CDA ＝90°.在Rt △BEC 中，∠BCE ＋∠CBE ＝90°， 在Rt △BCA 中，∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠CBE ＝∠ACD . 在△BEC 和△CDA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CDA ，∠CBE ＝∠ACD ，BC ＝CA ，∴△BEC ≌△CDA . 触类旁通3．①②④触类旁通4．证明：∵在△ABC 中，AD 是中线，∴BD ＝CD . ∵CF ⊥AD ，BE ⊥AE ，∴∠CFD ＝∠BED ＝90°. 在△BED 与△CFD 中，∵∠BED ＝∠CFD ，∠BDE ＝∠CDF ，BD ＝CD ， ∴△BED ≌△CFD ，∴BE ＝CF .品鉴经典考题 1．A 设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝x ＋20°，则x ＋2x ＋x ＋20°＝180°，解得x ＝40°，即∠A ＝40°.2．B 由已知可得两个三角形已有两组边对应相等，还需要另一组边对应相等或夹角对应相等，只有B 能满足条件．3．①②④ 由题意知AD ＝AD ，条件①可组成三边对应相等，条件②可组成两角和其中一角的对边对应相等，条件④可组成两边及其夹角对应相等，这三个条件都可得出△ADB ≌△ADC ，条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等，不能得出△ADB ≌△ADC .4．证明：∵在△ABE 和△ACD 中，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，∴△ABE ≌△ACD (ASA)．∴BE ＝CD .5．(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB ＝CD ， ∴∠ABE ＝∠BAD ，∠BAD ＝∠CDA . ∴∠ABE ＝∠CDA .在△ABE 和△CDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDA ，BE ＝DA ，∴△ABE ≌△CDA .(2)解：由(1)得∠AEB ＝∠CAD ，AE ＝AC ，∴∠AEB ＝∠ACE . ∵∠DAC ＝40°，∴∠AEB ＝∠ACE ＝40°. ∴∠EAC ＝180°－40°－40°＝100°. 研习预测试题1．D 由三角形三边关系知16－12＜AB ＜16＋12，故选D. 2．B 因为由已知可证明△BDF ≌△ADC ，所以DF ＝CD . 3．70° 4．α＝β＋γ5．60° ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠CDE ＋∠CED ＋∠C ＝180°， ∴∠A ＋∠B ＝∠CDE ＋∠CED .∴∠A ＋∠B ＋∠CDE ＋∠CED ＝2(∠A ＋∠B )＝280°. ∵∠1＋∠2＋∠CDE ＋∠CED ＋∠A ＋∠B ＝360°， ∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°. 又∵∠1＝20°，∴∠2＝60°. 6．不是 ∠B ＝∠E (答案不唯一)7．证明：∵FE ⊥AC 于点E ，∠ACB ＝90°， ∴∠FEC ＝∠ACB ＝90°. ∴∠F ＋∠ECF ＝90°. 又∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠A ＋∠ECF ＝90°. ∴∠A ＝∠F .在△ABC 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠F ，∠ACB ＝∠FEC ，BC ＝CE ，∴△ABC ≌△FCE .∴AB ＝FC .8．证明：∵AD ＝EB ，∴AD －BD ＝EB －BD ，即AB ＝ED . 又∵BC ∥DF ，∴∠CBD ＝∠FDB . ∴∠ABC ＝∠EDF . 又∵∠C ＝∠F ， ∴△ABC ≌△EDF . ∴AC ＝EF .。
备战2024年中考数学复习考点帮(全国通用)：考点14 三角形与全等三角形(解析版)
【解答】解：由三角形三边关系定理得 3﹣1＜a﹣1＜3+1， 即 3＜a＜5． ∴|a﹣3|+|a﹣5|＝a﹣3+5﹣a＝2． 故答案为：2． 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点 P 是平面内一个动点，且 AP＝3，Q 为 BP
的中点，在 P 点运动过程中，设线段 CQ 的长度为 m，则 m 的取值范围是
考点 14 三角形与全等三角形
在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，全等三角形也是几何问题中 证明线段相等或者角相等的常用关系。所以，在数学中考中，考察的几率比较大，特别是全等三角形的性 质和判定的综合应用。又因为该考点与其他几何考点的融合性特别多，所以单独考察的题目却不会特别多。 所以，考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用， 同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察。
一、三角形的三边关系 二、三角形的内角和定理及其外角定理 三、三角形中的重要线段 四、全等三角形的性质与判定 考向一：三角形的三边关系 三角形三边关系的定理及其推论 定理 三角形任何两边的和大于第三边
推论 两边之差＜第三边＜两边之和
在应用时，求三角形边的取值范围，直接用“推论”； 判定三边能否组成三角形，直接用“定理”，且只需要较小的两边之和大于最大的边长即可 最值典型应用：“将军饮马” “三点共线”类最值：当两线段长固定，且首尾相连，可用三点共线来求其最大值与最小值
个三角形．
【解答】解：A、8+10＞10，则能构成三角形，符合题意；
B、5+6＜14，则不能构成三角形，不符合题意；
C、4+8＝12，则不能构成三角形，不符合题意；
【中考夺分天天练(新课标·RJ)】2014素材化中考数学总复习课件(含13年试题)：第25讲 图形的平移与旋转
第25讲┃ 图形的平移与旋转
又∵∠ BOF＝ 90°＋∠ COF，∠ COD＝ 90°＋∠ COF， ∴∠ BOF＝∠ COD， ∴△ BOF∽△ COD， ∴ CD CO ＝ ＝ 3， BF BO BF 3 ＝ )． CD 3
∴ CD＝ 3BF(或 α BF (3) ＝ tan . 2 CD
第25讲┃ 图形的平移与旋转
第25讲┃ 图形的平移与旋转
解： (1)相等． 证明：连接 CO， DO， ∵△ ACB 为等腰直角三角形， O 为 AB 的中点， ∴ BO＝ CO， CO⊥ AB， ∴∠ BOC＝ 90° . 同理： FO＝ DO，∠ DOF＝ 90°， ∴∠ BOF＝ 90°＋∠ COF，∠COD＝ 90°＋∠ COF， ∴∠ BOF＝∠ COD， ∴△ BOF≌△ COD.∴ BF＝ CD.
第25讲┃ 图形的平移与旋转
[归纳总结]
方向 和 ________ 距离 ． 1．平移有两个重要的因素：平移的 ________ 2．平移不改变图形的 ________ 形状 和大小(即平移前后的两个 相等 ； 图形全等)；对应线段平行且相等，对应角 ________ 经过平移，两个对应点所连的线段平行且相等．
第25讲┃ 图形的平移与旋转
(2)不成立．理由如下：连接 CO， DO， ∵△ ACB 为等边三角形， ∴∠ CBO＝ 60° . ∵ O 为 AB 的中点， ∴ CO⊥ AB，即∠ BOC＝ 90°， CO ∴在 Rt△ BOC 中， tan∠ CBO＝ ＝ 3， BO DO 同理：∠ DOF＝ 90°， ＝ 3， FO CO DO ∴ ＝ . BO FO
第25讲┃ 图形的平移与旋转
[解析 ] 把两条长方形道路平移，平移到如图的位 置，绿化部分转化为长 29 m，宽 19 m 的长方形，其面 积为 29×19＝ 551(m2)．
备战2014年数学中考————[夺分天天练2012版]中考数学第一轮复习精品讲解第四单元三角形
![备战2014年数学中考————[夺分天天练2012版]中考数学第一轮复习精品讲解第四单元三角形](https://img.taocdn.com/s3/m/4da48529aaea998fcc220e86.png)
[解析] 这个角为180°－36°35′＝143°25′.
·新课标
第18讲 │ 归类示例
两个角是否互为余角或互为补角，与位置无关，只要看它们 的和是否等于 90°或 180°.
·新课标
第18讲 │ 归类示例
如图 18－4， AB∥CD， 分别探讨下面四个图形中∠APC 与 ∠PAB、∠PCD 的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．
·新课标
第18讲 │ 考点随堂练
考点3 相交线
相等 直角 垂线段
内错角
同旁内角
只有
·新课标
第18讲 │ 考点随堂练
10.下面四个图形中， ∠1 与∠2 是对顶角的图形的个数是( B )
A．0 C．2
图 18－8 B．1 D．3
[解析] 第(3)个图中的∠1 和∠2 是对顶角．
·新课标
第18讲 │ 考点随堂练
[解析] ∠A 与∠B 互为补角，则∠A＋∠B＝180° ，所以 ∠B＝180° －∠A，则∠B 的余角为＝90° －(180° －∠A)＝ 1 1 ∠A－90° ＝∠A－ (∠A＋∠B)＝ (∠A－∠B)． 2 2
·新课标
第18讲 │ 考点随堂练
7． 如图 18－5， 甲从 A 点出发向北偏东 70° 方向走 50 m 至点 B， 乙从 A 出发向南偏西 15° 方向走 80 m 至点 C， 则∠BAC 的度数 125° 是______________ ．
图 18－12
[解析] 要使 OD′∥AC，则∠A＝∠BOD′，∠BOD′＝70° ， 所以∠DOD′＝82° －70° ＝12° .
·新课标
第18讲 │ 考点随堂练
15．[2011· 怀化]如图 18－13，已知直线 a∥b，∠1＝40° ， ∠2＝60° ，则∠3 等于( A ) A．100° B．60° C．40° D．20° 图 18－13
【中考夺分天天练(新课标·RJ)】2014素材化中考数学总复习课件(含13年试题)：第21讲 梯形
第21讲┃ 梯形
7． [2013· 淄博 ] 如图 21－ 14，在梯形 ABCD 中， AD∥ BC， BD 平分∠ ABC.求证： AB＝ AD.
图 21－ 14
第21讲┃ 梯形
证明： ∵ AD∥ BC，∴∠ DBC＝∠ ADB. 又∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ ABD＝∠DBC. ∴∠ ABD＝∠ADB， ∴ AB＝ AD.
第21讲┃ 梯形
探究二
等腰梯形的性质的应用
例 2 如图 21－7，在梯形 ABCD 中，AD∥ BC， AB＝ DC， E 是 BC 的中点，连接 AE， DE，求证： AE＝DE.
图 21－ 7
第21讲┃ 梯形
[解析 ] 先利用等腰梯形的性质证明△ ABE≌△ DCE， 再利用全等三角形的性质可得 AE＝ DE.
第21讲┃ 梯形
考点2
等腰梯形的性质和判定
1．如图 21－ 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC， AB＝ DC， ∠ B＝ 80°，则∠ D 的度数是 ( C ) A． 120° B． 110° C． 100° D． 80°
图 21－ 1
第21讲┃ 梯形
2．如图 21－ 2 所示，在等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，那么图中的全等三角形的 对数为 ( C) A． 1 对 B． 2 对 C． 3 对 D． 4 对
图 21－ 4 [解析 ] 过点 D 作腰 BC 的平行线交 AB 于 E，构造平行 四边形和直角三角形，用勾股定理求 AE 的长，就可以通过 BE 求 CD 的长．
第21讲┃ 梯形
[归纳总结]
辅助 线 添加方法及目的 图形
从梯形的一个顶点作一腰的平 平移 行线，把梯形分成一个平行四 一腰 边形和一个三角形 从同一底的两端作另一底的垂 作两 线，把梯形分成一个矩形和两 高 直角 三角形 个 ________
【中考夺分天天练(新课标·RJ)】2014素材化中考数学总复习课件(含13年试题)：第11讲 反比例函数
反比例函数
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃
考点1 反比例函数的图象与性质 6 1．对于函数 y＝ ，下列说法错误 的是 ．． x
( C )
A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当 x>0 时，y 的值随 x 的增大而增大 D．当 x<0 时，y 的值随 x 的增大而减小
第11讲┃ 反比例函数
[中考点金] 在比较两个函数值的大小时要注意利用函数图象， 根据函数值大的函数图象在上方，从而确定自变量的取 值范围．
第11讲┃ 反比例函数
1 k 如图 11－ 7，直线 y＝ x 与双曲线 y＝ 相交于 A， 4 x B 两点， BC⊥ x 轴于点 C(－ 4， 0)． (1)求 A、 B 两点的坐标及双曲线的解析式； (2)若经过点 A 的直线与 x 轴的正半轴交于点 D，与 y 轴的 正半轴交于点 E，且△ AOE 的面积为 10，求 CD 的长． 变式题
第11讲┃ 反比例函数
3． [2013· 沈阳 ] 在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ x－ 1 与函 1 数 y＝ 的图象可能是 ( C ) x
第11讲┃ 反比例函数
m＋ 2 4． [2013· 衢州 ] 若函数 y＝ 的图象在其所在的每一象限 x 内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 m 的取值范 围是 ( A ) A． m＜－ 2 B． m＜ 0 C． m＞－ 2 D． m＞ 0
第11讲┃ 反比例函数
2 (2)在 y＝ x＋ 2 中，令 y＝ 0， 3 2 即 x＋ 2＝ 0， 3 ∴ x＝－ 3， ∴点 B 的坐标是 (－ 3， 0)， ∴ OB＝ 3.又 DA＝ 4， 1 1 ∴ S△ AOB＝ OB· AD＝ × 3× 4＝ 6， 2 2 即△AOB 的面积为 6.
【中考夺分天天练(天津专版)】2014素材化中考数学总复习课件(含13年试题)：第14讲 二次函数的应用
图 14－6
图 14－7
第14讲┃二次函数的应用
理解函数的图象及相关性质是解此类题型的关 键，通过一个函数的图象我们可以得到其解析式中字 母的取值范围，再利用字母范围得出另一个函数在同 一象限内的图象．
第14讲┃二次函数的应用
探究二 建立坐标系利用二次函数解决实际 例 2 如图 14－8(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，
第14讲┃二次函数的应用
(3)解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为 CD，
根据题意 CD＝EF(即相当于将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位)， 1 ∴2＝－ (x－6)2＋4，解得 x1＝6－2 6，x2＝6＋2 6， 12 ∴CD＝|x1－x2|＝4 6≈10，
第14讲┃二次函数的应用
第14讲┃二次函数的应用
图 14－9
解：(1)∵△APE≌△ADE，∴AP＝AD＝3. 在 Rt△ABP 中，BP＝ AP2－AB2＝ 32－22＝ 5. (2)∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
2 3 2 1 2 3 1 9 AB BP x ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴y＝－ x ＋ x＝－ x－ ＋ ， PC CE 2 2 2 2 8 3－x y 3 9 ∴x＝ 时，y 有最大值，最大值是 . 2 8 1 2 3 (3)设 BP＝x， CE＝－ x ＋ x.∵PE∥BD， ∴△CPE∽△CBD， 2 2 1 2 3 － x＋ x 3 － x 2 2 CP CE ∴ ＝ ，即 ＝ ，化简得 3x2－13x＋12＝0， CB CD 3 2 4 解得 x1＝ 或 x2＝3(不符合题意，舍去)． 3 4 ∴当 BP＝ 时，PE∥BD. 3 第14讲┃二次函数的应用
36 秒． 部分的桥面 OC 共需________
【夺分天天练】(天津专版)2014中考数学总复习 第16讲 三角形与全等三角形课件(含13年试题)
9．[2013· 上海] 如图 16－18，在△ABC 和△DEF 中，点 B， F，C，E 在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一 个 条 件 ， 使 △ABC≌△DEF ， 这 个 添 加 的 条 件 可 以 是
∠A＝∠D 或 AC＝DF 或 AB∥DE 等 ．(只需写一个， ____________________________________
图 16－10
三角形的相关概念及性质对解题非常重要，只有准确掌 握才能在具体题目中灵活运用．多观察和分析图形有利于题 目的解答．
第16讲┃ 三角形与全等三角形
探究三 三角形全等的判定与性质
例3
如图 16－11，矩形 ABCD 中，以点 B 为圆心，
BC 长为半径画弧，交 AD 边于点 E，连接 BE，过 C 点作 CF⊥BE， 垂足为 F， 猜想线段 BF 与图中现有的哪一条线段 相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加 以证明．结论：BF＝________．
不添加辅助线)
图 16－18
第16讲┃ 三角形与全等三角形
10． [2013· 天津] 如图 16－19， 已知∠C＝∠D， ∠ABC＝∠BAD， AC 与 BD 相 交 于 点 O ， 请 写 出 图 中 一 组 相 等 的 线 段
A C＝BD(答案不唯一) ． ____________________
图 16－8
【归纳总结】
SSS 、 ASA 、 1． 全等三角形的判定方法有 SAS、 ________ ________ ________ AAS ．
2．两个直角三角形全等的判定方法有________ HL ．
第16讲┃ 三角形与全等三角形
全等三角形-中考数学总复习精品课件
三角形全等的条件
如何找边相等、 角相等
1.找“角”相等的途径主要有:对顶角相等;两直线平行,同位角、 内错角相等;余角等角代换;角平分线;平行四边形对角相等等.
2.找“边”相等主要借助中点、平行四边形对边相等来证明.
三角形全等的证明
如何找边相等、 角相等
3．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．
垂足分别是点 D，E，AD＝3，BE＝1，则 DE 的长是( B )
3 A.2
B．2
C．2 2
D. 10
61．2如0° 图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB， ③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是_②_____(只填序号)．
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
平移加翻折型
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，且 BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，EC＝2，则下列结论中错误的是
( C)
A．BE＝3 B．∠F＝35° C．DF＝5 D．AB∥DE
平移型
3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果
对称型
解：(1)在△ABC 和△ADC 中，AABC＝ ＝AADC，，∴△ABC≌△ADC(SSS)， BC＝DC，
∴∠BAC＝∠DAC，即 AC 平分∠BAD (2) 由 (1) 得 ∠BAE ＝ ∠ DAE ， 在 △BAE 和 △DAE 中 ，
BA＝DA， ∠BAE＝∠DAE，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴BE＝DE AE＝AE，
【中考夺分天天练(新课标·RJ)】2014素材化中考数学总复习课件第20讲 矩形、菱形、正方形
3．如图 20－ 2 所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，试添加一个条件：AD ____________________ ＝DC或AC⊥BD等 ， 使得平行四边形 ABCD 为菱形．
图 20－ 2
第20讲┃ 矩形、菱形、正方形
[归纳总结]
性质 (1) 菱 形 的 四 条 边 相等 ； _______ (2)菱形的对角 线互相______ 垂直 平分；(3) 每 条 对 角 线 平 分 有一组邻边 一组对角 __________． (4)菱形是 相等的平行四 轴 对称图形， _______ 两条 边形是菱形 对角线所在的直线是它 的对称轴，菱形是中心 对称图形，它的对称中 心是两条对角线的交点 定义 判定
图 20－ 5
第20讲┃ 矩形、菱形、正方形
[ 解析] (1)先利用垂直平分线的性质得到 MB＝ MD， 再证明△ BON≌△ DOM， 得 MD＝ BN， 得到四边形 BMDN 为平行四边形，从而四边形 BMDN 为菱形． (2)由 (1)可知 MB＝ MD，在 Rt△ ABM 中，利用勾股定理定理，可求 MD 的长．
第20讲┃ 矩形、菱形、正方形
[中考点金] (1)证明四边形 BMDN 为菱形的方法很多，既可用 一组邻边相等的平行四边形，也可用对角线互相垂直 平分来证明．(2)构造直角三角形，利用勾股定理，建 立方程求解是关键．
第20讲┃ 矩形、菱形、正方形
变式题 如图 20－6，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使 点 C 与点 A 重合，折痕交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 AF，CE. (1)求证：四边形 AFCE 为菱形； (2)设 AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个 a，b，c 三 者的数量关系式．
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2．三角形的中线、高线、角平分线： 如图 14－ 2，在△ ABC 中， AE 是中线， AD 是角平分线， AF 是高，则有： 1 BC EC (1)BE＝ ________＝ ________； 2 ∠CAD ＝1________ ∠BAC ； (2)∠ BAD＝ ________ 2 ∠AFC ＝90°. (3)∠ AFB＝ ________ 图 14－ 2
例 1 如图 14－ 9，已知点 E，C 在线段 BF 上， BE＝CF， AB∥DE，∠ ACB＝∠F. 求证：△ABC≌△ DEF.
图 14－ 9
第14讲┃ 三角形与全等三角形
[解析] 由 BE＝CF 可知，BC＝ EF.由 AB∥DE 可知， ∠ B＝∠ DEF，所以两个三角形具备两角及其夹边相等，利 用 ASA 可判定两个三角形全等．
第14讲┃ 三角形与全等三角形
考点4
全等三角形的性质
1．如图 14－5，若△OAD≌△OBC，且∠O＝60°，∠ C＝20°， 100° ． 则∠ OAD＝________
2．如图 14－6，△ABC≌△DEF，若 AB＝7 cm，BC＝8 cm， 3 cm ，△DEF 的周长 AC＝ 6 cm，BE＝5 cm，则 EC＝ ________ 21 cm ． ＝________
第14讲┃ 三角形与全等三角形
7．[2013· 泉州 ] 如图 14－19，∠AOB＝70°，QC⊥OA 于 C，QD 35 ⊥OB 于 D，若 QC＝ QD，则∠ AOQ＝________ °.
8．[2013· 乐山 ] 如图 14－20，在四边形 ABCD 中，∠ A＝45° .直线 l 与边 AB，AD 分别相交于点 M， N，则∠ 1＋∠2＝ ________ 225° ．
第14讲
三角形与全等三角形
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃
考点1 三角形的分类及重要线段
1. 三角形的下列线段中，一定能将三角形的面积分成相 等的两部分的是 ( A ) A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线 2．在△ ABC 中，∠ A＝ 40°，∠ B＝ 50°，则△ABC 是 直角 三角形． ________
第14讲┃ 三角形与全等三角形
【归纳总结】
1．三角形的分类： (1)按边分： 不等边三角形 底边和腰不相等的三角形 三角形 等腰三角形 等边三角形 锐角三角形 斜三角形 (2)按角分：三角形 钝角三角形 直角三角形
第14讲┃ 三角形与全等三角形
( B )
2. 如图 14－4，在△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝ 40°，点 D， 80° ． E 分别在 BC，AC 的延长线上，则∠ 1＝________ 第14讲┃ 三角形与全等三角形
【归纳总结】 180° ． 1．三角形三内角之和等于 ________ 大于 任何一个和它不相邻的 2． (1)三角形的一个外角 ________ 等于 与它不相邻的两 内角；(2)三角形的一个外角 ________ 内角之和．
第14讲┃ 三角形与全等三角形
4． [2013· 安顺 ] 如图 14－ 16，已知 AE＝ CF，∠ AFD＝∠ CEB， 那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ADF≌△ CBE 的 是 ( B ) A．∠ A＝∠ C B． AD＝ CB C． BE＝ DF D． AD∥ BC
第14讲┃ 三角形与全等三角形
第14讲┃ 三角形与全等三角形
【归纳总结】 相等 ，对应角 ________ 相等 ． 1．全等三角形对应边 ________ 2．全等三角形的对应线段(对应边上的中线，对应边上的 相等 ，周长相等，面积相等． 高，对应角的平分线 )________
第14讲┃ 三角形与全等三角形
考点5
全等三角形的判定
第14讲┃ 三角形与全等三角形
探究二
判定全等三角形的开放性问题
例 3 如图 14－ 13，∠ BAC＝∠ ABD. (1)要使 OC＝ OD，可以添加的条件为： ________或 __________； (写出 2 个符合题意的条件即可 ) (2)请选择(1)中你所添加的一个条件，证明 OC＝OD.
( D )
1．如图 14－7，使△ABC≌△ADC 成立的条件是 A．AB＝AD，∠B＝∠D B．AB＝AD，∠ACB＝∠ ACD C．BC＝DC，∠BAC＝∠ DAC D．AB＝AD，∠BAC＝∠ DAC
第14讲┃ 三角形与全等三角形
2．如图 14－8，已知 AC⊥BD 于点 P，AP＝ CP，请增加一 个条件，使△ ABP≌△CDP(不添加辅助线)，你增加的条 BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D ． 件是____________________________________________
第14讲┃ 三角形与全等三角形
解： (1)答案不唯一．如∠ C＝∠ D 或∠ ABC＝∠BAD 或 ∠ OAD＝∠ OBC 或 AC＝ BD (2)答案不唯一．如选 AC＝ BD 证明 OC＝ OD. 证明：∵∠ BAC＝∠ ABD， ∴ OA＝ OB. 又 AC＝ BD， ∴ AC－ OA＝ BD－ OB(或 AO＋ OC＝ BO＋ OD)， ∴ OC＝ OD.
5． [2013· 贺州 ] 如图 14－ 17，在△ ABC 中，∠ABC＝ 45°， AC＝ 8 cm， F 是高 AD 和 BE 的交点，则 BF 的长是 ( C ) A． 4 cm B． 6 cm C． 8 cm D． 9 cm
6．如图 14－ 18，点 B， C， D 在同一条直线上， CE∥ AB，∠ ACB 54° ． ＝ 90°，如果∠ ECD＝ 36°，那么∠ A＝ ________
第14讲┃ 三角形与全等三角形
[中考点金] 解这类题目的关键是找出欲证全等的两个三角形具 备哪些条件，用所添加条件证明三角形全等时需根据全 等三角形的判定方法．判定方法的不同，则添加的条件 也不同．
第14讲┃ 三角形与全等三角形
变式题 [2013· 娄底] 如图 14－14， AB＝AC，要使△ABE≌ 答案不唯一，如∠ C＝∠B或∠AEB △ ACD，应添加的条件是 ___________________________________ ＝∠ ADC或∠CEB＝∠BDC或AE＝AD或CE＝BD ________________________________________________ ．(添加一 个条件即可)
对称型
旋转型
第14讲┃ 三角形与全等三角形
变式题 [2013· 宜宾改编] 如图 14－ 10，点 D，E 分别 在 AB， AC 上， AB＝ AC， BD＝ CE.求证：△ ABE≌△ ACD.
第14讲┃ 三角形与全等三角形
证明： ∵ AB＝ AC， BD＝CE， ∴AC－CE＝ AB－ BD， 即 AE＝ AD. 又∵∠ A＝∠ A，AB＝AC， ∴△ ABE≌△ ACD(SAS)．
第14讲┃ 三角形与全等三角形
3． [2013· 怀化 ] 如图 14－ 15，为测量池塘岸边 A， B 两点的距 离，小明在池塘的一侧选取一点 O，测得 OA，OB 的中点分 别是点 D， E，且 DE＝ 14 米，则 A， B 间的距离是 ( C ) A． 18 米 B． 24 米 C．28 米 D．30 米
第14讲┃ 三角形与全等三角形
3．三角形的中位线： 在△ ABC 中， D， E 分别是 AB 和 AC 的中点，则有 1 BC 2 DE∥ BC 且 DE＝ ________ ．
第14讲┃ 三角形与全等三角形
考点2
三角形的三边关系
1．下列各组数可能是一个三角形的边长的是 ( C ) A．1，2，4 B． 4， 5， 9 C．4，6，8 D． 5， 5， 11 2．已知三角形的两边长分别为 4，8，则第三边的长度 x 的取值 4<x<12 ． 范围是 _________
第14讲┃ 三角形与全等三角形
证明： ∵ C 是 AB 的中点， ∴ AC＝ BC. AC＝ BC， 在△ ACD 和△ BCE 中，AD＝ BE， CD＝ CE， ∴△ ACD≌△ BCE(SSS)， ∴∠ A＝∠ B.
第14讲┃ 三角形与全等三角形
[中考点金] 证明两条线段相等或两角相等，可转化为证明这两 条线段或两角所在的三角形全等，借助全等三角形来解 决问题．
第14讲┃ 三角形与全等三角形
变式题 如图 14－ 12，已知 AB＝CD，∠B＝∠C，AC 和 BD 相交于点 O， E 是 AD 的中点，连接 OE. (1)求证：△ AOB≌△DOC； (2)求∠AEO 的度数．
第14讲┃ 三角形与全等三角形
解： (1)证明：∵∠ AOB＝∠ DOC，∠ B＝∠ C，AB＝ DC， ∴△ AOB≌△ DOC. (2)由 (1)知△ AOB≌△ DOC， ∴ AO＝ DO. ∵ E 是 AD 的中点， ∴ OE⊥ AD， ∴∠ AEO＝ 90° .图 14－ 14源自第14讲┃ 三角形与全等三角形
┃考题自主训练与名师预测┃
1． [2013· 海南 ] 一个三角形的三条边长分别为 1， 2， x，则 x 的 取值范围是 ( D ) A． 1≤ x≤ 3 B． 1＜ x≤ 3 C． 1≤ x＜ 3 D． 1＜ x＜ 3 2． [2013· 泉州 ] 在△ ABC 中，∠ A＝20°，∠ B＝60°，则△ABC 的形状是 ( D ) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
图 14－ 13
第14讲┃ 三角形与全等三角形
[解析 ] (1)因为∠ BAC＝∠ ABD， AB 是公共边，所以再 添加一个条件证明△ ABC 与△ BAD 全等即可，根据 AAS 可 以添加∠ C＝∠ D，根据 ASA 可以添加∠ ABC＝∠ BAD 或 ∠ OAD＝∠ OBC；也可以根据边的数量关系添加 AC＝ BD， 分别减掉相等的线段 OA， OB 即可得到 OC＝ OD. (2)根据选择的添加的条件进行证明．