高中数学 《几何证明选讲》测试题 新人教A版选修4-1

第1题图第6题图 人教（A ）版选修4-1《几何证明选讲》综合复习一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( )A .15︒B .30︒C .45︒D .60︒【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=︒,又AD l ⊥,故30DAC ∠=︒,故选B .2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( )A .0B .1C .2D .3【解析】2个:ACD ∆和CBD ∆,故选C .3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )A .11cmB .33cmC .66cmD .99cm【解析】设另一弦被分的两段长分别为3,8(0)k k k >,由相交弦定理得381218k k ⋅=⨯,解得3k =,故所求弦长为381133k k k +==cm .故选B . 4.如图,在ABC ∆和DBE ∆中,53AB BC AC DB BE DE ===,若ABC ∆与 DBE ∆的周长之差为10cm ,则ABC ∆的周长为( ) A .20cm B .254cm C .503cm D .25cm 【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D .5.O 的割线PAB 交O 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心,已知226,12,3PA PO AB ===,则O 的半径为( )A .4 B.6C.6 D .8【解析】设O 半径为r ,由割线定理有226(6)(12)(12)3r r ⨯+=-+,解得8r =.故选D . 6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2θ＝( ) A .13 B .14 C.4- D .3【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =⋅得CD =,从而3πθ=,故21tan 23θ=,选A . 7.在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )A B CD E 第4题图第11题图A第10题图 第9题图 A . B .1:2 C .1:3 D .1:4【解析】ADE ABC ∆∆ ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B .8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.A .2B .3C .4D .5【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D .9.如图甲,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB CD .由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形ABCD 中A ∠度数为 ( )A .30︒B .45︒C .60︒D .75︒【解析】6360A ∠=︒,从而60A ∠=︒,选A .10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑直径为10mm ,若所用钢珠的直径为26 mm ,则凹坑深度为( )A .1mmB .2 mmC .3mmD .4 mm【解析】依题意得222OA AM OM =+,从而12OM mm =,故13121CM mm =-=,选A . 11.如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+ ,AQ ＝23AB ＋14AC ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为( )A . 15B . 45C . 14D . 13 【解析】如图,设25AM AB = ,15AN AC = ,则AP AM AN =+ . 由平行四边形法则知//NP AB ,所以ABP AN ABC AC ∆=∆ ＝15, 同理可得14ABQ ABC ∆=∆．故45ABP ABQ ∆=∆,选B . 12.如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为 ( )A ．12B C D ．非上述结论 【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭圆所在平面与底面成30︒角,则离心率1sin 302e =︒=.故选A . 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________【解析】圆;圆或椭圆.14.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠C ＝720,⊙O 过A 、B 两点且 第12题图A C P D O E FB 第18题图 第17题图 A CP D OE F B 与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD ,若BC ＝15-,则AC ＝【解析】由已知得BD AD BC ==,2()BC CD AC AC BC AC =⋅=- ,解得2AC =.15.如图,AB 为O 的直径,弦AC 、BD 交于点P ,若3,1AB CD ==,则sin APD ∠=【解析】连结AD ,则sin AD APD AP ∠=,又CDP BAP ∆∆ , 从而1cos 3PD CD APD PA BA ∠==, 所以sin 3APD ∠==. 16.如图为一物体的轴截面图,则图中R 的值是【解析】由图可得22230()(180135)2R R =+--,解得25R =. 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图:,EB EC 是O 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是O 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.【解析】连结,,OB OC AC ,根据弦切角定理,可得1(180)6732992A BAC CAD E DCF ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒+︒=︒. 18.(本小题满分12分) 如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P , E 为⊙O 上一点, AE AC =,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB , 求PF 的长度.【解析】连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件 AE AC =可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P C ∠=∠+∠,从而PFD C ∠=∠,故PFD ∆ PCO ∆,∴PF PD PC PO =, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===. 19.(本小题满分12分) 已知:如右图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ＝DC ,过点D 作AC 的平行线DE ,交BA 的延长线于点E ．求证：(1)△ABC ≌△DCB (2)DE ·DC ＝AE ·BD ．【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝DB∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△BCD(2)∵△ABC ≌△BCD ，∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB第16题图 A B C ED 第19题图第20题图 第21题图C ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC ∴∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB∴△ADE ∽△CBD ∴DE:BD ＝AE:CD ， ∴DE ·DC ＝AE ·BD.20.(本小题满分12分)如图,△ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,P 为AD 上一点,CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ,求证: PB 2=PE •PF ．【解析】连结PC ,易证,PC PB ABP ACP =∠=∠∵//CF AB ∴F ABP ∠=∠,从而F ACP ∠=∠又EPC ∠为CPE ∆与FPC ∆的公共角,从而CPE FPC ∆∆ ,∴CP PE FP PC= ∴2PC PE PF =⋅ 又PC PB =, ∴2PB PE PF =⋅,命题得证. 21.(本小题满分12分)如图,A 是以BC 为直径的O 上一点,AD BC ⊥过点B 作O 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P . (1)求证:BF EF =；(2)求证:PA 是O 的切线；(3)若FG BF =,且O的半径长为求BD 和FG 的长度. 【解析】(1)证明：BC ∵是O 的直径，BE 是O 的切线， EB BC ⊥∴．又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△．BF CF EF CF DG CG AG CG ==∴，．BF EF DG AG=∴． G ∵是AD 的中点，DG AG =∴．BF EF =∴． (2)证明：连结AO AB ，．BC ∵是O 的直径，在Rt BAE △中，由（1），知F 是斜边BE AF FB EF ==∴．FBA FAB ∠=∠∴．又OA =∵BE ∵是O 的切线，90EBO ∠=∴°．90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，PA ∴是O 的切线．(3)解：过点F 作FH AD ⊥于点H ．BD AD FH AD ⊥⊥∵，，FH BC ∴∥．由(1)，知FBA BAF ∠=∠，BF AF =∴．由已知，有BF FG =，AF FG =∴，即AFG △是等腰三角形．FH AD ⊥∵，AH GH =∴．DG AG =∵，2DG HG =∴，即12HG DG =． 90FH BD BF AD FBD ∠=∵∥，∥，°，∴四边形BDHF 是矩形，BD FH =．FH BC ∵∥，易证HFG DCG △∽△．FH FG HG CD CG DG ==∴，即12BD FG HG CD CG DG ===． O ∵的半径长为BC =∴．12BD BD CD BC BD ===-∴． 解答用图 C解得BD =BD FH ==∴12FG HG CG DG ==∵，12FG CG =∴．3CF FG =∴． 在Rt FBC △中，3CF FG =∵，BF FG =，由勾股定理，得222CF BF BC =+．222(3)FG FG =+∴．解得3FG =（负值舍去）．3FG =∴． ［或取CG 的中点H ，连结DH ，则2CG HG =．易证AFC DHC △≌△，FG HG =∴，故2CG FG =，3CF FG =．由G D F B ∥，易知CDG CBF △∽△，2233CD CG FG CB CF FG ===∴．23=，解得BD =Rt CFB △中，由勾股定理，得222(3)FG FG =+，3FG =∴（舍去负值）．］ 22.(本小题满分14分)如图1,点C 将线段AB 分成两．部分,如果AC BC AB AC=,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果121S S S S =,那么称直线l 为该图形的黄金分割线. (1)研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2),则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF CE ∥,交AC 于点F ,连接EF (如图3),则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．(4)如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线.请你画一条ABCD 的黄金分割线,使它不经过ABCD 各边黄金分割点.【解析】(1)直线CD 是ABC △的黄金分割线.理由如下:设ABC △的边AB 上的高为h ．12ADC S AD h = △,12BDC S BD h = △,12ABC S AB h = △,所以ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD S AD=△△ 又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BD AB AD =．因此ADC BDC ABC ADCS S S S =△△△△． 所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线.(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时1212s s s ==,即121s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.(3)因为DF CE ∥,∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等,所以有DEC FCE S S =△△ 设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△．所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形第22题图（第22题答图1）（第22题答图2） DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形． 又因为ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． (4)画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ,DC 于M ,N 点,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二:如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．。