参考答案及评分标准(B卷)

广东商学院试题参考答案及评分标准2006-2007学 年 第一学 期课程名称 概率论与数理统计 课程代码 课程负责人 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- ---------一、填空题（每小题2分，共20分）1、 以A 表示事件“丙种产品畅销”，其对立事件A 表示 丙种产品滞销2、 概率具备非负性、 完备性 和可列可加性。

3、 假设事件A 和B 满足(|)1P A B =，则A 与B 的关系是 B A ⊂4、 如果事件A 和B 是互不相容的，且()0.5,()0.1P A P B ==，则()P A B += 0.65、 若(,)~a b X U ，则X 的概率密度函数为1,()0,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它6、 二项分布(,)B n p 的分布律{}P X k == (1)0,1,2,,k k nkn C p p k n --=7、 正态分布2(,)N u σ的数学期望为 u8、 设随机变量X 的期望()E X u =，方差()9D X =，则对任意给定的正数ε，有{}P X u ε-≥≤ 29ε9、 历史上最早的中心极限定理是 棣莫拂—拉普拉斯定理10、设(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为其联合概率密度，(),()X Y f x f y 分别为X 与Y 的边缘密度，若对任意,x y ，有 (,)()()X Y f x y f x f y = ，则称,X Y 相互独立。

二、选择题（每小题2分，共10分）1、 对任意两事件A ，B ，与A B B = 不等价的是A 、AB ⊂ B 、B A ⊂C 、AB =ΦD 、AB =Φ 2、设随机变量ξ的概率密度为()cos 2f x k x =（[,]44x ππ∈-），则k 的值为 A 、 0.5 B 、1 C 、2 D 、0.253、设12(),()F x F x 分别是随机变量12,X X 的分布函数，为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，则,a b 的取值为 A 、32,55a b ==- B 、22,33a b == C 、13,22a b =-= D 、13,22a b ==- 4、设12,,,n ξξξ 相互独立，()1,()1(1,2,,9)i i E D i ξξ=== ，则对任意给定0ε>有A 、921{1}1i i P ξεε=-<≥-∑ B 、9211{1}19i i P ξεε=-<≥-∑C 、921{9}1i i P ξεε=-<≥-∑ D 、921{1}19ii P ξεε=-<≥-∑5、如果X 与Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则必有 A 、X 与Y 独立 B 、X 与Y 不相关 C 、()0D X = D 、()()0D X D Y =答案：DBADB三、计算题（每小题6分，共24分）1、 一个袋子装有10个大小相同的球，其中3个黑球，7个白球，求：从袋子中任取两个球，两个全是黑球的概率。

解：10个球中任取两球的取法有210C 种，其中两个黑球的取法有23C 种，记B 为事件“两个球都是黑球”，则2321031()4515C P B C ===。

2、已知()0.3,()0.4,(|)0.5P A P B P A B ===，试求(|),(|)P B A P B A B 。

解：由乘法公式，()(|)()0.50.40.2P AB P A B P B ==⨯=，因此 ()0.22(|)()0.33P AB P B A P A ===，又因为B A B ⊂ ，所以()B A B B = ，从而(())()0.44(|)()()()()0.30.40.25P B A B P B P B A B P A B P A P B P AB ====+-+- 。

3、 某商品收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求任取一箱，从中任取一个为废品的概率。

解：记事件A 、B 分别为甲、乙两厂的产品，C 为废品，则：303202(),()505505(|)0.06,(|)0.05P A P B P C A P C B ======由全概率公式32()()(|)()(|)0.060.050.05655P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯= 4、设随机变量X 的分布函数为20,0(),0 1.1,1x F x x x x≤⎧⎪=<≤⎨⎪<⎩求概率{0.30.7}P X <<。

解：由分布函数的性质2和3，有22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=四、计算题（每小题8分，共24分）1、设(,)X Y 的概率密度是24(2),01,0(,)50,y x x y xf x y ⎧-≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，求关于Y 的边缘密度函数解：2124243()(2)(2)(01)5522Y y y f y y x dx y y y =-=-+≤≤⎰，即2243(2)01()5220,Y y y y y f y ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它。

2、设2~(,)X N u σ，求()D X 。

解：先求标准正态变量X uZ σ-=的数学期望。

因为Z的概率密度为22()()t t t ϕ-=-∞<<+∞所以2222()|0t t E Z te dt +∞--+∞-∞-∞===，2222222222()|1t t t t E Z t e dt tdee dt +∞+∞+∞----+∞-∞-∞-∞-∞====-⎰，22()()[()]1D Z E Z E Z =-=因X u Z σ=+ 即得2()()()()D X D u Z D u D Z σσσ=+=+=3、 已知22~(1,3),~(0,4)X N Y N ，且X Y 和的相关系数12XY ρ=-，设32X YZ =-，求XZ ρ。

解：22()3,()4,1cov(,)34()621cov(,)cov(,)62XY D X D Y X Y X X X Y ====⨯⨯-=--=且X Y X Y 所以cov(X,Z)=cov(X,-)=cov(X,)-cov(X,)32321 =311()()()()2cov(,)7329432X Y X YD Z D D X D Y =-=+-=故XZ ρ=== 五、应用题（每小题8分，共16分）1、 在整数0至9中先后按下列情况任取两数X Y 和：第一个数抽取后不放回再抽取第二个数，求在(09)Y k k =≤≤的条件下X 的分布律。

解：111{,}()109901{,}0{}10P X i Y k i k i k P X i Y k P Y k ===⨯=≠======当时当时，，，从而1,{,}{|},0,1,,99{}0,i kP X i Y k P X i Y k i P Y k i k⎧≠==⎪=====⎨=⎪=⎩ 。

2、对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%。

每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。

试求已知某日早上第一件产品合格时，机器调整良好的概率是多少？ 解：设A 为事件“产品合格”，B 为事件“机器调整良好”。

已知 (|)0.98,(|)0.55,()0.95,()0.05P A B P A B P B P B ====，由贝叶斯公式，有 (|)()0.980.95(|)0.97(|)()(|)()0.980.950.550.05P A B P B P B A P A B P B P A B P B ⨯===+⨯+⨯六、证明题（6分）证明随机变量,X Y 的相关系数1XY ρ≤。

证明：由方差的性质和协方差的定义知，对任意实数b ，有 20()()()2c o v (,)D Y b X b D X D Y b X Y ≤-=+- 令cov(,)()X Y b D X =，则222[c o v (,)]()()()[cov(,)]()1()[1]()()XY X Y D Y bX D Y D X X Y D Y D Y D X D Y ρ-=-⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦由于方差()D Y 是正的，故必有210XY ρ-≥，所有1XY ρ≤。

教师（签名）：戴宏亮2006年12 月20 日。