东南大学计算力学课件(研究生课程) 第7章 薄壳问题
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有限元第七讲
0 0 0 GJ l 0 0 0 0 0 GJ l
0 0 6 EI y l2 0 2 EI y l 0 0 0 6 EI y l2 0 4 EI y l
EA l
6 EI z l2 0 0 0 2 EI z l 0 6 EI z 2 l 0 0 0 4 EI z l 0
2、平面杆单元的坐标变换
l xx l zx 0
l xz l zz 0
0 cos sin 0 sin cos 0 0 1 0 1 0
T diag
第六章
四、平面杆件系统
3、内部铰结点的处理
第五章
板壳问题有限单元法
四、用矩形薄板单元进行薄壳分析 五、用三角形薄板单元进行薄壳分析 六、用薄板单元进行薄壳分析的步骤
第五章
板壳问题有限单元法
四、用矩形薄板单元进行薄壳分析
1 薄壳的计算假定：
a) 垂直于中面方向的正应变极其微小，可以不计。 b) 中面的法线保持为直线，且法线及其垂直线段之间的直角保 持不变，即该两方向的剪应变为零。 c) 挤压应力对变形的影响可以不计。
k e kij 44
Re R1 Ri Rip
R2
R
b i
R3
0
kijp e kij 0 0 T R4
0
b kij
0
0 0 0
T
第五章
板壳问题有限单元法
四、用矩形薄板单元进行薄壳分析
3. 矩形平板型壳单元：
4）坐标转换问题：
第七章 动力问题的有限单元法
二、结构的运动方程
7_板壳问题有限元分析
T i
1 1 2 h 1 1 2
h
BiT DB j abd d dz
(6.17)
21 /44
薄板问题的有限元法
代入 D 、 Bi 和 B j 于是有
D 1 1 b2 T kij N i , N j , uN iT, N T, uN iT, N T, j j 1 1 a 2 ab +2(1- )N
2
24 /44
薄板问题的有限元法
k23 15H ab(i j )(i j ) b2 b2 k31 3Ha (2 3 5 2 ) j0 15 2 j 5i0 a a k32 15H ab(i j )(i j )
23 /44
薄板问题的有限元法
其中
b2 a2 a2 b2 k11 3H 0 15( 2 0 2 0 ) (14 4 5 2 5 2 ) 00 b b a a a2 a2 k12 3Hb (2 3 5 2 ) 0i 15 2 i 5 0i b b b2 b2 k13 3Ha (2 3 5 2 )i0 15 2 i 50 j a a a2 a2 k21 3Hb (2 3 5 2 ) 0 j 15 2 j 5 0i b b a2 k22 Hb 2(1 ) 0 (3 50 ) 5 2 (3 0 )(3 0 ) b
1 E D 2 1 0
薄板问题的有限元法
图 6.2 平板内力
10 /44
薄板问题的有限元法
设 M x 、 M y 和 M xy 表示单位宽度上的内力矩，于是有
2w 2 x Mx h h3 2 w h3 M M y h2 z dz D DC D 'C (6.5) 2 12 y 12 2 M xy 2w 2 xy
1 1 2 h 1 1 2
h
BiT DB j abd d dz
(6.17)
21 /44
薄板问题的有限元法
代入 D 、 Bi 和 B j 于是有
D 1 1 b2 T kij N i , N j , uN iT, N T, uN iT, N T, j j 1 1 a 2 ab +2(1- )N
2
24 /44
薄板问题的有限元法
k23 15H ab(i j )(i j ) b2 b2 k31 3Ha (2 3 5 2 ) j0 15 2 j 5i0 a a k32 15H ab(i j )(i j )
23 /44
薄板问题的有限元法
其中
b2 a2 a2 b2 k11 3H 0 15( 2 0 2 0 ) (14 4 5 2 5 2 ) 00 b b a a a2 a2 k12 3Hb (2 3 5 2 ) 0i 15 2 i 5 0i b b b2 b2 k13 3Ha (2 3 5 2 )i0 15 2 i 50 j a a a2 a2 k21 3Hb (2 3 5 2 ) 0 j 15 2 j 5 0i b b a2 k22 Hb 2(1 ) 0 (3 50 ) 5 2 (3 0 )(3 0 ) b
1 E D 2 1 0
薄板问题的有限元法
图 6.2 平板内力
10 /44
薄板问题的有限元法
设 M x 、 M y 和 M xy 表示单位宽度上的内力矩，于是有
2w 2 x Mx h h3 2 w h3 M M y h2 z dz D DC D 'C (6.5) 2 12 y 12 2 M xy 2w 2 xy
薄板弯曲和薄壳问题
y
Ni 0
0
Ni
刚度矩阵b 刚度矩阵S
kbe se Bb T DBb dxdy kSe se BS T BS dxdy
Kb kbe KS kSe
总体刚度矩阵 K Kb KS
等效节点力
q x, y
Qe
se
N T
0
dxdy
0
Q Qe
K Q
§4 薄壳变形的假设
1
(i k,l, m, n)
M DBe
T
U e 1 2
1
se
D
1
dxdy
1 2
e
T
se BT DBdxdy e
1 e T ke e 2
ke se BT DBdxdy
K ke
总变形能
U
U e
1 T
2
K
不计边界外力，只有面内横向载荷时的外力功为
1
(i=k, l, m, n)
三、单元刚阵
w N(x, y)e
1
x
2
x
2
1
1
y
2 y2
w
2
x
2
1 2
y
2
N e [B] e
1
xy
2 2 xy
应变矩阵
2 2 xy
B Bk Bl Bm Bn
6xi x a4
Dp
1
z
h
M x
2
h
x
zdz
2
h
M xy
2
h
xy
zdz
x
2
h
M y
2
h
y
东南大学计算力学课件(研究生课程) 第4章 杆系单元
Ki xi1 Bi AE Bi dx
e xi T
xi
xi 1
AE
1
xi xi 1
2
1 1 1dx 1
EA 1 1 1 1 xi xi 1
3. 单元的应变、应力和应变能 节点等效力严
Y
X
○ ○ ○
x
y
○ ○
P
杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种 类型。它们都只有2个节点i、j。 约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的 杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y 轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯 性主轴。
x xi xi xi 1 xi 单元总势能： dx xi1 x xi 1 1 e T e e e T e K F i i i i i i xi xi 1 2 xi xi 1 1 e T e 等效荷载严格来说也应该是物体整体的 F i i 外荷载等效，单元中相互作用力抵消后， 2 1
结构离散
取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为 节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节点编号时力求单元 两端点号差最小。
坐标系
有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。对于 一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很 多个，一个单元就有一个局部坐标。并且不同坐标系每一 个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相 同。 y x
(a)
(c) (b)
（3）拱（图1.3c）arch
■
通常：曲杆
(c)
东南大学计算力学课件(研究生课程) 第10章动力学问题
5
2、动态分析模型的确定
3) 模型应正确反映结构的实际特性。一个具体结构
的动态特性，主要取决于质量、刚度的大小与分布，取决 于结构边界条件与阻尼特性。因此，模型应尽量保持整个 结构、甚至各构件的质量、质心位置不变，保证构造的刚 度特性和传力路线基本不变。真实反映分析对象的边界条 件与阻尼特性。因此，选取的单元应保持其几何形状、受 力特性、变形特性与实际结构的几何形状特点、受力传力 特点、变形特性相一致。
N T
N dV
(t
e
)
M
e
(t
e
)
V
建立此质量矩阵[M]所用的位移插值函数与刚度矩阵一致 ，故称为一致质量矩阵。一致质量矩阵总是正定满秩的 。
10
2、动态分析模型的确定
单元质量矩阵
[M ]e N T N dV V
平面常应变三角形单元的一致质量阵为：
负号表示惯性力与加速度相反。
显然，整个单元上惯性力即为上式的积分。如何将这个作用于单元上 的惯性力移置到单元节点上，通常有两种方法：
1）虚功原理法——求得一致质量矩阵
2）直接分配法——即按重心不变原则分配，求得集中质量矩阵。
9
2、动态分析模型的确定
1）虚功原理法
设单元中发生虚位移为 f *(t) *(t) e
， (t) e 、 (t) e 则单元节点内任一点的位移
f (t) N (t)e
[N]为形函数，与时间t无关，为x、y、z的函数，它与静力分析 中一样；由于[N]与时间无关，则单元应变矩阵，应力矩阵仍与 静力分析完全相同：
(t) B (t)e (t) D (t) DB (t)e
2、动态分析模型的确定
3) 模型应正确反映结构的实际特性。一个具体结构
的动态特性，主要取决于质量、刚度的大小与分布，取决 于结构边界条件与阻尼特性。因此，模型应尽量保持整个 结构、甚至各构件的质量、质心位置不变，保证构造的刚 度特性和传力路线基本不变。真实反映分析对象的边界条 件与阻尼特性。因此，选取的单元应保持其几何形状、受 力特性、变形特性与实际结构的几何形状特点、受力传力 特点、变形特性相一致。
N T
N dV
(t
e
)
M
e
(t
e
)
V
建立此质量矩阵[M]所用的位移插值函数与刚度矩阵一致 ，故称为一致质量矩阵。一致质量矩阵总是正定满秩的 。
10
2、动态分析模型的确定
单元质量矩阵
[M ]e N T N dV V
平面常应变三角形单元的一致质量阵为：
负号表示惯性力与加速度相反。
显然，整个单元上惯性力即为上式的积分。如何将这个作用于单元上 的惯性力移置到单元节点上，通常有两种方法：
1）虚功原理法——求得一致质量矩阵
2）直接分配法——即按重心不变原则分配，求得集中质量矩阵。
9
2、动态分析模型的确定
1）虚功原理法
设单元中发生虚位移为 f *(t) *(t) e
， (t) e 、 (t) e 则单元节点内任一点的位移
f (t) N (t)e
[N]为形函数，与时间t无关，为x、y、z的函数，它与静力分析 中一样；由于[N]与时间无关，则单元应变矩阵，应力矩阵仍与 静力分析完全相同：
(t) B (t)e (t) D (t) DB (t)e
薄壳基础
状 态 还 是 结 构 最 佳 的 受 力
,
故 可 近 似 地 作 为 特 解 。
矩 后 得 到 的 特 解 之 差 为
形 ， 而 且 在 一 般 情 况 下 ，
似 地 反 映 了 壳 体 大 部 区 域
用 无 矩 理 论 求 得 解 析 解 。
水 压 、 风 型 载 荷 和 重 力 等
力 外 ， 在 轴 对 称 载 荷 （ 如
析为的泛圆 壳
常曲。筒
数率此壳
, ,
, ,
所 以
为 零
外 圆
制 作
易而筒方
于其壳便
进周沿应
行向母用
理曲线极
论率方为
薄膜壳
t/R
价 状此 它的该作均出壳和如
值 态外的与应解用布现体表果
。 ，，数考力不下压弯边面壳
所无 量虑和仅 ， 力 曲 缘 载 体
以矩 级弯变近 可 、 应 局 荷 的
无 矩 理 论 具 有 重 要 的 实 用
程：
• 应力-应变关系 反映壳体内中面内力和应变之间的关系， 即
•
T1＝C(ε1＋vε3)， T2＝C(ε2＋vε1)，
•
Μ2＝D(κ2＋vκ1)， Μ12＝Μ21＝D(1－v)τ。
•
式中C =Et/(1-v2),v为泊松比，E为弹性模量；
D=Et3/12(1-v2)，称为弯曲刚度。 求解壳体内的位移和内
谢谢大家！
力须将上述各方程联立。上述联立基本方程组可化为仅用
壳体的挠度表达的八阶偏微分方程。
•
理论应用
• 壳体方程组十分复杂，所以对任意载荷下 的任意形状壳体求得一般解是很困难的， 而只能求经过简化的某些特殊壳体的解， 它们在工程应用上具有重要的价值。这些 壳体有： 薄膜壳、圆筒壳、旋转壳、扁壳
薄壳
2 矩形板单元用于柱壳分析
矩形壳元
单元足够小时，可以用平板单元拼成的折板近似代替光滑壳结构。 局部坐标系 位移向量 面内变形：2个位移u, v 弯曲变形：3个分量（1个挠度w和2个转角θx,θy） 附加位移分量：θz
i ui Fi U i
v i
yi wi xi
T
xi Vi Wi M
yi M
T
很显然，式中前两个分量对应于平面应力问题，后三个分量对应于平板弯 曲问题。 该单元共有20个自由度。
由于在整体坐标系中，节点位移和节点力分别具有六个分量，即
i ui Fi U i
计算步骤：
①划分单元，选定整体坐标系后算出各节点在整体坐标系中的坐标值。
②对各单元，先在局部坐标系中确定节点载荷列阵，然后通过变换矩阵求得整体 坐标系下的单元节点载荷列阵，进行单元的简单迭加便可获得壳体结构在整体坐 标系下的节点载荷列阵。
③建立局部坐标系下的单元刚度矩阵 [k’]，从而求出整体坐标系中的单元刚度矩 阵[k]。 ④组集整体刚度矩阵和等效节点力。可按照“对（有公共节点的）单元求和、 按节点（总序号）对号入座”的方式进行。
v i
yi zi wi xi
T
xi Vi Wi M
yi M zi M
T
单元刚度矩阵
其中
k rs
k
p rs
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
k
p rs
0 0 0 0 0 0
b krs
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
矩形壳元
单元足够小时，可以用平板单元拼成的折板近似代替光滑壳结构。 局部坐标系 位移向量 面内变形：2个位移u, v 弯曲变形：3个分量（1个挠度w和2个转角θx,θy） 附加位移分量：θz
i ui Fi U i
v i
yi wi xi
T
xi Vi Wi M
yi M
T
很显然，式中前两个分量对应于平面应力问题，后三个分量对应于平板弯 曲问题。 该单元共有20个自由度。
由于在整体坐标系中，节点位移和节点力分别具有六个分量，即
i ui Fi U i
计算步骤：
①划分单元，选定整体坐标系后算出各节点在整体坐标系中的坐标值。
②对各单元，先在局部坐标系中确定节点载荷列阵，然后通过变换矩阵求得整体 坐标系下的单元节点载荷列阵，进行单元的简单迭加便可获得壳体结构在整体坐 标系下的节点载荷列阵。
③建立局部坐标系下的单元刚度矩阵 [k’]，从而求出整体坐标系中的单元刚度矩 阵[k]。 ④组集整体刚度矩阵和等效节点力。可按照“对（有公共节点的）单元求和、 按节点（总序号）对号入座”的方式进行。
v i
yi zi wi xi
T
xi Vi Wi M
yi M zi M
T
单元刚度矩阵
其中
k rs
k
p rs
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
k
p rs
0 0 0 0 0 0
b krs
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
《板壳力学》课件
2 板壳的特点
3 板壳的分类
板壳具有高强度、轻量化、 刚度高、形状复杂、适应 性广等特点，能够承受各 种力学加载。
根据形状、边界条件和受 力特点，板壳可以分为不 同类型，例如矩形板壳、 环形板壳和扭转板壳。
板壳的力学模型和假设
力学模型
板壳的力学模型可以采用理想 化的弹性平面假设，简化了计 算过程，但仍能准确描述板壳 的弯曲和扭转行为。
假设条件
在板壳的力学分析中，我们通 常假设板壳是薄的、具有轴对 称性、材料均匀等条件。
应力假设
为了简化计算，我们通常假设 板壳处于平面应力状态，通过 选择适当的应力假设来近似描 述实际应力分布。
板壳的受力分析方用解析方法进行板壳的受力分析，得到精确的应力和位 移解。
在工程领域，板壳结构广泛应用于汽车车身、 桥梁、储罐、压力容器等领域，具有重要的实 际价值。
航空航天领域
在航空航天领域，板壳结构被应用于飞机机身、 卫星反射镜和火箭燃烧室等部件的设计和制造。
科学研究
对板壳力学的研究不仅在应用层面有重要价值， 还为理论研究和学科发展提供了深厚的基础。
总结和展望
通过本节课的学习，我们深入理解了板壳力学的基本概念、力学模型、受力 分析和稳定性分析等内容。
挠度测量
通过测量板壳的挠度，可以了解 其承载能力和变形情况，在实际 工程中具有重要的应用价值。
失稳分析
失稳分析用于研究板壳的失稳模 态和失稳行为，为结构设计和优 化提供了重要依据。
板壳的应用领域和实际案例
建筑领域
板壳结构广泛用于建筑物的屋盖、墙面、地板 等部位，提供了美观、高效的结构解决方案。
工程领域
2
数值方法
为了解决复杂的板壳结构问题，可以利用数值方法，如有限元分析，对板壳进行数值模拟和 求解。
2014-计算力学-9-板壳问题
（9-7）
矩形单元
其中 a和b分别是单元的长和宽。将单元的四个节点坐标 分别代入（9-6）和（9-7）式，即可求得位移模式中的12个 参数，再代入（9-6）式，得
w
N w N
i i i 1
4xi xi 来自 yi yi N i i N e
由此得到：
x
（9-6）
w w 1 3 5 2 6 8 2 2 9 310 2 11 3 312 2 y b b w w 1 y 2 2 4 5 3 7 2 2 8 9 2 311 2 12 3 x a a
v w z y
故有
,
由于z =0， zx 0 , zy 0 ，所以中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，成 为弹性曲面的法线。此外，由于不计z 所引起的应变，故其物理方程为
1 x y E 1 y y x E 2(1 ) xy xy E
（9-9）
式中 D
矩形单元
矩形单元的等效节点力
当平板单元受有分布横向载荷q时，其相应的等效节点力为
Qi
e
Wi M xi M yi
1
1
1 1
qN i T abdd （i = 1,2,3,4）
（9-10）
若q = q0 为常量时，有
1 1
k13 k 23 k 33 k 43
k14 k 24 k 34 k 44
kij Bi DB j dxdydz h / 2 1 1Bi T DB j abdd
D ab b2 a
2
板壳理论--薄板小挠度弯曲问题及经典解法 ppt课件
§13.2弹性曲面的微分方程
3.力平衡方程
z
w 表示，取体力分量 Z 0
z xz yz
z x y
zx
2
E
1 2
z2
t2 4
x
2w
zy
2
E
1 2
z2
t2 4
y
2w
z
z
E (z2t2)4w
2(12) 4
推导过程
21
PPT课件
z xz yz z x y
zx
y xy zy 0 y x z
z
xz
yz
Z
0
z x y
x ux,y yv,z wz,xyxvuy,
yzvzw y,zx
uw z x
物理方程
x E1[(x (y z)];y E1[(y (x z)];
z E1[(z (x y)]
xy
8G1xy;yz
G1yz;zx
Ez2
1 2
x
2w
F1
x,
y
zy
2
Ez2
1 2
y
2
w
F2
x,
y
zy z t 0 2
zx z t 0 2
F1x,y81Et22
2w x
F2x,y81Et22
2w y
zx
2
E
1 2
z2
t2 4
x
2w
zy
2
E
1 2
z2
t2 4
y
2w
20
PPT课件
z E (z2t2)4w
z 2(12) 4
22
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
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312 xy2
y w x (2 24 x 5 y 37 x2 28xy 9 y2 311x2 y 12 y3)
2 薄板弯曲的矩形单元
• 待定系数：利用12个节点位移 值可待定12个系数，整理 w(x,y)为插值函数形式：
w(x, y) Niwi Nxixi N yi yi Nl wl Nxlxl N yl yl
计算力学 第七章 弹性薄板弯曲问题
1 薄板弯曲问题
1薄板的定义
• 力学概念定义的板是指厚 度尺寸相对长宽尺寸小很 多的平板，且能承受横向 或垂直于板面的载荷。如
t 1 ~ 1 薄膜 b 80 100 1 ~ 1 t 1~1 80 100 b 5 8
t 厚度 薄板
板不是平板而为曲的(指一 个单元)，则称为壳问题。
w x
0
zy
v z
w y
0
绕y轴转角
u
z
w x
f1 ( x,
y) u
0 v
u z w 0 x
z0
v
z
w y
f2 (x,
y)
z0
w
v z
y
绕x轴转角
u
x
2w x2
分别表示薄板 弯曲曲面在x，
w(x, y) 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2 7 x3 8x2 y 9 xy2 10 y3 11x3 y 12 xy3
• 另两个转角为：
x
w y
3
5x
26 y
8 x2
29 xy
310 y2
11x3
面进行离散，常用的
l
xl
yl wl
m
xm ym wm
单元有三角形和矩形。 为了使相邻单元间同 时可传递力和力矩， 节点当作刚性节点，
xi
i
yi
wi
j
xj
yj
wj
即节点处同时有节点 力和节点力矩作用。
节点位移向量和节点力向量
每个节点有三个自由
度，即一个挠度和分 别绕x，y轴的转角。 如右图矩形单元
即
w w(x, y)
•3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行于中面 的各层相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即
z 0
•4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩，即
u 0 v 0
z0
z0
1 薄板弯曲问题
3、基本方程
• 1）几何方程
z 0
zx
u z
1
0
2w x2
Ez
1
2
1
1
0
2
2w y 2
2
2
w
z
D
xy
1 薄板弯曲问题
• 3）内力矩公式
t
• 单位宽度上垂直x，y轴
z
的横截面上弯矩、扭矩
N e
• 其中，形函数：
Nr
1 (1 8
x xr
)(1
y yr
)[2
x xr
(1
x xr
)
y yr
(1
y yr
)]
N xr
1 8
yr (1
x xr
)(1
y yr
)2 (1
y yr
)
N yr
1 8
xr (1
x xr
)2 (1
y yr
)(1
x xr
v y
z
2w y 2
z
y方向的曲率
u
y
v
x
2
2
w
xy
表示薄板弯曲 曲面在x，y方 向的扭率
1 薄板弯曲问题
• 2）应力应变关系（HOOK 定律）
z 0
x
E
1 2
( x
y )
zx 0 zy 0
y
E
1 2
( y
x )
xy
E 2(1
) xy
• 记为矩阵形式：
x
1
E
2
2w z( x2
2w y2 )
y
E
1 2
z(2w y 2
2w) x2
xy
E
1
z
2w xy
形后仍为直线，且
垂直于弯曲后的中
面。说明在平行于 z
中面的面上没有剪
z
应变，即
zx 0 zy 0
y
x
t
变形 前的 直线
x
变形 后的 直线
u zy
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
w x
1 薄板弯曲问题
•2）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即z 0 。由
于板内各点的挠度与 z坐标无关，只是x，y的函数，
y
t
M x
2 t
x
zdz
2
t
M y
2 t
y
zdz
2
t
M xy M yx
2 t
xy
zdz
2
x
y
yx
xy
x
1 薄板弯曲问题
4)平衡方程
5)控制偏微分方程
1 薄板弯曲问题
• 6) 板的势能
• 采用力矩和曲率表示
2 薄板弯曲的矩形单元
• 用有限元法求解薄板 弯曲问题，常在板中
e wi xi yi F e Fzi M xi M yi
wl
xl
T yl
T
Fzl M zl M yl
2 薄板弯曲的矩形单元
• 3、位移函数 • 薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，
如u,v等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实 际就是w(x,y)的选取。注意单元有12个自由度，则
t 1~1 b58
厚板 b 板长宽最小值
•如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为 平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载 荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。
1 薄板弯曲问题
2、基本假设（克希霍夫假设）
• 1）直线假设：即变
形前垂直于板中面
z
的直线，在弯曲变
)
r i, j, m, l
2 薄板弯曲的矩形单元
• 单元收敛性分析：
• 1）位移函数 w(x, y),x (x, y),y (x, y) 中包含有常量项，反 映了刚体位移，如 1 为挠度常量， 2,3为转角常量。
• 2）位移函数中包含了常量应变项， 如形变分量为：
2w x
2w y2
2w T
2
xy
24
26
2
T
5
• 表明薄板处于均匀弯扭变形状态，即常应变状态。这里
的常应变为挠度的二次函数，而在平面单元中为位移的