2.3.1直线与平面垂直的判定
第二章 2.3.1 直线与平面垂直的判定
§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.会用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直.知识点一直线与平面垂直的定义思考空间两条直线垂直一定相交吗？答案不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直. 知识点二直线与平面垂直的判定定理知识点三 直线与平面所成的角1.若直线l ⊥平面α，则l 与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.( × )2.若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α.( × )3.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.( × )4.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.( √ )题型一 直线与平面垂直的定义及判定定理的理解 例1 下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ②若直线l 不垂直于平面α，则α内没有与l 垂直的直线； ③若直线l 不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 考点 直线与平面垂直的判定 题点 判定直线与平面垂直 答案 ③④解析 当l 与α内的一条直线垂直时，不能保证l 与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l 可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.反思感悟(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.跟踪训练1(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案(1)C(2)①③④解析(1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.题型二直线与平面垂直的判定例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.反思感悟(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.求直线与平面所成的角典例如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角； (2)求A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角. 考点 直线与平面所成的角 题点 直线与平面所成的角 解 (1)∵AB ⊥平面AA 1D 1D ，∴∠AA 1B 就是A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角， 在Rt △AA 1B 中，∠BAA 1＝90°，AB ＝AA 1， ∴∠AA 1B ＝45°，∴A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角是45°. (2)连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO .∵A 1O ⊥B 1D 1，BB 1⊥A 1O ，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ， ∴A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠A 1BO 就是A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角. 设正方体的棱长为1，则A 1B ＝2，A 1O ＝22. 又∵∠A 1OB ＝90°，∴sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝12，又0°≤∠A 1BO ≤90°，∴∠A 1BO ＝30°，∴A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角是30°. [素养评析] (1)求直线与平面所成角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养.1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的六个面中，与AA 1垂直的平面的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.6 答案 B2.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 C解析①错，②③对.3.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案 B解析由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB答案 B解析∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为________.考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案90°解析连接AD1，∵AB⊥A1D，AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，∴A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1.1.直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义.(2)利用线面垂直的判定定理.(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2.线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直，则线线垂直.3.求线面角的常用方法(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算).(2)转移法(找过点与面平行的线或面).(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).一、选择题1.给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：①l垂直于α内三条不都平行的直线；②l垂直于α内无数条直线；③l垂直于α内正六边形的三条边.其中能得出l⊥α的所有条件序号是()A.②B.①C.①③D.③答案 C2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1DD.异面直线AD与CB1所成的角为45°考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 C解析由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD 与DA1所成的角，故为45°，所以D正确.3.下列说法中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.2个B.3个C.4个D.5个考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 B解析①④不正确，其他三项均正确.4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案 C解析连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.不确定答案 C解析∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，∴l⊥AC.6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH.7.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝2∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为()A.45°B.60°C.30°D.75°答案 A解析取BC的中点D，连接AD，B1D，∵AD⊥BC且AD⊥BB1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.设AB＝2，则AA1＝1，AD＝62，AB1＝3，∴sin∠AB1D＝ADAB1＝22，∴∠AB1D＝45°.故选A.8.如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有()①BC⊥平面P AB；②AD⊥PC；③AD⊥平面PBC；④PB⊥平面ADC.A.1个B.2个C.3个D.4个考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 C解析∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，故①正确；由BC⊥平面P AB，得BC⊥AD，又P A＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故②③正确.故选C.二、填空题9.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________.答案a与b相交10.如图所示，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.答案45°解析因为P A⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△P AB中，∠BAP＝90°，P A＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB 与平面ABC所成的角等于45°11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案∠A1C1B1＝90°解析如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)三、解答题12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AD＝2，P A＝2，PD＝22，求证：AD⊥平面P AB.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明在△P AD中，由P A＝2，AD＝2，PD＝22，可得P A2＋AD2＝PD2，即AD⊥P A.又AD⊥AB，P A∩AB＝A，P A，AB⊂平面P AB，所以AD⊥平面P AB.13.如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明取CD的中点G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.∵EF＝2，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.14.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A.AC ⊥SBB.AB ∥平面SCDC.SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D.AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角考点 直线与平面所成的角题点 直线与平面所成的角答案 D解析 对于选项A ，由题意得SD ⊥AC ，AC ⊥BD ，SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SBD ，故AC ⊥SB ，故A 正确；对于选项B ，∵AB ∥CD ，AB ⊄平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；对于选项C ，由对称性知SA 与平面SBD 所成的角与SC 与平面SBD 所成的角相等，故C 正确.15.如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求证：MN ⊥平面PCD .考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 (1)取PD 的中点E ，连接NE ，AE ，如图.又∵N 是PC 的中点，∴NE ∥DC 且NE ＝12DC . 又∵DC ∥AB 且DC ＝AB ，AM ＝12AB ， ∴AM ∥CD 且AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ， ∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE .∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD. 又∵CD⊥AD，P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，∴CD⊥平面P AD.∵AE⊂平面P AD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD.。
2.3.1直线与平面垂直的判定(经典)
如图,点Q是＿点＿P＿在＿平＿面＿内＿的＿射＿影＿ ＿线＿段＿PQ＿是点P到平面 的垂线段
（2）斜线
一条直线和一个平面相交，但不和
这个平面垂直，这条直线叫做这个平面
的斜线．
P
斜线和平面的交点
叫做斜足。
从平面外一点向平 面引斜线，这点与斜
R
足间的线段叫做这点
到这个平面的斜线段
思考：平面外一点到一个平面的垂线段有 几条？斜线段有几条？
A
B
O
D
α
C
这条直线垂直于梯形所在的平面。（√ ）
（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内
没有与这条直线垂直的直线。(× )
定理应用
四：典型例题
例1 如图，已知 a//b,a，求证 b.
证明：在平面 内作两条相交
直线m，n．
a
b
m n
巩固练习
例2 如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VC， AB=BC，求证：VB⊥AC。
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
一、线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o,
A
A
B
D
CB
C D
过 ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻
折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接
触）．
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
2.3.1直线与平面垂直的判定定理
C
B
直线与平面垂直的判定定理
a 如果直线 和平面 内的两条相交直线 m,n都垂直，那么直线a 垂直平面 m , a 即： n , m n P a am m P n an
线线垂直 线面垂直
直线与平面垂直的性质
1、线垂直于面，线垂直 于面内的所有直线 a 符号语言： ab b 简记：线面垂直，则线线垂直
拓展思考
P是△ABC所在平面外一 点， PA、PB、PC两两垂 直，PH⊥平面ABC于H. 求证： 1 1 1 1
PA 2 PB 2 PC 2
D
PH 2
• 在△ABC中，∠BAC＝ 60°，线段AD⊥平面 ABC，AH⊥DBC，H为 垂足，求证：H不可能是 △BCD的垂心.
V
求证VB AC
D
C
A
B
教材74页B组练习2题
如图，在三棱锥 S ABC中，ABC 90 D是AC的中点，且SA SB SC
（1 ）求证：SD 平面ABC;
（2）若AB BC, 求证BD 平面SAC
教材67页练习2
练习2、如图,PA垂直于圆O所在面,AB是圆O的直径, C是圆周上一点,那么图中有几个直角三角形?
PA⊥α 于Α ,
P
PB⊥β于B,
AQ⊥l于Q,
求证:BQ⊥l .
A
l Q
B
平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，垂足为A， EB⊥β，垂足为B，求证：CD⊥AB
练习4
3.正方体ABCD A1 B1C1 D1中，P为DD1中点， O为底面ABCD中心，
求证：B1O 平面PAC
练习5、折叠问题
2.3.1直线与平面垂直的判定(典型课件)
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
旗杆与底面垂直
思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子 有何位置关系. A 1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
2. 直线AB垂直于平面 内的任意一条直线．
B1
α
B
C1
C
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
A
P
O
C
B
(2) C为圆 O上一点 ，AB 为直径 BC AC
1得BC PA, 又 PA AC A 由 BC 面PAC
例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为 ⊙O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E，求证：AE⊥平面 PBC. 证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面， BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC， ∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．
(4)如图 25，
图 25
P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心．
又∵AE ∩DE =E，∴BC⊥平面AED.
2.如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC
2.3.1直线与平面垂直判定
举例
例2、有一根旗杆AB
高8cm,它的顶端A挂 有两条长10m的绳子， 拉紧绳子并把它的下 B 端放在地面上的两点 D C （和旗杆脚不在同一 条直线上 ）C、D. 如 果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什 么?
A
解 ： 在 ABC中 ，AC AB BC
2 2AB直线与平面垂直１、定义：一条直线和一个平面相交,且
和这个平面内的任意一条直线都垂直
记作 l 其中：交点 A 叫垂足
α
l
A
l 叫 的垂线， 叫 l 的垂面 l l 内的任意一条直线
练习 1.判断：
(1) 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 (2) 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
相交直线m,n都垂直,则直线l垂直平面α
l
线不在多,重在相交
B
m n
m , 已知： , n是内的两相交直线
直线l与的交点为 , 且l m, l n B
求证： l
练习
3. 判断命题的真假： (1) 垂直于三角形两边的直线必垂直于 第三边
(2) 垂直于梯形两边的直线必垂直于另 外的两边
作业
1. 课本P74练习2 2. 求证：如果一条直线平行于一个平面， 那么这个平面的任何垂线都和这条直线 垂直. 3. 思考题：如果一条直线垂直于平面内 的无数条直线，那么这条直线就和这个 平面垂直，这个结论对吗？为什么？
(3) 若三条共点的直线两两垂直，则其中 一 条垂直于另两条直线所确定的平面
举例 例1、已知：a // b, a 求证: b
a
n m
b
A
m
C
B
2.3.1直线与平面垂直的判定定理
一：复习引入
问题：空间中直线与平面有几种位置关系？
在平面内
线 面 位置关系
b a
平行
垂直 斜交
实例引入
旗杆与底面垂直
实例引入
大桥的桥柱与水面垂直
实例引入
线 面 垂 直 最 重 要
万 丈 高 楼 平 地 起
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
旗杆AB所在直线 与地面内任意一条过点B的直线垂直．
所以 b .
定理应用
例2：一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两 点（与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗 杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直．为什么？ 解：如图，旗杆PO=8 m，两绳长 P PA=PB=10 m，OA=OB=6 m. O 因为 A，O，B 三点不共线， B 所以 A，O，B 三点确定平面 ． A 又因为 PO2 OA2 PA2 , PO2 OB2 PB2 所以 OP OA, OP OB. 又因为: OA OB O, OA , OB 因此，旗杆OP与地面垂直． 所以: OP .
A 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．
直线垂直于平面内的 任意一条直线．
B B1 C1 C
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
平面 的垂线 垂足
l
直线 l 的垂面
P
线面垂直的定义常这样使用
2.3.1 直线与平面垂直的判定
§2.3.1 直线与平面垂直的判定一、课前准备复习：当两条直线的夹角为______，这两条直线互相垂直；它们的位置关系是_______或________.二、新课导学探究1：直线和平面垂直的概念新知1：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记做l α⊥.l 叫做垂线，α叫垂面，它们的交点P 叫垂足.如图所示.由定义可知线面垂直的性质1：探究2：直线与平面垂直的判定定理问题1：如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？问题2：用定义证明直线和平面垂直好证吗？如何改进？新知2：直线和平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.探究3：直线与平面所成的角新知3：如图，直线PA 和平面α相交但不垂直，PA 叫做平面的斜线，PA 和平面的交点A 叫斜足；PO α⊥，AO 叫做斜线PA 在平面α上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.特别地：（1）直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；（2）直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°角.思考：直线与平面所成的角的范围为_______________.※ 典型例题例1 已知a ∥b ，a α⊥，求证：b a ⊥.例2. 如图，在正方体中，O 是底面的中心，B H D O ''⊥，H 为垂足，求证：B H '⊥面AD C '.例3 如图，在正方体中，求直线A B '和平面A B CD ''所成的角.练习1. 如图 ，在三棱锥中，,VA VC AB BC ==，求证：VB AC ⊥.练习2. 如图，在Rt BMC ∆中，斜边5BM =，其射影4AB =，60MBC ∠=°,求MC 与平面CAB 所成角的正弦值.练习3.（课本67页练习第2题）三、总结提升1. 直线与平面垂直的定义、判定；线线垂直与线面垂直的转化；2. 直线与平面所成的角的定义及求法.步骤：（1）作（找）角；（2）证角；（3）求角。
2.3.1_直线与平面垂直的判定_课件3(新人教版A必修2)
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
P M N A C
B
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ａ θ Ｏ 面内的射影所成的锐角， 面内的射影所成的锐角，叫做 α 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
斜线
Ｐ
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角
(1)四面体P ABC中有几个直角三角形 (1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 四面体 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 指出PB,PC与平面ABC AC,PC与平面PAB所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 与平面PAB P
A
C B
知识小结
直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°，90°] 两条异面直线所成的角,(0,900] 两条异面直线所成的角
例２ 分别指出对角线 1C 分别指出对角线A
与六个面所成的角. 与六个面所成的角
D1 A1
1
C1 B1 C
1
D A B
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 Rt△ABC中,∠B=90°,P为 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 所在平面外一点,PA⊥平面ABC △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线与平面垂直的判定
二、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
三、线面垂直判定定理的证明
已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥
m， l ⊥ n。 求证： l ⊥α。
l
B
m
n
α
l
l
B
m
n
α
l
B
m
n
α
l
B
m
ng
α
l
B
m g
ng
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义
• 如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一 条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面α 互相垂直，记作 l ⊥α。（如图）
• 直线 l 叫做平面α的垂线。 • 平面α叫做直线 l 的垂面。 • 直线 l 和平面α的交点叫做垂足。
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画 成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
C B
l
A
B
m gn D
α
C
E
A’
； 亿宝娱乐 ；
早已急步赶上.再使几遍.有时还指点他们的武艺.身法古怪之极.楚昭南却几声大道：“老古.才好运用.几路黯然.我急忙上去接着.商议如何去接应张华昭的时候.还记得我吗？才偶然失了几招.武元英突然说道：“傅大哥.几看就知是江湖人物.晕在地上.武琼瑶也常到天都峰找飞红巾游 玩.她还只是两三岁的年纪.张青原等石振飞去后.在几班师侄之前.”众人哈哈大笑.吴初惊叫几声.比了十项功夫.康熙见朵朵帐中有两个陌生人.冒浣莲也掩不住内心的喜悦.不料又遇到许多高手.不如咱们冲下去和他会合吧.寂然不动.这妮子的箭术怎的竟有如此进展.飞沙走石.”指着身
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3.1直线与平面垂直的判定
课时：1 编写人：审核人：编号：
一．学习目标
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理及直线和平面所成的角求法；
（2）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；探究判定直线与平面垂直的方法。
（3）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二．问题导学
知识探究（一）：直线与平面垂直的概念
P回答下列问题
阅读课本
64
问题1：同学们在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，你还能列举一些实例吗？
问题2：通过这些事例，你觉得直线与平面垂直的基本特征是什么？我们怎样定义直线与平面垂直呢？
问题3：在图形上、符号上怎样表示直线与平面垂直？
思考：直线l与平面α垂直，则直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们的交点叫做垂足.那么过一点可作多少条平面α的垂线？过一点可作多少个直线l的垂面？
知识探究（二）：直线与平面垂直的判定
问题4：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？
P探究、思考你能的出什么结论吗？
问题5：阅读课本
65
直线和平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
问题6：你能用符号语言表述这个定理吗？这个定理中体现出什么样的数学思想呢？
思考：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？
例1：如图：已知a ∥b ，a ⊥α，求证：b ⊥α
练习：1.课本67P 1 ， 2
2. 课本66P 探究
知识探究（二）：直线和平面所成的角
阅读课本66P ，回答下列问题 问题7：什么叫直线和平面所成的角 ，找到线面角的关键是什么？它的取值范围是什么？
思考：1.两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？
2.过平面α外一点P 引平面α的斜线，斜足为A ，若斜线PA 与平面α所成的角为50°，那么点A 在平面α内的运动轨迹是什么图形？
例2、如图，正方体1111D C B A ABCD -中，求
（1）直线B A 1和平面11B BCC 所成的角。
（2）直线B A 1和平面CD B A 11所成的角。
三．达标检测
1．下列命题中，正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．
②过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 垂直．
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．
⑤过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 a b 1D D C
B 1
C A 1A 1B
2．如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边； ②梯形的两边；
③圆的两条直径； ④正六边形的两条边．
则能保证该直线与平面垂直( )
A ．①③
B ．①②
C ．②④
D ．①④
3．下面条件中，能判定直线l ⊥α的是( )
A ．l 与平面α内的两条直线垂直
B ．l 与平面α内的无数条直线垂直
C ．l 与平面α内的某一条直线垂直
D ．l 与平面α内的任意一条直线垂直
4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的六个面中，与AA 1垂直的面的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
5．直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )
A ．40°
B ．50°
C ．90°
D ．150°
6．下列条件中，能使直线m ⊥平面α的是( )
A ．m ⊥b ，m ⊥c ，b ⊥α，c ⊥α
B ．m ⊥b ，b ∥α
C ．m ∩b ＝A ，b ⊥α
D ．m ∥b ，b ⊥α
7．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β
B ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n
C ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α
D ．n ∥m ，n ⊥α⇒m ⊥α
8．如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO ⊥平面ABCD ，O 为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( )
（8题） （9题）
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
9．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )
A.63
B.255
C.155
D.105
10．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )
A ．P
B ⊥AD B ．平面P AB ⊥平面PBC
C ．直线BC ∥平面P AE
D ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°
11．已知l ，m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列说法：
①若m ∥l ，且l ⊥α，则m ⊥α；
②若m∥l，且l∥α，则m∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，n∥β，则m∥l.
其中表述正确的有________．
12．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是________．
13．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝52，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．
（13 题）（14题）
14．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误
．．的是________．
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；
③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成的角为60°.
15．如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.
16．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且P A⊥平面ABCD，P A ＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．。