湖南省衡阳县高一上学期期末考试数学试题 扫描版含答案 (1)
{高中试卷}湖南省衡阳县高一上学期期末质量检测数学试题[仅供参考]
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20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：湖南省衡阳县20XX-20XX学年高一上学期期末质量检测数学试题）（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则()A. A∩B={x|x<0}B. A∪B=RC. A∪B={x|x>1}D. A∩B=⌀【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}={x|x<0}，∴A∩B={x|x<0}，故A 正确，D错误；A∪B={x|x<1}，故B和C都错误．故选：A．先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2.下列四组函数，表示同一函数的是()C. f(x)=2−4，g(x)=√x−2⋅A. f(x)=2，g(x)=xB. f(x)=x，g(x)=x2x3√x+2D. f(x)=x，g(x)=√x3【答案】D【解析】解：A.f(x)=√x2=|x|，g(x)=x，所以两个函数的对应法则不一致，所以A不是同一函数．B.f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，所以定义域不同，x−2≥0，解得x≥2，所以B不是同一函数．C.由x2−4≥0，解得x≥2或x≤−2，由{x+2≥0两个函数的定义域不一致，所以C不是同一函数．D.f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为3=x，所以定义域和对应法则相同，所以D是同一函数．故选：D．分别R，且g(x)=√x3判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递増的函数为()B. y=lnxC. y=x3D. y=x2A. y=1x【答案】C【解析】解：由于y=1在区间(0,+∞)上单调递减，故排除A；由于y=lnx不是奇函数，故x排除B；由于y=x3既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递増，故它满足条件；由于y=x2是偶函数，不是奇函数，故排除D，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．4.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A. 如图是棱台B. 如图是圆台C. 如图是棱锥D. 如图不是棱柱【答案】C【解析】解：对于学习A，不是由棱锥截来的，所以A不是棱台，故A错误；对于学习B，上、下两个面不平行，所以不是圆台；对于学习C，是棱锥．对于学习D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以D是棱柱．故选：C．利用几何体的结构特征进行分析判断．本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握几何体的基本概念和性质．5.函数y=log a(x+2)+1的图象过定点()A. (1,2)B. (2,1)C. (−2,1)D. (−1,1)【答案】D【解析】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y=log a(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象．又∵函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象恒过(1,0)点，由平移向量公式，易得函数y= log a(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象恒过(−1,1)点，故选：D．由对数函数恒过定点(1,0)，再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论．本题考查对数函数的单调性与特殊点，记住结论：函数y=log a(x+m)+n(a>0,a≠1)的图象恒过(1−m,n)点6.经过点(−1,0)，且与直线x+2y−3=0垂直的直线方程是()A. 2x−y+2=0B. 2x+y+2=0C. 2x−y−2=0D. x−2y+1=0【答案】A，∴与之垂直的直线斜率为2，∴所求直线方【解析】解：∵直线x+2y−3=0的斜率为−12程为y−0=2(x+1)，化为一般式可得2x−y+2=0故选：A．由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．7.在四面体P−ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有()个．A. 0个B. 1个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】解：如图，PA ⊥底面ABC ，△ABC 是∠ABC 为直角的直角三角形，则四面体P −ABC 的四个面中，是直角三角形的面最多，有4个．故选：D ．由题意画出图形得答案．本题考查棱锥的结构特征，正确画出图形是关键，是中档题．8. 直线x −√3y +1=0的倾斜角为()A. π3B. π6C. 2π3D. 5π6【答案】B【解析】解：直线x −√3y +1=0的斜率为k =√33，设倾斜角为α，可得tanα=√33，由0≤α<π，且α≠π2，可得α=π6，故选：B ．求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值．本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．9. 函数f(x)=ln(x 2+1)的图象大致是() A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵x 2+1≥1，又y =lnx 在(0,+∞)单调递增，∴y =ln(x 2+1)≥ln1=0，∴函数的图象应在x 轴的上方，又f(0)=ln(0+1)=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A 符合．故选：A ．∵x 2+1≥1，又y =lnx 在(0,+∞)单调递增，∴y =ln(x 2+1)≥ln1=0，函数的图象应在x 轴的上方，在令x 取特殊值，选出答案．对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．10. 已知函数f(x)是R 上的奇函数，且满足f(x +2)=−f(x)，当x ∈(0,1]时，f(x)=2x −1，则方程f(x)=log 7|x −2|解的个数是()A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】解：函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期T=4．作出在同一坐标系中画y=2x−1和y=log7|x−2|图象，从图象不难看出，其交点个数7个，故选：B．根据函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，且满足f(x+2)=−f(x)，求解f(x)的周期T=4，当x∈(0,1]时，f(x)=2x−1，作出图象，f(x)=log7|x−2|解的个数，即为2x−1=log7|x−2|图象的交点个数.数形结合可得答案．本题考查了指数和对数的图象画法和交点个数问题.属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则这个函数解析式为______．【答案】y=x12(x≥0)．这个【解析】解：设f(x)=xα，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，∴2α=√2∴α=12函数解析式为y=x12(x≥0)．故答案为：y=x12(x≥0)．根据幂函数的概念设f(x)=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式．本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AB1与DD1所成的角是______，【答案】45∘【解析】解：∵BB1//DD1，∴∠BB1A是直线AB1与DD1所成的角，∵AB⊥BB1，AB=BB1，∴∠AB1B=45∘，∴直线AB1与DD1所成的角是45∘．故答案为：45∘．由BB1//DD1，得∠BB1A是直线AB1与DD1所成的角，由此能求出直线AB1与DD1所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.已知△ABC的三个顶点A(1,3)，B(3,1)，C(−1,0)，则△ABC的面积为______．【答案】5【解析】解：由A(1,3)，B(3,1)，设AB 的直线方程为y =kx +b ，则{1=3k +b 3=k+b ，解得：k =−1，b =4．AB 的直线方程为x +y −4=0．C(−1,0)到直线AB 的距离ℎ=|−1−4|√2=5√2．AB 的距离d =√(3−1)2+(3−1)2=2√2．则△ABC 的面积S =12×√2×2√2=5．故答案为：5．根据A(1,3)，B(3,1)，求出AB 的直线方程，和AB 的距离，利用点到直线的距离就是AB 为底的高，即可得△ABC 的面积．本题此解法用了点与直线的性质，两点之间的距离公式.属于基础题．14. 已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为______，【答案】12π【解析】解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则正方体的表面积为6a 2=24，得a =2，所以，2R =√3a =2√3，则R =√3，因此，这个球的表面积为4πR 2=12π．故答案为：12π．先由正方体的表面积计算出正方体的棱长a ，然后利用2R =√3a 求出球体的半径R ，最后利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查球体的表面积的计算，解本题的关键在于弄清楚正方体的外接球的半径为棱长之间的关系，考查了计算能力，属于中等题．15. 已知函数f(x)=2x−1，若x ∈[2,6]，则该函数的最大值为______．【答案】2【解析】解：画出函数f(x)的图象，如图示：，∴函数f(x)在[2,6]递减，∴函数f(x)最大值=f(2)=2，故答案为：2．先求出函数的图象，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值．本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，是一道基础题．三、解答题（本大题共6小题，共50.0分）16. 计算下列各式的值(1)(827)−13−(π−1)0+√214(2)log 3√27+lg 25−lg4． 【答案】解：(1)原式=(23)3×(−13)−1+√(32)2=32−1+32=2．(2)原式=log 3332+lg 25×4=32−1=12．【解析】(1)利用指数运算法则即可得出；(2)利用对数的运算法则即可得出．本题考查了指数与对数运算法则，属于基础题．17. 已知直线l 1：x +2y +1=0，l 2：−2x +y +2=0，它们相交于点A ．(1)判断直线l 1和l 2是否垂直？请给出理由；(2)求过点A 且与直线l 3：3x +y +4=0平行的直线方程．【答案】解：(1)直线l 1的斜率k 1=−12，直线l 2的斜率k 2=2，∵k 1k 2=−12×2=−1∴l 1⊥l 2(2)由方程组{−2x +y +2=0x+2y+1=0解得点A 坐标为(35,−45)，直线l 3的斜率为−3，所求直线方程为：y −(−45)=−3(x −35)化为一般式得：3x +y −1=0．【解析】(1)先求出两直线的斜率，发现斜率之积等于−1，故可得两直线垂直．(2)先求出交点A 的坐标，再根据斜率等于直线l 3的斜率，点斜式写出直线的方程，并化为一般式．本题考查判断两直线垂直的方法，当两直线平行时，它们的斜率间的关系；用点斜式求直线方程．18. 已知函数f(x)=x 2−2|x|−3．(1)作出函数f(x)的大致图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[−2,4]上的最大值与最小值．【答案】解：(1)f(x)=x 2−2|x|−3={x 2+2x −3,x <0x 2−2x−3,x≥0．图象如图：由图象知函数的单调减区间是(−∞,−1]，(0,1]．单调增区间是(−1,0]，(1,+∞)；(2)结合图象可知最小值为f(1)=f(−1)=−4，最大值为f(4)=5．【解析】(1)写出分段函数解析式，结合二次函数的图象作图，由图象得函数的单调区间；(2)直接由图象得到函数f(x)在[−2,4]上的最大值与最小值．本题考查了分段函数的图象，考查了由图象判断函数的单调性，并由函数单调性求函数的最值，是基础题．19. 直线l 过点(−1,0)，圆C 的圆心为C(2,0)．(Ⅰ)若圆C 的半径为2，直线l 截圆C 所得的弦长也为2，求直线l 的方程；(Ⅱ)若直线l 的斜率为1，且直线l 与圆C 相切；若圆C 的方程．【答案】解：(Ⅰ)设直线l 的方程为y =k(x +1)，则∵圆C 的半径为2，直线l 截圆C 所得的弦长为2，∴圆心到直线l 的距离为√3，即|3k|√k 2+1=√3，解得k =±√22，即直线l 的方程为y═±√22(x+1)；(Ⅱ)∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y=x+1，∵直线l与圆C相切，∴r=3√1+1=3√22，∴圆C的方程为(x−2)2+y2=92．【解析】(Ⅰ)设直线l的方程为y=k(x+1)，根据圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长为2，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求直线l的方程；(Ⅱ)根据直线l与圆C 相切，利用点到直线的距离公式，可得圆C的半径r，从而可得圆C的方程．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查圆的性质，属于中档题．20.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD垂足为点A，PA=AB=4，点M是PD的中点(1)求证：PB//平面ACM(2)求证：BD⊥平面PAC：(3)求四面体A−MBC的体积．【答案】证明：(1)连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO．∵点O，M分别是BD，PD的中点，∴MO//PB．又PB⊄面ACM，MO⊂面ACM，∴PB//面ACM…(3分)(2)∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC…(6分)(3)∵V A−MBC=V M−ABC=13⋅S△ABC⋅ℎ，且ℎ=12PA，∴V A−MBC=13⋅(12⋅AB⋅AD)⋅(12⋅PA)=23…(9分)【解析】(1)连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO.证明MO//PB，然后证明PB//面ACM．(2)证明PA⊥BD，AC⊥BD，然后证明BD⊥面PAC．(3)通过V A−MBC=V M−ABC=13⋅S△ABC⋅ℎ，然后求解即可．本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的他就的求法，考查计算能力．21.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a，b∈[−1,1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b>0成立．(1)判断f(x)在[−1,1]上的单调性(2)解不等式f(log2(x+√2))≤f(12)(3)若f(x)≤m2−2am+11对所有的a∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)f(x)在[−1,1]上单调递增…(1分)任取x1，x2∈[−1,1]，且x1<x2，则−x2∈[−1,1]．∵f(x)为奇函数，∴f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1)+f(−x2)x1+(−x2)⋅(x1−x2).由已。
湖南省衡阳县高一数学上学期期末统考试题(扫描版)
湖南省衡阳县2016-2017学年高一数学上学期期末统考试题（扫描版）2016年下学期期末质量检测高一数学答案一、选择题1——5、D ACDB 6——10、BCAC B 二、填空题 11、23-12、)3,2( 13、 3 14、332 15、π16 三、解答题(本大题共6小题，共50分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、(本题满分8分)解：(1)}63|{≤<=x x B A ，}63|{)(>≤=x x x B A C R 或 ---------4分(2)∅=C B ，8132≥-≤∴a a 或，即923≥≤a a 或 ),9[]23(-+∞∞∴ ，的取值范围为实数a ---------------------------------8分17、(本题满分8分)解：(1)设所求直线的方程为034=+-c y x ，则它到原点的距离6)3(4||22=-+=c d30±=∴c ，∴所求直线的方程为03034=±-y x ----------------------------4分(2) 设所求直线的方程为0)1157(532=+++-+y x y x λ所求直线平行于直线032=-+y x ，∴2115372-=++-λλ，1=∴λ∴所求直线的方程为04189=-+y x --------------------------------------8分18、 (本题满分8分)解：(1) 若圆的面积最小，则圆是以线段AB 为直径的圆。
则圆心为)4,0(-，半径52||==AB r ，所以所求圆的方程为5)4(22=++y x ---------------------4分 (2)设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=--+--=--+-032)5()2()3()2(222222b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒10212r b a所以所求圆的方程为10)2()1(22=+++y x ---------------------------------8分19、(本题满分8分)解：(1)如图所示:因为102240≤-<x ， 所以127<≤x 。
湖南省衡阳市衡阳县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
2019年下学期期末质量检测试卷高一数学一、选择题1.已知集合{}1,4A =，{}2,3,4B =，则A B =（ ）A. {}4B. {}3C. {}1,4D. {}1,2,3,4【答案】A 【解析】 【分析】由交集定义即可得到结果【详解】根据交集的定义可得{}4A B ⋂=, 故选A【点睛】本题考查集合的列举法表示,考查交集的定义,属于基础题2.函数f(x)1xx-的定义域( ) A. [－1，＋∞) B. (－∞，－1] C. R D. [－1，1)∪(1，＋∞)【答案】D 【解析】由1010x x +=⎧⎨-≠⎩解得11x x ≥-⎧⎨≠⎩，所以定义域为[11)(1)⋃∞－，，＋ ，故选D.3.直线)21y x -=+的倾斜角及在y 轴上的截距分别为（ ）A. 602︒，B. 602︒+，C. 120,2︒+D. 1202︒,【答案】B 【解析】 【分析】由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角，再令0x =，得到直线在y 轴上的截距.【详解】解：)21y x -=+2y ∴=斜率k =tan α=0180α︒︒≤<，60α︒∴=令0x =，则2y ，故直线在y2故选：B【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，截距的理解，属于基础题.4.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC. 若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥ D. 若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A 选项，若//m α，//n α，则,m n 可能平行、相交、或异面；故A 错； B 选项，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可能平行或异面；故B 错； C 选项，若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，如果再满足αβ⊥，才会有则n 与β垂直，所以n与β不一定垂直；故C 错；D 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，由面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，故D 正确. 故选D【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.5.若两条直线210x y --=与()2120x a y +++=平行，则a =（ ） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由两直线平行的条件列式求解a 的值．【详解】解：直线210x y --=与直线2(1)20x a y +++=平行，()2112a ∴+=-⨯，解得2a =-． 故选：A ．【点睛】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是熟记由直线的一般式方程得到直线平行的条件，属于基础题． 6.函数2xy -=的图象为( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由函数过点()0,1,可排除选项A ；由当0x >时，1222xxxy --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，可排除选项,B D ，从而可得结果.【详解】由函数的解析式得，该函数的定义域为R ，当0x =时，021y ==，即函数过点()0,1,可排除选项A ； 当0x >时，1222x xxy --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即函数在()0,∞+的图象是12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+的图象，可排除选项,B D ，故选C.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7.如图所示，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确的是（ ）A. //CD 平面PAFB. PA DE ⊥C. 平面PDF ⊥平面PAFD. CF ⊥平面PAD【答案】D 【解析】 【分析】由已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，且PA ⊥平面ABC ．根据正六边形的几何特征，根据线面平行和线面垂直的判定定理，对四个答案逐一进行判断，即可得到结论． 【详解】解：六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ．则//AF CD ，CD ⊄平面PAF ，AF ⊂平面PAF ，由线面平行的判定定理，可得//CD 平面PAF ，故A 正确；PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ．PA DE ∴⊥，故B 正确；由DF AF ⊥，DF PA ⊥，AFPA A =，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，由线面垂直的判定定理可得DF ⊥平面PAF ，又DF ⊂平面PDF ，所以平面PDF ⊥平面PAF ，故C 正确；CF 与AD 不垂直，故D 中，CF ⊥平面PAD 不正确；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是正六边形的几何特征，线面平行和线面垂直的判定，其中要判断线面平行关键是要在平面内找到一条直线与已知直线平行；要判断线面垂直关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．8.已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f （2x ﹣1）＜f （5）的x 的取值范围是（ ） A. （﹣2，3） B. （﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） C. [﹣2，3] D. （﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，建立不等式215x ->，进一步求解绝对值不等式，即可得到答案．【详解】已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，则()(21)5f x f ->， 整理得215x ->，解得3x >或2x <-，故不等式的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，故选B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的应用，其中利用函数的奇偶性与单调性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．9.如图是某个几何体的三视图，根据图中数据（单位：cm ）求得该几何体的表面积是（）A. 29944cm π⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 227944cm π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 29942cm π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 29942cm π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体,利用表面积公式计算即可得到答案.【详解】由三视图可以看出，该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个半径为3的八分之一的球体.则几何体的表面积为()221192121520433394.844πππ+++⨯⨯-⨯⨯=-故选A.【点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.10.已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A. 1 B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案.【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题. 二、填空题11.已知幂函数f (x )=x a 的图象过点(4,2),则a =_______ 【答案】12【解析】 【分析】直接把点的坐标代入幂函数的解析式即得解. 【详解】由题得2242,aa==所以12a =. 故答案为12【点睛】本题主要考查幂函数的解析式中参数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.12.不等式()2log 1020x -≥的解集为__________. 【答案】9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据对数函数的单调性得到1021x -≥，解得. 【详解】解：()2log 1020x -≥且函数2log y x=()0,∞+上单调递增，2log 10=；1021x ∴-≥解得92x ≤即9,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦故答案为：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.13.一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120︒的扇形，则该圆锥的体积为________.【答案】3. 【解析】 【分析】先求圆锥底面圆的半径，再由直角三角形求得圆锥的高，代入公式计算圆锥的体积即可。
湖南省衡阳县高一上学期期末考试数学试题
高一数学参考答案一、选择题二、填空题11、30° 12、4x-2y-5=0 13、2166a 14、72. 15、（2，3）三、解答题16、(本题满分8分)【解析】(1)因为C R B={x|x ≤2或x ≥9},所以(C R B)∪A={x|x ≤2或3≤x<6或x ≥9}.----- 3分 (2)因为C ⊆B,如图所示:所以⎩⎨⎧≤+≥912a a 错误！未找到引用源。
解得2≤a≤8,所以所求集合为{a|2≤a≤8}.---------------------------------8分17、(本题满分8分)【解析】(1)联立两直线方程解得则两直线的交点为P(-2,2).因为直线x-2y-1=0的斜率为k 1=,直线l 垂直于直线x-2y-1=0,那么所求直线的斜率k=-2,所求直线方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0.--------------------------4分(2)对于方程2x+y+2=0,令y=0,则x=-1,则直线与x 轴的交点坐标为A(-1,0).令x=0,则y=-2,则直线与y 轴交点坐标为B(0,-2),直线l 与两坐标轴围成的三角形为直角三角形,其面积S=|OA||OB|=×1×2=1.------------- -------------------------------------------8分18、(本题满分8分)【解析】(1)圆C:x2+y2+4x-2y+m=0,可化为(x+2)2+(y-1)2=5-m,因为圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-y+-2=0相切,所以圆心到直线的距离d==2=r,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=4.-------4分(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,则设方程为2x-y+c=0,因为|MN|=2,所以圆心到直线的距离d==1,所以=1,所以c=5±,所以直线MN的方程为2x-y+5±=0.---------------------------------------------------8分19、(本题满分8分)【解析】(1)当0≤x≤2时,f(x) =1+=1,当-2<x<0时,f(x)=1+=1-x.所以f(x)=----------------------------- ----3分(2)函数f(x)的图象如图所示:---------------------6分(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).-----------------------------8分20、(本题满分9分)【解析】(1)因为PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,所以DC⊥平面PAC.---------3分(2)因为AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.---------------------------------- -----------------------------6分(3)取PB中点F.连接CE,EF,CF.因为E为AB中点,所以PA∥EF.又因为PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,所以PA∥平面CEF.因此,当F为PB中点时,PA∥平面CEF.---------------------- -----9分21、（本小题9分）【解析】(1)令x=y=1,则可得f(1)=0,再令x=2,y=,得f(1)=f(2)+f,故f=-1.---2分(2)y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,证明如下:设0<x1<x2,则f(x1)+f=f(x2),即f(x2)-f(x1)=f,因为>1,故f>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.------------5分(3)由f(2x)>f(8x-6)-1及f=-1得f(2x)>f(8x-6)+f=f=f(4x-3),又f(x)为定义域上的单调增函数,故2x>4x-3>0,解得<x<,所以不等式的解集为.-----------------------------------------------9分。
2022-2023学年湖南省衡阳市衡阳县五中高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析
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π 2
的图像向左平移
π 6
个单位长度后是奇函数，则
f
(x)
在
0,
π 2
上的最小值是（
）
A. 1
B. 3
2
2
C. 1 2
D. 3 2
8．已知全集U＝ x 0 x 5, x Z ，集合 A＝{1，2} ， B＝{2，3}，则 U A B＝（ ）
A.{1，3，4}
B.{3，4}
C.3
2
（2）判断集合 A 与集合 B 的关系并说明理由.
19．已函数
.
（1）求 f(x)的最小正周期；
（2）求 f(x)的单调递增区间.
20．计算：
（1）
8 27
2
3
2e0
lg
22
lg
52
log3
4
log4
9；
（2）若 xlog3 2 1，求 2x 2x 的值
21．已知直线 l： x m(m 2) 与 x 轴交于 A 点，动圆 M 与直线 l 相切，并且和圆 O： x2 y2 4 相外切
（Ⅰ）若 AB 的长等于 8 5 ，求直线 l 的方程； 5
（Ⅱ）是否存在常数 k，使得 OE∥PQ？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由
湖南省衡阳县高级中学2018-2019学年高一数学上学期期末考试含答案
衡阳市高中2018-2019学年上学期高一期末考试数学试题考试范围：集合、平面向量、函数及其性质、三角函数与三角恒等变换 考生注意：本试卷满分为100分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则)(B A C U ⋃=（ ） A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}2.已知(3,)a x =，(1,1)b =-，若a b ⊥，则实数x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．3-3.如图1，边长为2的正方形ABCD 中，P,Q 分别是边BC,CD若AC xAP yBQ =+,则x =（ ） A ．2 B ．83 C ．65 D ．12254.函数3()2f x ax bx a b =++-是奇函数，且其定义域为[34,]a a -，则()f a =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．15.已知212sin 2cos 1=+αα，则=αtan （ ）A ．2B ．3C ．21D ．316.在函数||sin x y =,)32sin(π+=x y ,)322cos(π+=x y ,|2cos 2sin |22x x y -=中，最小正周期为π的函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.设tan α，tan β是方程2320x x -+=的两根，则tan()αβ+的值为（ ） A.3 B.1- C.1 D.3-8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(00)A ωϕπ>><<，，0的部分图象如图2所示，且()f x 为偶函数，△KLM 为等腰直角三角形，KLM ∠＝90°，1KL =，则1()3f 的值为( ) A ．14 B ．14- C D.9.若点O 在ABC ∆所在平面内，给出如下条件： ①0OA OB OC ++=； ②OA OB OB OC OC OA ==；图2③()()0||||||||AC AB BC BAOA OB AC AB BC BA -=-=； ④()()0OA OB AB OB OC BC +=+=，则点O 依次为ABC ∆的（ ）A ．内心、外心、重心、垂心B ．外心、内心、垂心、重心C ．重心、外心、内心、垂心D ．重心、垂心、内心、外心10.当102x <≤时，4log x ax <，则a 的取值范围为（ ）A.(0,)2B.(2C. D.11.已知向量a 为单位向量，=3)a b +（，4，则|1|a b +的最大值为（ ）A. 3B.4C. 5D.612. 定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x +<+，且函数()1y f x =+的图象关于点（-1,0）成中心对称，若当14s ≤≤时,,s t 满足不等式()()2s f f t f s ⎛⎫-≥≥ ⎪⎝⎭，则t s s t -+的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．[]3,0-二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.函数n()24x y ta π=+，(0,]6x π∈的值域是 ；14.已知向量(2,6)a =，(1,)b λ=-，若a b ，则λ= ；15.已知函数sin1(0)()2log (0)a x x f x x x π⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰好有4对，则实数a = .16.不超过实数x 的最大整数称为x 整数部分，记作[]x .已知()cos([])f x x x =-，给出下列结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 是周期函数，且最小正周期为π； ③()f x 的单调递减区间为[,1)()k k k Z +∈； ④()f x 的值域为cos1,1]（.其中正确命题的序号是 （填上所以正确答案的序号）；三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分8分）已知全集U R =，集合{-13}A x =≤<，{|224}B x x x =+≥+，（1）求A B ⋂；（2）若{|20}C x x a =->，且B C B ⋃=,求实数a 的取值范围.18.（本题满分8分）函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像（如图3）与y 轴的交点为（0，1），它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +-（1）求()f x 的解析式； （2）求0x 的值； （3）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ的值.19.（本题满分9分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值； （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．20. （本题满分9分）已知,,A B C 三点的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，(cos ,sin )C αα，图3其中3(,)22ππα∈．（1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC =-，求tan()4πα+的值．21.（本题满分9分）已知非零向量a ，b 满足(2)a b b -⊥， 集合2{|(||||)||||0}A x x a b x a b =+++=中有且仅有唯一一个元素. （1）求向量a ，b 的夹角θ；（2）若关于t 的不等式||||a tb a mb -<-的解集为空集，求实数m 的值.22.（本题满分9分）已知函数+1()log (0-1a mx f x a x =>且1)a ≠是奇函数， （1）求实数m 的值； （2）若12a =，并且对区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2xf x t >+恒成立，求实数t 的取值范围.（3）当(,2)x r a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与r 的值；数学试题考试范围：集合、平面向量、函数及其性质、三角函数与三角恒等变换 考生注意：本试卷满分为100分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B ð=（ A ）A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}2.已知(3,)a x =，(1,1)b =-，若a b ⊥，则实数x 的值为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．3-3.如图1，边长为2的正方形ABCD 中，P,Q 分别是边BC,CD 若AC xAP yBQ =+,则x =（ C ） A ．2 B ．83 C ．65 D ．12254.函数3()2f x ax bx a b =++-是奇函数，且其定义域为[34,]a a -，则()f a =（ B ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．15.已知212sin 2cos 1=+αα，则=αtan （ A ）A ．2B ．3C ．21D ．316.在函数2222sin sin cos sin cos 3322x xy x y x y x y p p ==+=+=-、（)、（2)、中，最小正周期为p 的函数的个数为（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．47.设tan α，tan β是方程2320x x -+=的两根，则tan()αβ+的值为（ D ） A.3 B.1- C.1 D.3-8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(00)A ωϕπ>><<，，0的部分图象如图2所示，且()f x 为偶函数，△KLM 为等腰直角三角形，KLM ∠＝90°，1KL =，则1()3f 的值为(A) A ．14 B ．14- C ．4 D.4-图29.若点O 在ABC ∆所在平面内，给出如下条件： ①0OA OB OC ++=； ②OA OB OB OC OC OA ==；③()()0||||||||AC AB BC BAOA OB AC AB BC BA -=-=； ④()()0OA OB AB OB OC BC +=+=，则点O 依次为ABC ∆的（ D ）B ．内心、外心、重心、垂心 B ．外心、内心、垂心、重心C ．重心、外心、内心、垂心D ．重心、垂心、内心、外心10.当102x <≤时，4log x ax <，则a 的取值范围为（ B ）A. B. C. D.11.已知向量a 为单位向量，=3)a b +（，4，则|1|a b +的最大值为（ C ）A. 3B.4C. 5D.613. 定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x +<+，且函数()1y f x =+的图象关于点（-1,0）成中心对称，若当14s ≤≤时,,s t 满足不等式()()2s f f t f s ⎛⎫-≥≥ ⎪⎝⎭，则t s s t -+的取值范围是（ D ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．[]3,0-二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.函数n()24x y ta π=+，(0,]6x π∈的值域是 ；14.已知向量(2,6)a =，(1,)b λ=-，若a b ，则λ= 3- ；15.已知函数sin 1(0)()2log (0)a x x f x x x π⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰好有4对，则实数a = 13.16.不超过实数x 的最大整数称为x 整数部分，记作[]x .已知()cos([])f x x x =-，给出下列结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 是周期函数，且最小正周期为π； ③()f x 的单调递减区间为[,1)()k k k Z +∈； ④()f x 的值域为cos1,1]（.其中正确命题的序号是 ③④ （填上所以正确答案的序号）；三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分8分）已知全集U R =，集合{-13}A x =≤<，{|224}B x x x =+≥+，（1）求A B ⋂；（2）若{|20}C x x a =->，且B C B ⋃=,求实数a 的取值范围. 【解析】（1）{|2}B x x =≥，{x |2x 3}A B ⋂=≤<； （2）{|}2aC x x =>，因为B C B ⋃=，C B ⊆，所以22a≥，即4a ≥； 18.（本题满分8分）函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像（如图3）与y 轴的交点为（0，1），它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +-（3）求()f x 的解析式； （4）求0x 的值；（3）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ的值. 【解析】（1）由题意可得2π2,2π,=4π,4π2T A T ω===即12ω=，………………1()2sin(),(0)2sin 1,2f x x f ϕϕ=+==由||ϕ＜π2,π.6ϕ∴=1π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………………………………………………（2）001π()2sin()2,26f x x =+=所以001ππ2π2π+,4π+(),2623x k x k k +==∈Z又 0x 是最小的正数，02π;3x ∴=……………………………………………… （3）π1(0,),cos ,sin23θθθ∈=∴=27cos 22cos 1,sin 22sin cos 9θθθθθ∴=-=-==…………………………π77(4)2sin(2)2cos 2699f θθθθ=+=+=-=-．……………19.（本题满分9分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值； （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．图3【解析】（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 21. （本题满分9分）已知,,A B C 三点的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，(cos ,sin )C αα，其中3(,)22ππα∈．（1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC =-，求tan()4πα+的值．【解析】（1）∵(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-，∴||(cos AC ||10BC = 由||||AC BC =得sin cos αα=．又3(,)22ππα∈，∴54απ=．（2）由1AC BC =-，得(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴sin()04πα+=>．又由322ππα<<，∴344ππαπ<+<，∴cos()4πα+=．故tan()4πα+=21.（本题满分9分）已知非零向量a ，b 满足(2)a b b -⊥， 集合2{|(||||)||||0}A x x a b x a b =+++=中有且仅有唯一一个元素. （1）求向量a ，b 的夹角θ；（2）若关于t 的不等式||||a tb a mb -<-的解集为空集，求实数m 的值. 【解析】（1）方程2(||||)||||0x a b x a b +++=有且仅有唯一一个实根，0∆=，||||a b =，060θ=（2）214()0m m ∆=--+≤，12m =22.（本题满分9分）已知函数+1()log (0-1a mx f x a x =>且1)a ≠是奇函数， （1）求实数m 的值； （2）若12a =，并且对区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2xf x t >+恒成立，求实数t 的取值范围.（3）当(,2)x r a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与r 的值；【解析】（1）1m =-（舍去）或1m =；（2）1()()2x f x t >+等价于1()()2x f x t ->，令1()()()2xg x f x =-，则()g x 在区间[3,4]上递增，min 9()(3)8g x g ==-。
2019-2020学年湖南省衡阳县创新实验班高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省衡阳县创新实验班高一上学期期末数学试题一、单选题1．如果指数函数的图象经过点2⎛ ⎝⎭，则(4)f 的值等于（ ） A ．12B ．2C ．116D ．16【答案】A【解析】由题意可设(),0xf x a a =>且0a ≠，又指数函数的图象经过点2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得22a =，再运算(4)f 即可. 【详解】解：由题意可设(),0xf x a a =>且0a ≠，又指数函数的图象经过点⎛ ⎝⎭，则2(2)f a ==，则 42221(4)()(22f a a ====， 故选：A. 【点睛】本题考查了指数函数的概念，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.2．2003年至2015年河北省电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A ．()ln f x a x b =+B ．C ．()ax bf x e +=D ．2()f x ax bx c =++【答案】A【解析】试题分析：由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x 的增大，f （x ）逐渐增大，图象逐渐上升．对于A ．a ＞0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a ＜0时，为单调递减函数，不符合图象的特征对于B ．取a ＞0，b ＞0，可得满足条件的函数； 对于C ．取a ＞0，b ＞0，可得满足条件的函数；对于D ．f （x ）=ax2+bx+c ，取a ＞0，−b2a ＜0，可得满足条件的函数； 【考点】函数解析式的求解及常用方法3．已知点(),1,2A x 和点()2,3,4B ，且26AB =，则实数x 的值是（ ） A ．3-或4 B ．6-或2 C ．3或4- D ．6或2-【答案】D【解析】【分析】试题分析：由题意得，222(2)(13)(24)26AB x =-+-+-=解得6x =或2-，故选D ． 【考点】向量的模的计算． 【点睛】请在此输入点睛！ 【详解】请在此输入详解！4．已知,m n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下面四个命题：①若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n ；②若,,//,//m n m n αββ⊂，则//αβ；③若,m n 是两条异面直线，//,//,//,//m m n n αβαβ，则//αβ；④若,//m n αα⊥，则m n ⊥.其中正确的序号为（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．②③④【答案】C【解析】解：对于①,若α∥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ∥n 或异面，故错； 对于②,若m ,n ⊂α,m ∥β,n ∥β且m 、n 相交,则α∥β，故错；对于③,若m ,n 是两条异面直线,若m ∥α,n ∥α,在平面α内一定存在两条平行m 、n 的相交直线,由面面平行的判定可知α∥β，故正确；对于④，如果m ⊥α，m 垂直平面α内及与α平行的直线，故m ⊥n ，故正确； 本题选择C 选项. 5．函数221()2x xy -+=的值域是（ ）A ．RB ．1[,)2+∞ C ．(2,)+∞ D ．(0,)+∞ 【答案】B【解析】试题分析：令22t x x =-+，则1()2ty =，而222(1)11t x x x =-+=--+≤，所以11()22ty =≥.故选B. 【考点】函数的性质.【方法点睛】求函数值域的常用方法有：基本函数法、配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等，无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域；求函数的定义域就是使函数的表达式有意义得自变量的取值集合，可根据函数解析式有意义列出不等式（组）解之即得函数定义域.本题是求复合函数的值域，先通过换元将函数转化为指数函数，再根据单调性求解.属于基础题.6．直线20mx y m --+=过定点A ，若直线l 过点A 且与220x y +-=平行，则直线l 的方程为（ ） A ．240x y +-= B ．240x y ++= C ．230x y -+= D ．230x y --=【答案】A【解析】根据直线方程可求得定点()1,2A ；根据直线平行求得直线l 斜率；利用点斜式方程求得l 的方程，整理可得一般式方程. 【详解】由20mx y m --+=得：()21y m x -=- ∴直线20mx y m --+=过定点()1,2A又直线220x y +-=的斜率2k =-且与直线l 平行 ∴直线l 斜率为2-∴直线l 的方程为：()221y x -=--，即：240x y +-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查直线方程的求解，关键是能够根据平行关系得到斜率，利用直线一般式方程求得定点.7．已知函数()()21721x 1xa x a x f x a ⎧-+-<=⎨≥⎩，（），（）在-,∞+∞（）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由函数单调性的定义，若函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当1x =时，12()()f x f x ≥，求解即可． 【详解】若函数()()21721x 1xa x a x f x a ⎧-+-<=⎨≥⎩，（），（）在(,)-∞+∞上单调递减，则21001(21)172a a a a a-<⎧⎪<<⎨⎪-⨯+-≥⎩，解得3182a ≤<.故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证y 随x 的增大而减小，故解答本题的关键是1()f x 的最小值大于等于2()f x 的最大值．8．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( ) A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或1k ≤- C ．344k -≤≤ D ．344k ≤≤ 【答案】A【解析】画出,,A B P 三点的图像，根据,PA PB 的斜率，求得直线l 斜率k 的取值范围. 【详解】如图所示，过点P 作直线PC x ⊥轴交线段AB 于点C ，作由直线,PA PB ①直线l 与线段AB 的交点在线段AC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率k 的范围是PA k k ≤.②直线l 与线段AB 的交点在线段BC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率k 的范围是PB k k ≥.因为31421PA k --==--，213314PB k --==--，所以直线l 的斜率k 满足34k ≥或4k ≤-. 故选:A.【点睛】本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.9．集合{}{}2(,)|4,(,)|0M x y y xN x y x y m ==-=-+=，若M N ⋂的子集恰有4个，则m 的取值范围是（ ） A ．(﹣2, 2) B ．[﹣2，22C ．(﹣22﹣2]D ．[2，2）【答案】D 【解析】【详解】由题意知，集合M 中的点在以原点为圆心，2为半径的圆的x 轴上方的半圆上，集合N 是与直线y x =平行的一组直线，若M N ⋂有4个子集，则M N ⋂有两个元素， 所以半圆与直线有两个公共点，由图形知 由m 22=得m 22=，过(-2,0)点，则20m 0--+=得m 2=,m 的取值范围是[2，22）,故选D.10．在三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长为3的正三角形，侧棱SA ⊥底面ABC ，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（ ） A ．92 B 272C 92D ．272【答案】C【解析】如图，设外接球的球心为O ，过A 作AE BC ⊥，交BC 于E ，过球心O 作OD ⊥平面ABC 于D ，则D AE ∈，且D 是ABC △的重心，求出AD ，再求出OD ，最后求出SA ，最后得，三棱锥的体积13ABC V SA S ∆=⨯⨯. 【详解】如图，设外接球的球心为O .∵在三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱SA ⊥底面ABC ，三棱锥的外接球的体积为36π，∴三棱锥的外接球的半径3R OS ==.过A 作AE BC ⊥，交BC 于E ，过球心O 作OD ⊥平面ABC 于D ，则D AE ∈，且D 是ABC △的重心，2222333AD AE AB BE ∴==-=226OD OA AD ∴=-=∵O 到SA 的距离为3AD =2226SA OD OS AD ∴=+-=，∴该三棱锥的体积111922633sin 603322ABC V SA S ︒∆⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.【点睛】本题考查已知外接球体积，求三棱锥体积的问题，属于中档题，解题关键在于构造与外接球半径的相关的直角三角形，进而利用勾股定理求解11．若区间[]12,x x 的长度定义为21x x -，函数22()1()m m x f x m x+-=(,0)m R m ∈≠的定义域和值域都是[],a b ()b a >，则区间[],a b 的最大长度为( )A ．233B 3C 3D ．3【答案】A【解析】()()221m m x f x m x+-=2111m m x=+- 为单调递增，所以,a b 为方程2111x m m x+-= 两个不等的实根，即222()10m x m m x -++= ，22222()4234314231()3333m m m b a m m m +-∴-==+-=--≤=，选A点睛：二次函数零点与二次方程根相互转化，二次函数最值问题往往根据对称轴与定义区间位置进行讨论解决，配方法实际是确定对称轴.二、填空题 12．计算：031log 27lg 4lg 258⎛⎫++-= ⎪⎝⎭__________．【答案】92【解析】()03233139log 27lg4lg25log 3lg 425121822⎛⎫+++-=+⨯+=++= ⎪⎝⎭.故答案为92. 点睛：（1）任何非零实数的零次幂等于1；（2）当M 0,N 0>>，则()log log N log ,log log N log a a a a a aM M MN M N+=-=； （3）log na M n =.13．若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________． 【答案】32-【解析】由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果. 【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=，解得：32m =-，此时两直线方程分别为：1x y -=，338022x y --=， 两直线不重合，据此可知：32m =-.【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．如图，正四面体ABCD 的顶点C 在平面α内，且直线BC 与平面α所成角为15o ，顶点B 在平面α上的射影为点O ，当顶点A 与点O 的距离最大时，直线CD 与平面α所成角的正弦值为__________.【答案】66【解析】当四边形ABOC 为平面四边形时，点A 到点O 的距离最大．此时平面ABOC ⊥平面α，过D 作DN ⊥平面ABOC ，垂足为N ， 则N 为正三角形ABC 的中心．设正四面体的边长为1,则233CN CP ==，∵∠BCO =15°,∠BCP =30°,∴∠OCN =45°， ∴N 到平面α的距离326326d ==. 过D 作DM ⊥平面α,垂足为M ,则66DM d ==， ∴直线CD 与平面α所成角的正弦值为66DM CD =. 15．定义全集U 的子集A 的特征函数()1,0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U中的补集，那么对于集合A 、B U ⊆，下列所有正确说法的序号是______. （1）()()A B A B f x f x ⊆⇒≤ （2）()()1U A A f x f x =-ð （3）()()()A B A B f x f x f x =+U （4）()()()A B A B f x f x f x =⋅I 【答案】（1）（2）（4）【解析】利用特征函数的定义知：（1）由A B ⊆，对x 与A 、B 关系分类讨论，可得（1）正确；利用特征函数的定义可判断（2）的正误；取特殊值情况A B ⋂≠∅，利用定义可判断（3）的正误；利用集合运算与函数运算可判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】（1）A B ⊆Q ，分类讨论：①当x A ∈，则x B ∈，此时()()1A B f x f x ==；②当x A ∉，且x B ∉，即U x C B ∈，此时()()0A B f x f x ==；③当x A ∉，且x B ∈，即()U x C A B ∈I 时，()0A f x =，()1B f x =，此时()()A B f x f x ≤.综合有()()A B f x f x ≤，故（1）正确； （2）()()1,10,U U A A x Af x f x x A ∈⎧==-⎨∈⎩ðð，故（2）正确；（3）假设A B ⋂≠∅，任取x A B ∈I ，则x A B ∈U ，则()1A B f x =U ，但()()2A B f x f x +=，则()()()A B A B f x f x f x ≠+U ，故（3）不正确；（4）()()()1,1,1,1,0,0,0,0,A B U U U U U x A Bx A B x A x Bf x x A B x A B x A x B ⋂∈⋂∈⋂∈∈⎧⎧⎧⎧⎪===⋅⎨⎨⎨⎨∈⋃∈⋂∈∈⎪⎩⎩⎩⎩痧ð痧 ()()A B f x f x =⋅，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）. 【点睛】本题考查子集与交集、并集运算的转换及应用，解题时要认真审题，注意特征函数的定义的灵活运用．三、解答题16．已知函数()1ln 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为M . （1）求M ；（2）当x M ∈时，求()122421x x g x ++=-+的值域.【答案】（1）(]1?2M =-，;（2）[]1? 1?7-，. 【解析】（1）由已知可得20323{{11303x xx xx -≥-<≤+⇒>-->，∴12x -<≤，所以(]12M =-，. （2）()()12222421224212211x x x x x g x ++=-+=⋅-⋅+=--，∵12x -<≤，∴1242x <≤，所以当21x =，即0x =时，()min 1g x =-，当24x =，即2x =时，()max 17g x =，所以()g x 的值域为[]117-，. 17．为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE 内修建一个矩形PQRD 的草坪，其中90AED EDC DCB ∠=∠=∠=o ；点Q 在AB 上，且//PQ CD ，QR CD ⊥，经测量70BC m =，80CD m =，100DE m =，60AE m =.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到21m ）.【答案】点Q 到AE 的距离为5m 时，才能使草坪的占地面积最大，最大值为2max 6017m S ≈.【解析】如图，先以BC 边所在直线为x 轴，以AE 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求得直线AB 的方程，再设出Q 坐标，由矩形面积公式建立模型，然后利用二次函数的基本性质求其最值． 【详解】如图，以BC 边所在直线为x 轴，以AE 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,20A ，()30,0B .所以直线AB 的方程为：13020x y +=，即2203y x =-，设2,203x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则矩形PQRD 的面积为()()210080200303x S x x ⎡⎤⎛⎫=---≤≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 化简，得()2220600003033S x x x =-++≤≤， 配方，()()22505600003033S x x =--++≤≤， 易得当5x =，503y =时，S 最大，其最大值为2max 6017m S ≈.【点睛】本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积公式，二次函数法求最值，以及数形结合的思想． 18．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0． (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON(O 为坐标原点)，求m ；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．【答案】（1）m<5；（2）85m =；（3）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【详解】（1）由22240x y x y m +--+=，得：2? 4? D E F m =-=-=，，，2242040D E F m +-=->，5m <；（2）由题意22240{240x y x y x y m +-=+--+=， 把42x y =-代入22240x y x y m +--+=，得251680y y m -++=，12165y y +=，1285m y y +=， ∵OM ON ⊥得出：12120x x y y +=， ∴()121258160y y y y -++=， ∴85m =； （3）圆心为() a b ，，121248 2525x x y y a b ++====，，半径r =， 圆的方程224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【考点】直线与圆的位置关系.19．如图,已知三棱柱ABC A B C -'''的侧棱垂直于底面,,AB AC =90BAC ∠=︒,点M N 、分别是A B '和B C ''的中点.(1)证明：MN ∥平面AAC C ''；(2)设AB AA λ=',当λ为何值时,CN ⊥平面A MN ',试证明你的结论. 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）时，【解析】【详解】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化. 试题解析：（Ⅰ）取得中点,连接,因为分别为A B '和B C ''的中点，所以又因为,,所以,, 5分所以,因为MN ⊂平面MNE , 所以； 6分（Ⅱ）连接,设，则， 由题意知因为三棱柱ABC A B C '''-侧棱垂直于底面, 所以,因为,点N 是B C ''的中点，所以A N BB C C ''⊥'平面, , 9分要使，只需即可，所以,即，则时，. 12分【考点】证明线面平行及寻求线面垂直20．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m 、n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<. （1）判断()f x 的单调性； （2）设()()()(){}22,1A x y f x f y f =>，()({},21,B x y f ax y x R =-=∈，若A B =∅I ，试确定a 的取值范围.【答案】（1）减函数，证明见解析；（2）[]1,1-.【解析】（1）先令0m =，0n >，求出()01f =，再令0m n +=得出()()1f m f m -=，进而得出当0x <时，()1f x >，由此得出对任意的x ∈R ，()0f x >，然后任取12x x >，利用单调性的定义结合等式()()1f m f m -=即可证明出函数()y f x =在R 上的单调性；（2）由题意可知，集合A 表示一个以原点为圆心、半径等于1的圆面（不包含边界），集合B 表示一条过点(2的直线．根据圆和直线相切或相离，可得出关于实数a 的不等式，解出即可. 【详解】（1）先令0m =，0n >，则()()0,1f n ∈，由题意得()()()0f n f f n =⋅，()01f ∴=， 令0m n +=，则n m =-，()()()01f m f m f ∴⋅-==，()()1f m f m ∴-=， 设0x <，则0x ->，则()()0,1f x -∈，所以()()11f x f x =>-.由上可知，对任意的x ∈R ，()0f x >.任取1x 、2x R ∈且12x x >，则120x x ->，此时()1201f x x <-<，()()()()()1121221f x f x x f x f x f x ∴-=⋅-=<，则()()12f x f x <，因此，函数()y f x =在R 上为减函数； （2）()()()(){}()()(){}(){}222222,1,1,1A x y f x f y f x y f xy f x y xy =>=+>=+>表示一个以原点为圆心、半径等于1的圆面（不包含边界），()(){}()()(){},21,,20,B x y f ax y x R x y f ax y f x R =-+=∈=-+=∈(){},20x y ax y =-+=表示一条过点()0,2的直线.A B =∅Q I ，则圆和直线相切或相离，故有2211a ≥+，整理得21a ≤，解得11a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]1,1-. 【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断和证明，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．21．已知函数9()log (91)()xf x kx k R =++∈是偶函数（1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图象与直线12y x b =+没有交点，求b 的取值范围； （3）设94()log (3)3xh x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围 【答案】（1）12-（2）(,0]-∞（3）【解析】【详解】试题分析：（1）因为函数9()log (91)()x f x kx k R =++∈是偶函数，所以根据偶函数的定义，得到一个关于x,k 的等式.由于对于任意的x 都成立，相当于恒过定点的问题，所以求得k 的值. （2）因为函数()y f x =的图象与直线12y x b =+没有交点，所以对应的方程没有解，利用分离变量的思维可得到一个等式9log (91)xx b +-=，该方程无解.所以等价两个函数9()log (91)xg x x =+-与y b =没有交点，所以求出函数()g x 的最值.即可得到b的取值范围.(3)因为94()log (3)3xh x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，所以等价于方程143333x x x a a +=⋅-有且只有一个实数根.通过换元30x t =>将原方程化为含参的二次方程的形式，即等价于该二次方程仅有一个大于零的实根，通过讨论即可得到结论.试题解析：（1）因为()y f x =为偶函数，所以()()f x f x -=， 即99log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对于任意x 恒成立. 于是9999912log (91)log (91)log log (91)9xxxx x kx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以12k =-. （2）由题意知方程911log (91)22xx x b +-=+即方程9log (91)x x b +-=无解. 令9()log (91)xg x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点.因为99911()log log (1)99x x xg x +==+，由1119x +>，则91()log (1)09x g x =+>， 所以b 的取值范围是(,0]-∞.（3）由题意知方程143333x x x a a +=⋅-有且只有一个实数根．令30x t =>，则关于t 的方程24(1)103a t at ---=(记为())有且只有一个正根. 若1a =，则34t =-，不合题意, 舍去； 若1a ≠，则方程()的两根异号或有两相等正根. 由或3-；但3142a t =⇒=-，不合题意，舍去；而132a t =-⇒=；若方程()的两根异号(1)(1)01a a ⇔-⋅-⇔ 综上所述，实数a 的取值范围是{}3(1,)-⋃+∞．【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的与方程的思想的转化.3.换元法的应用.4.含参数的方程的根的讨论.。
湖南省衡阳市衡阳县高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{y∈z|0＜y≤4}的子集个数是（）A．64 B．32 C．16 D．82．直线的倾斜角是（）A．30° B．120°C．135°D．150°3．与函数y=的定义域相同的函数是（）A．y=B．y=2x﹣1C．y=D．y=ln（x﹣1）4．下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=B．y=|x| C．y=x2+2 D．y=﹣2x+55．直线l1：x+（a+5）y﹣6=0与直线l2：（a﹣3）x+y+7=0互相垂直，则a等于（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．6．已知f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．若a=（）2，b=2，c=log2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b8．已知函数f（x）=log x，x∈，则f（x）的值域是（）A． B． C． D．9．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于（）A．3 B．C．2 D．410．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（）A．4 B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把正确的答案填在横线上．11．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•12．过点（1，3）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是．13．已知函数f（x）=的值为．14．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′，直线D′A与DB所成的角为．15．若对于任意的x∈，不等式≥1恒成立，则实数a的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|4≤x＜8，x∈R}，B={x|6＜x＜9，x∈R}，C={x|x＞a，x∈R}．（1）求A∪B；（2）（∁U A）∩B；（3）若A∩C=∅，求a的取值范围．17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（1，﹣2），C（﹣3，4），求（1）BC边上的中线AD所在的直线方程；（2）△ABC的面积．18．已知圆C：（x﹣1）2+y2=4（1）求过点P（3，3）且与圆C相切的直线l的方程；（2）已知直线m：x﹣y+1=0与圆C交于A、B两点，求|AB|19．某市出租车的计价标准是：4km以内（含4km）10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km，不计等待时间的费用．（1）如果某人乘车行驶了10km，他要付多少车费？（2）试建立车费y（元）与行车里程x（km）的函数关系式．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、AD的中点．（1）求证：EF平行平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1（3）求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．21．已知函数f（x）=（1）证明f（x）是奇函数；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明（3）求f（x）在上的最值．2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{y∈z|0＜y≤4}的子集个数是（）A．64 B．32 C．16 D．8【考点】子集与真子集．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出集合，然后求解集合的子集的个数．【解答】解：因为{y∈z|0＜y≤4}={1，2，3，4}，所以集合的子集的个数：24=16．故选：C．【点评】本题考查集合的求法，子集的个数问题，基本知识的考查．2．直线的倾斜角是（）A．30° B．120°C．135°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．【解答】解：由直线变形得：y=﹣x+，所以该直线的斜率k=﹣，设直线的倾斜角为α，即tanα=﹣，∵α∈（0，180°），∴α=150°．故选D．【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．3．与函数y=的定义域相同的函数是（）A．y=B．y=2x﹣1C．y=D．y=ln（x﹣1）【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】求出函数y=的定义域，再分别求出选项中的函数定义域，进行判断即可．【解答】解：函数y=的定义域是（1，+∞）；对于A，函数y=的定义域是，则f（x）的值域是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的值域与最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的单调性求解即可．【解答】解：函数f（x）=log x，x∈，是减函数，所以函数的最小值为：f（）=log=，函数的最大值为：f（）=log=2．函数的值域为：．故选：A．【点评】本题考查对数函数的单调性与最值的求法，考查计算能力．9．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于（）A．3 B．C．2 D．4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】由题意求出底面面积，然后求出三棱锥的体积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为：；三棱锥的体积为：××3=故选：B．【点评】本题是基础题，考查三棱锥的体积的计算，注意三棱锥的特征是解题的关键．10．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（）A．4 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，结合正视图，俯视图，不难得到侧视图，然后求出面积．【解答】解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为2，侧棱长2，结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为2，宽为面积为：故选B．【点评】本题考查由三视图求侧视图的面积，是基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把正确的答案填在横线上．11．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为 4 •【考点】函数的零点．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了零点的定义与应用问题，是基础题目．12．过点（1，3）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是x+2y﹣7=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；规律型；方程思想；直线与圆．【分析】求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：与直线x+2y﹣1=0平行的直线的斜率为：，由点斜式方程可得：y﹣3=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣7=0．故答案为：x+2y﹣7=0．【点评】本题考查直线方程的求法，考查计算能力．13．已知函数f（x）=的值为．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】首先求出f（）=﹣2，再求出f（﹣2）的值即可．【解答】解：∵＞0∴f（）=log3=﹣2∵﹣2＜0∴f（﹣2）=2﹣2=故答案为．【点评】本题考查了对数的运算性质，以及分段函数求值问题，分段函数要注意定义域，属于基础题．14．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′，直线D′A与DB所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】连结BC′，DC′，由AD′∥BC′，得∠DBC′是直线D′A与DB所成的角，由此能求出直线D′A与DB所成的角．【解答】解：连结BC′，DC′，∵正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD′∥BC′，∴∠DBC′是直线D′A与DB所成的角，∵BD=DC′=BC′，∴∠DBC′=60°，∴直线D′A与DB所成的角为60°．故答案为：60°．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15．若对于任意的x∈，不等式≥1恒成立，则实数a的最小值为．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】若对于任意的x∈，不等式≥1恒成立，则对于任意的x∈，不等式a≥2x﹣恒成立，结合函数的单调性，求出函数的最大值，可得答案．【解答】解：若对于任意的x∈，不等式≥1恒成立，即对于任意的x∈，不等式1+ax≥x•2x恒成立，即对于任意的x∈，不等式ax≥x•2x﹣1恒成立，即对于任意的x∈，不等式a≥2x﹣恒成立，由y=2x，x∈为增函数，y=，x∈为减函数，故y=2x﹣，x∈为增函数，故当x=2时，y取最大值，即a≥，故实数a的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，将问题转化为函数的最值问题，是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|4≤x＜8，x∈R}，B={x|6＜x＜9，x∈R}，C={x|x＞a，x∈R}．（1）求A∪B；（2）（∁U A）∩B；（3）若A∩C=∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（1）根据A与B，求出两集合的并集即可；（2）由全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；（3）由A与C，且A与C的交集为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|4≤x＜8}，B={x|6＜x＜9}，∴A∪B={x|4≤x＜9}；（2）∵A={x|4≤x＜8}，全集为R，∴∁U A={x|x＜4或x≥8}，∵B={x|6＜x＜9}，则（∁U A）∩B={x|8≤x＜9}；（3）∵A∩C=∅，且A={x|4≤x＜8}，C={x|x＞a}，∴a的取值范围是a≥8．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（1，﹣2），C（﹣3，4），求（1）BC边上的中线AD所在的直线方程；（2）△ABC的面积．【考点】直线的一般式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）求出中点D的坐标，用两点式求出中线AD所在直线的方程，并化为一般式．（2）求出线段BC的长度，求出直线BC的方程和点A到直线BC的距离，即可求得△ABC的面积．【解答】解：（1）设D（x，y），则x==﹣2，y==1，∴D（﹣2，1），而A（2，3），∴K AD==，∴BC边上的中线AD所在的直线方程为：y﹣1=（x+2），即：x﹣2y+4=0；（2）|BC|==2，直线BC的方程是：3x+y+5=0，A到BC的距离d==，∴S△ABC=|BC|•d=×2×=14．【点评】本题考查用两点式求直线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求点A到直线BC的距离是解题的难点．18．已知圆C：（x﹣1）2+y2=4（1）求过点P（3，3）且与圆C相切的直线l的方程；（2）已知直线m：x﹣y+1=0与圆C交于A、B两点，求|AB|【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（1）设出切线方程，求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，写出切线方程即可；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求弦|AB|的长．【解答】解：（1）设切线方程为y﹣3=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+3=0，∵圆心（1，0）到切线l的距离等于半径2，∴=2，解得k=，∴切线方程为y﹣3=（x﹣3），即5x﹣12y+21=0，当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x=3，圆心（1，0）到此直线的距离等于半径2，故直线x=3也适合题意．所以，所求的直线l的方程是5x﹣12y+21=0或x=3．（2）圆心到直线的距离d==，∴|AB|=2=2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程的求法，注意直线的斜率存在与不存在情况，是本题的关键．19．某市出租车的计价标准是：4km以内（含4km）10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km，不计等待时间的费用．（1）如果某人乘车行驶了10km，他要付多少车费？（2）试建立车费y（元）与行车里程x（km）的函数关系式．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）x=10km，4km＜x≤18km，y=10+1.2﹙x﹣4）；（2）利用条件，可得分段函数．【解答】解：（1）x=10km，4km＜x≤18km，y=10+1.2﹙x﹣4）=1.2x+5.2=17.2元；（2）由题意0km＜x≤4km时，y=10；4km＜x≤18km时，y=10+1.2﹙x﹣4﹚，即y=1.2x+5.2；x＞18km时，y=10+1.2•14+1.8﹙x﹣18﹚即y=1.8x﹣5.6，所以车费与行车里程的函数关系式为y=．【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、AD的中点．（1）求证：EF平行平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1（3）求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）推导出EF∥BD，BD∥B1D1，从而EF∥B1D1，由此能证明EF∥平面CB1D1．（2）推导出B1D1⊥A1C1，AA1⊥B1D1，由此能证明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（3）由AA1⊥底面ABCD，得∠A1CA是直线A1C与平面ABCD所成角，由此能求出直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵E、F分别为棱AB、AD的中点，∴EF∥BD，∵BD∥B1D1，∴EF∥B1D1，∵EF⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1．（2）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形A1B1C1D1是正方形，∴B1D1⊥A1C1，AA1⊥B1D1，∵AA1∩A1C1=A1，B1D1⊥平面CAA1C1，∴B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1．解：（3）∵AA1⊥底面ABCD，∴∠A1CA是直线A1C与平面ABCD所成角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，则AA1=a，AC==，tan∠A1CA===．∴直线A1C与平面ABCD所成角的正切值为．【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空是思维能力的培养产．21．已知函数f（x）=（1）证明f（x）是奇函数；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明（3）求f（x）在上的最值．【考点】三角函数的最值；奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由条件利用奇函数的定义进行判断，可得结论．（2）由条件利用函数的单调性的定义进行证明，可得结论．（3）由条件利用函数的单调性求得f（x）在上的最值．【解答】解：（1）由于函数f（x）=的定义域为R，f（﹣x）===﹣f （x），故函数f（x）为奇函数．（2）由于f（x）===1﹣，设x1＜x2，则＜，根据f（x1）﹣f（x2）=﹣=﹣==＜0，∴f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上为增函数．（3）在上，函数f（x）为增函数，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为，当x=2时，函数f（x）取得最大值为．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，函数的单调性的判断、证明、以及应用，属于中档题．。
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直线 的斜率为-3，所求直线方程为：
化为一般式得： ....................4分
18解：．(Ⅰ)图像如图………3分
由图像知函数的单调减区间是 ， .
单调增区间是 ， .
………5分
（Ⅱ）结合图像可知最小值 ，
最大值 ………8分
直线 与圆C相切
故所求圆的方程是 .........8分
20证明:（1）连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO.
∵点O，M分别是BD，PD的中点
∴MO//PB，
又PB 面ACM，MO 面ACM
∴PB//面ACM. .................3分
（2）∵PA⊥面ABCD∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形
19、解：（1）若直线 斜率不存在，即直线 方程为x= -1,显然不合题意.........1分
若直线 斜率存在，设斜率为k,则直线 的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0
依题意得，圆心C（2，0）到直线 的距离为 ，则
故所求直线的方程是 .........4分
（2）依题意得，直线 的方程为 .........5分
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝ ·(x1－x2)．
由已知得 >0，
又x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在[－1,1]上单调递增．................3分
(2) ...............5分
(3)∵f(1)＝1，且f(x)在[－1,1]上单调递增，
必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
即 结合相应各函数图象，得m≤－2或m≥2................8分
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．............9分
∴AC⊥BD
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥面PAC .................6分
（3）∵ ，且
∴ . ................9分
21解：(1)f(x)在[－1,1]上单调递增．...............1分
任取x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2，则－x2∈[－1,1]．
∵f(x)为奇函数，
2018年下 6--10 AADAD
11 12 13 5
14 15 2
16解：（1）原式= ..............4分
（2）原式= .........4分
17、解：（1）直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，.........2分
∵
∴ ⊥ ................4分
∴在[－1,1]上，f(x)≤1.
问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．...............6分
设g(a)＝－2m·a＋m2，
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．
②若m≠0，则g(a)为关于a的一次函数，
若g(a)≥0对a∈[－1,1]恒成立，