必修五数列递推公式经典题型汇总(全)
高中数学 利用递推关系求数列通项的九种类型及解法素材 北师大版必修5
利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1. 形如)(1n f a a n n =-+型（1）若)(n f 为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若)(n f 为n 的函数时，用迭加法. 方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n ，…………)2(23f a a =- )1(12f a a =-所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ，即∑-=+=111)(n k n k f a a .为了书写方便，也可用横式来写：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- .例 1. （2003天津文） 已知数列{}n a 满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n , 证明：213-=n n a 证明：由已知得：故,311--=-n n n a a 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--n n n ∴213-=n n a .评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中)(n f 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若)(n f 是关于n 的一次函数，迭加后可转化为等差数列求和; ②若)(n f 是关于n 的二次函数，迭加后可分组求和;③若)(n f 是关于n 的指数函数，迭加后可转化为等比数列求和;④若)(n f 是关于n 的分式函数，迭加后可裂项求和。
必修五数列常考二十种题型
必修五数列二十种题型归纳总结考点1 等差数列考法一：等差数列定义的运用1.已知数列{}n a 中，12a =，122nn n a a +=++，证明数列{}2n n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；【解析】因为()()11222n n n na a++---=，且1120a -=，所以数列{}2nn a -为首项为0，公差为2的等差数列.所以202(1)n n a n -=+-，即22(1)nn a n =+-.2．已知数列{}n a 中，135a =，112n n a a -=- ()*2,n n N ≥∈，数列{}n b 满足11n n b a =-()*n N ∈。
（1）求证：数列{}n b 为等差数列。
（2）求数列{}n a 的通项公式。
【解析】（1）证明：由题意知，1111111121n n n n n a b a a a ---===----，又1111n n b a --=-，故()*1111112,11n n n n n a b b n n N a a -----=-=≥∈--，又易知111512b a ==--，故数列{}n b 是首项为52-，公差为1的等差数列。
（2）由（1）知()()15711122n b b n d n n =+-=-+-⨯=-，所以由()*11n n b n N a =∈-，可得125127n n n a b n -=+=-，故数列{}n a 的通项公式为2527n n a n -=-。
考法二：等差中项性质1.等差数列x ，33x +，66x +，⋅⋅⋅的第四项等于【解析】由题得2(33)+(66),0x x x x +=+∴=.所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，所以等差数列的第四项为9.2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++= 【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a =311191139a a a a ∴++==3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S = 【解析】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯= 4．已知0a >，0b >，并且1a ，12，1b 成等差数列，则4a b +的最小值为 【解析】因为0a >，0b >，且1a ，12，1b 成等差数列，所以111a b+=，因此()114441459a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4a bb a =，即3a =，32b =时，等号成立. 5．在等差数列 {}n a 中，若12015,a a 为方程 210160x x -+= 的两根，则 210082014++=a a a 【解析】12015,a a 为方程 210160x x -+= 的两根，1201510a a ∴+=，由等差数列的性质得1008210a =，即10085a =，2100820141008315a a a a ∴++==. 6．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值是 【解析】依题意，由4681012120a a a a a ++++=，得85=120a ，即8=24a 所以()()()91191197111197811112232416333333a a a a a a a a a a a -=-=++-=+==⨯=7．在ABC ∆中，若()lg sin A ，()lg sin B ，()lg sin C 成等差数列，b =，则当B 取最大值时，sin sin sin a b cA B C【解析】因为()lg sin A ，()lg sin B ，()lg sin C 成等差数列所以()()()2lg sin lg sin lg sin B A C =+所以2sin sin sin B A C =由正弦定理得2b ac =由余弦定理2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=当且仅当a c =时取等号，()0,B π∈0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦所以max 3B π=此时32sin sin sin sin 32a b cbA B CB8．三角形的角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若角A,B,C 依次成等差数列，且a =1,b =√3，则三角形的面积S =【解析】∵A,B,C 依次成等差数列，∴A +B +C =3B =180∘,B =60∘，因为a =1,b =√3，∴由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，得c =2，∴S ΔABC =12acsinB =√329．已知1x >，1y >，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x y +有最小值 【解析】由题意可知：lg 0,lg 0x y >> ，且：4lg lg2210x y xy +=⨯⇒= ， 由均值不等式有：200x y +≥= ，当且仅当100x y == 时等号成立.10．设有四个数的数列{}n a ,该数列前3项成等比数列,其和为m,后3项成等差数列,其和为6. 则实数m 的取值范围为___【解析】设{}n a 的前4项为a b c d ,,,，由于数列{}n a 的前3项成等比数列,其和为m ,后3项成等差数列, 其和为6，所以2(1)(2)2(3)6(4)a b c m b ac c b d b c d ++=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，由（3）（4）得36,2c c ==，所以22(1)2(2)4(3)a b m b a b d ++=⎧⎪=⎨⎪=+⎩即22(1)(2)24(3)a b m b a b d ++=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得()()24422d d m -+-+=，整理得()21335222m d =-+≥. 考法三：前n 项和的性质1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11m a =，21121m S -=，则m 的值为 【解析】因为()2121121m m S m a -=-=，所以2111m -=，故6m =.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若5359a a =，则95s s =【解析】∵等差数列{a n }中，5359a a =，∴5193152529a a a a a a +==+，∴1995159()952159()25a a S S a a +==⨯=+，3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S = ；【解析】数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 成等差数列．S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．4.数列{}n a 的通项公式为262n a n =-，要使数列{}n a 的前n 项和n S 最大，则n 的值为 【解析】因为262n a n =-，所以数列{}n a 是以124a =为首项，公差2d =-的等差数列， 所以()211252n n n na d n n S -=+=-+由二次函数的性质可得：当13n =或12时，n S 最大。
高中数学必修五数列知识点+练习含答案解析(非常详细)
第一部分必修五数列知识点整理第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。
② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，na 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。
③ 前n 1(1)2n n na d -=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。
④ 性质：ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。
iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。
iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。
3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。
② 通项时为常数列)。
③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。
iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。
(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】[例1] b ka a n n +=+1型。
（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ⇒=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+⋅= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1比较系数：b m km =- ∴1-=k b m∴}1{-+k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a∴11)1(1-⋅-+=-+n n k k b a k b a ∴1)1(11--⋅-+=-k bk k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。
（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。
例：已知}{n a 满足11=a ，)1(11+=-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。
解：∵111)1(11+-=+=-+n n n n a a n n∴n n a a n n 1111--=-- 112121---=---n n a a n n213132---=---n n a a n n ……312123-=-a a 21112-=-a a对这（1-n ）个式子求和得：n a a n 111-=- ∴ n a n 12-=（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1∴ ⎩⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2)1(1-+-=k a k b B∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列∴ 11)(-⋅++=++n n k B A a B An a∴B An k B A a a n n --⋅++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）nq n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1+n q 得q q a q k q a n n n n 111+⋅=++ 令n n n q a C =则q C q k C n n 11+=+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型[例3] n n a n f a ⋅=+)(1型。
高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式人教A版必修5
第2课时 数列的递推公式
课程目标
1.理解数列的函数特性,掌握判断数列增减性 的方法. 2.知道递推公式是给出数列的一种形式. 3.能够根据递推公式写出数列的前几项.
学习脉络
递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或
前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列{an}的递推 公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
又 a1=1,∴an=2n-1(n≥2).当 n=1 时,a1=1 也满足上式,故数列{an}的一个
通项公式为 an=2n-1,an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2>0,∴an+1>an.
∴数列{an}是单调递增数列.
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
探究四
探究一 判断数列的单调性
数列的单调性一般要通过比较 an+1 与 an 的大小来判断,具体为: an+1-an>0⇔an+1>an⇔数列{an}单调递增;
an+1-an<0⇔an+1<an⇔数列{an}单调递减.
探究一
探究二
探究三
探究四
2019-2020年高中数学 最全的递推数列求通项公式方法 新人教A版必修5
，
。
经检验也适合，
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
例:已知，，求。
解：
。
变式:（xx，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
解：由已知，得 ，用此式减去已知式，得
当时，，即，又，
，将以上n个式子相乘，得
类型3（其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中，，，求.
解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.
变式:（xx，重庆,文,14）
变式:（xx，山东,文,22,本小题满分14分）
已知数列｛｝中， 在直线y=x上，其中n=1,2,3…
(Ⅰ)令
(Ⅱ)求数列
解法一（待定系数——迭加法）:
数列： ，，求数列的通项公式。
由，得
，
且。
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是
。把代入，得
，
，
，
。
把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列： ，的特征方程是：。
,
。
又由，于是
故
例:已知数列中，,,，求。
解：由可转化为
即 或
这里不妨选用 （当然也可选用 ，大家可以试一试），则 是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即
即
是等差数列
证法二：同证法一，得
必修五数列知识点整理+例题+练习( 学生版,精心整理,很基础)
必修五数列知识点整理+例题+练习（学生版）一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .2．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
如1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( ) Ａ．)1(2--=n n a n B ．12-=n a n C ．2)1(+=n n a n D ．2)1(-=n n a n 2.数列3，-5，7，-9，11，…的一个通项公式是（ ）11(1)(21),(1)(21),(1)(21),(1)(21)n n n n n n n n A a n B a n C a n D a n ++=-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅+．．．．3.在数列 ,55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．134.数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832-=,则数列各项中最小项是( )A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项5.已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是 二、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系1．∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n如：1.若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则（ ）A ．12-=n a nB ．12+=n a nC ．12--=n a nD ．12+-=n a n2.已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，则n a ＝3．已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=______。
人教A版高中数学必修五练习数列的递推公式
第2课时 数列的递推公式课后篇巩固提升基础巩固1.数列12,14,18,116,…的递推公式可以是( ) A.a n =12n+1(n ∈N *) B.a n =12n (n ∈N *)C.a n+1=12a n (n ∈N *)D.a n+1=2a n (n ∈N *)2项起,后一项是前一项的12,故递推公式为a n+1=12a n (n ∈N *).2.符合递推关系式a n =√2a n-1的数列是( ) A.1,2,3,4,… B.1,√2,2,2√2,… C.√2,2,√2,2,… D.0,√2,2,2√2,…中从第2项起,后一项是前一项的√2倍,符合递推公式a n =√2a n-1.3.在数列{a n }中,a n+1=a n+2-a n ,a 1=2,a 2=5,则a 5=( ) A.-3 B.-11 C.-5 D.19a n+1=a n+2-a n ,得a n+2=a n +a n+1,则a 3=a 1+a 2=7,a 4=a 2+a 3=12,a 5=a 3+a 4=19.4.已知数列{a n }的通项公式为a n =n-7√n +2,则此数列中数值最小的项是( ) A.第10项 B.第11项C.第12项D.第13项a n =n-7√n +2=(√n -72)2−414,所以易知当n=12时,a n 取得最小值,即此数列中数值最小的项是第12项.故选C .5.已知a 1=1,a n =n (a n+1-a n )(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式是( ) A .2n-1B .(n+1n )n -1C .n 2D .n:构造法.由已知整理,得(n+1)a n =na n+1,∴a n+1n+1=a n n ,∴数列{a nn}是常数列, 且an=a1=1,∴a n =n.法二:累乘法. 当n ≥2时,a n a n -1=n n -1,a n -1a n -2=n -1n -2, …a 3a 2=32,a 2a 1=21,两边分别相乘,得a n a 1=n.∵a 1=1,∴a n =n.6.在数列{a n }中,若a 1=2,a n+1=a n +n-1,则a 4= .2=a 1+1-1=2,a 3=a 2+2-1=3,a 4=a 3+3-1=5.7.已知数列{a n }的通项公式a n =n-√1+n 2,则该数列是 .(填“递增数列”“递减数列”“摆动数列”或“常数列”)n =n-√1+n 2=-2,当n 增大时,n+√1+n 2增大,-2增大,所以该数列是递增数列.8.若数列{a n }满足a n+1=2a n -1,且a 8=16,则a 6= .a n+1=2a n -1,∴a 8=2a 7-1=16,解得a 7=172,又a 7=2a 6-1=172,解得a 6=194.9.在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +ln (1+1n ),求a n .,得a n+1-a n =lnn+1n, ∴a n -a n-1=ln n(n ≥2),a n-1-a n-2=ln n -1n -2, … a 2-a 1=ln 21,∴当n ≥2时,a n -a 1=ln (n n -1.n -1n -2 (2)1)=ln n ,∴a n =2+ln n (n ≥2).当n=1时,a 1=2+ln 1=2,符合上式,∴a n =2+ln n (n ∈N *).10.已知各项均不为0的数列{a n }满足a 1=12,a n a n-1=a n-1-a n (n ≥2,n ∈N *),求数列{a n }的通项公式.a n a n-1=a n-1-a n ,且各项均不为0,∴1a n−1a n -1=1.∴当n ≥2时,1a n=1a 1+(1a 2-1a 1)+(1a 3-1a 2)+…+(1a n-1a n -1)=2+1+1+…+1⏟ (n -1)个1=n+1.∴1a n=n+1,∴当n ≥2时,a n =1n+1. ∵a 1=12也符合上式,∴a n =1n+1.能力提升1.已知数列{a n },a 1=2,a 2=1,a n+2=3a n+1-a n ,则a 6+a 4-3a 5的值为( ) A .3 B .-2 C .-1 D .0a n+2=3a n+1-a n ,∴a n+2+a n =3a n+1.令n=4,得a 6+a 4=3a 5,∴a 6+a 4-3a 5=0.2.已知数列{a n }对任意的p ,q ∈N *满足a p+q =a p +a q ,且a 2=-6,则a 10=( ) A .-12B .-24C .-30D .-42p=q=2,则a 4=2a 2=-12,令p=q=4,则a 8=2a 4=-24. 令p=8,q=2,则a 10=a 8+a 2=-30.3.已知数列{a n },a n+1=11-a n,a 1=3,则a 2 019=( )A.23B.3C.-12D.32,可知:a 1=3,a 2=11-a 1=11-3=-12, a 3=11-a 2=11+12=23,a 4=11-a 3=11-23=3,a 5=11-a 4=11-3=-12,…∴数列{a n }是一个以3为最小正周期的周期数列.∵2 019÷3=673,∴a 2 019=a 3=23.4.已知数列{a n },a 1=1,ln a n+1-ln a n =1,则数列{a n }的通项公式是( ) A.a n =n B.a n =1n C.a n =e n-1D.a n =1e n -1ln a n+1-ln a n =1,∴ln an+1a n =1.∴an+1a n=e .由累乘法可得a n =e n-1.5.在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=a n 2-1,则此数列的前4项和为 .a 1=1,a n+1=a n 2-1,∴a 2=12-1=0,a 3=02-1=-1,a 4=(-1)2-1=0,故前4项和a 1+a 2+a 3+a 4=0.6.已知数列{a n }满足:a n ≤a n+1,a n =n 2+λn ,n ∈N *,则实数λ的最小值是 .a n ≤a n+1,∴n 2+λn ≤(n+1)2+λ(n+1),即λ≥-(2n+1)对任意n ∈N *成立,∴λ≥-3.故λ的最小值为-3.37.已知数列{a n }满足a n =1n+1+1n+2+1n+3+…+12n. (1)数列{a n }是递增数列还是递减数列?为什么? (2)证明:a n ≥12对一切正整数恒成立.{a n }是递增数列.理由如下:∵a n =1n+1+1n+2+1n+3+ (12), ∴a n+1-a n =12n+1+12n+2−1n+1=12n+1−12n+2=1(2n+1)(2n+2).又n ∈N *,∴a n+1-a n >0.∴数列{a n }是递增数列.(1)知数列{a n }为递增数列,∴数列{a n }的最小项为a 1=12.∴a n ≥a 1=12,即a n ≥12对一切正整数恒成立.8.已知数列{a n }的通项公式为a n =1+12n+a ,其中a ∈R .(1)若a=-9,求数列{a n }的最小项和最大项;(2)若不等式a n ≤a 8对任意的n ∈N *恒成立,求实数a 的取值范围.若a=-9,则a n =1+12n -9. 于是,结合函数f (x )=1+12x -9的单调性, 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4,且a 5>a 6>a 7> (1)故数列{a n }的最小项为a 4=1+12×4-9=0,最大项为a 5=1+12×5-9=2. (2)对a n =1+12n+a 进行变形,可得a n =1+12n+a 2.因为不等式a n ≤a 8对任意的n ∈N *恒成立,所以结合函数f (x )=1+12x+a 2的单调性,可知应满足7<-a2<8,解得-16<a<-14.故实数a 的取值范围是(-16,-14).。
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数列递推公式经典题型汇总（全）
1. (2011年高考四川)数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a =( ） A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 答案：B 解析：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法
21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==
2.(2011年高考全国卷设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，
224A n S S +-=，则k = A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5
【答案】D 【解析】22111(21)(11)k k k k S S a a a k d a k d +++-=+=++-+++-
12(21)a k d =++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。
3.（2009广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)
n n a a
n -
⋅=≥，
则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=
A. (21)n n -
B. 2(1)n +
C. 2n
D. 2
(1)n -
【解析】由25252(3)n
n a a n -⋅=≥得n
n a 222
=，0>n a ，则n
n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a
2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.
4.1,1
3111
=+⋅=
--a a a a n n n 则其通项为
解：取倒数：
1
1113131---+=+⋅=n n n n a a a a ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是等差数列，3)1(111⋅-+=n a a n 3)1(1⋅-+=n 231
-=⇒n a n
5 已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
1231
n n n a a +=+⨯+得
1231
n n n a a +-=⨯+则
11232211
122112211
()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)
2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n
n a n =+-
6已知数列{}n a 满足112356n
n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1
15
2(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯
④
将1235n n n a a +=+⨯代入④式，得12355225n n n n n a x a x ++⨯+⨯=+⨯，等式两边消去2n a ，
得
135525n n n x x +⋅+⋅=⋅，两边除以5n
，得
352,1x x x +==-则代入
④式得
1152(5)n n n n a a ++-=-
⑤
由1
156510a -=-=≠及⑤式得50n
n a -≠，则11525
n n n
n a a ++-=-，则数列{5}n
n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+
课时作业
1．已知数列}{n a 的首项11
=a
（1）若11n n a a n +=++，则n a =_________；（2）若1
12n n n a a ++=⋅，则n a =_______
（3）若1)1(++=n n a n na ，则n a =______；（4）若)2(231≥+=-n a a n n ，则n a =________； （5）若11
n n n a a a +=
+，则n a =_______;（6）122(2),_______.n
n n n a a n a -=+≥=若则
2.求下列数列的通项公式
（1）⎩⎨⎧==+n n a a a 3311 （2）⎩⎨⎧≥+-==-)2(43211n a a a n n
（3）⎩⎨⎧==+2
3112n n a a a （4）⎪⎩
⎪⎨⎧+==+4
343
11n n n a a a a （5）⎩⎨⎧+==+3211
1n n a a a （6）⎩⎨⎧+==+543
11n n a a a
（7）⎩⎨⎧-+==+)12(111n a a a n n （8）⎪⎩⎪⎨⎧+==+n
n a a a n
n 12
11
3、数列{}n a 满足1211
,23
a a ==，2120n n n a a a ++-+=，求{}n a 的通项公式。
4、数列{}n a 满足13a =，n n n n a a a a 44311-=++，求{}n a 的通项公式。
5、数列{}n a 满足12a =，12,(1)n
n n a a n n +=+-≥，求{}n a 的通项公式。
6、设正数数列{}n a 满足21=a
，n a =n ≥2），求数列{}n a 的通项公式。
7、数列{}n a 满足11=a ，
n a 1 =1
21
-n a +1（n ≥2）；，求{}n a 的通项公式。