广东省珠海市普通高中2017-2018学年高二数学下学期4月月考试题(4)

下学期高二数学4月月考试题04满分150分。

时间120分钟。

一．选择题：（共10小题，每小题5分，共50分．请将唯一正确的选项选出来，并涂在机读卡上的相应位置）1．设函数2()1f x x =-，则()f x 在1x =处的导数'(1)f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．i 是虚数单位，复数 ）A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 3）A．(,1)-∞ C．(0,1)4．若0a b <<，则下列不等式不成立的是（ ）A．33a b < D5．已知积分1(1)kx dx k +=⎰，则实数k =（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-62n n ++=时，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上的项是（ ）A ．21k + B ．2(1)k +C ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7的不同整数解(,)x y 的个数为 4 (,)x y 的个数为8的不同整数解(,)x y 的个数为12同整数解(,)x y 的个数为（ ）A ．32B ．40C ．80D ．1008．如图是一个简单几何体的三视图，其正视图和左视图是边长为2cm 的正三角形，其俯视图是边长为2cm 的正方形，则该几何体的体积为（ ）3cmA9．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足'()()0xf x f x +≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf b f a ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf a af b ≤10．对任意正数,x y ，不等式恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A．[1,)+∞ D二．填空题：（共5小题，每小题5分，共25分．请将最简答案填在答题卷相应的位置．） 11．已知从A 地到B 地有2条公路可走，从B 地到C 地有3条小路可走，又从A 地不过B 地到C 地有1条水路可走，那么从A 地到C 地的不同走法一共有______________种．12．函数2()2ln f x x x =-的单调递减区间为________． 13____________．14．已知数列*21()n a n n N =-∈，把数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵．记(,)S m n 为该数阵的第m 行中从左往右的第n 个数，则(10,6)S =_______．15．如图，在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，且5,4,3PA PB PC ===．设点M 为底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别为三棱锥M PAB -、M PBC -、M PCA -的体积．若()(4,3,3)f M x y =，且80ax xy y -+≥恒成立，则正实数a 的取值范围是___________．三．解答题：（共6小题，其中16～18每小题13分，19～21每小题12分，共75分．请将每题的解答过程写在答题卷相应的答题框内）16.（本小题13分）已知复数2(1)(23)z m m m m i =-++-（m R ∈） ⑴若z 是实数，求m 的值；⑵若z 是纯虚数，求m 的值；⑶若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围.17. （本小题13 ⑴若不等式()3f x ≤的解集为，求实数a 的值；⑵在⑴的条件下，若不等式()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.18. （本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，，(21)n n S n n a =- *()n N ∈.⑴求23,a a 的值；⑵猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.19. （本小题12分）如图，PAC ∆与ABC ∆是均以AC 为斜边的等腰直角三角形，4AC =，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，G 为OC 的中点，且PO ⊥平面ABC .⑴证明：//FG 平面BOE ； ⑵求二面角EO B FG --的余弦值.20. （本小题12⑴求()f x 的极值；⑵当[0,1]x ∈时，求()f x 的值域；⑶设1a ≥，函数32()32,[0,1]g x x a x a x =--∈，若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围．21. （本小题12分）已知二次函数2()1f x ax bx =+-，且不等式的实数x 恒成立，数列{}n a 满足11a =，⑴求,a b 的值； ⑵求数列{}n a 的通项公式；n a a ++>参考答案 选择题：DBCDA DBCAB 二、填空题：11．7； 12．(0,1]； 1357)(,)3+∞ ； 14．101； 15．[9,)+∞三、解答题：16．解：⑴z 为实数⇔2230m m +-=，解得：3m =-或1m =；⑵z 为纯虚数⇔2(1)0230m m m m -=⎧⎨+-≠⎩，解得：0m =；⑶z 所对应的点在第四象限⇔2(1)0230m m m m ->⎧⎨+-<⎩，解得：30m -<<．17．解：⑴由()3f x ≤，即，解得：33a x a -+≤≤，又由条件该不等式的解为15x -≤≤，所以3135a a -=-⎧⎨+=⎩，解得2a =⑵在⑴的条件下，()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 切实数x 恒成立，所以．，所以5m ≤．18．解：⑴∵(21)n n S n n a =-，且∴当2n =时，21222(221)S a a a =+=⨯-，解得：2a =当3n =时，312333(231)S a a a a =++=⨯-，解得：3a ⑵由⑴可以猜想{}n a 的通项为1)n +用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由条件知等式成立；②假设当n k =（1k ≥且*k N ∈）等式成立，即：那么当1n k =+时，由条件(21)n n S n n a =-有：11(1)(21)k k S k k a ++=++∴，即，，即：当1n k =+时等式也成立．由①②可知，命题对一切*n N ∈都成立．19．解：⑴证法一：连结AF ，交BE 于点H ，连结OH ．∵,E F 均为ABP △的边的中点，∴H 为ABP △的重心， 又由条件O 为AC 中点，G 为OC 中点，，∴OH GF ∥ 又,OH BOE GF BOE ⊂⊄面面，∴GF BOE ∥面．证法二：以O 点为坐标原点,,,OB OC OP 的方向为,,x y z 正方向建立空间直角坐标系数,则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,1)O B C A P G E F --(0,1,1),(2,0,0),(1,1,1)OE OB FG =-==--设平面OBE 的法向量为(,,)n x y z =则00200OE n y z x OB n ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩，令1y =，则(0,1,1)n =所以(1,1,1)(0,1,1)0FG n ⋅=--⋅=，所以FG n ⊥，所以//FG 平面BOE ．⑵由⑴的证法二可知。

平面OBE 的法向量为1(0,1,1)n =．设平面BGF 的法向量为2(,,)n x y z =，又(2,1,0),(1,1,1)GB GF =-=-，则2202000GB n x y x y z GF n ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令1z =，则2(1,2,1)n =设二面角EO B EG --的平面角为θ，则126n n n n ⋅=又由图易知二面角EO B EG --的平面角为锐角，∴二面角EO B EG --的余弦值为20，令'()0f x =，解得：（舍）或1x =当01x ≤≤时，'()0f x ≥；当1x >时，'()0f x <，∴()(1)3f x f ==-极大值，无极小值．⑵由⑴知()f x 在区间[0,1]单调递增，∴()f x 在区间[0,1]的值域为[(0),(1)]f f ，即[4,3]--．⑶∵'22()33g x x a =-且1a ≥，∴当[0,1]x ∈时'()0g x ≤，∴()g x 在区间[0,1]单调递减，∴()g x 在区间[0,1]的值域为[(1),(0)]g g ，即2[132,2]a a a ---．又对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得01()()g x f x =成立⇔()f x 在区间[0,1]的值域⊆()g x 在区间[0,1]的值域，即[4,3]--⊆2[132,2]a a a ---， 2132423a a a ⎧---⎨--⎩≤≥，解得：21解：⑴∵不等式对任意的实数x 恒成立．∴当，解得：2,0a b ==；⑵由⑴知2()21f x x =-，，∴112(1)n n a a ++=+ 又11a =，∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．∴12n n a +=，从而数列{}n a 的通项公式21nn a =-；⑶由⑵知21nn a =-，（*k N ∈）221321111()37215222n n a n a --++++-+++≥n a a ++>。