《余角和补角》参考课件1
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余角和补角 课件(共16张PPT)
课堂小结
余角和补角的定义 定义：两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余
角，简称互余．如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个 角互为补角，简称互补．
余角和补角都是相互的,不能说哪一个角是余角或补角.
请同学们比较互余与互补的概念，说说它们的区别和共同之处.
区别 互余是两个角的和是90°（直角）， 互补是两个角的和是180°（平角）.
3 1
获取新知
2 1
两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角,简称互余. 如图，∠1+∠2=90°，那么∠1是∠2的余角,∠2也是∠1的余角.
4 3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补. 如图，∠3+∠4=180°，那么∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角.
【分析】因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°， 所以∠3＝∠1＝50°.故选A.
同角的补 角相等.
随堂演练
1. 已知∠A=55°,则它的余角是( B )
A.25°
B.35° C.45°
D.55°
2.如果两个角互补,那么这两个角( D为钝角 D.均为直角,或一个为锐角,另一个为钝角
3.若一个锐角和它的余角相等,则它的补角为( C )
A.75°
B.120°
C.135°
D.150°
4. 如图，在三角形ABC中，∠C=90°，点D,E 分别在边AC、AB上，若∠B=∠ADE，则下列 结论正确的是（ C ） A.∠A和∠B互为补角. B.∠B和∠ADE互为补角. C.∠A和∠ADE互为余角. D.∠AED和∠DEB互为余角.
1
3
2
同角的余角相等.
探究： 已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3， 那么∠2与∠4相等吗？为什么？
新人教版六年级数学下册《余角和补角(1)》课件
探究三：运用知识解决问题
活动1
练习：如图是一张不规则的纸，先任意折叠，得折痕OC，展
开后，通过点O折叠使OA落在OC上，得折痕OD，同样将OB 落在OC上得折痕OE，沿着这三条折痕剪开，得到四个角，用 其中的两个角拼成一个直角，共有不同的拼法是 ( D ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【思路点拨】由互为余角的定义求解.
角相等？
探究三：运用知识解决问题
活动1
例1. 点A、O、B在一直线上, 射线OD、OE分别平分∠AOC和
∠BOC. （1）图中互余的角有_______ 对； 4 ∠AOE （2）∠3的补角是___________. 解：(1)由已知∠1=∠2, ∠3=∠4, 且∠1+∠2+∠3+∠4=180° , ∴∠2+∠4=90°. 所以互余的角有：∠1与∠3, ∠1与∠4, ∠2与∠3, ∠2与∠4, 共4对; (2) ∠3的补角是∠AOE. 【思路点拨】余角、补角定义及性质应用解答.
探究三：运用知识解决问题
活动2
1 练习：一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的 3 ，则这个角的度数是 60°．
解：设这个角为x°，则它的余角为(90－x)°，补角为
(180－x)°，
1 则 (180 x) 2(90 x) 180 ， 3
解得x=60．
【思路点拨】首先根据余角与补角的定义, 设这个角为x, 可得它 的余角和补角, 再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．
余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两 个角互为补角． 互余、互补针对两个角而言，只与数量有关，与位置无关.
探究二：探究余角、补角的性质
活动1
若∠2，∠3都是∠1的余角，问∠2与∠3的大小有何关系？ 若∠1，∠2都是∠α 和∠β 的余角，且∠α ＝∠β ，问∠1与∠2的 大小有何关系？ 将上述问题的“余角”换为“补角”，结论又如何？ 总结： 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.
《余角和补角》公开课省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
B
小结
两角间旳 数量 关系
互余
互补
1 2 90 1 2 180 (1 90 2) (1 180 2)
相应 图形
性质
同角或等角旳 余角相等
同角或等角旳 补角相等
注意点
1 互余、互补是两角之间旳数量关系，只 与他们旳度数和有关，与位置无关。
2 互余、互补概念中旳角是成对出现旳。
3 角 旳余角是90 ，补角是180 ,
同一种锐角旳补角比余90角。大 90 。
4 只有锐角才有余角。
5 同角旳余角（补角）相等； 等角旳余角（补角）相等。
E
西 C
F
北 D 45° 45°
O
B南
（1）正东，正南，正西，正北 射线OA OB OC OD
H（2）西北方向:_射__线__O_E___ 西南方向:_射__线__O_F____ 东 A
45° 27°37′ (90 x)°
∠α旳补角
175° 135° 117°37′ ( 180-x)°
已知一种角旳补角是它旳3倍,这个角是多度?
解:设这个角为x°, 则这个角旳补角是(180－x)° 由题意得180－x=3x 解得 x = 45 则这个角旳度数为45°
变式训练: 已知一种角旳补角是这个角旳余角旳4倍,求这个 角旳度数
图中给出旳各角，那些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
2、两个角旳和等于180°（平角），就说这两个角互为 补角，简称互补，即其中一种角是另一种旳补角。
2 1
几何语言表达为： 假如∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角
∠1=180° -∠2
图中给出旳各角，那些互为补角？
2024新人编版七年级数学上册《第六章6.3.3余角和补角》教学课件
DO
A
因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
所以∠AOM= 1 (180o - x)， ∠AON= 1 x .
所以
1
2(180o -来自x)-1
x
=
40o
,
2
2
2
解得x=50°，则180°–x =130°.
即∠AOB=50°，∠AOC=130°.
巩固练习
如图，AB是一条直线，OC是一条射线， ∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE. (1)∠1与∠2互余吗？
思考： ∠1 与∠2， ∠1 与∠3都互为补角， ∠2 与∠3 的大小有什么关系？
3
1
2
∠2=180°–∠1 = ∠3=180°–∠1
探究新知
结论：同角 (等角) 的补角相等. 类似地，可以得到：同角 (等角) 的余角相等.
探究新知
素养考点 余角和补角的识别
例 如图，点A，O，B在同一直线上，射线
D
OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
图中哪些角互为余角？
AO
C E
B
探究新知
C D
E
解：因为点A，O，B在同一直线上，
所以∠AOC和∠BOC 互为补角.
AO
B
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE
=
1 2
∠AOC+
1 2
∠BOC
=
1 2
探究新知
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
46.2o
75o
66o
43.8o
探究新知
4 3
补角和余角PPT课件.ppt
补角和余角
练习
若∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，则
∠α与∠γ的关系是( C )
A．互余 B．互补 C．相等 D．∠α＝90°＋∠γ
补角和余角
练习
如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1 ＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以 ∠1＝∠2的依据是( C ) A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
补角和余角
二、互角为余角
1、定义： 如果两个角的和等于一个_直__角__，就说 这两个角互为余角，简称互余，其中一 个角是另一个角的余角．
补角和余角
一、互角为补角
2、数学1= _9_0_°_-_∠__2___ ∠2= _9_0_°_-_∠__1___
补角和余角
回顾
上节课学习了哪些知识？ 一、角的大小比较 二、角的和与差 三、角的平分线
补角和余角
一、互角为补角
1、定义： 如果两个角的和等于一个_平__角__，就说 这两个角互为补角，简称互补，其中一 个角是另一个角的补角．
补角和余角
一、互角为补角
2、数学符号语言表达： ∵∠1与∠2互补 ∴ ∠1+ ∠2=180°
补角和余角
课时小结
这节课学习了哪些知识？ 一、互为补角的定义 二、互为余角的定义 三、补角和余角的性质
解：∵∠1与∠2互补，∴∠2 = 180°- _∠__1_. ∵∠3与∠4互补，∴∠4 = 180 ° -_∠__3_ . 又因为∠ 1= ∠ 3,所以∠___2_=_∠__4_.
补角和余角
三、补角和角余角的性质
如图,∠1=∠3,∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,那 么∠2与∠4有什么关系?
解：∵∠1与∠2互补，∴∠2 = 180°- _∠__1_. ∵∠3与∠4互补，∴∠4 = 180 ° -_∠__3_ . 又因为∠ 1= ∠ 3,所以∠___2_=_∠__4_.
余角和补角(57张PPT)数学
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17
9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
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解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
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17
∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.
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9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
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解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
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∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.
余角和补角课件(浙教版)(1)
A
B
C 31 2
O
D
同角 或等角 的余角相等 。
3α
β
2
∠2=∠3，∠2和∠α互余，∠3和∠β互余
A
C
21
O
3
B
β
D
3
2
α
同角 或等角 的补角相等 。
∠2=∠3，∠2和∠α互补，∠3和∠β互补
如图，已知AOC BOD Rt. 指出图中
还有哪些角相等，并说明理由。
C
D B
O
A
已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求 这个角的度数。
2 2
想一想
1、如果1 2 3 90,那么1, 2, 3
互为余角对吗? 2、互为余角、互为补角的两个角是否一定 有公共顶点？ 3、钝角有余角吗？ 一定有补角对吗?
判断题：
(1)互余的两个角必定都是锐角。
( )
(2) ＝30°，那么它是余角。 (3)一个角的补角必定是钝角。
( )
( )
(4)两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角，
数学语言表示 ：若
°，则
找朋友:图中给出的各角中,哪些互为余角? 哪些互为补角?
10°
30°
60°
80°
° 100
° 120
° 150
° 1余角
2.如果∠1与∠3互为余角 3 1 那么∠1＋∠3＝90°
1
31
3.如果∠1＋∠2＝180° 那么∠1与∠2互为补角 4.如果∠1与∠2互为补角 那么∠1＋∠2＝180°
表示目标方位
45º30º 60º
在一幅学校的地图上，有教学楼、食堂、图 书馆三地，但被墨迹污染，图书馆的具体位 置看不清，只知道图书馆在教学楼的东北方 向，在食堂的南偏西60º方向，你能确定图书 馆的位置吗？
余角和补角ppt课件
综合素养训练
(2)若∠ AOE 与∠ DOB 互补，求∠ DOE的度数.
解：因为∠AOE＋∠AOC＝180°，
∠AOE＋∠DOB＝180°，所以∠AOC＝∠BOD.
因为∠BOC＋∠AOC＝90°，
所以∠BOC＋∠BOD＝90°.
所以∠EOD＝180°－(∠BOC＋∠BOD)＝90°.
④，∠α ＋ ∠β =180 °，则∠α和∠β 互补．答案：A
综合素养训练
1.[中考·武威] 若∠α =70 °，则∠α的补角的度数是( B )
A.13 0 °
B.110 °
C.30 °
D. 20 °
综合素养训练
2. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α
与∠β 一定相等的图形个数共有( B )
∠2＋
(∠1 － ∠2)=
∠1＋
∠2 的余角.D 选项是∠2 的余角.
∠2 =9 0 °，故C 选项不是
答案：D
综合应用创新
方法点拨
识别两个角是否互余，只需要计算两个
角的和是否等于90°即可.
综合应用创新
题型
2 利用角平分线的定义探究互余、互补
例 6 [新视角 操作探究题]如图6.3－26，把一张长方形纸片
FG 是∠CFC′的平分线，
所以∠EFB′=
∠BFB′，∠GFC′= ∠CFC′.
因为∠BFC=180°，所以∠GFC′＋∠EFB′=
(∠CFC′＋
∠BFB′)= ∠CFB= ×180°=90°.
所以∠GFC′与∠EFB′互为余角.
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60° (180-x)°
1、 画出∠COB的余角,并猜想它们有什么关系? 2、 画出∠COB的补角,并猜想它们有什么关系?
C
O
B
探究一
1、 画出∠COB的余角,并猜想它们有什么关系?
A
1
O
2
C 解： ∵ ∠1+ ∠BOC = 90 °
∠2+ ∠BOC = 90 °
∴ ∠1= 90 °－ ∠BOC
∵ ∠1+ ∠2= 180° ∴ ∠1、 ∠2互为补角
12
12
互余和互补的两个角只与它们的数量 有关，与位置无关。
练习一
用量角器测量出如下一组图中各个角的大小, 并说出你发现了什么。
1 2
①量得∠1= 68 度； ∠2= 22 度。 ②计算∠1+∠2= 68 度+ 22 度= 90 度 ③说明：互为 余 角
1
2
4 3
解： ∠2与∠4相等 ∵ ∠1﹢∠2 = 180°， ∠3﹢∠4 = 180° ∴ ∠2 = 180°─∠1， ∠4 = 180°─∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4
等角的补角相等
性质
1、余角的性质
补角具有同样的 性质吗？
同角（等角）的余角相等
2、补角的性质
同角（等角）的补角相等
课堂小结
例3 已知∠α＝50°17′，求∠α的余角和补角。 解：∠α的余角＝90°－50°17′＝ 39°43′，
∠α的补角＝180°－50°17′＝ 129°43′。
根据例题动脑填一填
一个角
45° 60°32′
这个角的余角 45° 29°28′
这个角的补角 135° 119°28′
120° x 不存在 (90-x)°
∠2= 90 °－ ∠BOC
B
∴∠1 = ∠2
D
同角的余角
相等
如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， 如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
2
1
4
3
解： ∠2与∠4相等 ∵ ∠1﹢∠2 = 90°， ∠3﹢∠4 = 90° ∴ ∠2 = 90°-∠1， ∠4 = 90°-∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4
本节课我们学习的主要内容是什么？
互为余角定义 2个定义 互为补角定义
余角的性质 同角（等角）的余角相等 2个性质 补角的性质 同角（等角）的补角相等
同学们，你们 学会了吗？
自我测试：
1、判断题：
(1)互余的两个角必定都是锐角。 （）
(2)一个角的余角必定是钝角。
（）
(3)一个角的补角必定是钝角。
（ ）
2 1
发现：∠1+ ∠2= 180°
1
2
∠2=90°－∠1
(4)若 AOB与 BOC互补，则A、O、C同在一直
线上.
（）
(5)如果 1 + 2+ 3= 90 °,
则这三个角叫做互余.
（ ）
2、如图，有两堵围墙OA、OB，有人想测 量地面上所形成的角∠AOB的度数，但人又不 能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量?
？
B
O A
C
D
动手做一做
12
旋转后
等角的余角相等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究二
2、 画出∠COB的补角,并猜想它们有什么关系?
C
1
A
O
B
2
D 解： ∵ ∠1+ ∠BOC = 180 ° ∠2+ ∠BOC = 180 ° ∴ ∠1= 180 °－ ∠BOC ∠2= 180 °－ ∠BOC ∴∠1 = ∠2
同角的补角 相等
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
4.6 角
定义一
互为余角：如果两个角的和等于90°(或
直角),就说这两个角互为余角(简称互余),也可 以说其中一个角是另一个角的余角。
∵ ∠1+ ∠2= 90° ∴ ∠1、 ∠2互为余角
1 2
1 2
定义二
互为补角：如果两个角的和等于180°(或
平角），就说这两个角互为补角，简称互补， 也可以说其中一个角是另一个角的补角
1、 画出∠COB的余角,并猜想它们有什么关系? 2、 画出∠COB的补角,并猜想它们有什么关系?
C
O
B
探究一
1、 画出∠COB的余角,并猜想它们有什么关系?
A
1
O
2
C 解： ∵ ∠1+ ∠BOC = 90 °
∠2+ ∠BOC = 90 °
∴ ∠1= 90 °－ ∠BOC
∵ ∠1+ ∠2= 180° ∴ ∠1、 ∠2互为补角
12
12
互余和互补的两个角只与它们的数量 有关，与位置无关。
练习一
用量角器测量出如下一组图中各个角的大小, 并说出你发现了什么。
1 2
①量得∠1= 68 度； ∠2= 22 度。 ②计算∠1+∠2= 68 度+ 22 度= 90 度 ③说明：互为 余 角
1
2
4 3
解： ∠2与∠4相等 ∵ ∠1﹢∠2 = 180°， ∠3﹢∠4 = 180° ∴ ∠2 = 180°─∠1， ∠4 = 180°─∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4
等角的补角相等
性质
1、余角的性质
补角具有同样的 性质吗？
同角（等角）的余角相等
2、补角的性质
同角（等角）的补角相等
课堂小结
例3 已知∠α＝50°17′，求∠α的余角和补角。 解：∠α的余角＝90°－50°17′＝ 39°43′，
∠α的补角＝180°－50°17′＝ 129°43′。
根据例题动脑填一填
一个角
45° 60°32′
这个角的余角 45° 29°28′
这个角的补角 135° 119°28′
120° x 不存在 (90-x)°
∠2= 90 °－ ∠BOC
B
∴∠1 = ∠2
D
同角的余角
相等
如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， 如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
2
1
4
3
解： ∠2与∠4相等 ∵ ∠1﹢∠2 = 90°， ∠3﹢∠4 = 90° ∴ ∠2 = 90°-∠1， ∠4 = 90°-∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4
本节课我们学习的主要内容是什么？
互为余角定义 2个定义 互为补角定义
余角的性质 同角（等角）的余角相等 2个性质 补角的性质 同角（等角）的补角相等
同学们，你们 学会了吗？
自我测试：
1、判断题：
(1)互余的两个角必定都是锐角。 （）
(2)一个角的余角必定是钝角。
（）
(3)一个角的补角必定是钝角。
（ ）
2 1
发现：∠1+ ∠2= 180°
1
2
∠2=90°－∠1
(4)若 AOB与 BOC互补，则A、O、C同在一直
线上.
（）
(5)如果 1 + 2+ 3= 90 °,
则这三个角叫做互余.
（ ）
2、如图，有两堵围墙OA、OB，有人想测 量地面上所形成的角∠AOB的度数，但人又不 能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量?
？
B
O A
C
D
动手做一做
12
旋转后
等角的余角相等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究二
2、 画出∠COB的补角,并猜想它们有什么关系?
C
1
A
O
B
2
D 解： ∵ ∠1+ ∠BOC = 180 ° ∠2+ ∠BOC = 180 ° ∴ ∠1= 180 °－ ∠BOC ∠2= 180 °－ ∠BOC ∴∠1 = ∠2
同角的补角 相等
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
4.6 角
定义一
互为余角：如果两个角的和等于90°(或
直角),就说这两个角互为余角(简称互余),也可 以说其中一个角是另一个角的余角。
∵ ∠1+ ∠2= 90° ∴ ∠1、 ∠2互为余角
1 2
1 2
定义二
互为补角：如果两个角的和等于180°(或
平角），就说这两个角互为补角，简称互补， 也可以说其中一个角是另一个角的补角