2016_2017学年高中数学几何变换与矩阵2.3.1_2矩阵乘法的概念矩阵乘法的简单性质学案

2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的简单性质1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们.2.会从几何变换的角度求MN 的乘积矩阵.3.通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.[基础²初探]1.矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22.2.矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵.(2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换.(3)当连续对向量实施n ²(n ＞1，且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n＝.3.矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A 、B 来说，尽管AB 、BA 均有意义，但可能AB ≠BA . (2)矩阵乘法满足结合律设A 、B 、C 均为二阶矩阵，则一定有(AB )C ＝A (BC ).(3)矩阵乘法不满足消去律设A 、B 、C 为二阶矩阵，当AB ＝AC 时，可能B ≠C .[思考²探究]1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法.(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律.2.矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？【提示】 矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.3.矩阵乘法MN 与NM 的几何意义一致吗？为什么？【提示】 不一致；因为前一个对应着先T N 后T M 的两次几何变换，而后者对应着先T M后T N 的两次几何变换.[质疑²手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：(1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1，计算AB . (2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算AB ，BA . (3)已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1，计算A 2、B 2.【精彩点拨】 利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明.【自主解答】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1³0＋0³0 1³0＋0³10³0＋0³0 0³0＋0³1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.(2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1³0＋0³1 1³（－1）＋0³00³0＋2³1 0³（－1）＋2³0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0³1＋（－1）³0 0³0＋（－1）³21³1＋0³0 1³0＋0³2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0.(3)A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12， B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00.这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义.(1)中尽管A 、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB ≠BA ；(3)中尽管B ≠C ，但有AB ＝AC ，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A 2＝A ，B 2＝0，这里0是一个二阶零矩阵.证明下列等式并从几何变换的角度给予解释.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0【导学号：30650025】【解】 ∵左＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1³1＋3³0 1³0＋3³00³1＋1³0 0³0＋1³0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，右＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1³1＋13³0 1³0＋13³0 0³1＋1³0 0³0＋1³0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0， ∴左＝右.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0对应的变换将平面上的点垂直投影到x 轴，而x 轴上的点沿x 轴的切变变换是不动点.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1130 1均为沿x 轴的切变变换，自然有等式成立.1所对应的矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，变换T 2所对应的矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算MN 、NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.【精彩点拨】 利用具体的几何变换验证.【自主解答】 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －121 0. 故MN ≠NM .从几何变换的角度来看，矩阵M 表示T 1为向x 轴压缩为一半的变换，矩阵N 表示T 2为逆时针旋转90°的变换.这样MN 表示矩阵ABCD 先经T 2，再经T 1的变换，变换结果如图(1)所示：而NM 表示矩形ABCD 先经T 1，再经T 2的变换，变换结果如图(2)所示.(2)从图(1)以及图(2)可知，MN 和NM 表示的不是同一个变换.一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律.但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律.算式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示AB ＝AC ，但A ≠0且有B ≠C ，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释.【导学号：30650026】【解】 左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1³1＋0³0 1³0＋0³20³1＋0³0 0³0＋0³2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100右边＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1³1＋0³0 1³0＋0³120³1＋0³0 0³0＋0³12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0. ∴左边＝右边.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x 轴上投影.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12，再往x 轴上投影.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程.【精彩点拨】 先求出旋转90°的矩阵Q ，进而求QP ，再求曲线方程.【自主解答】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 设A (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x ′0，y ′0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝－2y 0，y ′0＝x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ′0，y 0＝－x ′02. 又因为点A (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(y ′0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ′022＝1. 故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1.矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒.若将本例中两次变换的顺序交换，则曲线的方程如何？ 【解】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0， 则M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设A (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝－y 0，y ′0＝2x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ′02，y 0＝－x ′0.又因为点A (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′022＋(－x ′0)2＝1.故所得曲线的方程为x 2＋y 24＝1.[真题链接赏析](教材第47页习题2.3第5题)已知△ABC ，A (0，0)，B (2，0)，C (1，2)，对它先作M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换，再作N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换.已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1.求实数b 的值. 【命题意图】 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力. 【解】 从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0. 在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x ′，x 0＝y ′.解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1方程得，y ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b x ′2＝1.即曲线C 2方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4.所以b ＝±1.1.若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 4－2 3，则AB ＝________，BA ＝________. 【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－2 3 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1³1＋0³（－2） 1³4＋0³30³1＋2³（－2） 0³4＋2³3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 14－46，【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 14－462.若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1244，则AB ＝________，AC ＝________.【导学号：30650027】【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b a ＋b a ＋b a －b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b a －b a －b a ＋b ＝__________. 【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b a ＋b a ＋b a －b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b a －b a －b a ＋b＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a －b ）（a ＋b ）＋（a ＋b ）（a －b ） （a －b ）2＋（a ＋b ）2（a ＋b ）2＋（a －b ）2 （a ＋b ）（a －b ）＋（a －b ）（a ＋b ） ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2－2b 2 2a 2＋2b 22a 2＋2b 2 2a 2－2b 2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2－2b 2 2a 2＋2b 22a 2＋2b 2 2a 2－2b 24.矩阵乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12的几何意义是________. 【解析】 几何意义是先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换. 【答案】 先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(五)[学业达标]1.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，计算AB 、AC . 【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0. 2.计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 13.【解】 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3k 0 1. 3.已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3，W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－3 1，试求满足MZ ＝W 的二阶矩阵Z .【导学号：30650028】【解】 设Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则MZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2cb －2d 2a ＋3c 2b ＋3d .又因为MZ ＝W ，且W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2c ＝2，b －2d ＝－1，2a ＋3c ＝－3，2b ＋3d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－17，c ＝－1，d ＝37.故Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 －17－1 37. 4.验证下列等式，并说明其几何意义(结合法从右到左进行).(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110.【解】 (1)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 211＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝左边.故等式成立.从几何变换上说，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1把点P (x ，y )切变到点P 1(y ，x ＋y )；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101把点P 1(y ，x ＋y )切变到点P 2(x ＋2y ，x ＋y )；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2把点P 2(x ＋2y ，x ＋y )垂直于x 轴伸长2倍变成点P 3(x ＋2y ，2x ＋2y )；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011把点P 3(x ＋2y ，2x ＋2y )向y 轴正向切变到点P 4(x ＋2y ，3x ＋4y ).这样连续实施以上四次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234直接把点P (x ，y )变到点P 4(x ＋2y ，3x ＋4y )是一致的.(2)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k1＝左边.故等式成立.从几何上看，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110把点A (x ，y )以直线y ＝x 为对称轴，反射到其点A 1(y ，x )；而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01把点A 1(y ，x )平行于x 轴切变到点A 2(y ＋kx ，x )；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0把点A 2(y ＋kx ，x )以直线y ＝x 为对称轴，反射到对称点A 3(x ，y ＋kx ).这样连续三次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1直接把点A (x ，y )沿y 轴切变到A 3(x ，y ＋kx )是一致的.5.试求曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1.【导学号：30650029】【解】 MW ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 0 1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1³12＋0³0 1³0＋0³10³12＋2³0 0³0＋2³1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2.设(x ′，y ′)是曲线y ＝sin x 上任意一点，变换后曲线上与之对应的点为(x ，y )，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x ′ 2y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧12x ′＝x ，2y ′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y . 所以12y ＝sin 2x ，即y ＝2sin 2x . 故曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x .6.求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1. 【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－22， 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′ 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y 2. 代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0得xy ＝1，所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.7.已知晴天和阴天的转移矩阵A ，及表示今天天气晴、阴的概率α分别为A ＝明天晴天阴天⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 1313 23，α＝今天晴天阴天⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1878， (1)计算A 2、A 3，并分别说明A 2、A 3的实际意义；(2)请用矩阵A 与向量α表示出明天，后天与再后天的天气晴、阴的概率. 【解】 (1)A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤59 4949 59，A 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1427 13271327 1427， 它们分别表示A 2＝后天晴天,阴天)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤59 4949 59， A 3＝再后天晴天,阴天)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1427 13271327 1427. (2)明天天气晴、阴概率A α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3858； 后天天气晴、阴概率A 2α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11241324； 再后天天气晴、阴概率A 3α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35723772. [能力提升]8.设T A 是绕原点旋转且旋转60°的旋转变换，T B 是以直线x ＋y ＝0为轴的反射变换，求先进行T A 变换后进行T B 变换的复合变换对应的矩阵.【解】 若逆时针方向旋转，则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0， 故所求矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 －12－12 32. 若顺时针方向旋转，则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos （－60°） －sin （－60°）sin （－60°） cos （－60°）＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0，故所求矩阵为 BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－12－32. 综上所述，所求矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 －12－12 32或⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－12 －32.。