北师大数学九年级上册第四章比例线段

第01讲_比例线段知识图谱比例与比例线段知识精讲一．比例的性质1.比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b db d ac =⇔=；3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；4.合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； 5.分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； 6.合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； 7.等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．二．成比例线段1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a cb d =（::a bcd =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.618AC AB AB -=≈，350.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三点剖析一．考点：比例与成比例线段二．重难点：比例的性质三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质例题1、已知23a b=（0ab≠），下列比例式成立的是（）A.32ab= B.32a b= C.23ab= D.32ba=【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。

因此23a b=就可以转变为:3:2a b=。

例题2、如果x︰（x＋y）＝3︰5，那么x︰y＝（）A.85B.38C.23D.32【答案】D【解析】∵x︰（x＋y）＝3︰5，∴5x＝3x＋3y，2x＝3y，∴3:3:22x y==．例题3、设14a c eb d f===，则a c eb d f+-=+-__________．【答案】1 4【解析】由等比例定理易得14a c e ab d f b+-==+-．例题4、已知x y z、、满足235x y z z x==-+，则52x yy z-+的值为多少？【答案】1 3【解析】由235x y z z x==-+，得3y x=，32z x=．所以，55312333x y x xy z x x--==++．随练1、下列各组中得四条线段成比例的是（）A.4cm、2cm、1cm、3cmB.1cm、2cm、3cm、5cmC.3cm、4cm、5cm、6cmD.1cm、2cm、2cm、4cm 【答案】D【解析】A、从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于1×4=2×2，所以成比例，符合题意．随练2、已知513ab=，则a-ba+b的值是（）A.23- B.32- C.94- D.49-【答案】 D【解析】 解：由513a b =，得513a b =，∴58a-b 41313=518a+b 91313b b bb b b --==-+随练3、 已知y z z x x y x y z +++==（0x y z ++≠），求x y zx y z +-++的值． 【答案】 13x y z x y z +-=++【解析】 设y z z x x yk x y z+++===，则y z kx +=，z x ky +=，x y kz +=，所以，()()2x y z k x y z ++=++， ∵0x y z ++≠，∴2k =， ∴2123x y z z z x y z z z +--==+++．成比例线段例题1、 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A.5cm ，6cm ，7cm ，8cm B.3cm ，6cm ，2cm ，5cm C.2cm ，4cm ，6cm ，8cm D.12cm ，8cm ，15cm ，10cm【答案】 D【解析】 该题考查的是比例线段的定义．对四条线段a ，b ，c ，d 如果a cb d=，则这四条线段成比例．A ：58404267⨯=≠=⨯，不成比例；B ：26121535⨯=≠=⨯，不成比例；C ：28162446⨯=≠=⨯，不成比例；D ：1210120815⨯==⨯，成比例； 故本题选D ．例题2、 在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为（ ） A.20米 B.18米 C.16米 D.15米 【答案】 B【解析】 标杆的高标杆影长=旗杆的高旗杆的影长，即1.5=2.530旗杆高， ∴旗杆的高=1.5302.5⨯=18米．例题3、 已知线段a=4，c=9，那么a 和c 的比例中项b= ． 【答案】 6【解析】 ∵b 是a 、c 的比例中项， ∵b 2=ac ， 即b 2=36，∵b=6（负数舍去）， 故答案是6． 例题4、 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为__________． 【答案】 8cm【解析】 根据已知条件得下半身长是1600.696cm ⨯=，设需要穿的高跟鞋是ycm ，则根据黄金分割的定义得：960.618160yy +=+，解得：8y cm ≈．随练1、 把长为8cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长为_______cm 【答案】 ()451-【解析】 该题考查的是一元二次方程问题．把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即::AB AC AC BC =），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，设AC x =，则8BC x =-，则88xx x=-，解得()451x =-（舍去小于0的根），故答案为()451-．平行线分线段成比例定理知识精讲一．平行线分线段成比例定理1.定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例．2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．二．梯型如图，////AB CD EF ，则有AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．三．“8”字型如图，////AB CD EF ，则有AD BC DF CE AD BC DF CEDF CE AD BC AF BE AF BE====，，，．三点剖析一．考点：平行线分线段成比例二．重难点：1.平行线分线段成比例线段的对应关系；2.需要构造平行线来证明的问题．3.看似两组不相干线段的比例问题找到中间量，通过中间量进一步证明．三．易错点：1.成比例线段之间对应关系；2.在利用平行线分线段成比例的时候中间水平线段的比例不一定与两侧线段成比例．梯型例题1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若ABBC=12，则DEEF=（）A.13B.12C.23D.1【答案】B【解析】∵a∥b∥c，∴DEEF=ABBC=12．例题2、如图，已知在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，那么下面各等式中，错误的有（）A.::BD DC BE EA= B.::BD BC AF AC=C.::BE EA AF FC= D.::DF BA DE CA=【答案】D【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴::BD DC BE EA=，::BD BC AF AC=，::BE EA AF FC=，D选项中::DF BA CD DE=．例题3、如图，在∵ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∵BC，EF∵AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为．【答案】．【解析】∵DE∵BC，EF∵AB，∵==，∵AB=8，BD=3，BF=4，∵=，解得：FC=．例题4、如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）A.7B.7.5C.8D.8.5【答案】B【解析】暂无解析例题5、如图，ABC∆中，AB AC=，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED EC=，ED与AC交于点F ，则AFCF的值为多少？【答案】1 3【解析】解：过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，如图所示：D为BC中点，DG∥AC，G∴为AB的中点，EAC DGE∠=∠，DG∴是ABC∆的中位线，2AC DG∴=，AB AC=，ED EC=，B ACB∴∠=∠，EDC ECD∠=∠，EDC B DEG∠=∠+∠，ECD ACB ACE∠=∠+∠，ACE DEG∴∠=∠，在ACE∆和GED∆中，EAC DGEACE DEG EC ED∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩，()ACE GED AAS∴∆≅∆，AE DG∴=，AB AC =，D 为BC 中点， AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒，12DG AB AG BG ∴===，AE AG ∴=，//DG AC ，::1:2AF DG AE GE ∴==，即2DG AF =，4AC AF ∴=，13AF CF ∴=．随练1、 如图，四条平行直线1234l l l l ，，，被直线56l l ，所截，123AB BC CD =::::，若3FG =，则线段EF 和线段GH 的长度之和是（ ）A.5B.6C.7D.8【答案】 B【解析】 解：123////l l l ， EF AB FG BC ∴=，即132EF =，解得，32EF =，234////l l l ， FG BC GH CD ∴=，即323GH =，解得92GH =，则线段EF 和线段GH 的长度之和39622=+=．随练2、 如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若1AD =，3BC =，则AOCO的值为（ ）A.12B.13C.14D.19【答案】 B【解析】 该题考查平行线分线段成比例定理． ∵AD ∥BC ， ∴13AO AD CO BC ==， 所以答案为B随练3、 如图，////AB EF CD ，BC 、AD 相交于点O ，F 是AD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）AOBCDA.AO BOAD BC =B.OB OACE DF=C.EF OECD BE=D.2BE OEAD OF=【答案】 C【解析】 解：A ．由//AB CD 得AO BOAD BC=，所以A 选项的结论正确； B ．由//AB EF 得OA OB OF OE =，即OB OE OA OF =，由//EF CD 得OE OF EC FD =，即OE ECOF FD=， 则OB EC OA FD =，即OB OA CE DF=，所以B 选项的结论正确； C ．由//EF CD 得EF OECD OC =，所以C 选项的结论错误； D ．由//EF CD 得OE OF EC FD =，即OE EC OF FD =，而F 是AD 的中点，所以22OE CE OF DF =，即2OE BEOF AD=，所以D 选项的结论正确随练4、 如图7，直线a ∥b ∥c ，点B 是线段AC 的中点，若DE ＝2，则EF ＝________．【答案】 2【解析】 暂无解析 随练5、 如图，点1A ，2A ，3A ，…，点1B ，2B ，3B ，…，分别在射线OM ，ON 上．11OA =，121112A A A B OA ==，2313A A OA =，3414A A OA =，…．11A B ∥22A B ∥33A B ∥44A B …．则22A B =________，n n A B =___________（n 为正整数）【答案】 6；()1n n +【解析】 该题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，找规律． ∵11OA = ∴12212A A =⨯=图723342113134131n n n n A A A A A A n A A n---=⨯==⨯==-=∵11A B ∥22A B ∥33A B ∥44A B ∴111222OA A B OA A B = ∴2212112A B ⨯=+ ∴2262(21)A B ==⨯+ 3344123(31)204(41)A B A B ==⨯+==⨯+∴()1n n A B n n =+“8”字型例题1、 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，另两条直线与l 1、l 2、l 3分别交于点A 及点D ，点E 及点B ，点F 及点C ，且AB ＝3，DE ＝4，FE ＝2，那么下列等式正确的是（ ）A.BC ︰DE ＝1︰2B.BE ︰DE ＝2︰3C.BC·DE ＝8D.BC·DE ＝6 【答案】 D【解析】 根据题意可得：BC·DE ＝AB·EF ＝6． 例题2、 如图，AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB 、DB 、AC 于点E 、F 、G ，已知6AD =，10BC =，3AE =，5AB =，求EG 、FG 的长．【答案】 6EG =，185FG =． 【解析】 ∵△ABC 中，EG ∥BC ， ∴EG AE BC AB=， ∵10BC =，3AE =，5AB =， ∴3105EG =， ∴6EG =，∵△BAD 中，EF ∥AD ， ∴EF BE AD AB=，∵6AD =，3AE =，5AB =， ∴5365EF -=， ∴125EF =．∴185FG EG EF =-=．例题3、 如图，//AC BD ，AD 与BC 交于点E ，过点E 作//EF BD ，交线段AB 于点F ，则下列各式错误的是（ ）A.AF AEBF DE =B.BF BEAF CE=C.1AE BEAD BC+= D.AF CEBF DE=【答案】 D【解析】 解：//AC BD ，//EF BD ，//EF AC ∴， AF AE BF ED ∴=，BF BEAF EC =，故A 、B 正确． AE AF AD AB =，BE BFBC AB=， 1AE BE AF BF AF BF AB AD BC AB AB AB AB +∴+=+===，故C 正确． =AF CEBF EB，而DE EB ≠，故D 错误． 例题4、 已知，在ABC △中，AB AC >，AD AE =，DE 与BC 的延长线交于点M ．求证：::CE BM CM BD =．【答案】 见解析【解析】 该题考查的是平行线分线段成比例定理．过点C 作CF ∥BA ，交DM 于点F ， ∴::BM CM BD CF =， ∵CF ∥BA ，∴::AD CF AE CE =． 又∵AD AE =，∴CF CE =． ∴::BM CM BD CE =．例题5、 如图1，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BC 于点E ，连结OE ． （1）若OE =2，OB =4，求AE 的长；（2）如图2，若∠ABC =45°，∠AEB 的角平分线EF 交BD 于点F ，求证：BF =2OE ；（3）如图3，若∠ABC =45°，AE 与BD 交于点H ，连接CH 并延长交AB 于点G ，连EG ，直接写出的BCEDMA值．【答案】 （1）855． （2）答案见解析 （3）2【解析】 （1）如图1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴OA =OC ，OB =OD ，BD ⊥AC ，∵AE ⊥BC ，∴∠AEC =90°，∴AC =2OE =4，OA =OC =2，BC =22224225OB OC +=+=，∵12×BD ×AC =BC ×AE ， ∴12×8×4=25×AE ， ∴AE =855． （2）如图2中，连接AF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴BF 平分∠ABC ，∵∠ABC =45°∴∠ABF =22.5°，∵EF 平分∠AEB ，∴AF 平分∠BAE ，∴∠BAF =22.5°，∴∠FBA =∠F AB ，∴BF =AF ，∠AFO =∠FBA +∠F AB =45°，∴△AOF 是等腰直角三角形，∴AF =2OA ，∵OA =OE ，∴BF =2OE ．（3）结论：2BH EG=． 理由：如图3中，∵BO ⊥AC ，AE ⊥BC ，∴CG ⊥AB ，∵∠ABC =45°，∴∠CBG =∠BCG =45°，∴BG =CG ，∵∠HBG +∠BHG =90°，∠ACG +∠CHO =90°，∵∠BHG =∠CHO ，∴∠HBG =∠ACG ，在△BHG 和△CAG 中，BGH CGA HBG ACG BG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BHG ≌△CAG ，∴BH =AC ，∵12×AB ×CG =12×BC ×AE ，AB =CB ，∴AE =CG ，∵BE =AE ，BG =CG ，∴BG =BE ， ∴BG BE BA BC =， ∴EG ∥AC ， ∴22EG BG BG AC BA BC ===， ∴2BH AC EG EG==．随练1、 如图，△ABC 中，AB AC =，AD 交BC 边于点M ，12BD AC =，120BAC ABD ∠=∠=︒，请问（1）:BM MC 的值；（2）作ABC ∆的中线CF 交AM 与G ，则:CG GF 的值是多少？【答案】13；6． 【解析】 （1）过A 作AE BC ⊥于E ．AB AC =，120BAC ∠=︒，BE CE ∴=，30C ABE ∠=∠=︒．设BD k =，则2AB AC k ==．在BDM ∆中，90DBM ABD ABM ∠=∠-∠=︒，在ABE ∆中，90AEB ∠=︒，30ABE ∠=︒，2AB k =，AE k ∴=，在AME ∆与DMB ∆中，AME DMB AEM DBM AE DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AME DMB AAS ∆≅∆，EM BM ∴=，2CE BE BM EM BM ==+=，3MC EM CE BM ∴=+=，1:33BM MC BM BM ∴:==． （2）如图，作ABC ∆的中线CF 交AM 于G ，交AE 于H ，连接FM ．EM BM =，AF FB =，////FM AE BD ∴，2CH CE HF EM ∴==，23HE CE FM CM ==， 2CH HF ∴=，2213323k HE FM k ==⨯=， 233k AH AE HE k k ∴=-=-=，43HG AH GF FM ==， 令4HG t =，则3GF t =，7HF t =，14CH t =，18CG CH HG t ∴=+=，:18:36CG GF t t ∴==．拓展1、 已知线段a 、b 、c ，其中c 是a b 、的比例中项，若9cm a =，4cm b =，则线段c 长（ ）A.18cmB.5cmC.6cmD.6cm ±【答案】 C【解析】 暂无解析2、 若20a b=，10b c =，则a b b c ++的值为（ ） A.1121 B.2111 C.11021 D.21011【答案】 D【解析】 由题设得，12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 3、 在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm ，则该道路的实际长度是 km ．【答案】 2.8【解析】 设这条道路的实际长度为x ，则：1740000x=， 解得x=280000cm=2.8km ．∴这条道路的实际长度为2.8km ．故答案为：2.84、 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB ．若2AD BD =，则CF BF的值为___________【答案】12【解析】 ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，2AD BD =，∴2AD AE BD EC ==，2AE BF EC CF==， ∴12CF BF = 5、 如图，已知////AD BE CF ，它们依次交直线1l ，2l 于点A 、B 、C 和D 、E 、F ，25DE EF =，14AC =． （1）求AB 、BC 的长；（2）如果7AD =，14CF =，求BE 的长．【答案】 （1）4AB =，10BC =；（2）9BE =．【解析】 解：（1）////AD BE CF ， 25AB DE BC EF ∴==，27AB AC ∴=，57BC AC =，则247AB AC ==，5107BC AC ==． （2）过A 作//AH DF ，交BE 于G ，交CF 于H ．则有AD GE HF ==，25AB AG DE BC GH EF ===，7CH CF FH =-=， 25AB BC =，27AB BG AC CH ∴==，则有227BG CH ==，279BE BG GE =+=+=．6、 如图，在ABC ∆中，D 为BC 边上的中点，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，//DF AE 交AC 于F ，2AC =，1AB =，求CF 的长．【答案】32【解析】 解：延长DF 交BA 延长线于点G ，延长FD 到H 使得HD FD =，连接BH ．AE 平分BAC ∠，//DG AE ，BAE EAC DFC AFG DGA ∴∠=∠=∠=∠=∠，FA GA ∴=，又DH DF =，CD DB =，易得CFD BHD ∆≅∆，CF BH ∴=，CFD BHD AGF ∠=∠=∠，则BH BG CF ==，设AF x =，则1BG x =+，21CF AC AF x BH BG x =-=-===+，解得，12x =，322CF x =-=．7、 如图，平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ︰FC 等于（ ）A.1︰1B.1︰2C.1︰3D.2︰3【答案】 B【解析】 暂无解析 8、 在ABCD □中，E 在DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =_________．【答案】 3：5【解析】 该题考察相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质。