(完整版)高中数学平面向量专题复习(含例题练习)
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一 向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底， 故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+， 所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二 向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+， 所以1344AD AB AC =+， 故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =， 所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+， 解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+， 故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==， 【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==， 由OC OA OB OD DC λμ=+=+， 可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==， 因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=， 即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=． 故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=， 解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =.【题组三 线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩， 所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量 【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭， 故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--， 又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四 数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系， 则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确； 对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且 【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <， 当//a b 时，1040x +=，解得52x =-， 又因,a b 不共线，所以52x ≠-， 所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角． 【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)． 【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向． 由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五 向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=， 所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=， 所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+， 所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立， 即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立， 因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立， 令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <， 因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值． 【答案】(1)3π；(2)32． 【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=， 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯， 又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=， 即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， ，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α． 【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==， 选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ， 所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②： 因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=， 因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥， 所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。
高中数学平面向量经典练习题(附答案)
D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（ ）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题 解： 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量 ， 满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量 与 的夹角
(完整版)平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1．AC DB CD BA 等于________．2．若向量a＝（ 3，2）， b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是________．3．平面上有三个点A（ 1，3），B（ 2，2），C（ 7，x），若∠ ABC ＝90°，则 x 的值为 ________．4.向量 a、b 知足 |a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________．5．已知向量 a＝（ 1， 2）， b＝（ 3， 1），那么向量 2a－1b 的坐标是 _________．26．已知 A（－ 1， 2），B（ 2， 4）， C（4，－ 3）， D （ x，1），若AB与CD共线，则 | BD |的值等于 ________．7．将点 A（ 2， 4）按向量 a＝（－ 5，－ 2）平移后，所获得的对应点A′的坐标是 ______．8.已知 a=(1, －2), b =(1,x), 若 a⊥b,则 x 等于 ______9.已知向量 a, b 的夹角为120，且 |a|=2,| b |=5,则（ 2a- b）· a=______10.设 a=(2, － 3), b =(x,2x), 且 3a· b =4, 则 x 等于 _____11.已知 AB( 6,1), BC ( x, y), CD ( 2, 3), 且 BC ∥DA，则x+2y的值为_ ____12.已知向量a+3 b, a-4 b 分别与 7a-5 b,7a-2 b 垂直，且 |a|≠ 0,| b |≠ 0，则 a 与 b 的夹角为 ____uuur uuur uuur13．在△ ABC中， O 为中线 AM 上的一个动点，若AM=2 ，则OA OB OC 的最小值是.14．将圆x2y 2 2 按向量v=（2，1）平移后，与直线 x y0 相切，则λ的值为.二．解答题。
15．设平面三点A（ 1， 0）， B（ 0，1）， C（ 2， 5）．（1）试求向量 2 AB＋AC的模；（2）试求向量AB 与 AC 的夹角；（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标．16.已知向量a=( sin,cos)（R ）,b=(3,3 )（1）当为什么值时，向量a、b 不可以作为平面向量的一组基底1（2）求 |a －b|的取值范围17．已知向量 a 、 b 是两个非零向量，当 a+tb(t ∈R)的模取最小值时，（1）求 t 的值（2）已知 a 、 b 共线同向时，求证b 与 a+tb 垂直18. 设向量 OA (3,1), OB ( 1,2) ，向量 OC 垂直于向量 OB ，向量 BC 平行于 OA ，试求 OD OA OC 时,OD 的坐标 .19.将函数 y= － x 2 进行平移， 使获得的图形与函数 y=x 2－ x － 2 的图象的两个交点对于原点 对称 .(如图 )求平移向量 a 及平移后的函数分析式 .20.已知平面向量 a( 3, 1), b (1, 3).若存在不一样时为零的实数k 和 t,使2 2x a (t 23)b, y ka t b, 且 x y.（ 1）试求函数关系式 k=f （ t ）（ 2）求使 f （ t ）>0 的 t 的取值范围 .21 11. 02.（－ 3，－ 4）3.74.90°5.（ 2 ， 3 2 ）．6.73 ． 7.（－ 3， 2）．8.－ 29.12110. 311.012. 90 ° 13.214.1或 515. （ 1）∵AB ＝（ 0－ 1， 1－0）＝（－ 1， 1）， AC ＝（ 2－ 1， 5－ 0）＝（ 1，5）．∴ 2 AB ＋ AC ＝ 2（－ 1， 1）＋（ 1， 5）＝（－ 1， 7）．∴ |2AB ＋ AC |＝ ( 1)2 72 ＝ 50．（2）∵ | AB |＝( 1)212＝ 2 ．|AC |＝ 12 52 ＝ 26 ，AB ·AC ＝（－ 1）× 1＋ 1×5＝ 4．AB AC4 2 13∴ cos ＝ | AB | | AC | ＝ 226＝ 13 ．（3）设所求向量为m ＝（ x ， y ），则 x 2＋ y 2＝ 1． ①又 BC ＝（ 2－ 0， 5－ 1）＝（ 2，4），由 BC ⊥ m ，得 2 x ＋ 4 y ＝ 0．②x 2 5x －2555y5 ． y5 ．2 55 2 555 55）或（－ 55）即由①、②，得 5 或 ∴ （ ，－，为所求．16．【解】（1）要使向量 a 、 b 不可以作为平面向量的一组基底，则向量 a 、 b 共线3sin3 cos30 tan∴3k(k Z ) k(kZ ) 故6，即当6基底时，向量 a 、b 不可以作为平面向量的一组（2） | a b | (sin 3) 2 (cos 3)2 13 2( 3 sin3cos )而 2 33 sin3cos2 3∴ 2 3 1 | a b | 2 3 1317．【解】（1）由 ( a tb) 2| b |2 t 22a bt| a |2t2a b| a |cos(是a与b的夹角）当2 | b |2| b |时 a+tb(t ∈ R)的模取最小值| a |t（2）当 a、 b共线同向时，则0，此时| b |∴ b (a tb) b a tb2b a | a ||b | | b || a | | a || b | 0∴b⊥ (a+tb)18．解：设OC(x, y),OC OB OCOB 0 2 y x0①又BC // OA,BC(x1, y2)3( y 2)( x 1) 0即：3y x7②x14,联立①、②得y710分OC(14,7),于是 OD OC OA(11,6) .19．解法一：设平移公式为x x hy y k 代入 y x2，获得y k( x h) 2 .即 y x22hx h 2k ，把它与 y x 2x2联立，y x 22hx h 2k得yx 2x 2设图形的交点为（x1， y1），（ x2， y2），由已知它们对于原点对称，x1x2即有：y1y2 由方程组消去y得：2x2(12h) x 2 h 2k 0.4x 1 x 21 2h且x 1x 20得h1 . 由22又将（x 1, y1 ），( x 2, y 2 )分别代入①②两式并相加，得： y 1 y 2x 12 x 22 2hx 1 x 2 h 2 k 2.0 (x 2x 1 )( x 2x 1 ) (x 1x 2 ) 1 k 2k9.a ( 1 , 9)4. 解得42 4 .xx12y y9x2得： yx 2平移公式为：4 代入 yx2 .解法二：由题意和平移后的图形与y x 2x2交点对于原点对称，可知该图形上全部点都能够找到对于原点的对称点在另一图形上，所以只需找到特点点即可.y x2x2的极点为(1, 9)1 , 924 ，它对于原点的对称点为 （ 2 4 ），即是新图形的极点 .因为新图形由 yx 2h1 0 1, k 99平移获得， 所以平移向量为22 44 以下同解法一 .20．解：（ 1）xy, x y 0.即[( at 2 3)b]( k a tb)0.a b0, a 221,4k t(t23) 0,即k1t(t 23).4,b1t (t 24（ 2）由 f(t)>0, 得3) 0,即t (t3)(t3)0,则3t 0或t3.45。
(完整版)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。
全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用经典大题例题
全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用经典大题例题单选题1、已知向量a ⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13则a ⃗与b ⃗⃗的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 答案：C分析：先对|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13平方，代入已知条件整理得a ⃗⋅b ⃗⃗=−3，再利用数量积公式可求得. ∵|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13，∴|a ⃗−2b ⃗⃗|2=a ⃗2−4a ⃗⋅b ⃗⃗+4b ⃗⃗2=52， 又|a ⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，∴a ⃗⋅b ⃗⃗=−3， 设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ， ∴cosθ=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=−12，从而θ=2π3，所以a ⃗与b⃗⃗的夹角θ=2π3. 故选：C2、向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−5)，将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量a =(3,6)平移后得到向量A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标形式为（ ） A ．(10,1)B ．(4,−11) C ．(7,−5)D ．(3,6) 答案：C分析：由向量平移可知，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等，即可得A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标. 因为平移后，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等，故A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−5). 故选：C3、在正方形ABCD 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：C分析：根据平面向量加减运算法则计算可得.解：BC⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选：C.4、定义空间两个向量的一种运算a⊗b⃗=|a|⋅|b⃗|sin⟨a ,b⃗⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⊗b⃗)=(λa)⊗b⃗B．(a⊗b⃗)⊗c=a⊗(b⃗⊗c)C．(a+b⃗)⊗c=(a⊗c)+(b⃗⊗c)D．若a=(x1,y1)，b⃗=(x2,y2)，则a⊗b⃗=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa )⊗b⃗=|λa||b⃗|sin<λa ,b⃗>，λ>0时，<λa ,b⃗>=<a ,b⃗>，(λa )⊗b⃗=λ|a||b⃗|sin<a ,b⃗>=λ(a⊗b⃗)，λ=0时，λ(a⊗b⃗)=0,(λa)⊗b⃗=0，成立，λ<0时，<λa ,b⃗>=π−<a ,b⃗>，sin<λa ,b⃗>=sin(π−<a ,b⃗>)=sin<a ,b⃗>(λa )⊗b⃗=−λ|a||b⃗|sin<a ,b⃗>=−λ(a⊗b⃗)，综上，A不恒成立；B．a⊗b⃗是一个实数，(a⊗b⃗)⊗c无意义，B不成立；C．若a=(0,1),b⃗=(1,0)，c=(1,1)，则a+b⃗=(1,1)，<a+b⃗,c>=0，(a+b⃗)⊗c=|a+b⃗||c|sin0=√2×√2×0=0，<a ,c>=π4,<b⃗,c>=π4，(a⊗c)+(b⃗⊗c)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a+b⃗)⊗c≠(a⊗c)+(b⃗⊗c)，C错误；D．若a=(x1,y1)，b⃗=(x2,y2)，则|a|=√x12+y12，|b⃗|=√x22+y22，cos<a ,b⃗>=1212√x1+y1×√x2+y2，sin <a ,b ⃗ >=√1−cos 2<a ,b⃗ >=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)，所以a ⊗b ⃗ =|a ||b ⃗ |sin <a ,b ⃗ >=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ,b ⃗ >用cos <a ,b⃗ >，而余弦可由数量积进行计算． 5、若z(1+i 3)=i ，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断. 因为z(1−i )=i ， 所以z =i 1−i=i (1+i )2=−1+i 2，故z 对应的点位于复平面内第二象限． 故选：B ．6、已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若AB =2，∠BAD =60°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ） A ．−2B ．−12C ．−72D ．12 答案：B分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解. 解：如图，以点O 为坐标原点，OD,OA 所在直线为x,y 轴建立平面直角坐标系， 由AB =2，∠BAD =60°，所以A(0,√3)，B(−1,0)，D(1,0)，E(0,√32)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−√3),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√32)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1−32=−12. 故选：B小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.7、已知向量a ，b ⃗ 满足|a |=√3，|b ⃗ |=2，且a ⊥(a −b ⃗ )，则a 与b ⃗ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⊥(a −b ⃗ ),所以a ⋅(a −b ⃗ )=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a 与b ⃗ 的夹角为30°，故选：A.8、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC2AC=√5−14，故BC AC=√5−12； 所以BD AB=√5−12， 设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．9、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3 答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可. ∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12，∵0<A <π，∴A =π3.故选：C10、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3xAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=15(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=15×(62−4×22)=4 故选：B 填空题11、设向量a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为13，且|a |=1，|b ⃗ |=3，则(2a +b⃗ )⋅b ⃗ =_________． 答案：11分析：设a 与b ⃗ 的夹角为θ，依题意可得cosθ=13，再根据数量积的定义求出a ⋅b⃗ ，最后根据数量积的运算律计算可得．解：设a 与b ⃗ 的夹角为θ，因为a 与b⃗ 的夹角的余弦值为13，即cosθ=13， 又|a |=1，|b ⃗ |=3，所以a ⋅b ⃗ =|a |⋅|b⃗ |cosθ=1×3×13=1， 所以(2a +b ⃗ )⋅b ⃗ =2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2a ⋅b⃗ +|b ⃗ |2=2×1+32=11．所以答案是：11．12、已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,，则|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为______． 答案：[3,17]分析：由题可得|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，利用||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |即可求解. 因为CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 又||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 即3≤|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤17，即3≤|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤17. 所以答案是：[3,17].13、如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC →⋅BC →的取值范围是___________.答案：[−18,3]分析：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD ⊥BC .设θ为OA →和BC →的夹角.求出 AC →⋅BC →=12|BC →|2−12|BC →|cosθ,利用二次函数即得解.解：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD ⊥BC . 设θ为OA →和BC →的夹角.则AC →⋅BC →=(OC →−OA →)⋅BC →=OC →⋅BC →−OA →⋅BC →=|OC →|⋅|BC →|⋅cos∠BCO −|OA →|⋅|BC →|⋅cosθ =12|BC →|2−12|BC →|cosθ，12|BC →|2−12|BC →|cosθ≥12|BC →|2−12|BC →| =12(|BC →|−12)2−18， （当cosθ=1即θ=0时取等）因为|BC →|∈[0,2]，所以当|BC →|=12时，AC →⋅BC →有最小值−18.12|BC →|2−12|BC →|cosθ≤12|BC →|2+12|BC →| =12(|BC →|+12)2−18， （当cosθ=−1即θ=π时取等）当|BC →|=2时，12|BC →|2+12|BC →|有最大值为3，即AC →⋅BC →有最大值3，所以AC →⋅BC →的取值范围是[−18,3]. 所以答案是：[−18,3]小提示：关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型AC →⋅BC →=12|BC →|2−12|BC →|cosθ，再利用二次函数的图象和性质求解. 解答题14、已知正方形ABCD 的边长为1．E 是AB 上的一个动点，求DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值及DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． 答案：1，最大值为1．分析：建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x 0,0)，得到向量的坐标，利用向量数量积的运算公式，即可求解. 如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)， 设E (x 0,0)，其中0≤x 0≤1，则DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,−1)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1， 又由DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0，而0≤x 0≤1，所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为1． 所以答案是：1； 1.15、在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，（1）如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ,b ⃗ 分别表示BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ . （2）如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ,b ⃗ 表示AG ⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案：（1）BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12a +b ⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −12b ⃗ （2）AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +34b ⃗ . 分析：（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可； （2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.（1）BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a +b⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −12b ⃗ ； （2）AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +34b ⃗ .。
高中数学必修二 6 1 平面向量的概念(精练)(含答案)
6.1 平面向量的概念(精练)【题组一向量与数量的区别】1．(2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一月考)给出下列量：①角度；①温度；①海拔；①弹力；①风速；①加速度．其中是向量的有( )A．2个B．2个C．4个D．5个【答案】B【解析】根据题意，在①角度、①温度、①海拔、①弹力、①风速、①加速度中，是向量的有①弹力、①风速、①加速度，有3个，故选：B．2．(2021·浙江·高一课时练习)下列各量中是向量的是( )A．时间B．速度C．面积D．长度【答案】B【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：B．3．(2021·全国·高一课时练习)给出下列物理量:①密度；①路程；①速度；①质量；①功；①位移.下列说法正确的是A．①①①是数量，①①①是向量B．①①①是数量，①①①是向量C．①①是数量，①①①①是向量D．①①①①是数量，①①是向量【答案】D【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D4．(2021·上海·高一课时练习)下列各量中，哪些是向量(即矢量)，哪些是数量(即标量)？(1)密度(2)体积(3)电阻(4)推进力(5)长度(6)加速度向量：__________；数量：____________.(填写相应编号).【答案】(4)(6) (1)(2)(3)(5)【解析】密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推进力、加速度是既有大小又有方向的量，是向量.故答案为：(4)(6)；(1)(2)(3)(5).【题组二 向量的几何表示】1．(2021·全国·高一课时练习)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.(1)按1①100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？【答案】见解析.【解析】(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零．按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180α︒-的正多边形，由多边形的内角和定理可得(180)(2)180n n α︒-=-⋅︒， 解得360nα︒=，且3,*n n N ≥∈．故α应满足的条件为360nα︒=，且3,*n n N≥∈．2．(2021·全国·高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且5AC=.(1)画出所有的向量AC；(2)求BC的最大值与最小值．【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)画出所有的向量AC，如图所示：(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC|①当点C位于点C5或C6时，|BC|所以|BC|3(2021·全国·高一课时练习)在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a．(1)试以B为起点画一个向量b，使=b a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．4．(2021·江苏·高一课时练习)在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b，使b a=；c=，并说出向量c的终点的轨迹是什么？(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使5【答案】(1)作图见解析；(2)向量c的终点的轨迹是以A.【解析】(1)由题意，B为起点画一个向量b，使b a=，如图所示.c=，则向量c的终点表示以A(2)因为5【题组三向量相关概念的辨析】1．(2021·湖南·武广实验高级中学高一期末)下列四个命题正确的是( )A．两个单位向量一定相等B．若a与b不共线，则a与b都是非零向量C．共线的单位向量必相等D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【答案】B【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a与b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选：B．2．(2021·全国·高一课时练习)下列关于向量的描述正确的是A ．若向量a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a ，b 都是单位向量，则1a b ⋅=C ．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D ．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【解析】对于选项A ：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1，方向不定，故向量a 和b 不一定相同，故选项A 错误；对于选项B ：因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=，由[]cos 1,1θ∈-知，1a b ⋅=不一定成立，故选项B 错误； 对于选项C ：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C 错误；对于选项D ：因为所有单位向量的模为1，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D 正确；故选：D.3．(2021·广西·田东中学)下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量；①若a →，b →满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→>； ①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；①若a →①,b b →→①c →，则b →①c →．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；对于①，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误；对于①，向量是有方向的量，不能比较大小，故①错误；对于①，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故①错误；对于①，0b →→=时，若a b b c →→→→∥，∥，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．4．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的个数是( )①时间、摩擦力、重力都是向量；①向量的模是一个正实数；①相等向量一定是平行向量；①向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；①零向量的模为零，故①错；①相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故①正确；①零向量与任意向量都共线，因此若向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量，即①正确.故选：B.5．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段①零向量是没有方向的向量①零向量的方向是任意的①任何向量的模都是正实数A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其方向是任意的，故①错，①正确；零向量的模等于0，故①错.故选：B.6．(2021·江苏·高一)下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;①向量的大小与方向有关;①任意两个零向量方向相同;①模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;①向量不能比较大小,故①错误;①由零向量方向的任意性知①错误;①向量相等是向量模相等,且方向相同,故①错误.故选：A.7．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；①零向量的方向都是相同的；①单位向量都是同方向；①任意向量与零向量都共线．A．①①B．①①C．①①D．①①【答案】D【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；①零向量的方向任意，故错误；①单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；①任意向量与零向量都共线，正确；故选：D8．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数有( )①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；①单位向量都相等；①任一向量与它的相反向量不相等；①共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．A．0B．1C．2D．3【答案】AAB CD，或A,B，C，D在同条直线上，故①错误；【解析】对于①，若向向量AB与CD是共线向量，则//对于①，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故①错误；对于①，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故①错误；对于①，比如共线的向量AC与BC(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故①错误.故选：A．【题组四相等向量与平行向量】1．(2021·全国·高一课时练习)下图中与向量a相等的向量是( )A．b，c，e，f B．c，f C．f D．c【答案】D【解析】由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件，故选：D2．(2021·全国·高一课时练习)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由图可知，根据正六边形的性质，与CA共线的有AC，DF，FD，共3个，故选：C.3．(2021·全国·高一课时练习)如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:①AE AB AD CD CB DE，，，，，都是单位向量;①AB①DE DE，①DC①与AB相等的向量有3个;①与AE共线的向量有3个;①与向量DC大小相等、方向相反的向量为DE CD BA，，.其中正确的是____.(填序号)【答案】①①①①【解析】①由两菱形的边长都为1，故①正确;①正确;①与AB 相等的向量是ED DC ，，故①错误;①与AE 共线的向量是EA BD DB ，，，故①正确;①正确.故答案为：①①①①4．(2021·上海·高一课时练习)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有______个；(2)______；(3)与AB 相等的向量有______；(4)1AA 的相反向量有______．【答案】8 1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB 11A B 、DC 、11DC 1A A 、1B B 、1C C 、1D D【解析】(1)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以单位向量有428⨯=个；(2)由图可知，1111A D AD BC BC ====1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；(3)由图可知，1111AB DC A B D C ===，所以与AB 相等的向量有：11A B 、DC 、11DC ；(4)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以1AA 的相反向量有：1A A 、1B B 、1C C 、1D D ； 故答案为：8；1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；11A B 、DC 、11DC ；1A A 、1B B 、1C C 、1D D .5．(2021·全国·高一课时练习)O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO ，BO 相等的向量；(2)找出与AO 共线的向量；(3)找出与AO 模相等的向量；(4)向量AO 与CO 是否相等？【答案】(1)AO BF =，BO AE =；(2)BF ，CO ，DE ；(3)CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)不相等．【解析】因为O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形， 所以OA AE OD DE OC CF BF BO =======，AB CD BC AD ===；(1)由题中图形可得：AO BF =，BO AE =；(2)由图形可得，与AO 共线的向量有：BF ，CO ，DE ；(3)与AO 模相等的向量有：CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)向量AO 与CO 不相等，因为它们的方向不相同．6．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c .相等的向量．【答案】(1)OD ，BC ，AO ，FE .(2)EF ，BC ，OD ，FE ，CB ，DO ，AO ，DA ，AD .(3)与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA ；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB .【解析】(1)因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE.(2)由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.(3)由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.。
高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)
高中数学平面向量专题经典练习题（附答案）一.单选题（共10小题，每题5分，共50分）1.设，是两个非零向量，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则存在实数，使得D.若存在实数，使得，则2.如图，在平行四边形中，分别是的中点，则图中所示的向量中与平行的有（）A.个B.个C.个D.个3.下列说法中正确的是（）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量与向量的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的4.数轴上点分别对应则向量的长度是（）A. B. C. D.5.已知向量与的方向相反，且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A. B. C.， D.6.已知为两个单位向量，则下列叙述正确的是（）A.B.若，则C.或D.若，，则7.已知点，，，，则与向量同向的单位向量为（）A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为，准线为是上一点是直线与抛物线的一个交点，若，则（）A. B. C. D.9.下列结论中正确的是（）若且，则；若，则且；若与方向相同且，则；若，则与方向相反且.A. B. C. D.10.已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为（）A.,B.C.D.二.填空题（共10小题，每题5分，共50分）11.已知向量，，若与方向相反，则等于.12.若向量满足，则.13.等腰直角中，点是斜边边上一点，若，则的面积为.14.在中，，是的中点，，则，.15.在中，内角所对的边分别为则.16.在中，内角的对边分别是若则.17.在中，，是中点，，试用表示为，若，则的最大值为.18.如图，已知在矩形中设则.19.已知向量满足则.20.已知向量与的夹角为则.三.解答题（共5小题，每题10分，共50分）21.已知与的夹角为.(1)若求；(2)若与垂直，求.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系是曲线：上任一点，点满足.设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)已知曲线向上平移个单位后得到曲线设曲线与直线：为参数)相交于两点，求的值.23.已知向量向量函数．(1)当时，求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)若函数在区间的最大值为，求函数在的最小值．24.已知的内角满足.(1)求角；(2)若的外接圆半径为求的面积的最大值.25.在中，内角的对边分别为且.(1)求角的大小；(2)若且外接圆的半参考答案一、选择题第1题第2题故选C第3题单位向量的方向是任意的，所以当两个单位向量的起点相同时，其终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项A不正确；向量与向量方向相反，长度相等，所以选项B正确；向量是既有大小，又有方向的量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项C不正确；规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项D不正确.故选B.第4题第5题故选A 第6题故选D第7题故选A第8题故选B第9题选B第10题二、填空题第11题第12题第13题第14题第15题第16题第18题第20题三、解答题第21题第23题第24题第25题。
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平面向量专题复习一．向量相关观点：1．向量的观点：既有大小又有方向的量，注意愿量和数目的差别。
向量常用有向线段来表示，注意不可以说向量就是有向线段，为何？（向量能够平移） 。
如：2．零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是随意的；uuuruuur3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是 AB ) ；uuur| AB|4．相等向量：长度相等且方向同样的两个向量叫相等向量，相等向量有传达性；5．平行向量（也叫共线向量） ：方向同样或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提示：①相等向量必定是共线向量，但共线向量不必定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不一样的两个观点：两个向量平行包括两个向量共线, 但两条直线平行不包括两条直线重合； r③平行向量无传达性！ （由于有 0 ) ；uuur uuur④三点 A 、 B 、 C 共线 AB 、AC 共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－ a 。
如r r r r（ 3）若例 1：（ 1）若 a b ，则 a b 。
（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点同样，终点同样。
uuur uuuruuur uuur r r r r ABrDC ，则 ABCD 是平行四边形。
（4）若 ABCD 是平行四边形，则 ABDC 。
（ 5）若 a b,bc ，则rr r r r r rac 。
（ 6）若 a // b, b // c ，则 a // c 。
此中正确的选项是 _______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内成立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向同样的两个单位向量i ， j 为基底，r r rx, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a ＝ x, y 叫做向量 a 的则平面内的任一直量 a 可表示为 a xi y j坐标表示。
假如向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标同样。
三． 平面向量的基本定理：假如e 1 和 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一直量a ，有且只有一对实数 1 、2 ，使 a = 1 2r r1 e ＋2 e 。
如(1, r( 1,2) r______例 2（ 1）若 a (1,1),b1),c ，则 c（ 2）以下向量组中，能作为平面内全部向量基底的是ur uur ur uurA. e 1 (0,0), e 2 (1, 2)B. e 1 ( 1,2), e 2 (5,7)ur uur(6,10)ur uur(1, 3) C. e 1(3,5), e 2 D. e 1 (2, 3),e 2uuur uuur24 uuur r uuur r uuur r r（ 3）已知 AD , BE 分别是 ABC 的边 BC, AC 上的中线 ,且 AD a, BE b ,则 BC 可用向量 a, b 表示为_____（ 4）已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD2DB ，CD r ABs AC ，则 r s 的值是 ___四．实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定以下：1r ra a a a a a , 2五．平面向量的数目积：uuurr uuurrAOB1．两个向量的夹角：关于非零向量a ，b ，作 OA a, OBb ，称为向量 a ， b 的夹角，当＝ 0 时， a ， b 同向，当＝时， a ， b 反向，当＝ 时，2a ，b 垂直。
r r2．平面向量的数目积： 假如两个非零向量 a ， b ，它们的夹角为叫做 a，我们把数目 | a || b | cosr r与 b 的数目积（或内积或点积） ，记作： a ? b ，即 a ? b ＝ a b cos。
规定：零向量与任一直量的数目积是 0，注意数目积是一个实数，不再是一个向量。
r3． b 在 a 上的投影为 |b | cos ，它是一个实数，但不必定大于0。
4． a ? b 的几何意义：数目积ra ?b 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积。
5．向量数目积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为，则：r r r r① a b a ?b 0 ；r rr 2r r r 2 r r 2②当 a ， b 同向时， a ? b ＝ a b ，特别地， aa ? a a , aa ；当 a 与b 反向时， a ? b ＝r r为锐角时， a ? b ＞ 0，且 r rr r0 是－ a b ；当a 、b 不一样向，a b 为锐角的必需非充足条件；当为钝r r r r0 是 角时， a ? b ＜ 0，且 a 、b 不反向， a b③非零向量 a ， b 夹角的计算公式： cos为钝角的必需非充足条件；r rr r r r a ?br r ；④ | a ?b | | a || b |。
a b例 3 如（1）△ABC 中， | AB |3，|AC |4，| BC |5，则 AB BC_________r1r1rr r urr r rur ，则 k 等于 ____（ 2）已知 a(1, ),b (0,), ca kb,dab ，c 与d 的夹角为r2rr r 2 r r 等于 ____ 4（ 3）已知 a2, b5, agb 3 ，则 a br rr r r r r r r （ 4）已知 a,b 是两个非零向量，且a b a b ，则 a 与 a b 的夹角为 ____例 4 已知 | a | 3 ， | b | 5 ，且 a b 12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ______例 5（ 1）已知 a( ,2) ， b (3 ,2) ，假如 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值范围是 ______（ 2）已知OFQ 的面积为 S ，且 OF FQ ，若 1 S 3 ，则 OF,FQ 夹角 的取值范围是。
1 2 2六．向量的运算：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法例”进行，但“平行四边形法例”只合用于不共线的向量，这样之uuurr uuurruuurrr外，向量加法还可利用“三角形法例” ：设 ABa, BCb ，那么向量AC 叫做 a 与 b 的和，即r r uuur uuur uuura b AB BC AC ；uuurr uuur r r r uuur uuur uuur②向量的减法：用“三角形法例”：设 AB a, AC b, 那么 a bAB AC CA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点同样。
r r (x 2 , y 2 ) ，则：2．坐标运算：设 a (x 1, y 1 ), br r①向量的加减法运算： a b ( x 1 x 2 ，y 1 y 2 ) 。
ruuur③若 A( x 1 , y 1), B( x 2 , y 2 ) ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
rr x xy y④平面向量数目积： a? b。
如1212已知向量 a ＝（ sinx ，cosx ）, b ＝（ sinx ， sinx ） , c ＝（－ 1，0）。
（1）若 x ＝，求向量 a 、 c的夹角；（ 2）若 x ∈ [31，求3, ] ，函数 f (x)a b 的最大值为的值84r 2r2rx 2x 2 y 2 。
⑤向量的模： | a |y 2 , a | a |2A x 1, y 1 ,B x 2 , y 2 ，则|AB|x 2 x 1 2 y 2 2⑥两点间的距离：若 y 1 。
uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuuruuur uuur例 6：① AB BC CD ___；② AB AD DC ____；③ ( AB CD ) ( AC BD ) _____例 7（ 1）已知点 A(2,3), B(5,4) ， C(7,10)uuur uuur uuur R) ，则当 ＝ ____时，点 P 在第一、，若 AP AB AC ( 三象限的角均分线上且 1uuur（ ）已知A(2,3), B(1,4), (sin x,cos y)， ,y(, )，则 x y2ABx 222例 8 设 A(2,3), B(uuur1 uuuruuur uuur1,5) ，且 AC3 AB ，AD 3AB ，则 C 、 D 的坐标分别是 __________ r ruur r例 9 已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为60 o ，那么 | a 3b | ＝_____七．向量的运算律：r rr r r r r r r r1．互换律： ab b a ， a a ， a ?b b ? a ； rr r r r r r r r r r r r r r r r r 2．联合律： abc a b c, a b c a b c ， a ? b a ?b a ? b ；r r r r r r r r r r r r r r 3．分派律：a a a, ab a b ， a b ?c a ?c b ? c 。
例 10 以下命题中：①a (bc ) a b a c ；②a (b c)( a b) c ；③ ( a b)2 | a |2 r r rr r r r r r r 2 r 22 | a | | b | 2；④ 若a b0 ，则 a 0 或 b a b b | b |0 ；⑤若 a bc b, 则 ac ；⑥ aa ；⑦ r 2r ； r rr 2 r 2r rr 2r rr 2aa。
此中正确的选项是______⑧ (a b) 2a b ；⑨ (a b)2 a 2a b b提示：（ 1）向量运算和实数运算有近似的地方也有差别：关于一个向量等式，能够移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不可以两边同除以一个向量，即两边不可以约去一个向量，牢记两向量不可以相除 (相约 )；（ 2）向量的“乘法”不知足联合律，即 a(b ? c) (a ? b)c ，为什么？r rr r r r r r八．向量平行 ( 共线 ) 的充要条件： a // bab( a b)2(| a || b |)2x 1 y 2 y 1 x 2 ＝ 0。
rrrr例 11(1)若向量 a( x,1), b (4, x) ，当 x ＝ _____时 a 与 b 共线且方向同样rrrrrrrrr r（ 2）已知 a (1,1),b (4, x) ， ua 2b ， v 2a b ，且 u // v ，则 x ＝______uuur uuur uuur(10,k) ，则 k ＝_____时， A,B,C 共线（ 3）设 PA (k,12), PB (4,5), PCr rr r r r r r九 ． 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ： a ba b 0| a b | | a b |x 1 x 2 y 1 y 2 0 . 特 别 地uuuruuuruuuruuurAB AC AB AC) 。