高三数学反三角函数概念、图像和性质,反三角函数的运算,简单的三角方程知识精讲

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高三数学-高考复习讲义-反三角函数与最简三角方程讲义资料(Word版)

高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。

反三角函数及最简三角方程.docx

标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。

角、反三角函数图像及性质与三角公式

三角、反三角函数图像(附：资料全部来自网络，仅对排版做了改动，以方便打印及翻阅，其中可能出现错误，阅者请自行注意。

）1.六个三角函数值在每个象限的符号：sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα2.三角函数的图像和性质：1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx函数 y=sinx y=cosx y=tanxy=cotx定义域RR｛x ｜x∈R 且x≠kπ+2π,k∈Z ｝｛x ｜x∈R 且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+2π时y max =1 x=2kπ-2π时y min =-1［-1,1］ x=2kπ时y max=1x=2kπ+π时y min =-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在［2kπ+2π,2kπ+32π］上都是减函数(k∈Z)在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)在(kπ-2π，kπ+2π)内都是增函数(k∈Z)在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)3.反三角函数的图像和性质：arcsinx arccosxarctanx arccotx名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x∈〔-2π,2π〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsinyy=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tanx(x∈(-2π,2π)的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctanyy=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty理解arcsinx表示属于［-2π,2π］且正弦值等于x的角arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角arctanx表示属于(-2π,2π)，且正切值等于x的角arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角性质定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域［-2π，2π］［0，π］(-2π，2π)(0，π)单调性在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函数arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotxarcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x当 x∈[-π/2, π/2] arcsin(sinx)=xx∈[0,π] arccos(cosx)=xx∈(-π/2, π/2) arctan(tanx)=xx∈(0, π) arccot(cotx)=x三角公式总表1.正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=CB A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)4.同角关系：⑴商的关系：①θtg =θθcos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθθθcsc cos sin cos ⋅==ctg ③θθθtg ⋅=cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅==tg ⑤θθθctg ⋅=sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ⋅==ctg⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a （其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且abtg =ϕ）5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±μ1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±μ⑤γβγαβαγβαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).1222222=++C tg B tg C tg A tg B tg A tg6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -=④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sin θθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+= ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg8.积化和差公式：①[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=②[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=③[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ④()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin9.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+②2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- ③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-。

反三角函数知识点

反三角函数知识点反三角函数是一类与三角函数相反的函数，它们在数学和工程领域有着广泛的应用。

反三角函数包括反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）等。

以下是反三角函数的知识点概述：1.反三角函数的定义：反三角函数是三角函数的反函数，定义为：反正弦函数（arcsin）：y = arcsin(x) 表示一个角度x（弧度制），其正弦值为y。

反余弦函数（arccos）：y = arccos(x) 表示一个角度x（弧度制），其余弦值为y。

反正切函数（arctan）：y = arctan(x) 表示一个角度x（弧度制），其正切值为y。

2.反三角函数的性质：（1）定义域和值域：反三角函数的定义域和值域是有限的，并且在实数范围内是连续的。

例如，arcsin函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。

（2）奇偶性：反三角函数中的反正弦函数和反余弦函数是奇函数，而反正切函数是偶函数。

（3）周期性：反三角函数不是周期函数，但它们可以在一定范围内表现出周期性。

例如，arctan函数在实数范围内是周期函数，其周期为π。

3.反三角函数的计算：（1）利用三角函数的性质计算：反三角函数可以通过三角函数的性质进行计算。

例如，利用三角恒等式和三角函数的单调性可以求解反三角函数的值。

（2）利用反三角函数的定义计算：反三角函数的定义可以用于求解反三角函数的值。

例如，对于arcsin(x)，可以通过解方程sin(y) = x来求解y的值。

4.反三角函数的应用：（1）在几何学中的应用：反三角函数可以用于解决一些几何问题，例如计算角度、距离等。

（2）在物理学中的应用：反三角函数可以用于解决一些物理问题，例如振动、波动等。

（3）在工程学中的应用：反三角函数可以用于解决一些工程问题，例如信号处理、图像处理等。

5.反三角函数的图像和性质：反三角函数的图像和性质可以通过图像法和公式法进行描述。

《反三角函数》讲义

《反三角函数》讲义在数学的广阔天地中，三角函数无疑是一颗璀璨的明星。

而反三角函数，则是这颗明星的另一面，为我们解决众多数学问题提供了独特的视角和强大的工具。

一、什么是反三角函数我们先从熟悉的三角函数说起。

正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们将角度作为输入，给出对应的函数值。

而反三角函数，则是反过来，已知三角函数的值，求对应的角度。

例如，正弦函数 sin x，当我们知道 sin x ＝ 05 时，想知道 x 是多少度，这就需要用到反正弦函数 arcsin 05 来求解。

反三角函数包括反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）等。

二、反三角函数的定义域和值域要深入理解反三角函数，必须清楚它们的定义域和值域。

反正弦函数 arcsin x 的定义域是-1, 1，值域是π/2, π/2。

这意味着输入的 x 值必须在-1 到 1 之间，得到的角度值在π/2 到π/2 之间。

反余弦函数 arccos x 的定义域也是-1, 1，值域是0, π。

反正切函数arctan x 的定义域是R（全体实数），值域是(π/2, π/2)。

三、反三角函数的图像图像是直观理解函数性质的重要工具。

反正弦函数 arcsin x 的图像是一段在π/2, π/2之间的曲线，它关于原点对称，且在定义域内单调递增。

反余弦函数 arccos x 的图像则是在0, π之间的曲线，同样关于原点对称，在定义域内单调递减。

反正切函数arctan x 的图像是一条在(π/2, π/2)之间无限延伸的曲线，它的斜率逐渐趋近于 0，并且在定义域内单调递增。

四、反三角函数的基本性质1、对称性反正弦函数和反余弦函数互为相反数，即 arcsin(x) ＝ arcsin x ，arccos(x) ＝π arccos x 。

2、恒等式例如，sin(arcsin x) ＝ x （x∈－1, 1），cos(arccos x) ＝ x （x∈－1, 1）。

最全反三角函数概念图像完整版.doc

反三角函数图像与特征反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为－1反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点：，该点切线斜率为－1渐近线：渐近线：名称反正割曲线反余割曲线方程图像顶点渐近线反三角函数的定义域与主值范围函数主值记号定义域主值范围反正弦若，则反余弦若，则反正切若，则反余切若，则反正割若，则反余割若，则一般反三角函数与主值的关系为式中n为任意数数学术语将y作为的主值限在y=x对称。

其，π/2]arcsin x x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

arccosx的角，该角的范围在[0，π]区间内。

【图中蓝线】⑶在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。

arctan x表示一x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。

【图中绿线】注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】反三角函数主要是三个：y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]图象用红色线条；y=arccos(x），定义域[-1，1] ，值域[0，π]，图象用蓝色线条；y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用绿色线条；y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），图象无；sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得cos(arccos x)=x，arccos(-x)=π-arccos x tan(arctan x)=x，arctan(-x)=-arctanx反三角函数其他公式：arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……（|x|<1) !！表示双阶乘arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……）（|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……举例当x∈[-π/2，π/2] 有arcsin(sinx)=x x∈[0，π]，arccos(cosx)=x x∈（-π/2，π/2），arctan(tanx)=x x∈（0，π），arccot(cotx)=x x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似若(arctanx+arctany）∈（-π/2，π/2），则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy)) 例如，arcsinχ表示角α，满足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β，满足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ，满足φ∈（-π/2，π/2)且tanφ=2基本知识：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsinx 可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。

反三角函数知识点总结

千里之行，始于足下。

反三角函数知识点总结反三角函数是数学中的一个重要概念，用来求解三角函数的反函数。

在解决三角函数相关问题时，反三角函数能够帮助我们转化为求反三角函数的值，从而得到所需结果。

接下来，我将总结一下关于反三角函数的一些重要知识点。

一、反三角函数的定义1. 反正弦函数（arcsin）反正弦函数是指将给定值的正弦值（-1≤ sinx ≤ 1）作为自变量，输出对应的角度值（-π/2 ≤ x ≤π/2）的一个单值函数。

其函数表示为：y = arcsin(x)其中，x 的取值范围为 [-1, 1]，y 的取值范围为 [-π/2, π/2]。

2. 反余弦函数（arccos）反余弦函数是指将给定值的余弦值（-1≤ cosx ≤ 1）作为自变量，输出对应的角度值（0≤ x ≤π）的一个单值函数。

其函数表示为：y = arccos(x)其中，x 的取值范围为 [-1, 1]，y 的取值范围为 [0, π]。

3. 反正切函数（arctan）反正切函数是指将给定值的正切值作为自变量，输出对应的角度值（-π/2 < x < π/2）的一个单值函数。

其函数表示为：y = arctan(x)其中，x 的取值范围为 (-∞, +∞)，y 的取值范围为 (-π/2, π/2)。

二、反三角函数的性质1. 定义域和值域：反正弦函数的定义域为 [-1, 1]，值域为 [-π/2, π/2]；第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

反余弦函数的定义域为 [-1, 1]，值域为 [0, π]；反正切函数的定义域为 (-∞, +∞)，值域为 (-π/2, π/2)。

2. 关系：对于任意的实数 x，有 sin(arcsin(x)) = x，-1 ≤ x ≤ 1；对于任意的实数 x，有 cos(arccos(x)) = x，-1 ≤ x ≤ 1；对于任意的实数 x，有 tan(arctan(x)) = x。

3. 奇偶性：反正弦函数为奇函数，即 arcsin(-x) = -arcsin(x)；反余弦函数为偶函数，即 arccos(-x) = arccos(x)；反正切函数为奇函数，即 arctan(-x) = -arctan(x)。

三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结.pdf

2
cos cos 2cos
cos
2
2
cos cos
2sin
sin
2
2
sin cos cos sin cos cos sin sin
1 sin(
2 1
sin( 2 1 cos( 2
1 cos(
2
) sin( ) ) sin( ) ) cos( )
) cos( )
六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，
左正右余中间 1”；记忆方法“对角线上两个
WORD 格式整理版
4. 三角函数的图像和性质：（其中 k z ） ①：
三角 y sinx y cosx
函数
y tanx y cotx
ห้องสมุดไป่ตู้
函数图象
定义域
值域周期
R
[-1,1]
2
R
[-1,1]
2
xk 2
R
xk
R
奇偶性
奇
单
2k
, 2k
2
2
调
2k
, 2k
2
2
性
对
对称轴 : x k
2
称
性对称中心 : ( k , 0)
22
函数，叫做反正切
的反函数，叫做反余切函数
正弦函数
弦函数
函数
图像
性质定义域
［-1 ，1］
值域单调性
［- ，］
22
1,1 增函数
［-1 ，1］
［ 0，π］
1,1 减函数
(- ∞， +∞）
(- ∞， +∞）
(- ， )
22
, 增函数

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高三数学反三角函数概念、图像和性质，反三角函数的运算，简单的三角方程知识精讲一. 反三角函数的概念，图像和性质 1. 反三角函数的定义函数y x x =∈-sin ([])ππ22， y x x y x x y x x =∈=∈-=∈c o s ([])tan (())cot (())，，，，，，，，0220ππππ的反三角函数分别为：y x x y x x y x x R y a r c x x R =∈-=∈-=∈=∈a r c s i n ([])arccos ([])arctan ()cot ()，，，，，，11112. 反三角函数的性质（1）奇偶性y x y x y x y arc x ====arcsin arccos arctan cot 在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数；在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数。

（2）反三角函数的单调性y x y x y x y a r c x ====a r c s i n a r c c o s a r c t a n cot 在定义域内单调递增；在定义域内单调递减；在定义域内单调递增；在定义域内单调递减。

3. 三角函数的图像二. 反三角函数的运算：1. 掌握三角函数的反三角运算，反三角函数的三角运算，熟悉常见的一些恒等式。

三角函数的反三角运算a r c s i n (s i n )[]a r c c o s (c o s )[]a r c t a n (t a n )()o t (c o t )()x x x x x x x x x a r c x x x =∈-=∈=∈-=∈，，，，，，，，ππππππ220220 反三角函数的三角运算 s i n (a r c s i n )[]x x x =∈-，，11c o s (a r c c o s )[]t a n (a r c t an )c o t (o t )x x x x x x R a r c x x x R=∈-=∈=∈，，，，11反三角函数间的互余关系 a r c s i n a r c c o s a r c t a n o t x x x a r c x +=+=ππ22，反三角函数的性质a r c s i n ()a r c s i n a r c t a n ()a r c t a n a r c c o s ()a r c c o s c o t ()cot -=--=--=--=-x x x x x x arc x arc x，，ππ在使用上面的概念和公式要特别注意的是，必须在变量的指定范围内，否则结果就是错误的。

2. （1）深刻理解反三角函数的概念<1> 反三角函数是表示在特定的范围内函数值等于已知值的角，所以必须牢记其定义域和值域。

<2> 要用反三角函数表示角，首先要用诱导公式把各角化到各相应的范围中去，然后才能用反三角函数表示。

（2）对于反三角函数的多层运算，一般方法是由内到外，逐层化简，通过添设辅助角，求得三角函数值和角的范围，将求反三角函数值的问题转化为求三角函数值的问题。

3. 对三角函数施以反三角运算时，通常采用以下的步骤：（1）将三角函数化成与反三角运算同名。

（2）将角化至该反三角函数的定义区间。

证明反三角函数式，必须注意两点：（1）等式两端的角的某同名三角函数值相等。

（2）两端的角在该三角函数的同一单调区间里。

掌握反三角函数的图像，是用数形结合的方法解决有关反三角函数问题的基础。

1. 三角方程是指含有未知数的三角函数的方程，而其中sin cos tan x a x a x a ===，，，cotx=a 是最简单的三角方程，最简单的三角方程的解集如下：（1）sinx=a<1> 若|a|<1，则方程的解集为：{|()arcsin }x x k a k Z k =+-∈π1， <2> 若a=1，则方程的解集为：{|}x x k k Z =+∈22ππ，<3> 若a =-1，则方程的解集为：{|}x x k k Z =-∈22ππ，（2）cosx a =<1> 若|a|<1，则方程的解集为：{|arccos }x x k a k Z =±∈2π， <2> 若a=1，则方程的解集为：{|}x x k k Z =∈2π， <3> 若a =-1，则方程的解集为：{|}x x k k Z =+∈2ππ，（3）tan x a =对a R x x k a k Z ∈=+∈，方程的解集为：，{|arctan }π （4）cot x a =对，方程的解集为：，a R x x k arc a k Z ∈=+∈{|cot }π其实，三角函数中的“已知三角函数值求角”就是解三角方程的问题，只是解集未用反三角函数形式表示，故在求解三角方程时，可先回忆这一部分内容，以帮助解集公式的理解及记忆。

2. 综合应用（1）在解简单三角方程时，首先应判断方程有解、无解，有解时，求出方程的所有解，所以，应掌握最简单的三角方程有解、无解的条件。

（2）用反三角函数表示角为解方程准备了条件，最简单的三角方程是解简单三角方程的基础和依据，要熟练掌握，其他类型的则需通过代数和三角的恒等变形，将其转化为一个或若干个简单的三角方程而后再进行求解。

（3）并不是所有的三角方程都可以用初等的方法求，能解的只是极少数的简单的三角方程。

（4）求解三角方程的基本思路是通过代数法或转化为若干个简单的三角方程，常使用的基本方法有：<1> 化成同角、同名的三角函数方程。

<2> 将原方程化为一边为零，另一边是若干个因式的乘积的形式，再转化为只含tanx 的方程求解。

<3> 将原方程化为含有sinx ，cosx 的齐次方程。

<4> 将原方程化为a x b x c s i n c o s +=的形式，引入辅助角θ=a r c t a n ba 化为s i n ()x c a b+=+θ22的形式来解。

<5> 利用换元法进行求解三角方程。

（5）在解三角方程的过程中，要尽量避免两边平方或约去相同因式，否则就有可能同解代数方程一样，在变形中使未知数的取值范围扩大或缩小，从而产生增根或失根，在这种步骤不可避免时，要进行根的检验。

（6）解三角方程由于采用的方法不同，解集的表达式也可能不同，但最终的结果却是等效的，这可以从角的终边的位置加以判断。

例1. （2001，全国）函数y x x =+-≤≤cos ()10，π的反函数是（）A y x x xB y x xC y x xD y x x .arccos ()().arccos()().arccos().arccos()=--≤≤=--≤≤=-≤≤=+-≤≤102102102102ππ（）（）解析：由已知得cosx y =-1-≤≤∴≤-≤=-=--=-≤≤=--≤≤∴ππx x x x y x y y x y y x x A01102102，根据反余弦函数的定义且，互换得且选cos cos()arccos()arccos()注：这道题的命题目的是考查反三角函数的概念，要求能正确运用反三角函数的定义求函数的反函数。

例2. （1995，全国）使arcsinx>arccosx 成立的取值范围是（） A B C D .].(].[).[]（，，，，02222112210--解析：解法1：如图，在同一坐标系内，作出y=arcsinx 与y=arccosx 的图像，两曲线的交点为P （224，π），由图像知要使arcsinx>arccosx ，则x ∈(]221，∴答案为B解法2：由arcsin arccos arccos arcsin x x x x +==-ππ22得于是原不等式化为，即，，答案为arcsin arcsin arcsin (]x x x x B >->∴∈ππ24221解法3：易知-≤≤11x（1）当-≤<∈-∈10202x x x 时，，，，，不等式不成立arcsin [)arccos ()πππ （2）当010202≤≤∈∈x x x 时，，，，arcsin []arccos []ππ由，两边取正弦，即，解得或arcsin arccos x x x x x x x >>-><->121222222 ∴<≤221x B ，答案为说明：此题主要考查反正弦、反余弦函数的概念及性质，还可以两边取正弦或取x x ==1232和等方法求解。

例3. （1998，全国）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（）A B C D .a r c c o s.a r c s i n.a r c c o s .a r c s i n512512152152----解：思路分析：利用等比数列建立等式，列出方程，再通过解方程即可设A>B>C 是直角三角形的三内角，则A o =90，B+C=90os i n s i n s i n s i n s i n s i n cos sin sin sin sin arcsinA B C B A C C C C C C C C B ，，成等比数列，即可得是锐角，故选∴==+-=∴=-∴=-22210512512说明：本题由于是选择题，故可以用排除法，不妨设C 是最小角，则045<<C o ，由5125120450---∈和的大小，可排除（）、（）、（），即只有，()()A C D B ，∴故应选（B ）。

例4. 若02<<απ，则arcsin[cos()]arccos[sin()]παπα2+++等于（）A B C D ....πππαπα222222----解析：方法一：取απαπ=<<402满足则原式=-+-=arcsin()arccos()22222π，故选（）。

A 方法二：arcsin[cos()]arccos[sin()]παπα2+++=-+-=-+-=-+--=-+--=a r c s i n (s i n )a r c c o s (s i n )a r c s i n (s i n )a r c c o s (s i n)a r c c o s [c o s ()]()αααπααππααππαπ222故选A说明：本题主要考查反三角函数的基础知识、概念性强，对观察、判断能力要求高。

例1. 比较arccos()()--5412与arcctg 的大小。