反三角函数的概念和性质
反三角函数知识点总结
《反三角函数知识点总结》一、引言三角函数是数学中一个重要的分支，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
而反三角函数则是三角函数的反函数，它们为解决一些特定类型的问题提供了有力的工具。
本文将对反三角函数的知识点进行全面总结，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
二、反三角函数的定义1. 反正弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\sin y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arcsin x\)，反正弦函数\(\arcsin x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)。
- 图像：反正弦函数的图像是一段在\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)区间内的曲线，关于原点对称。
2. 反余弦函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\cos y = x\)，且\(0\leq y\leq\pi\)，那么\(y=\arccos x\)，反余弦函数\(\arccos x\)的定义域是\([-1,1]\)，值域是\([0,\pi]\)。
- 图像：反余弦函数的图像是一段在\([0,\pi]\)区间内的曲线，关于\(y\)轴对称。
3. 反正切函数- 定义：对于任意实数\(x\)，如果\(\tan y = x\)，且\(-\frac{\pi}{2}\lt y\lt\frac{\pi}{2}\)，那么\(y=\arctan x\)，反正切函数\(\arctan x\)的定义域是\(R\)，值域是\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。
- 图像：反正切函数的图像是一条在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)区间内的曲线，关于原点对称。
三、反三角函数的性质1. 定义域和值域- 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的定义域都是有一定限制的，分别是\([-1,1]\)、\([-1,1]\)和\(R\)。
高三数学 反三角函数概念、图像和性质,反三角函数的运算,简单的三角方程 知识精讲
高三数学 反三角函数概念、图像和性质，反三角函数的运算，简单的三角方程 知识精讲一. 反三角函数的概念，图像和性质 1. 反三角函数的定义 函数y x x =∈-sin ([])ππ22， y x x y x x y x x =∈=∈-=∈c o s ([])tan (())cot (())，，，，，，，，0220ππππ的反三角函数分别为：y x x y x x y x x R y a r c x x R =∈-=∈-=∈=∈a r c s i n ([])arccos ([])arctan ()cot ()，，，，，，11112. 反三角函数的性质（1）奇偶性y x y x y x y arc x ====arcsin arccos arctan cot 在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数；在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数。
（2）反三角函数的单调性y x y x y x y a r c x ====a r c s i n a r c c o s a r c t a n cot 在定义域内单调递增；在定义域内单调递减；在定义域内单调递增；在定义域内单调递减。
3. 三角函数的图像二. 反三角函数的运算：1. 掌握三角函数的反三角运算，反三角函数的三角运算，熟悉常见的一些恒等式。
三角函数的反三角运算a r c s i n (s i n )[]a r c c o s (c o s )[]a r c t a n (t a n )()o t (c o t )()x x x x x x x x x a r c x x x =∈-=∈=∈-=∈，，，，，，，，ππππππ220220 反三角函数的三角运算 s i n (a r c s i n )[]x x x =∈-，，11c o s (a r c c o s )[]t a n (a r c t an )c o t (o t )x x x x x x R a r c x x x R=∈-=∈=∈，，，，11反三角函数间的互余关系 a r c s i n a r c c o s a r c t a n o t x x x a r c x +=+=ππ22，反三角函数的性质a r c s i n ()a r c s i n a r c t a n ()a r c t a n a r c c o s ()a r c c o s c o t ()cot -=--=--=--=-x x x x x x arc x arc x，，ππ在使用上面的概念和公式要特别注意的是，必须在变量的指定范围内，否则结果就是错误的。
反三角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质反三角函数的概念和性质一．基本知识：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。
例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。
（A）y＝sin x, x∈[－π, 0]（B）y＝sin x, x∈[, ]（C）y＝sin x, x∈[,] （D）y＝sin x,x∈[,]解：本题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间[,]上是单调递减函数，所以选D。
例三． arcsin(sin10)等于（C）。
（A）2π－10 （B）10－2π（C）3π－10 （D）10－3π解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－, ]上。
由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。
（例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。
（1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),∴ x＝－arcsin, ∴ f－1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].(2) f(x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝sin y,∴f－1(x)＝sin x , x∈[,], y∈[－, ]. 例五．求下列函数的定义域和值域：(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴≤x≤,由于－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin.(3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴x∈R, y∈(0, ).例六．求下列函数的值域：(1) y＝arccos(sin x), x∈(－, ); (2) y ＝arcsin x＋arctg x.解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ si n x∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).(2) ∵y＝arcsin x＋arctg x., x∈[－1, 1], 且arcsin x与arctg x都是增函数,∴ －≤arcsin x≤, －≤arctg x≤, ∴ y∈[－,].例七．判断下列函数的奇偶性：(1) f (x)＝x arcsin(sin x); (2) f (x)＝－arcctg x.解：(1) f (x)的定义域是R，f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝x arcsin(sin x)＝f (x),∴ f (x)是偶函数;(2) f (x)的定义域是R,f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctg x)＝arcctg x－＝－f (－x),∴ f (x)是奇函数.例八．作函数y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π]的图象.解：y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π], 得, 图象略。
反三角函数的定义与性质
反三角函数的定义与性质反三角函数是解三角函数方程时所用到的一组函数，它们是三角函数的反函数。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，它们分别记作arcsin(x)、arccos(x)和arctan(x)。
在本文中，我们将一起探讨这些反三角函数的定义和性质。
一、反正弦函数（arcsin）反正弦函数是求解三角函数sin(x) = y（y在[-1,1]范围内）的反函数。
它的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2, π/2]。
反正弦函数的图像在定义域内是递增的，其图像关于y = x对称。
反正弦函数的性质如下：1. 反正弦函数的导数为1/sqrt(1-x^2)，其中x在[-1,1]范围内。
2. 反正弦函数的值域在[-π/2, π/2]之间，即反正弦函数的取值范围被限制在这个区间内。
二、反余弦函数（arccos）反余弦函数是求解三角函数cos(x) = y（y在[-1,1]范围内）的反函数。
它的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
反余弦函数的图像在定义域内是递减的，其图像关于y = x对称。
反余弦函数的性质如下：1. 反余弦函数的导数为-1/sqrt(1-x^2)，其中x在[-1,1]范围内。
2. 反余弦函数的值域在[0,π]之间，即反余弦函数的取值范围被限制在这个区间内。
三、反正切函数（arctan）反正切函数是求解三角函数tan(x) = y的反函数。
它的定义域为整个实数集，值域为[-π/2, π/2]。
反正切函数的图像是一个奇函数，关于原点对称。
反正切函数的性质如下：1. 反正切函数的导数为1/(1+x^2)。
2. 反正切函数的值域在[-π/2, π/2]之间，即反正切函数的取值范围被限制在这个区间内。
需要注意的是，以上反三角函数的定义和性质是基于弧度制的。
如果使用角度制，相应的公式和范围都需要进行转换。
综上所述，反三角函数在解三角函数方程时起到了重要作用。
它们的定义和性质具有一定的规律性，通过理解和掌握这些规律，我们可以更加灵活地运用反三角函数来求解问题。
反三角函数知识点
反三角函数知识点反三角函数是一类与三角函数相反的函数，它们在数学和工程领域有着广泛的应用。
反三角函数包括反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）等。
以下是反三角函数的知识点概述：1.反三角函数的定义：反三角函数是三角函数的反函数，定义为：反正弦函数（arcsin）：y = arcsin(x) 表示一个角度x（弧度制），其正弦值为y。
反余弦函数（arccos）：y = arccos(x) 表示一个角度x（弧度制），其余弦值为y。
反正切函数（arctan）：y = arctan(x) 表示一个角度x（弧度制），其正切值为y。
2.反三角函数的性质：（1）定义域和值域：反三角函数的定义域和值域是有限的，并且在实数范围内是连续的。
例如，arcsin函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
（2）奇偶性：反三角函数中的反正弦函数和反余弦函数是奇函数，而反正切函数是偶函数。
（3）周期性：反三角函数不是周期函数，但它们可以在一定范围内表现出周期性。
例如，arctan函数在实数范围内是周期函数，其周期为π。
3.反三角函数的计算：（1）利用三角函数的性质计算：反三角函数可以通过三角函数的性质进行计算。
例如，利用三角恒等式和三角函数的单调性可以求解反三角函数的值。
（2）利用反三角函数的定义计算：反三角函数的定义可以用于求解反三角函数的值。
例如，对于arcsin(x)，可以通过解方程sin(y) = x来求解y的值。
4.反三角函数的应用：（1）在几何学中的应用：反三角函数可以用于解决一些几何问题，例如计算角度、距离等。
（2）在物理学中的应用：反三角函数可以用于解决一些物理问题，例如振动、波动等。
（3）在工程学中的应用：反三角函数可以用于解决一些工程问题，例如信号处理、图像处理等。
5.反三角函数的图像和性质：反三角函数的图像和性质可以通过图像法和公式法进行描述。
反三角函数知识点归纳总结
反三角函数知识点归纳总结反三角函数是三角函数的逆运算，用于解决三角函数的反问题。
常见的反三角函数包括反正弦函数（arcsin或sin⁻¹）、反余弦函数（arccos或cos⁻¹）和反正切函数（arctan或tan⁻¹）。
1. 反正弦函数（arcsin或sin⁻¹），它的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
当给定一个数x，反正弦函数的值表示满足sin(y) = x的角度y，其中y的范围在[-π/2, π/2]之间。
2. 反余弦函数（arccos或cos⁻¹），它的定义域是[-1, 1]，值域是[0, π]。
当给定一个数x，反余弦函数的值表示满足cos(y) = x的角度y，其中y的范围在[0, π]之间。
3. 反正切函数（arctan或tan⁻¹），它的定义域是整个实数集，值域是[-π/2, π/2]。
当给定一个数x，反正切函数的值表示满足tan(y) = x的角度y，其中y的范围在[-π/2, π/2]之间。
反三角函数的应用广泛，特别是在解决三角方程和三角函数的求值问题时非常有用。
它们可以帮助我们找到角度，从而解决与角度相关的问题。
需要注意的是，反三角函数的结果通常以弧度表示，但也可以通过转换成度数来表示。
此外，反三角函数还有一些重要的性质：反正弦函数的值域是[-π/2, π/2]，反余弦函数的值域是[0, π]，反正切函数的值域是[-π/2, π/2]。
反三角函数的图像通常是关于y = x的直线对称的。
反三角函数具有周期性，即在一定范围内的值重复出现。
总结起来，反三角函数是用于解决三角函数的反问题的函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们的定义域、值域和性质都有一定的规律和特点。
在解决三角方程和求解三角函数值的问题时，反三角函数是非常有用的工具。
三角函数的反函数与反三角函数
三角函数的反函数与反三角函数三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在三角函数中，存在着一种特殊的函数关系，即反函数与反三角函数。
本文将就三角函数的反函数和反三角函数进行详细讨论。
一、三角函数的反函数首先，我们先了解一下什么是函数的反函数。
在数学中，如果函数f(x)的定义域为D，值域为R，且对于任意的x∈D和y∈R，满足f(x)=y当且仅当f^(-1)(y)=x，则称函数f^(-1)(y)为函数f(x)的反函数。
反函数是指从函数的输出得到输入的一种映射关系。
对于三角函数来说，由于其周期性和多值性，存在着不同的反函数。
以正弦函数sin(x)为例，其反函数通常称为反正弦函数或arcsin(x)，记作y=arcsin(x)。
其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
通过反正弦函数，我们可以求得给定值的角度，即sin(x)=y，则x=arcsin(y)。
同样地，余弦函数cos(x)的反函数为反余弦函数或arccos(x)，正切函数tan(x)的反函数为反正切函数或arctan(x)，以此类推。
二、反三角函数与三角函数的反函数不同，反三角函数是指将给定的三角函数值作为输入，求解相应的角度值。
反三角函数可以帮助我们解决三角函数方程以及在实际问题中的应用。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
以反正弦函数arcsin(x)为例，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
通过反正弦函数，我们可以求得给定值的角度，即arcsin(x)=y，则x=sin(y)。
类似地，反余弦函数arccos(x)的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]，反正切函数arctan(x)的定义域为R，值域为(-π/2, π/2)。
三、三角函数的性质与应用除了反函数和反三角函数的定义和性质，我们还需要了解三角函数的一些基本性质和应用。
1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)和cos(x+2π)=cos(x)；而正切函数的周期是π，即tan(x+π)=tan(x)。
反三角函数及性质
y=arcsinx.函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny.习惯上用x表示自变量，用y表示，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式请注意y=sinx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。
反正弦函数只对这样一个函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的区间。
理解函数y=arcsinx中，y表示的是一个的，自变量x是一个值。
这点必须牢记性质根据的性质，易得函数y=arcsinx的，定义域[-1，1]，值域[－π/2，π/2]，是单调递增函数图像关于原点对称，是奇函数所以有arcsin(-x)=-arcsinx，注意x的取值范围:x∈[-1，1]导函数：，导函数不能取|x|=1，反正弦恒等式sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1] (arcsinx)'=1/√(1-x^2)arcsinx=-arcsin(-x) arcsin（sinx)=x ，x属于[0，π/2]arccosx中的。
意思为：余弦的，函数为y=arccosx，函数图像如右下图。
就是已知数值，反求角度，如cos(a) = b，则arccos(b) = a；它的值是以表达的角度。
定义域：【-1，1】。
由于是多值函数，往往取它的单值支，值域为【0，π】，记作y=arccosx，我们称它叫做中的函数的，arctan x中的反正切。
意思为：tan(a) = b; 等价于arctan(b) = a定义域:{x∣x∈R} ,值域：y∈（-π/2,π/2)计算性质：tan(arctana)=aarctan(-x)=-arctanxarctan A + arctan B=arctan(A+B)/(1-AB)arctan A - arctan B=arctan(A-B)/(1+AB)在无穷小替换中的应用：当x→0时，arctanx~x。
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的应用。 例一．下列各式中成立的是（）。 （A）arcctቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(－1)＝－
（B）arccos(－
)＝－
（C）sin[arcsin(－
)]＝－
（D）arctg(tg
π)＝
π 解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－
); (2) y＝arcsinx＋arctgx. 解：(1) ∵x∈(－
,
), ∴ sinx∈(－
, 1], ∴ y∈[0,
). (2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx与 arctgx都是增函数, ∴－
≤arcsinx≤
,－
≤arctgx≤
, ∴ y∈[－
,
]上。 由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－
,
], 所以选C。 例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。 （1）f (x)＝2sin2x, x∈[
,
];（2）f (x)＝ ＋arccos2x. 解：(1) x∈[ , ], 2x∈[ , ], 2x－π∈[－ , ], －2≤y≤2 由y＝2sin2x, 得sin2x＝ , sin(2x－π)＝－sin2x＝－ , ∴ 2x－π＝arcsin(－ ), ∴ x＝ －arcsin
, 由于－x2＋1＝－(x－
)2＋
, ∴ －1≤－x2＋x≤
,∴－
≤y≤arcsin
. (3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1) <
, ∴ x∈R, y∈(0,
). 例六．求下列函数的值域： (1) y＝arccos(sinx), x∈(－
,
)＝ . 6．sin(arccos
)＝ ; ctg[arcsin(－
)]＝ ; tg(arctg
)＝ ; cos(arcctg
)＝ . 7．若cosx＝－
, x∈(
, π)，则x＝ 8．若sinx＝－
, x∈(－
, 0)，则x＝ 9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝ 二．基本要求： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的 之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－
＋2 (0≤x≤2π) 7．若arccosx≥1，则x的取值范围是（D）。 （A）[－1, 1] （B）[－1, 0] （C）[0, 1] （D）[－ 1, arccos1] 8．函数y＝arccos(sinx) (－
<x<
)的值域是（B）。 （A）(
,
) （B）[0,
] （C）(
,
) （D）[
,
]. 例五．求下列函数的定义域和值域： (1) y＝arccos
; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1), 解：(1) y＝arccos
, 0<
≤1, ∴ x≥1, y∈[0,
). (2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴
≤x≤
,
]. 例七．判断下列函数的奇偶性： (1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝
－arcctgx. 解：(1) f (x)的定义域是R， f (－x)＝ (－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x), ∴ f (x)是偶函数; (2) f (x)的定义域是R, f (－x)＝
，
], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系 是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－
，
], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件； 6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下， 可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝
（A）。 （A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 4．若a＝arcsin(－
), b＝arcctg(－ ), c＝arccos(－
)，则a, b, c的大小关系是（B）。 （A）a<b<c （B）a<c<b （C）c<a<b （D）c<b<a 5．已知tgx＝－
.
解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝
时, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函 数， ∴ 当x∈[－1,
)时, arcsinx<arccosx. (2) ∵ arccosx＝
－arcsinx, ∴ 原式化简得4arcsinx>
, ∴ arcsinx>
)∈[0, π], (D)中，arctg(tg
π)∈[－
,
], 而
π [－
，
], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。 （A）y＝sinx, x∈[－π, 0] （B）y＝sinx, x∈[
,
] （C）y＝sinx, x∈[
,
] （D）y＝sinx, x∈[
,
] 解：本题是判断函数y＝sinx在哪个区间上是单调函数，由于y ＝sinx在区间[
,
]上是单调递减函数， 所以选D。 例三． arcsin(sin10)等于（C）。 （A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π 解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在 [－
, arccos(－
)>
, ∴arccos(－
)最大, 设arcsin
＝α，sinα＝
, 设arctg
＝β, tgβ＝
, ∴ sinβ＝
<sinα, ∴ β<α, ∴ arctg
< arcsin
< arccos(－
). 例十．解不等式：(1) arcsinx<arccosx; (2) 3arcsinx－ arccosx>
(三) 解答题： 16．求下列函数的反函数： (1) y＝3cos2x, x∈[－
, 0]; (2) y＝π＋arccosx2 (0<x≤1). 解：(1) x∈[－
, 0], ∴ 2x∈[－π, 0], 函数y＝3cos2x在定义域内是单值函 数. 且－3≤y≤3. ∴ π＋2x∈[0, π], y＝3cos2x＝－3cos(π＋ 2x), cos(π＋2x)＝－
，
], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数 中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先 看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsinx可以理解为[－
，
]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－
，
]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个 角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－
, ∴ π＋2x＝arccos
, ∴x＝
arccos
－
, ∴y＝3cos2x, x∈[－
, 0]的反函数是y＝
arccos
－
, －3≤x≤3. (2) ∵0<x≤1, π≤y<
, ∴ arccosx2＝y－π, x2＝cos(y－π), x＝ , ∴ 原函数的反函数是y＝ , π≤x<
. 17．求函数y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及相应的x的值。 解：函数y＝(arccosx)2－3arccosx, x∈[－1, 1], arccosx∈[0, π] 设arccosx＝t, 0≤t≤π, ∴ y＝t2－3t＝(t－
, ∴ f －1(x)＝ －arcsin , －2≤x≤2, y∈[ , ]. (2) f (x)＝ ＋arccos2x, x∈[－ , ], y∈[ , ], ∴ arccos2x＝y－ , 2x＝cos(y－ ), x＝ cos(y－
)＝
siny, ∴f －1(x)＝
sinx , x∈[
,
], y∈[－
＝arcsin
, ∵ arcsinx是增函数, ∴
<x≤1. 三．基本技能训练题： 1．下列关系式总成立的是（B）。 （A）π－arccosx>0 （B）π－arcctgx>0 （C）arcsinx－
≥0 （D）arctgx－
>0 2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是（D）。 （A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx （D）y＝ arcctgx 3．不等式arcsinx>－
反三角函数的概念和性质
．
一．基础知识自测题：
1．函数y＝arcsinx的定义域是 ，值域是
.
2．函数y＝arccosx的定义域是 ，值域是
.
3．函数y＝arctgx的定义域是
，值域是
.
4．函数y＝arcctgx的定义域是 ，值域是
.
5．arcsin(－
)＝ ;arccos(－
)＝ ; arctg(－1)＝ ; arcctg(－
, x∈(
, π)，则x＝（C）。 （A）
＋arctg(－
)（B）π－arctg(－
)（C）π＋arctg(－
)（D）
6．函数f (x)＝2arccos(x－2)的反函数是（D）。 （A）y＝