高中数学排列组合中几种常见的数学模型
高中数学排列组合中几种常见的数学模型-文档资料
高中数学排列组合中几种常见的数学模型排列组合问题是高考中必考的一个类型题，常常单独命题或与概率内容等相结合，一般以较容易题出现，但由于解这类问题时方法灵活，切人点多，且抽象性极强，在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以又成为高中学生学习的难点之一。
故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解，找出问题的切入点，建立合理的数学模型，将问题简单化、常规化。
一、特殊元素优先数学模型对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或其他位置，这种模型称为“特殊元素优先数学模型”。
例1.用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成无重复数字的四位偶数____个。
（用数字作答）解：先安排四位偶数的个位上的数字（优先考虑）。
无重复数字的四位偶数中如果个位数是0共有C■A■个，同时如果个位数是2或4共有C■C■A■=96个，所以，重复数字的四位偶数共有60+96=156个。
点评：特殊元素优先法是比较容易入手的一种方法，在处理此类问题时一是要注意优先考虑有要求的特殊位置的元素，二是要注意与分步计数原理结合运用。
二、捆绑式数学模型对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排，这种模型称为“捆绑式数学模型”。
这种模型分为两种，一种是相邻元素要全排列，一种是相邻元素是组合问题，不用排列。
例2.四个工人去住旅店，旅店只剩下三个房间，要求四人中必须有两个住在一个房间，另两个房间各住一人，问共有多少种不同的安排方法？解：第一步：把四个工人中的二个捆绑在一起，共有C■=6种方法；第二步：把四个工人看成三个工人进行排列，共有A■=6种方法。
所以共有36种不同的安排方法。
点评：由于两个工人在同一个房间没有排列问题，所以不能自排。
还有一种典型的错误排法，先在四个人中选出三个工人入住三个房间，有24种方法，再把剩下一个人放下四个房间中的任意一个，共有4种方法，故共有96种方法。
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
排列组合中的常见模型
排列组合的常见模型一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。
例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =⨯=种2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。
从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。
3310785N C C =-=（种）3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。
但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。
例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。
解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。
所以共有213433108C C A =种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有44A 种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有22A 种位置，所以排法的总数为424248N A A =⋅=种2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序例如：有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有25C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。
高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型
1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m nn n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题知识内容排列组合问题的常见模型1解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．排队问题【例1】 三个女生和五个男生排成一排⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ ⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ ⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？典例分析【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例3】7名同学排队照相．⑴若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】 ABCDE 五个字母排成一排，若ABC 的位置关系必须按A 在前、B 居中、C 在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．【例6】 用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个（用数字作答）．【例7】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种 B ．960种C ．720种D ．480种【例8】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A【例9】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例10】 在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【例11】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．【例13】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360B ．288C ．216D ．96【例15】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．【例16】 在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）种．A ．288B ．576C ．864D ．1152【例17】 从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例18】 从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例19】 6个人坐在一排10个座位上，问⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种? ⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例20】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360B ．288C ．216D ．96【例21】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C A D ．2285C A【例22】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】 2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（ ）A ．36种B ．108种C ．216种D ．432种数字问题 【例24】 给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？ ⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？【例25】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例26】 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】 用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足12233445a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例28】 用0129L ，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例29】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例30】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有 种． 432；【例31】 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ） A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种【例32】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种（用数字作答）．【例33】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例34】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．48个 B．36个 C．24个 D．18个，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到个这样的【例35】从1238910不同偶数？【例36】求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字【例37】用数字0123456之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）．，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的【例38】从012345个数为（）A．300 B．216 C．180 D．162【例39】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A ．300B ．216C ．180D ．162【例40】 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑵上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑶⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】 用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种（用数字作答）．【例43】 在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例44】 由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430【例45】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例46】 从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。
排列组合常见模型及解题技巧
排列组合常见模型及解题技巧排列组合常见模型及解题技巧___________________________________排列组合是数学中的一个重要概念，其主要用于解决有关物品数量、顺序、种类等问题，十分重要。
尤其在中考、高考中，排列组合模型非常常见。
因此，想要在考试中取得好成绩，需要对排列组合的相关知识有所了解。
### 一、常见的排列组合模型1. 元素排列模型：当有n个元素时，可以有n!种不同的排列方式。
2. 重复的排列模型：当有n个元素中有m个重复的元素时，可以有$\frac{n!}{m!}$种不同的排列方式。
3. 选择排列模型：当从n个元素中选出m个元素进行排列时，可以有$\frac{n!}{(n-m)!}$种不同的排列方式。
4. 组合模型：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，可以有$\frac{n!}{m!(n-m)!}$种不同的组合方式。
5. 组合中出现重复的情况：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，若有k个重复的元素，可以有$\frac{n!}{(m-k)!(n-m)!}$种不同的组合方式。
### 二、解题技巧1. 明确问题：排列组合问题一般都是要求出物品的总数量或者某一种情况出现的总次数。
因此，在解决这样的问题之前，要明确问题是要计算出总数量还是总次数。
2. 对物品进行分类：在解决排列组合问题时，要明确物品的数量、重复的情况以及可以选择的情况，将物品分成不同的分类。
3. 认真计算：根据不同的情况，选择对应的模型来计算出总数量或者总次数。
在计算之前一定要仔细地去理解问题，以免出错。
4. 熟悉常用公式：在处理排列组合问题时，要能够准确地使用对应的公式来计算出正确的答案。
因此，对于常用的公式一定要牢记于心，并能够准确地使用。
### 三、总结通过本文，我们可以了解到排列组合常见的几个模型以及如何正确地使用它们来解决问题。
排列组合问题是数学考试中常见的问题之一，因此在备考考试时一定要加强对这方面的学习。
巧解排列组合的21种模型
巧解排列组合的21种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易把握.实践证明，把握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看成一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，若是,A B 必需相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，那么此题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离〔即不相邻〕问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头.例2.七人并排站成一行，若是甲乙两个必需不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必需维持必然的顺序，可用缩小倍数的方式.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，若是B 必需站在A 的右边〔,A B 能够不相邻〕那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左侧排法数一样，因此题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，那么每一个方格的标号与所填数字均不一样的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方式，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方式；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分派问题逐分法:有序分派问题指把元素分成假设干组，可用慢慢下量分组法.例5.〔1〕有甲乙丙三项任务，甲需2人承当，乙丙各需一人承当，从10人当选出4人承当这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人当选出2人承当甲项任务，再从剩下的8人当选1人承当乙项任务，第三步从另外的7人当选1人承当丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C . 〔2〕12名同窗别离到三个不同的路口进展流量的调查，假设每一个路口4人，那么不同的分派方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分派问题分组法:例6.〔1〕4名优秀学生全数保送到3所学校去，每所学校至少去一名，那么不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方式，再把三组学生分派到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方式.说明：分派的元素多于对象且每一对象都有元素分派时经常使用先分组再分派.〔2〕5本不同的书，全局部给4个学生，每一个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分派问题隔板法:例7.10个三勤学生名额分到7个班级，每一个班级至少一个名额，有多少种不同分派方案？ 解析：10个名额分到7个班级，确实是把10个名额看成10个一样的小球分成7堆，每堆至少一个，能够在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分派方案，故共有不同的分派方案为6984C =种.8.限制条件的分派问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生当选4人别离到西部四城市参加中国西部经济开发成立，其中甲同窗不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同调派方案？解析：因为甲乙有限制条件，因此依照是不是含有甲乙来分类，有以下四种情形：①假设甲乙都不参加，那么有调派方案48A 种；②假设甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方式，然后安排其余学生有38A 方式，因此共有383A ；③假设乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④假设甲乙都参加，那么先安排甲乙，有7种方式，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方式.因此共有不同的调派方式总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，掏出的情形也多种，可按结果要求分成不相容的几类情形别离计数，最后共计.例9.〔1〕由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情形，别离有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，归并共计300个,选B .〔2〕从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法〔不计顺序〕共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能够被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.〔3〕从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法〔不计顺序〕有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；另外其它取法都不符合要求；因此符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.穿插问题集合法：某些排列组合问题几局部之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运发动当选出4人参加4×100米接力赛，若是甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，依照求集合元素个数的公式得参赛方式共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
20种排列组合常见模型 专题09 间接法模型(解析版)
专题9 间接法模型例1．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36【解析】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和 其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种； 又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种， 所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C例2．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（ ） A ．900种 B ．600种 C ．300种 D ．150种【解析】第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，有2510C =（种）不同选法， 第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6名教师中选4名，有4615C =（种）不同选法， 所以不同的选派方案共有(10+15)44600A =（种）. 故选B.例3．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240 B ．320C ．180D ．120【解析】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C.例4．某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ） A ．96种 B ．84种 C ．78种 D ．16种【解析】先确定选的两门:246C = ,再确定学生选:24214-= ,所以不同的选课方案有61484,⨯=选B. 例5．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100 B ．110 C ．120 D ．180【解析】试题分析：10人中任选3人的组队方案有310120C =，没有女生的方案有3510C =， 所以符合要求的组队方案数为110种例6．某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ） A ．474种 B ．77种 C ．462种 D ．79种【解析】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下 午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有39A ，那么连着上3节课的情况有533A 种，则利用间接法可知所求的方法有39A -533A =474，故答案为A.例7．从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作，若其中乙和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有( ) A ．36种 B ．12种C ．18种D ．24种【解析】利用分类加法原理，对所选的3人中分三种情况：乙和丙有2人，对两个人进行排列，第三项工作再从乘下的3人中选1人，即2231A C ；乙和丙有1人，则有2种情况，这个人可以从两项工作中任取一项有2种情况，则乘下的两项工作由3个人来排列，即2322A ⋅⋅；乙和丙都没有，三项工作就由其他3个人来进行排列，即33A ； ∴223233312236N A C A A =+⋅⋅+=. 故选：A例8．某教育局公开招聘了4名数学老师，其中2名是刚毕业的“新教师”，另2名是有了一段教学时间的“老教师”，现随机分配到A 、B 两个学校任教，每个学校2名，其中分配给学校A 恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【解析】分配给学校A 两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和为24213C =.故分配给学校A 恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是12133-=. 故选：D例9．某校教师迎春晚会由6个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．112种 B ．120种 C ．144种 D ．180种【解析】利用间接法求解，先考虑将丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，共有2525240A A =种.若甲排在第一位和最后一位，且丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，此时，排法种数为12422496C A A =.综上所述，符合条件的排法种数为24096144-=（种）. 故选：C.例10．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A ．96 B ．120 C ．48 D ．72【解析】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种， 然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种， 根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边， 排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种， 再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ， 根据分步计数原理有23232A A ， 所以共有332334232120A A A A -=种. 故选:B.例11．2019年4月23日中国人民海军建军70周年.为展现人民海军70年来的辉煌历程和取得的巨大成就，我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法种数为（ ） A ．1296 B ．648 C ．324 D ．72【解析】由题意可得：2艘攻击型核潜艇一前一后，有22A 种方法排列，6艘舰艇的任意排列，有66A 种方法排列，6艘舰艇每侧3艘且同侧是同种舰艇，有33332A A ⨯种方法排列，6艘舰艇每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，有6336332A A A -⨯种方法排列，舰艇分配方案的方法种数有：()()2633263322720721296A A A A -⨯=⨯-=故选：A例12．现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（ ）种. A ．24 B ．36 C ．72 D ．144【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有246C =种情况， ②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有4424A =种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有232312A A =种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种， 则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有61272⨯=种； 故选：C例13．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（ ） A ．60B ．75C ．105D ．120【解析】试题分析：由题可从反面处理，即从选法中减去全是女生的选法，则可得有；55961266120C C -=-=种选法．例14．某部门在一周的7天内给3名实习生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这3名实习生不能安排在连续的3天，则不同的安排方案的种数为（ ）． A ．30 B ．120 C ．180 D ．210【解析】由题意，将3名实习生随机安排在一周的7天内，共有37A 种安排方案， 将3名实习生安排在连续的3天的安排方案有335A 种， 所以满足题意的不同安排方案有33735180A A -=（种）． 故选：C ．例15．我省某医院呼吸科要从2名男医生，3名女医生中选派3人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名男医生，则选派方案有（ ） A ．60种B ．12种C ．10种D ．9种【解析】根据题意，有2名男医生，3名女医生，共5名医生中选派3人，有3510C =种选法， 其中没有男医生，即全部为女医生的选法有331C =种， 则有1019-=种不同的选法； 故选：D ．例16．有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N ，则下列等式能成为N 的算式是（ ）. A ．5141376C C C -； B ．23324157676767C C C C C C C +++；C ．514513766C C C C --； D ．23711C C ；【解析】解：13名医生，其中女医生6人，男医生7人．利用直接法，2男3女：2376C C ；3男2女：3276C C ；4男1女：4176C C ；5男：57C ，所以23324157676767N C C C C C C C =+++；利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即514513766N C C C C =--；所以能成为N 的算式是BC ． 故选：BC ．例17．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则( ) A ．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有12298A C 种 B ．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有1229821298+C C C C 种 C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种 【解析】由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品, 则包括一件不合格品和两件合格品,共有12298A C 种结果，则选项A 正确，B 不正确；根据题意,"至少有1件不合格品"可分为"有1件不合格品"与"有2件不合格品"两种情况,"有1件不合格品"的抽取方法有28129C C 种, "有2不合格次品"的抽取方法有21298C C 种,则共有2212988129C C C C +种不同的抽取方法,选项C 正确； "至少有1件不合格品"的对立事件是"三件都是合格品"，"三件都是合格品"的抽取方法有398C 种,抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -，选项D 正确； 故选：ACD .例18．新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有_______种不同安排方法．（用数字作答） 【解析】先考虑没有限制条件下的排法种数，将5人分为三组，三组的人数分别为3、1、1或2、2、1，此时，所有的排法种数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 其次考虑甲、乙两人安排在同一路口时的排法种数，此时有()12333336C C A +=种排法. 综上所述，共有15036114-=种. 故答案为：114.例19．某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有____________种. 【解析】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，即221211645443242C C C C C C -⨯+=， 故答案为：42．例20．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字作答）. 【解析】从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，共有3735C =，乘积为奇数只有1,3,5一种情况 故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种. 故答案为：34例21．中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）形象化代表人的出生年份，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位属相不同的小朋友依次每人选一个，则三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有________种． 【解析】解：三位小朋友选择的总情况共有3121211101320A =⨯⨯=（种）． ①三人都选与自己属相相同的吉祥物，有1种选法；②三人中有二人选与自己属相相同的吉祥物，选法共有23927C =（种）； ③三人中有一人选与自己属相相同的吉祥物，选法有()131099273C +⨯=（种），所以三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有()13201272731019-++=（种）． 故答案为：1019例22．从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作___________个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作___________个四面体. 【解析】正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，故可作481258C -=个四面体.故答案为：12；58.例23．由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数. （1）共可以组成多少个五位数？ （2）其中奇数有多少个？（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由. 【解析】（1）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A 55＝120个五位数 （2）∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数的奇数， ∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C 31种结果，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果，根据分步计数原理得到共有C31A44＝72；（3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55＝120种情况，即一共有120个五位数，再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：1、5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A44＝24个，2、4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A33＝6个，3、4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A22＝2个，4、43215，43251，43152，共3个故不大于43125的五位数有120﹣（24+6+2+3）＝85个，即43125是第85项．。
数学模型方法在排列组合中的应用
数学模型方法在排列组合中的应用作者：徐家平来源：《考试周刊》2012年第49期摘要：排列组合是中学数学的重要组成部分，有着广泛的应用性，它具有理论性强，对逻辑思维要求高，思想方法独特灵活等特点.通过构造排列组合实际问题模型解题，方法新颖、独特，可帮助学生多角度地思考问题，培养思维的深刻性、灵活性，激发学生的创造力，形成创新意识.本文分析了多种排列组合中的数学模型，帮助同学们更快更准确地解决排列组合问题.关键词：数学模型排列组合应用排列组合是中学数学的重要组成部分，有着广泛的应用性，这一方面的问题解决已成为数学教育关注的一个热点.但由于它应用性强，具有题型多变，条件隐晦，思维抽象，分类复杂，问题交错，易出现重复和遗漏，以及不易发现错误等特征，所以学生在学习这部分内容时经常碰到不少困难.而数学模型方法（Mathematical modelling method简称MM方法）在处理一些排列组合问题中有着它独特的优势，可以克服传统方法中导致学生易犯错的情况，具有很高的应用价值.所谓MM方法，就是将所考察的实际问题转化为一个具体数学问题，构造出相应的模型，通过对模型的研究和解答，问题得以解决的一种数学方法.其基本过程可用下面的框图来表示：构造模型的关键是对实际问题进行抽象概括转化，抓住问题实质.本文结合具体例子，介绍几种排列组合问题中常见的数学模型.一、不等式（方程）组模型在解决某些排列组合问题时，我们可以先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，解方程即可.例1：一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？解：设取x个红球，y个白球，则x+y=52x+y≥7（0≤x≤4，0≤y≤6）∴x=2y=3或x=3y=2或x=4y=1符合题意的取法种数有CC+CC+CC=186种.二、树形图模型某些实际问题常没有提供数学运算的对象，不易求解.为使其转化为数学问题处理，可将问题中需要考察的某些对象或状态进行处理，通过建立模型去解决.画“树形图”、“框图”等手段就能使一些复杂的排列组合问题直观化，从而寻求解题途径，但此法由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验.例2：三人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（?摇?摇）.（A）6种（B）8种（C）10种（D）12种解：该题较新颖，要在考试的较短时间内迅速获得答案，有一定的困难.但是我们如果能够结合题意，构造出一张传球的树形图，那么问题也就不会显得那么复杂了.由上图可知甲开始传球，第一次传球给乙经过五次传递最后回到甲手中共有5种方法，同理如果甲第一次传球给丙的话也有五种，所以答案是C.三、解析几何模型利用数形结合的思想为排列组合问题构造解析几何模型，可以把代数问题转化为比较形象的几何问题，便于解答.例3：设A={-8，-6，-4，-2，0，1，3，5，7，9}，从A中任取两个元素构成向量=（a，b），（a≠b且b≠0），则能组成模大于5的不同向量的个数为多少？解：由题设知a≠b，b≠0；根据向量模的几何意义，结合补集思想，只需求出以原点为圆心，5为半径的圆上及圆内所包含的以A中元素为横纵坐标的点的个数，然后从A中所有元素组成的不同坐标对应的点中除去即可.圆内及圆上的点有4×3+5=17个（不含x轴上的5个点），满足a≠b，b≠0的所有点有C•C=81个（不含x轴上的10个点），所以满足题设的点共有C•C-（4×3+5）=64个.四、立体几何模型在学习了立体几何与排列组合知识并对立体图形有充分的认识后，我们可以利用典型的空间模型与排列组合完美地结合起来，就能在处理相关方面的问题时带来许多方便.例4：A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？分析：在三棱锥A-BCD中，顶点A、B、C、D表示小岛A、B、C、D，棱（包括底边）表示桥.因同一平面上的三条棱不能将四个岛连接起来，因此，根据题意，不同的连桥方案有：C-4=16种.五、多位数模型很多“数数”问题的解决，如果能跳出题设所限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，就可以使问题的解决呈现出“柳暗花明”的格局.多位数模型就很好地为我们诠释了这样一个思想.例5：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？分析：建立数学模型转化为数学问题：用1、2、3、4这4个数字组成没有重复的四位数，其中1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位数共有多少个？那么问题就容易解决了.由于答案数字也不大，我们可以一一列举出9个满足题意的四位数，所以四张贺年卡不同的分配方式共有9种.六、分球入盒模型例6：在某个城市中M、N两点之间有整齐的道路网，如图所示，若各个小矩形的边都表示街道，从M到N处要使路程最近，则共有多少种走法？分析：把上图2×4的方格看成一张地图，每个小矩形的边当成一步，则从M到N至少要走6步，其中必须向北走2步、向东走4步.我们看如下的模型：将所走的6步用6张卡片表示，若卡片上写“北”字则表示向北走，现将2张写有“北”字的卡片和4张写有“东”字的卡片分别放入6个小盒子中，每个盒子里放一张，每一种放法对应着一种走法.如这样一种放法：“东、东、东、北、北、东”则表示“从M处向东走3步，再向北走2步，然后向东走一步到N”.在这些卡片中只要把写有“北”字（或“东”字）的卡片放好，余下的盒子里每一个放一张“东”（或“北”）即可，放法有C=15种或C=15种（卡片上只要字同则认为无区别）.由此推广：将上例中的2×4个方格推广到m×n个方格，这时从M到N的最短路程的走法是：C或C.。
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高中数学排列组合中几种常见的数学模型
作者：林子碧
来源：《新课程学习·上》2014年第08期
摘要：以常见的排列组合试题为例，分析了各种排列组合中的数学模型，以期帮助学生更快更准确地解决排列组合问题。
关键词：高中数学；数学模型；排列组合
排列组合问题是高考中必考的一个类型题，常常单独命题或与概率内容等相结合，一般以较容易题出现，但由于解这类问题时方法灵活，切人点多，且抽象性极强，在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以又成为高中学生学习的难点之一。
故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解，找出问题的切入点，建立合理的数学模型，将问题简单化、常规化。
一、特殊元素优先数学模型
对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或其他位置，这种模型称为“特殊元素优先数学模型”。
例1.用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成无重复数字的四位偶数____个。
（用数字作答）
解：先安排四位偶数的个位上的数字（优先考虑）。
无重复数字的四位偶数中如果个位数是0共有C■A■个，同时如果个位数是2或4共有C■C■A■=96个，所以，重复数字的四位偶数共有60+96=156个。
点评：特殊元素优先法是比较容易入手的一种方法，在处理此类问题时一是要注意优先考虑有要求的特殊位置的元素，二是要注意与分步计数原理结合运用。
二、捆绑式数学模型
对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排，这种模型称为“捆绑式数学模型”。
這种模型分为两种，一种是相邻元素要全排列，一种是相邻元素是组合问题，不用排列。
例2.四个工人去住旅店，旅店只剩下三个房间，要求四人中必须有两个住在一个房间，另两个房间各住一人，问共有多少种不同的安排方法？
解：第一步：把四个工人中的二个捆绑在一起，共有C■=6种方法；第二步：把四个工人看成三个工人进行排列，共有A■=6种方法。
所以共有36种不同的安排方法。
点评：由于两个工人在同一个房间没有排列问题，所以不能自排。
还有一种典型的错误排法，先在四个人中选出三个工人入住三个房间，有24种方法，再把剩下一个人放下四个房间中的任意一个，共有4种方法，故共有96种方法。
请学生思考，这种方法为什么是错误的？
三、插空式数学模型
对于某些元素要求不相邻排列的问题，可先排好没有限制条件的元素，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙及两端位置，这种模型称为“插空式数学模型”。
四、AB型数学模型
对于一些排列组合问题，不同的元素或不同的情况只有两种，我们可把它们视为A和B，再进行排列，这种模型称为“AB型数学模型”。
坐座位问题，射击问题，相同的小球放入盒中的问题，方程解的个数问题等等都可以归结为“AB型数学模型”。
例3.一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
解：10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走1级或2级。
显然必须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。
记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B。
其余的填写A，这是一个8选2的组合问题，所以一共有28种走法。
点评：本题利用AB型数学模型，把一个实际问题映射为一个纯数学问题。
提高学生解排列组合题的有效途径之一是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题。
这样有利于学生区别模式，并进而熟练运用。
本文列举了四种常见的排列组合典型问题的解题模型，希望能对大家有所帮助。
参考文献：
[1]王雷，连四清.数学问题解决方式的比较研究[J].数学教育学报，2010.
[2]顾亚楠.排列组合中的数学思想方法[J].考试：高考理科版，2008.
作者简介：林子碧，男，出生年月：1979.11，本科，福建省泉州市南安华侨中学，研究方向：中学数学教学。