2022届高考文科数学一轮复习：圆的方程练习题
(23)2022年高考真题——文科数学(全国乙卷) 答案(1)
所以 ；
【小问2详解】
，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，当x趋近正无穷大时， 趋近于正无穷大，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
15.过四点 中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】 或 或 或 ；
【解析】
【分析】设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为 ，
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数 ．
【答案】（1） ；
（2）
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
12.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明当四棱锥 顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
高考数学一轮复习圆的方程
F＝0，
16＋4D＋F＝0， 2－D＋E＋F＝0，
D＝－4，
解得E＝－6， F＝0，
易得 D2＋E2－4F>0，所以过这
三点的圆的方程为 x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13.
若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点， 设过这三点的圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点
第二节
圆与方程
第二节 圆与方程
1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
必备知识·系统归纳 先整体系统知识，再分课时研究题点考法
Ⅰ.主干知识的再认再现
圆心到直线 l 的距离为 2 ＝ 2<2，所以直线 l 与圆相交．又圆 心不在直线 l 上，所以直线不过圆心．故选 D. 答案：D
4．(人教 A 版选择性必修①P98·T3 改编)直线 y＝ 3x 被圆 C：x2＋y2－2x
＝0 截得的线段长为
()
A．2
B. 3
C．1
D. 2
解析：圆 C：x2＋y2－2x＝0 的圆心为(1,0)，半径为 1，圆心到直线 y ＝ 3x 的距离为 d＝ |3＋3| 1＝ 23，弦长为 2· 1－ 232＝1，故选 C.
16＋4D＋F＝0，
可 得 2－D＋E＋F＝0， 20＋4D＋2E＋F＝0，
D＝－156， 解 得 E＝－2，
F＝－156，
易得 D2＋E2－
4F>0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋y2－156x－2y－156＝0，即x－852 ＋(y－1)2＝12659.
2021-2022年高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练62直线与圆圆与圆的位置关系理
2021年高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练62直线与圆圆与圆的位置关系理1．(xx·江西南昌市一模)对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 C解析 圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0，配方，得(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1，0)，直线y ＝kx －1恒过M(0，－1)，而(0－1)2＋(－1)2<3，即M 点在圆内，所以直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ＝2.所以直线与圆相切． 3．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离答案 A解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．4．(xx·安徽屯溪一中月考)若曲线x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)与直线y ＝k(x ＋2)有公共点，则k的取值范围是( ) A ．[－34，0)B ．(0，34)C ．(0，34]D ．[－34，34]答案 C解析 ∵x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)可化为(x －3)2＋y 2＝9(y>0)，∴曲线表示圆心为(3，0)，半径为3的上半圆，它与直线y ＝k(x ＋2)有公共点的充要条件是：圆心(3，0)到直线y ＝k(x ＋2)的距离d≤3，且k>0，∴|3k －0＋2k|k 2＋1≤3，且k>0，解得0<k≤34.故选C. 5．(xx·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d ＝|2|12＋（3）2＝1，∴sin ∠AOC ＝d |OC|＝12，∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π3. 6．(xx·福建福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －3）2＝4，x －y ＋2＝0，消去y ，得x 2－4x ＋3＝0.解得x 1＝1，x 2＝3.∴A(1，3)，B(3，5)．又C(3，3)，∴CA →＝(－2，0)，CB →＝(0，2)． ∴CA →·CB →＝－2×0＋0×2＝0. 7．(xx·保定模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A．(3，2) B．(3，3)C．(33，233) D．(1，233)答案 D解析当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝|m|1＋（33）2＝1，解得m＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要1<m<233.8．圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c 的值是( )A．－3 B．3C．2 2 D．8答案 A解析由题知圆心为(2，－1)，半径为r＝5－c.令x＝0得y1＋y2＝－2，y1y2＝c，∴|AB|＝|y1－y2|＝21－c.又|AB|＝2r，∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c＝－3.9．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析把x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2.10．(xx·黄冈一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x－2)＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B.11．(xx·重庆一中期末)已知P是直线kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为22，则k 的值为( ) A ．3 B ．2 C.13 D.152答案 A解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，则圆心为C(1，－2)，半径为1.由题意知直线与圆相离，如图所示，S 四边形PACB ＝S △PAC ＋S △PBC ，而S △PAC ＝12|PA|·|CA|＝12|PA|，S △PBC ＝12|PB|·|CB|＝12|PB|，又|PA|＝|PB|＝|PC|2－1，∴|PC|取最小值时，S △PAC ＝S △PBC 取最小值，此时，CP 垂直于直线，四边形PACB 面积的最小值为22，S △PAC ＝S △PBC ＝2，∴|PA|＝22，|CP|＝3，∴|k －8－10|k 2＋16＝3，又k>0，∴k ＝3.故选A.12．(1)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． (2)以C(1，3)为圆心，并且与直线3x －4y －6＝0相切的圆的方程为________． 答案 (1)x ＋2y －5＝0 (2)(x －1)2＋(y －3)2＝9 解析 (1)由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.(2)r ＝|3×1－4×3－6|5＝3，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.13．已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________． 答案 25π解析 因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.14．已知点P(2，2)和圆C ：x 2＋y 2＝1，设k 1，k 2分别是过点P 的圆C 两条切线的斜率，则k 1·k 2的值为________． 答案 1解析 设过点P 的切线斜率为k ，方程为y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0. 其与圆相切则|2k －2|k 2＋1＝1，化简得3k 2－8k ＋3＝0.所以k 1·k 2＝ 1.15．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________． 答案 (2，2)解析 ∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有|OP|＝2|OM|＝2.由两点间的距离公式得，|OP|＝x 02＋（－x 0＋22）2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 16．(xx·大纲全国)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________． 答案 43解析 利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB 各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值． 如图，|OA|＝12＋32＝10.∵半径为2，∴|AB|＝|OA|2－|OB|2＝10－2＝2 2. ∴tan ∠OAB ＝|OB||AB|＝222＝12.∴所求夹角的正切值为tan ∠CAB ＝2tan ∠OAB1－tan 2∠OAB ＝2×121－14＝43. 17．(xx·天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a)，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.18．(xx·杭州学军中学月考)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称． (1)求实数m 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程． 答案 (1)m ＝1 (2)x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 (1)圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C. ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0，x ＋y ＋1＝0，消去y ，得2x 2＋4x ＋a ＋1＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1.由x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋12，得y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋12－1.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.1．(xx·安徽，文)若过点P(－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．(0，π3]C ．[0，π6]D ．[0，π3]答案 D解析 设直线l 的方程为y ＋1＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0. 由d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，得0≤k≤ 3. ∴0≤tan α≤3，∴α∈[0，π3]，选D. 2．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.另解：易知PACB 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0.又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0， ∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.3．(xx·山东，文)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0的圆心M(0，a)，半径为a ， 所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离为|a|2.由直线x ＋y ＝0被圆M 截得的弦长为22，知a 2－a22＝2，故a ＝2，即M(0，2)且圆M 的半径为2. 又圆N 的圆心N(1，1)，且半径为1， 根据1<|MN|＝2<3，知两圆相交．故选B.4．(xx·课标全国Ⅱ，理)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10答案 C解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M(0，y 1)，N(0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN|＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝46，故选C.5．已知点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B两点，则|AB|的最小值是( ) A ．2 6B ．4C. 6 D ．2答案 B解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长等价于求到圆心距离d 最大的点，即图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB|min ＝214－10＝4，故选B.6．(xx·唐山一中模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1 D.17答案 B解析 ⊙C 1关于x 轴对称的⊙C 1′的圆心C 1′(2，－3)，半径仍为1，⊙C 2的圆心为(3，4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为⊙C 1′和⊙C 2的圆心距离减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为52－4.7．(xx·衡水调研卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值． 答案 (1)(x －3)2＋(y －1)2＝9 (2)a ＝－1解析 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，（x －3）2＋（y －1）2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.因此x 1＝（8－2a ）＋56－16a －4a 24，x 2＝（8－2a ）－56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA⊥OB，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.8．(xx·课标全国Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 答案 (1)(4－73，4＋73) (2)2解析 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为(4－73，4＋73)．(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆C 的圆心(2，3)在l 上，所以|MN|＝2.。
2022届高考数学(文)大一轮复习检测：第九章第3讲几何概型 Word版含答案
第3讲 几何概型,[同学用书P179])1．几何概型假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成大事A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）1．辨明两个易误点(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果．(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本大事的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本大事的个数是无限的，古典概型中基本大事的个数是有限的．2．会解三种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本大事只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本大事与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本大事就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1. 教材习题改编 如图，转盘的指针落在A 区域的概率为( )A ．16B ．19C ．112D ．118[答案] C2.教材习题改编 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时观察的是红灯的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45B [解析] P ＝3030＋5＋40＝25，故选B.3.教材习题改编 如图，在一边长为2的正方形ABCD 内有一曲线L 围成的不规章图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m 颗)．落在曲线L 围成的区域内的豆子有n 颗(n <m )，则L 围成的区域面积(阴影部分)为( )A ．2nmB ．4n mC ．n 2mD ．n 4mB [解析]S 阴影S 正方形＝落在L 围成的区域的豆子数n 落在正方形中的豆子数m，所以S 阴影＝n m ×22＝4nm.4.教材习题改编 如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机投掷一点，则它落在阴影部分的概率为________．[解析] 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ， 则所求大事的概率为P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.[答案]1π5．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________．[解析] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M -ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h ＝16.又S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h <12，即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12V正方体V 正方体＝12.[答案] 12与长度、角度有关的几何概型[同学用书P180][典例引领](1)(2022·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34(2)(2021·烟台模拟)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为________．【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)由于∠B ＝60°，∠C ＝45°， 所以∠BAC ＝75°.在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记大事N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时大事N 发生． 由几何概型的概率公式，得： P (N )＝30°75°＝25.【答案】 (1)B (2)13 (3)251.本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？[解] 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为23.2.本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，则BM <1的概率是多少？[解] 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将全部基本大事及大事A 包含的基本大事转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特殊留意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建大事的区域(长度或角度)．[通关练习]1．在区间[0，2]上随机地取出一个数x ，则大事“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．14A [解析] 不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．[解析] 如题图，由于射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.[答案] 16与面积有关的几何概型(高频考点)[同学用书P181]与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为简洁题或中档题． 高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下两个命题角度： (1)与平面图形面积有关的几何概型； (2)与线性规划学问交汇命题的几何概型． [典例引领](1)(2022·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4nmB ．2nmC ．4mnD ．2m n(2)(2021·湖北华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A ．14B ．316C ．916D ．34【解析】 (1)设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C. (2) (x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分，易知A (4，2)，所以P ＝12×（2＋4）×44×4＝34.选D.【答案】 (1)C (2)D与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积以求面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．[题点通关]角度一 与平面图形面积有关的几何概型1. 如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A ．4π－1B ．1πC ．1－1πD ．2πA [解析] 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝⎛⎭⎫14×π×12－12×12＝4－π，又由于圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1. 角度二 与线性规划学问交汇命题的几何概型2．在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________． [解析] 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.由于a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0，所以a －2b <0.作出⎩⎨⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如图阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.[答案] 34与体积有关的几何概型[同学用书P181][典例引领](1)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．(2)(2021·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．【解析】 (1)正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. (2)由题意可知V S －APC V S －ABC >13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．【答案】 (1)1－π12 (2)23与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及大事的体积(大事空间)，对于某些较简单的也可利用其对立大事求解．(2021·长春其次次调研) 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G .设AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝2B 1F .在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE -D 1DCGH 内的概率为________．[解析] 由于EH ∥A 1D 1，所以EH ∥B 1C 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1.过EH 的平面与平面BCC 1B 1交于FG ，则EH ∥FG ，所以易证明几何体A 1ABFE -D 1DCGH 和EB 1F -HC 1G 分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P ＝1－V 三棱柱V 长方体＝1－S △EB 1F S 矩形ABB 1A 1＝1－12×55a ×255a 2a 2＝910.[答案]910,[同学用书P182])——转化与化归思想在几何概型中的应用某校早上8：00开头上课，假设该校同学小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)【解析】 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.【答案】932本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x ，y ，将已知转化为x ，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x ，y )的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解．若题中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解．甲、乙两位同学商定周日上午在某电影院旁见面，并商定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．假如甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．12C [解析] 由题意知，若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一大事对应的集合是Ω＝{x |0<x <60}，而满足条件的大事对应的集合是A ＝{x |20≤x ≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13., [同学用书P349(独立成册)])1．设p 在[0，5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．45C [解析] 方程x 2＋px ＋1＝0有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为5－25－0＝35.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45C [解析] 设AC ＝x ，则CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8. 所以P ＝4＋412＝23.3．已知ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8B [解析] 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD＝2－π22＝1－π4.4. 如图所示，A 是圆上肯定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14C [解析] 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.5．(2021·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23C [解析] 如图所示，设点M 是BC 边的中点，由于PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.6．任取实数a 、b ∈[－1，1]，则a 、b 满足|a －2b |≤2的概率为( ) A ．18B ．14C ．34D ．78D [解析] 建立如图所示的坐标系，由于|a －2b |≤2，所以－2≤a －2b ≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a －2b |≤2的概率为S 阴影S 正方形＝78.7. 如图，在一不规章区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此试验数据为依据，可以估量出该不规章图形的面积为________平方米．[解析] 设该不规章图形的面积为x 平方米，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，所以依据几何概型的概率计算公式可知3751 000＝1x ，解得x ＝83.[答案] 838．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5，5]，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．[解析] 令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝2－（－1）5－（－5）＝310＝0.3.[答案] 0.39．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．[解析] 设大事M ＝“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， 则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝V 三棱锥A 1－ABDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD＝16.[答案] 1610．(2021·郑州模拟)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．[解析] 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.[答案]π2411. 如图所示，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵的长度小于π的概率； (2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率． [解] (1)圆O 的周长为4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记大事M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝12.12．(2021·广东七校联考) 如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为( )A ．3＋316πB ．3＋34πC ．4π3＋3D ．16π3＋3B [解析] 由正弦定理BC sin A ＝ACsin B＝2R (R 为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)． 于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC 圆的面积＝25（3＋3）102π＝3＋34π. 13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． [解] (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.由于x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，故所求概率为P 2＝S 2S ＝12.14．已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，其次次取出的小球标号为b . ①记“a ＋b ＝2”为大事A ，求大事A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求大事“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．[解] (1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2.(2)①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能状况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13.②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为大事B ，则大事B 等价于“x 2＋y 2>4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而大事B 构成的区域为B＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4.。
圆的方程 学案-2022届高三数学一轮复习
例3已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．
(1)求直角顶点C的轨迹方程；
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
第Hale Waihona Puke 页训 练 展 示 学 案A组
1．圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离分别是( )
A．2 ， B．3 ，
A．－6＜k＜ B．k＜－6或k＞ C．k＞－6D．k＜
问题3：点和圆的位置关系判定？
4.(2020年天水月考)已知x，y满足x2－4x－4＋y2＝0，则x2＋y2的最大值为()
A．12＋8 B．12－8 C．12D．8
问题4：圆的最值问题？
班级小组姓名________ 使用时间______年______月______日 编号
2.本节课你从知识，方法方面学到了什么？
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二、考点突破
考点1.求圆的方程
例1（1）圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为____________．
（2）已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为____________．
（3）圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2 ，则圆C的标准方程为________________________．
C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4
问题1：圆的定义及圆的标准方程？
2．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，－2)∪ B． C．(－2,0)D．
问题2：圆的一般方程？二元二次方程 表示圆应满足的条件？
2022年高考数学总复习考点培优——圆的方程
第三节 圆的方程【教材回扣】1．圆的定义及方程点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r ＞0)的位置关系： (1)若M(x 0，y 0)在圆外，则______________________. (2)若M(x 0，y 0)在圆上，则______________________. (3)若M(x 0，y 0)在圆内，则______________________.【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．确定圆的几何要素是圆心与半径．( )2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为（－a 2，－a ），半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )3．已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )4．方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.( )题组二 教材改编1．圆心为C(8，－3)，且过点A(5,1)的圆的方程是( ) A ．(x －8)2＋(y ＋3)2＝5 B ．(x ＋8)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋8)2＋(y －3)2＝25 D ．(x －8)2＋(y ＋3)2＝252．圆C 的圆心在x 轴上，并且过A(－1,1)和B(1,3)两点，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝10 B ．(x －2)2＋y 2＝100 C ．(x ＋2)2＋y 2＝10 D ．(x ＋2)2＋y 2＝1003．(一题两空)当m ∈______时，方程x 2＋y 2－4x ＋2my ＋2m 2－2m ＋1＝0表示圆，此时半径最大时圆的一般方程为________．题组三 易错自纠1．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)2．若点(1,1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．a ＞1或a ＜－1D ．a ＝±43．半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为________________．题型一 求圆的方程[例1] (1)已知圆E 经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A ．(x －32）2＋y 2＝254B ．(x ＋34）2＋y 2＝2516C ．(x －34）2＋y 2＝2516D ．(x －34）2＋y 2＝254(2)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16 [听课记录]类题通法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.巩固训练1：(1)经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2(2)圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为________．题型二 与圆有关的轨迹问题[例2] 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程． [听课记录]类题通法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.巩固训练2：设定点M(－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程．题型三 与圆有关的最值问题 高频考点角度|斜率型最值问题[例3] 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P(x ，y)为圆上任一点，则y －2x －1的最大值为________．[听课记录]类题通法形如μ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为过定点(a ，b)的动直线斜率的最值问题求解．如yx ＝y －0x －0表示过坐标原点的直线的斜率.巩固训练3：已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx的最大值和最小值．角度|截距型问题[例4] 已知点P(x ，y)在C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，求x ＋y 的最大值与最小值． [听课记录]类题通法求形如u ＝ax ＋by 的最值，可转化为求动直线截距的最值，具体方法是： (1)数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y 轴上的截距取得最值；(2)把u ＝ax ＋by 代入圆的方程中，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由Δ≥0求得u 的范围，进而求得最值.巩固训练4：已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A．(－23，4) B．[－23，4]C．[－4,4] D．[－4,23]角度|距离型最值问题[例5]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．[听课记录]类题通法求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解.巩固训练5：已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．角度|利用对称性求最值[例6]已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值为________．[听课记录]类题通法形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数；②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.巩固训练6：已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为() A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17[预测1]核心素养——直观想象、数学运算已知实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝1，则|3x＋4y－26|的最小值为________．[预测2]新题型——多选题已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为12，则圆C的方程为()A．x2＋y＋332＝43B．x2＋y－332＝43C．(x－3)2＋y2＝4 3D．(x＋3)2＋y2＝4 3第三节 圆的方程 课前基础巩固[教材回扣](x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (a ，b ) r x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（－D 2，－E 2） 12D 2＋E 2－4F(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2 (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2 (x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2 [题组练透] 题组一1．√ 2.× 3.√ 4.√ 题组二1．解析：圆的半径为|AC |＝ (8－5)2＋(－3－1)2＝5故圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. 故选D. 答案：D2．解析：由题意知，圆心在AB 的垂直平分线上，其方程为x ＋y －2＝0. 又因为圆C 和圆心在x 轴上，所以两交线的交点就为圆心，即为C (2,0)， 则圆的半径为|AC |＝(2＋1)2＋(0－1)2＝10.故圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝10，故选A. 答案：A3．解析：原方程化为(x －2)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋2m ＋3， 当－m 2＋2m ＋3＞0，即－1＜m ＜3时， 方程表示圆．由－m 2＋2m ＋3＝－(m －1)2＋4知， 当m ＝1时，圆的半径最大，此时圆的方程为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 答案：(－1,3) x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 题组三1．解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得（x ＋m 2）2＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2＞0，解得m ＜－22或m ＞2 2.故选B. 答案：B2．解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4，即－1＜a ＜1. 故选A. 答案：A3．解析：由题意可设圆心坐标为(a ，a )则圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝9 ∴|a |＝r ＝3， ∴a ＝±3，∴所求圆的方程为：(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9.答案：(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)由题意可设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r 则有⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝r 2a 2＋(0＋1)2＝r2a 2＋(0－1)2＝r2解得a ＝34，r 2＝2516，故所求圆的方程为（x －34）2＋y 2＝2516.故选C.(2)由题意可得圆心(0,1)到直线x －by ＋2b ＋1＝0的距离 d ＝|1＋b |1＋b 2＝(1＋b )21＋b 2＝1＋2b1＋b 2≤ 1＋2|b |1＋b 2≤ 2. 当且仅当b ＝1时取等号． 所以半径最大的圆的半径r ＝2， 此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2. 故选B.答案：(1)C (2)B巩固训练1 解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)． 又由该圆过点(1,0)， ∴半径为1，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 故选B.(2)设圆C 上的任意一点M (x ，y )，则点M 关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． ∵点(－y ，－x )在圆(x －1)2＋y 2＝1上，∴(－y －1)2＋(－x )2＝1即x 2＋(y ＋1)2＝1. 答案：(1)B (2)x 2＋(y ＋1)2＝1 题型二例2 解析：(1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)． 巩固训练2 解析：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为（x 2，y2），线段MN 的中点坐标为（x 0－32，y 0＋42）.因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点（－95，125）和（－215，285），不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点（－95，125）和（－215，285）.题型三例3 解析：设y －2x －1＝k ，即kx －y －k ＋2＝0，圆心C (－2,0)，r ＝1.当直线与圆相切时，k 有最值，∴|－2k －0－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝3±34，∴y －2x －1的最大值为3＋34.答案：3＋34巩固训练3 解析：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k＝± 3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.例4 解析：设x ＋y ＝b ，则当直线x ＋y ＝b 与圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值．圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径长2，则3＋3－b 12＋12＝2，即|b －6|＝22， 解得b ＝6±2 2.所以x ＋y 的最大值为6＋22， 最小值为6－2 2.巩固训练4 解析：∵y ≥0， ∴x 2＋y 2＝4为上半圆，如图，当直线过点(－2,0)时，m ＝－23，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎨⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]．故选B. 答案：B例5 解析：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又圆心到原点的距离为 (2＋0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.巩固训练5 解析：设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(32＋42＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案：74例6 解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5， 则圆心C (2,1)，半径r ＝ 5.设A 关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点B (a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2＋b 2＋2＝0b －2a ＝1，∴a ＝－4，b ＝－2，∴B (－4，－2)． ∴|P A |＋|PQ |的最小值是 |BC |－r ＝(2＋4)2＋(1＋2)2－5＝2 5.答案：25巩固训练6 解析：如图圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A (2，－3)，半径为1，圆C 2的圆心坐标(3,4)，半径为3，由图象可知当P ，C 2，A 三点共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，(|PM |＋|PN |)min ＝|AC 2|－r 1－r 2＝(3－2)2＋(－3－4)2－4＝50－4＝52－4.故选A.答案：A高考命题预测预测1 解析：|3x ＋4y －26|最小值的几何意义是圆心到直线3x ＋4y －26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x ＋4y －26|min ＝5(|3a ＋4b －26|32＋42－r )，(a ，b )是圆心坐标，r 是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为|3×(－2)＋4×3－26|5＝4，所以|3x＋4y －26|的最小值为5×(4－1)＝15.答案：15预测2 解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43.故选AB.答案：AB。
2022届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套45分钟阶段测试(一)
45分钟阶段测试(一)(范围：§1.1～§1.3)一、选择题1．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是( )A ．1B ．3C ．4D ．8 答案 C解析 依据已知，满足条件的集合B 为{1,3}，{3}，{2,3}，{1,2,3}．故选C.2．若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的全部实数a 的取值范围为( )A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9] 答案 D解析 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．3．(2021·天津)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时(a －b )·a 2<0，必要性不成立．4．下列结论中正确的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ≠1”B ．命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1，则綈p ：∀x ∈R ，sin x ≤1C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．“φ＝π2＋2k π(k ∈Z )”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件 答案 B解析 对于A ，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1”，A 错误；由全称命题的否定是特称命题知，B 正确；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p 且q 为假命题，故C 错误；函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数的充要条件为φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故D 错误．5．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12； 当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12； 当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12； 当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12. 故P *Q ＝{0，－12，12}，该集合中共有3个元素． 二、填空题6．若“x 2－2x －3>0”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________． 答案 －1解析 由x 2－2x －3>0，解得x <－1或x >3.由题意知，{x |x <a }{x |x <－1，或x >3}，所以a ≤－1，故a 的最大值为－1.7．在下列四个结论中，正确的是________．(写出全部正确结论的序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．答案 ①②解析 ①由B ⇒A 得綈A ⇒綈B ，知①成立；②明显成立；③中x ＝－1⇒x 2＝1充分性不成立，故③错误．8．已知命题p ：关于x 的方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，则a 的取值范围是________． 答案 {a |－1<a <0或0<a <1}解析 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0，明显a ≠0，所以x ＝－2a 或x ＝1a. 由于x ∈[－1,1]，故|－2a |≤1或|1a|≤1，所以|a |≥1. “只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0.所以a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≥1或a ＝0.由于命题“p 或q ”为假命题，所以a 的取值范围为{a |－1<a <0或0<a <1}．三、解答题9．已知集合A 是函数y ＝lg(20＋8x －x 2)的定义域，集合B 是不等式x 2－2x ＋1－a 2≥0(a >0)的解集，p ：x ∈A ，q ：x ∈B .(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)若綈p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解 (1)由题意得A ＝{x |－2<x <10}，B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }．若A ∩B ＝∅，则必需满足⎩⎨⎧ 1＋a ≥101－a ≤－2a >0，解得a ≥9.∴a 的取值范围为a ≥9.(2)易得綈p ：x ≥10或x ≤－2.∵綈p 是q 的充分不必要条件， ∴{x |x ≥10或x ≤－2}是B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }的真子集，则⎩⎨⎧ 10≥1＋a－2≤1－a a >0，解得0<a ≤3，∴a 的取值范围是0<a ≤3. 10．已知：a >0且a ≠1.设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a－3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围． 解 p 真⇔0<a <1，p 假⇔a >1；q 真⇔a >52或0<a <12，q 假⇔12≤a <1或1<a ≤52； ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 中一个真一个假，即p ，q 有且仅有一个是真的．若p 真q 假，则12≤a <1，若p 假q 真，则a >52， 综上，a 的取值范围是{a |12≤a <1或a >52}．。
2022年高考数学第一轮复习-专题37 过曲线上一点的切线、切点弦
专题37 过曲线上一点的切线、切点弦【方法点拨】1. 已知00(,)P x y 为圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上的一点，则过点P 且与圆相切的直线方程是：200()()()()x a x a y b y b r --+--=；2．已知00(,)P x y 为椭圆2222:1x y C a b+=上的一点，则过点P 且与椭圆相切的直线方程是：00221x x y ya b+=； 3. 已知00(,)P x y 为圆222()()(0)x a y b r r -+-=>外的一点，则两切点弦所在的直线方程是：200()()()()x a x a y b y b r --+--=.说明：上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点00(,)x y 作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出，20x x x →，20y y y →，02x x x +→，02y yy +→). 【典型题示例】例1 过抛物线C ：x 2＝2py 上点M 作抛物线D ：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，切点分别为P ，Q ，若△MPQ 的重心为G(1，32)，则p ＝ ． 【答案】316【解析一】设11(,)P x y ，22(,)Q x y则l 1，l 2的方程分别是111()2y y x x =+，221()2y y x x =+由11221()21()2y y x x y y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得，121242y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即1212(,)42y y y y M +又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以12121212211222413323244y y x x y y y y y x y x ⎧++⎪=⎪⎪+⎪⎪++⎨=⎪⎪⎪=⎪=⎪⎩，解之得121233y y y y =-⎧⎨+=⎩，故33(,)42M -将33(,)42M -代入x 2＝2py 得316p =. 【解析二】设200(,)2x M x p则PQ 的方程为2002()2x y x x p=+ 由20022()24x y x x p y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消x 得220040py x y px -+= 所以2012x y y p+=，1204y y x =（11(,)P x y ，22(,)Q x y ）()422012120211844x x x y y x p ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以400022200184133232x x x p x x p p ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎪=⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解之得031634p x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，. 例2 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝ （ ）A．．．5 D ．6 【答案】C【分析】（一）本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形. （二）将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析一】易知p=2，y 2＝4x 由阿基米德三角形得AB 为切点弦所以AB 方程是－y ＝2（x －1），即y ＝－2 x ＋2 代入y 2＝4x 消y 得：x 2－3x ＋1=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2=3 ∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 【解析二】易知p=2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得12122212121204244AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001yk x =-∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C.例3 在平面直角坐标系 xoy 中， 已知圆C :(x - 2)2 + (y - 2)2 ＝ 20 与x 轴交于 A 、 B （点 A 在点 B 的左侧），圆C 的弦 MN 过点T(3，4)，分别过 M 、N 作圆C 的切线，交点为 P ，则线段 AP 的最小值为 ．【答案】2855【分析】设出点P 坐标，根据切点弦求出点P 轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解. 【解析】设点P 坐标为(a ，b )则切点弦MN 的方程为：(a - 2) (x - 2) + (b - 2) (y - 2)＝ 20又因为弦 MN 过点T(3，4)，故(a - 2) (3 - 2) + (b - 2) (4 - 2)＝ 20，即a +2b - 26＝0 即点P 的轨迹方程是x +2y - 26＝0点A （－2,0）到该直线的距离为2855，因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小所以点A （－2,0）到该直线的距离2855即为AP 的最小值.例 4 如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与椭圆22:14x C y +=、圆222(12)x y r r +=<<都相切，切点分别是点A 、B ，则当线段AB 长度最大时，圆的半径r 的值为 ． 【答案】2【分析】先设出点B 坐标，写出直线l 的方程，再利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于r ，布列约束等式，最后，利用勾股定理列出AB 关于r 的目标函数，求出最值及取得最值时r 的值．【解析】设点B 坐标为(2cos ,sin )B αα（R α∈） 则过点B 的椭圆的切线，即直线l 的方程为：2cos sin 14xy αα+=， 即cos 2sin 20x y αα+-=又因为直线l 与圆222x y r +=相切，所以222cos 4sin r αα=+，且OA AB⊥在Rt OAB 中，222222244cos sin cos 4sin AB OB OA αααα=-=+-+2245[(13sin )]13sin αα=-+++而222244(13sin )2(13sin )413sin 13sin αααα++≥+⋅=++，当且仅当3sin 3α=时，“=”成立，此时2222cos 4sin r αα==+，AB 的最大值为1所以当线段AB 长度最大时，圆的半径r 的值为2．【巩固训练】1. 已知圆22:1C x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ， AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ．3.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ _ __.4. 已知P 为椭圆22:143x y C +=上的一个动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆C 在P 点处的切线为d ，若12247PF PF ⋅=，则d = ．5. 已知点P 在直线4x y +=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点(3,2)M 到直线AB 距离的最大值为（ ）A B C ．2D【答案与提示】1.【答案】A【解析】设P ()00,2x x --则直线AB 的方程是()0021x x x y -+=，即()()0210x x y y --+=令0210x y y -=⎧⎨+=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线AB 过定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.2.【答案】 【提示】设A ()0,0x ，则直线PQ 的方程是()0332x x y --=，即0370x x y -+=所以直线PQ 过定点70,3⎛⎫⎪⎝⎭.则PQ 长的最小值是过70,3⎛⎫⎪⎝⎭且平行于x 轴的弦，易得此时PQ ，直径是其上界.3.【答案】x 25＋y 24＝1【提示】AB 的方程是2x ＋y －2＝0，令x=0，y ＝2；令y=0，x ＝1.故c ＝2，b ＝1. 4.【提示】P1x y =. 5.【答案】D【解析】设(,4)P a a -，则直线AB 的方程是(4)40ax a y +--=，即()440a x y y -+-=，当x y =且440y -=，即1x =，1y =时该方程恒成立， 所以直线AB 过定点N(1，1)，点M 到直线AB 距离的最大值即为点M ，N之间的距离，||MN = 所以点M(3，2)到直线AB故选:D.。
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圆 的 方 程一、基础练习1、以椭圆1692x ＋1442y ＝1的右焦点为圆心，且与双曲线92x －162y ＝1的渐近线相切的圆的方程是_____________。
2、长为2的线段AB 的两个端点分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 中点的轨迹是（） A ：圆 B ：椭圆 C ：双曲线 D ：抛物线3、在平面直角坐标系x O y 中，以点(1，0)为圆心且与直线m x －y －2m －1＝0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为___________。
4、已知直线x －2＋λ＝0与圆2x ＋2y ＋2－4＝0相切，则实数λ的值是（ ）A ：0B ：10C ：0或5D ：0或105、从原点向圆2x ＋2y －8y ＋12＝0引两条切线，则两条切线所夹的劣弧的长是（ ） A ：3πB ：32πC ：D ：π6、在圆(x －3)2＋(y －5)2＝2的切线中，满足在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A ：2条 B ：3条 C ：4条 D ：5条7、过定点(1，2)可以作两条与圆2x ＋2y ＋k x ＋2y ＋2k －15＝0相切，则k 的取值范围是___________。
A ：k ＞2B ：－3＜k ＜2C ：k ＜－3或k ＞2D ：以上答案都不对8、若圆上恰好存在两个点P 、Q ，他们到直线：3＋4－12＝0的距离为1，则称该圆为“完美型圆”，下列圆是是“完美型”圆的是（ ）A ：＋2y ＝1B ：2x ＋2y ＝16C ：(x －4)2＋(－4)2＝4D ：(x －4)2＋(－4)2＝169、已知圆＋＋2－4y ＋1＝0关于直线2a x －b y ＋2＝0（a ＞0，b ＞0）对称，则a 4＋的最小值是（ ）A ：4B ：6C ：8D ：910、若直线x －y ＋m ＝0将圆C ：2x ＋2y －2x －1＝0分成两总分的圆弧之比是1：2，则m ＝（ ） A ：0 B ：－2 C ：0或－2 D ：111、若A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上不同的三个点，O 是圆心，且OA ·OB ＝0，存在实数λ、μ使得OCy x y 34πl x y 2x y y 2x 2y x b1＝λOA ＋μOB ，则实数λ、μ满足的关系是（ ） A ：2λ＋2μ＝1 B ：μ1＋λ1＝1 C ：λ×μ＝1 D ：λ＋μ＝1 12、若直线y ＝x ＋与曲线x ＝22y y -有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是__________。
13、直线3x ＋4y ＋a ＝0上存在点M 满足过点M 作圆(x －2)2＋(－1)2＝2的两条切线互相垂直，则a 的取值范围（ ）A ：(－20，0]B ：[－20，0]C ：[－20，0)D ：(－20，0)14、已知圆M ：2x ＋2y －8x －6y ＝0，过点圆M 内定点P(1，2)作两条相互垂直的弦AC 和BD ，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A ：2015B ：166C ：515D ：4215、已知点P(t ，t )，t ∈R ，点M 是圆1O ：x 2＋(－1)2＝41上的动点，点N 是圆2O ：(－2)2＋y 2＝41上的动点，则PN －PM 的最大值是_________。
16、两圆(x ＋1)2＋2y ＝4与(－a )2＋2y ＝1相交，则实数a 的取值范围（ ）A ：∈R 且≠1B ：－4＜＜2C ：0＜＜2或－4＜＜－2D ：2＜＜4或－1＜＜017、点P 在圆1C ：2＋2)3(+y ＝1，点Q 在圆1C ：2)4(-x ＋2y ＝4，则｜PQ ｜的最大值是_________。
二、巩固提高18、已知圆C 被两直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，且截x 轴所得线段的长为4，则圆C 的方程为（ ） 【2020年福建】A ：2)2(-x ＋2)1(-y ＝25 B ：2)2(-x ＋2)1(-y ＝5 C ：2)2(+x ＋2)1(+y ＝25 D ：2)2(+x ＋2)1(+y ＝519、已知圆M 与直线－＝0和直线－＋4＝0都相切，圆心在直线＝－＋2上，则圆M 的标准方程为_________。
【2021年模拟】20、以1692x ＋1442y ＝1的右焦点为圆心，且与双曲线92x －162y ＝1的渐近线相切的圆的方程是（ ）【2021年模拟】A ：2x ＋2y ＋10x ＋9＝0B ：2x ＋2y ＋10x －9＝0 C ：2x ＋2y －10x －9＝0 D ：2x ＋2y －10x ＋9＝0m y y x x a a a a a a a x x y x y y x21、已知A(－2，0)，B(2，0)，如果直线3－4＋m ＝0上有且只有一个点P ，使得PA ·PB ＝0，那么实数m 的值为（ ） 【2021年模拟】 A ：±4 B ：±5 C ：±8 D ：±1022、设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋m y ＝0和过定点B 的直线m －y －m ＋3＝0交于点P(x ，y )，则｜PA ｜＋｜PB ｜的最大值是_______。
【2021年模拟】23、直线＋y ＋2＝0分别为轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆2y ＋2)2(-x ＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） 【2021年模拟】A ：[ 2，6 ]B ：[ 4，8 ]C ：[2，3]D ：[22，3]24、若圆2x ＋2y －4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：a ＋b y ＝0的距离等于2，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） 【2021年模拟】 A ：[2－，1] B ：[2－3，2＋3] C ：[33，3] D ：[0，＋∞)25、直线a x ＋b ＋1＝0与圆＋2y ＝1相切，＋＋a b 的最大值为（）A ：1B ：－1C ：D ： 【2021年模拟】26、已知圆C ：(x －3)2＋(－1)2＝1和两点A(－t ，0)，B(t ，0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得PA ·PB ＝0，则的最小值为( ) 【2021年模拟】 A ：3 B ：2 C ：3 D ：127、如图，N(1，0)是圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16内一个定点，P 是圆上任意一点，线段NP 的垂直平分线和半径MP 相交于点Q 。
（1）当P 在圆上运动时，点Q 的轨迹E 是什么曲线？并求其轨迹方程； （2）过点G(0，1)作直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求△ABD 的面积S 的最大值。
【2021年模拟】x y x x x 22x 23y 2x a b 212+12+y t三、综合练习1、方程＋2y ＋2x －4－6＝0表示的图形是( )A ：以(1，－2)为圆心，11为半径的圆B ：以(1，2)为圆心，11为半径的圆C ：以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆D ：以(－1，2)为圆心，11为半径的圆2、若圆C 的半径为1，圆心C 与点(2，0)关于点(1，0)对称，则圆C 的标准方程为( ) A ：＋2y ＝1B ：＋＝1C ：2)1(-x ＋2y ＝1 D ：2x ＋＝13、圆2)2(+x ＋＝1关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A ：＋2)2(-y ＝1B ：2)2(-x ＋2y ＝1C ：2x ＋2)2(+y ＝1 D ：2)1(-x ＋2y ＝14、已知圆＋2y －4a ＋2b ＋2b ＝0(a ＞0，b ＞0)关于直线x －y －1＝0对称，则a b 的最大值是( ) A ：21 B ：81 C ：41 D ：5、直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( )2x y 2x 2)3(-x 2y 2)3(-y 2y 2x 2x x y 42A ：30B ：235 C ：42 D ：33 6、已知圆1C ：(－2)2＋(y －3)2＝1，圆2C ： (x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则｜PM ｜＋｜PN ｜的最小值为( ) A ：52－4 B ：17－1 C ：6－22 D ：17 【解析】:圆C 1，C 2的图象如图所示.7、若直线a ＋2b －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆＋2y －4－2－8＝0的周长，则a 1＋b2的最小值为( ) A ：1B ：5C ：42D ：3＋228、圆C 的圆心在轴正半轴上，且与轴相切，被双曲线 2x －32y ＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ：2x ＋2)1(-y ＝1 B ：2x ＋2)3(-y ＝3 C ：2x ＋2)1(+y ＝1 D ：2x ＋2)3(+y ＝39、过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(，)｜2x ＋2y ≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______。
10、已知平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥04200y x y x 恰好被面积最小的圆C ： 2)(a x -＋2)(b y -＝2r 及其内部所覆盖，则圆C 的方程为______。
11、设M ＝{(x ，y )｜y ＝222x a -，a ＞0}，N ＝{(x ，y )｜2)1(-x ＋2)3(-y ＝2a ，a ＞0}，则M ∩N ≠φ时，a 的最大值与最小值分别为____________。
12、已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆2x ＋2y －2x －y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A ：2B ：22C ：3D ：2313、设点P 是函数y ＝－2)1(4--x 图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)( a ∈R)，则｜PQ ｜x x y 2x x y y x x y的最小值为______。
14、在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，,0)，动点D满足｜CD｜＝1，则｜OA ＋OB＋OD｜的最大值是______。