概率论与数理统计总结之第四章
概率论与数理统计总结之第四章
量 称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)=
而 称为随机变量X与Y的相关系数
是一Байду номын сангаас无量纲的量
协方差的性质有：
1. ,a,b是常数
2.
当| |较大时，X,Y线性相关的程度较好，当| |较小时，X,Y线性相关的程度较差，当 =0，称X和Y不相关
若X,Y独立，则其不相关，但若X,Y不相关，并不能说明其独立
方差的几个重要性质：
1.设C是常数，则D(C)=0
2.设X是随机变量，C是常数，则有
3.设X,Y是两个随机变量，则有
特别地，若X,Y相互独立，则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
4.D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，即P{X=C}=1，显然这里C=E(X)
定理：（切比雪夫不等式）
设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)= ，则对于任意正数 ，不等式 成立
矩、协方差矩阵
设X,Y是随机变量，若 …存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩
若 …存在，称它为X的k阶中心矩
若 …存在，称它为X和Y的k+l阶混合矩
若 …存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩
设n维随机变量 … 的二阶混合中心矩
…
都存在，则称矩阵
为n维随机变量 … 的协方差矩阵
由于 ，因而上述矩阵是一个对称矩阵
若A,B相互独立，则有E(AB)=E(A)E(B)
3.设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)
方差
设X是一个随机变量，若 存在，则称 为X的方差，记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=
概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
概率论与数理统计第四章
E (b) b E (aX ) aE ( X )
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
推广 : E [ X i ] E ( X i )
i 1 i 1 n n
E ( ai X i ) ai E ( X i )
i 1 i 1
n
n
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
例2.（X,Y）服从二维正态分布，其概率密度为 1 f ( x, y ) 2 21 2 1
1 y 1 2 x 1 y 2 y 2 2 exp{ [( ) 2 ( )( )( ) ]} 2 1 1 2 2 (1 )
证明： XY
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
■相关系数
定义 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X , Y ) X EX Y EY E[ ] D( X ) D(Y ) DX DY
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）
X Y E( X Y ) XY
练习
1.设离散型随机变量(Ｘ,Y)的分布列为 Y 0 1 2 X 则E(XY)=( ) 0 1/3 1/6 1/9 1 0 1/6 1/9 2 0 0 1/9
2.设随机变量Ｘ的概率密度为
e x f ( x) 0 x0 其它
Y=e-2X,则EY=( )
■数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
对正态分布而言，X、Y相互独立 与互不相关是等价的。
例4.设随机变量(X,Y)~N(1, 1, 9, 16, -0.5) 令
第四章 随机变量的数字特征
概率论与数理统计复习4-5章
∑ g ( x ) p 绝对收敛,则Y的期望为 ∞
k =1 k k
∑ g(x
k =1
k
) pk
(2) 设X是连续型随机变量,概率密度为 f ( x) , 如果积分 ∫−∞ g ( x) f ( x)dx 绝对收敛,则Y的期望为
E (Y ) = E[ g ( X )] = ∫ g ( x ) f ( x )dx
例 设X的概率分布律为
X −1
0 12
1
2
p 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4
试求Y=－X+1及 Z = X 2 的期望和方差。 X －1 0 1/2 解 由于 P 1/3 1/6 1/6 Y =－X+1 2 1 1/2 Z = X2 1 0 1/4
1 1 1 1 1 1 2 E (Y ) = ( −1) ⋅ + 0 ⋅ + ⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ = 4 12 2 6 6 3 3
2 2
D( Z ) = E ( Z 2 ) + [ E ( Z )]2 = 2.23264
1 + x − 1 < x < 0 例 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) = 1 − x 0 ≤ x < 1 1)求D(X）, 2)求 D ( X 2 )
解 (1) E ( X ) = ∫ x(1 + x)dx + ∫ x(1 − x)dx
第四章 随机变量的数字特征
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质及随机变量函数的期望 方差及其性质
4.1数学期望 数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 一、离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X的概率分布为
概率论与数理统计第四章
上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。
02
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
01
例6
例 7
解：
设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
例5
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机
寿命(以小时计) N 的数学期望.
的分布函数为
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
若设
i=1,2，…，n
则 是n次试验中“成功” 的次数
解
X~B(n,p),
“成功” 次数 .
则X表示n重努里试验中的
于是
i=1,2，…，n
由于X1,X2,…, Xn 相互独立
= np(1- p)
E(Xi)= p,
D(Xi)=
p(1- p) ,
例7
解
1
展开
2
证：D(X)=E[X-E(X)]2
3
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
4
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
5
=E(X2)-[E(X)]2
《概率论与数理统计》第04章习题解答
第四章 正态分布１、解：(0,1)ZN（1）{ 1.24}(1.24)0.8925P Z ∴≤=Φ={1.24 2.37}(2.37)(1.24)0.99110.89250.0986P Z <≤=Φ-Φ==-= {2.37 1.24}( 1.24)( 2.37)(1.24)(2.37)0.89250.99110.0986P Z -<≤-=Φ--Φ-=-Φ+Φ=-+=（2）{}0.9147()0.9147 1.37{}0.05261()0.0526()0.9474 1.62P Z a a a P Z b b b b ≤=∴Φ==≥=-Φ=Φ==，，得，，，得2、解：(3,16)XN8343{48}()()(1.25)(0.25)0.89440.59870.295744P X --∴<≤=Φ-Φ=Φ-Φ=-= 5303{05}()()(0.5)(0.75)44(0.5)1(0.75)0.691510.77340.4649P X --<≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 31(25,36){25}0.95442(3,4){}0.95X N C P X C X N C P X C -≤=>≥、（）设，试确定，使；（）设，试确定，使解：（1）(25,36){25}0.9544X N P X C -≤=，{2525}0.9544P C X C ∴-≤≤+=25252525()()0.954466()()2()10.9544666()0.9772,21266C C C C CC CC +---Φ-Φ=-Φ-Φ=Φ-=Φ=∴==即， （2）(3,4){}0.95XN P X C >≥，331()0.95()0.952231.6450.292C CCC ---Φ≥Φ≥-≥≤-即，，4、解：（1）2(3315,575)XN4390.2533152584.753315{2584.754390.25}()()575575(1.87)( 1.27)(1.87)1(1.27)0.969310.89800.8673P X --∴≤≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= （2）27193315{2719}()( 1.04)1(1.04)10.85080.1492575P X -≤=Φ=Φ-=-Φ=-=(25,0.1492)YB ∴4440{4}(0.1492)(10.1492)0.6664ii i i P Y C -=∴≤=-=∑5、解：(6.4,2.3)X N{}{}1()81(1.055)10.85540.14462.3(85}0.17615 6.451(0.923)(0.923)0.82121()2.3P X P X X P X -Φ>-Φ-∴>>======->-Φ-Φ-Φ6、解：（1）2(11.9,(0.2))XN12.311.911.711.9{11.712.3}()()(2)(1)(2)1(1)0.20.20.977210.84130.8185P X --∴<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 设A ={两只电阻器的电阻值都在欧和欧之间} 则2()(0.8185)0.6699P A ==（2）设X , Y 分别是两只电阻器的电阻值，则22(11.9,(0.2))(11.9,(0.2))X N Y N ，，且X , Y 相互独立[]22212.411.9{(12.4)(12.4)}1{12.4}{12.4)}1()0.21(2.5)1(0.9938)0.0124P X Y P X P Y -⎡⎤∴>>=-≤⋅≤=-Φ⎢⎥⎣⎦=-Φ=-=7、一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从均值160μ=，均方差为的正态分布，若要求{120200}0.80P X <<≥，允许最大为多少解：因为2(160,)XN σ由2001601201600.80{120200}()()P X σσ--≤<<=Φ-Φ从而 40402()10.80()0.9σσΦ-≥Φ≥，即，查表得401.282σ≥，故σ≤8、解：（1）2(90,(0.5))XN8990{89}()(2)1(2)10.97720.02280.5P X -∴<=Φ=Φ-=-Φ=-= （2）设2(,(0.5))X N d由808080{80}0.991()0.99()0.99 2.330.50.50.5d d d P X ---≥≥∴-Φ≥Φ≥≥，，，即 从而d ≥ 9、解：22~(150,3),~(100,4)X Y X N Y N 与相互独立，且则（1）2221~(150(100,3)4)(250,5)W X Y N N =+++=()222222~2150100,(2)314(200,52)W X Y N N =+-⨯+-⨯+⨯=-22325~(125,)(125,(2.5))22X Y W N N +== （2）242.6250{242.6}()( 1.48)1(1.48)10.93060.06945P X Y -+<=Φ=Φ-=-Φ=-= 12551255125522212551251255125()1()(2)1(2)2.5 2.522(2)220.97720.0456X Y X Y X Y P P P ⎧+⎫++⎧⎫⎧⎫->=<-+>+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭--+-=Φ+-Φ=Φ-+-Φ=-Φ=-⨯=10、解：（1）22~(10,(0.2)),~(10.5,(0.2))X N Y N X Y ，且与相互独立22~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.282))X Y N N ∴--⨯=-0(0.5){0}()(1.77)0.96160.282P X Y ---<=Φ=Φ=（2）22~(10,(0.2)),~(10.5,)X N Y N X Y σ设，且与相互独立222~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.2))X Y N N σ∴--⨯=-+0.90{0}P X Y ≤-<=Φ=Φ由1.28≥，故σ≤11、设某地区女子的身高（以m 计）2(1.63,(0.025))WN ，男子身高（以m 计）2(1.73,(0.05))MN ，设各人身高相互独立。
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
概率论与数理统计之正态分布
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
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第四章 数学期望和方差
数学期望：
设离散型随机变量X 的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k …
若级数k k k p x ∑∞=1绝对收敛，则称级数k k k p x ∑∞
=1的和为随机变量X 的数学期望，记为
E(X)，即E(X ）=k k k p x ∑∞
=1
设连续型随机变量X 的概率密度为f(x ），
若积分⎰∞∞-dx x xf )(绝对收敛,则称积分⎰∞
∞-dx x xf )(的值为随机变量X 的数学期望，记为E （X)，即E(X)=⎰∞
∞-dx x xf )( 数学期望简称期望，又称为均值
数学期望E(X)完全由随机变量X 的概率分布所确定,若X 服从某一分布也称E （X ）是这一分布的数学期望
定理
设Y 是随机变量X 的函数：Y=g （X)（g 是连续函数)
1）X 是离散型随机变量,它的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k …，若k
k k p x g )(1∑∞
=绝对收敛，则有[]==)(()(X g E Y E k k k p x g )(1∑∞
=
2）X 是连续型随机变量,它的概率密度为f(x).若⎰∞
∞-dx x f x g )()(绝对收敛,则有E(Y ）=E ［g （X ）]=⎰∞
∞-dx x f x g )()(
数学期望的几个重要性质:
1.设C 是常数,则有E(C ）=C
2.设X 是一个随机变量，C 是常数，则有E （CX)=CE （X ）
若A ，B 相互独立，则有E(AB ）=E （A)E(B ）
3.设X,Y 是两个随机变量，则有E （X+Y ）=E(X)+E （Y ）
方差
设X 是一个随机变量，若})]({[2X E X E -存在，则称})]({[2X E X E -为X 的方差，记为D （X)或Var （X),即D(X)=Var(X)=})]({[2X E X E -
)(X D ,记为σ（X)，称为标准差或均方差
对于离散型随机变量，k k k p X E x X D ∑∞=-=1
2)]([)(
对于连续型随机变量，dx x f X E x X D )()]([)(2⎰∞∞
--= 随机变量X 的方差计算公式：22)]([)()(X E X E X D -=
方差的几个重要性质：
1.设C 是常数，则D(C ）=0
2.设X 是随机变量，C 是常数，则有)()(2X D C CX D =
3.设X,Y 是两个随机变量,则有
))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+
特别地，若X ，Y 相互独立，则有
D （X+Y)=D(X ）+D(Y)
4。
D （X)=0的充要条件是X 以概率1取常数C ，即P ｛X=C ｝=1,显然这里C=E （X)
定理：(切比雪夫不等式）
设随机变量X 具有数学期望E(X)=μ，方差D(X)=2σ，则对于任意正数ε，不等式22}|{|ε
σεμ≤≥-X P 成立
协方差及相关系数
量)]}()][({[Y E Y X E X E --称为随机变量X 与Y 的协方差，记为Cov(X ，Y)，即 Cov(X ，Y ）=)]}()][({[Y E Y X E X E -- 而)
()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ称为随机变量X 与Y 的相关系数 XY ρ是一个无量纲的量
)(),(),,(),(X D X X Cov X Y Cov Y X Cov ==
)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=
协方差的性质有：
1.),(),(Y X abCov bY aX Cov =,a ，b 是常数
2.),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+
当|XY ρ｜较大时,X ，Y 线性相关的程度较好,当｜XY ρ｜较小时，X ，Y 线性相关的程度较差，当XY ρ=0，称X 和Y 不相关
若X ，Y 独立，则其不相关，但若X,Y 不相关，并不能说明其独立
矩、协方差矩阵
设X ，Y 是随机变量，若,2,1),(=k X E k …存在，称它为X 的k 阶原点矩，简称k 阶矩
若,3,2},)]({[=-k X E X E k …存在,称它为X 的k 阶中心矩 若,2,1,),(=l k Y X E l k …存在，称它为X 和Y 的k+l 阶混合矩 若,2,1,},)]([)]({[=--l k Y E Y X E X E l k …存在,称它为X 和Y 的k+l 阶混合中心矩
设n 维随机变量,,(21X X …),n X 的二阶混合中心矩
2,1,)]},()][({[),(=--==j i X E X X E X E X X Cov c j j i i j i ij …n , 都存在，则称矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c C ^^^^^2122221
11211 为n 维随机变量,,(21X X …),n X 的协方差矩阵
由于),^,2,1,,(n j i j i c c ji ij =≠=，因而上述矩阵是一个对称矩阵。