gamma函数负数
数学分析Gamma 函数的性质
∞
x p+q−1e−(1+y)x dx
0
1 =
Γ(p + q)
∞
x q−1e−x dx
0
∞
(xy )p−1e−yx x dy
0
Γ(p) =
∞
x q−1e−x
dx
=
Γ(p)Γ(q) .
Γ(p + q) 0
Γ(p + q)
Beta 函数和 Gamma 函数之间的关系
当 y ≥ 0 时, 有
1
1
(1 + y )p+q = Γ(p + q)
1
n(n!)2
1
=
lim
n→∞
s
(1
−
s2)(22
−
s2)
·
·
·
(n2
−
s2)
(n
+
1
−
s)
1∞ =
1 − s2/n2 −1.
s
n=1
以后学了级数理论就知道这就是
π sin πs
的乘积表示.
例子
例1
设 p > 1, 计算积分 I =
∞ 0
dx 1+x
p
.
例子
例1
设 p > 1, 计算积分 I =
n→∞ s(s + 1) · · · (s + n)
进一步的性质
(Euler-Gauss) 利用刚才的极限等式可得
n!ns
Γ(s) = lim
. ∀ s > 0.
(1)
n→∞ s(s + 1) · · · (s + n)
(Legendre 倍元公式)
gamma函数及相关其分布
gamma函数及相关其分布gamma函数的定义及重要性质\[\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\]\[\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)\]\[\Gamma(n) = (n-1)! \]\[\Gamma(0) = 1\]\[\Gamma({1\over 2}) = 2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du = \sqrt\pi\]gamma函数的图像在matlib中，我们可以⽅便的⽤下⾯的代码画出gamma函数的图像。
x = -10:0.001:10;plot(x,gamma(x));axis([-10.1,10.1,-4,4]);随机变量\(Y=X^2\)的概率密度假设随机变量\(X\)具有概率密度\(f_X(x),-\infty<x<\infty\),求\(Y=X^2\)的概率密度。
\begin{align*}F_Y(y) &=P(Y\leq y)=P(X^2 \leq y) \\&=P(-\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y}) \\ &=F_X(\sqrt{y})-F_X{(-\sqrt{y})} \end{align*}\[f_Y(y)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y})+f_X(\sqrt{-y}], y >0, \\0, y \leq 0 \\\end{aligned}\right.\]设\(X \sim N(0,1)\)，其概率密度为\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}, -\infty<x<\infty\),则\(Y=X^2\)的概率密度如下：\[f_Y(y)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{-1/2}e^{-y/2}, y>0, \\0, y \leq 0 \\\end{aligned}\right.\]Gamma分布\(X \sim \Gamma(\alpha, \theta)\)\[f_X(x)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{\theta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-x/\theta}, x> 0, \alpha>0,\theta>0 \\0, x \leq 0, \alpha>0,\theta>0 \\\end{aligned}\right.\]当\(\alpha= 1 , \theta = \lambda 时，\Gamma(1,\lambda)\) 就是参数为\(\lambda\)的指数分布,记为\(exp (\lambda)\) ；当\(\alpha= n/2 , \theta = 2 时，\Gamma(n/2,1/2)\)就是数理统计中常⽤的\(\chi^2(n)\) 分布。
gamma 2.4函数
gamma 2.4函数gamma 2.4函数是一种常用的数学函数，先由Adrien-Marie Legendre和Carl Friedrich Gauss在18世纪末及19世纪初引入。
gamma 2.4函数是阶乘函数的推广，通常被写成Γ(z) 的形式。
γ 2.4函数的定义是在复平面上对于任意正实数z：Γ(z) = ∫0∞ t^(z-1) e^(-t) dt这里e为自然对数的底数。
γ 2.4函数本质上是一个无人理解的函数，因为它的定义基于不太直观的连续分数。
gamma 2.4函数的一个重要性质是可以通过它与复变量函数的卷积来定义，这种卷积在数学、物理学和工程学中均有应用。
而且，gamma 2.4函数的求导和积分在数学和物理方面也有广泛的应用。
gamma 2.4函数在很多领域的物理学中都具有重要性质。
在量子力学中，gamma 2.4函数是计算一般的面向固体材料的费米子的Wigner 能量分布函数的重要工具。
此外，gamma 2.4函数可以描述电子介质中各极子玻璃化的转变。
在紫外线可见光谱学中，gamma 2.4函数是描述元素原子和分子之间的相互作用的一些核电荷效应的关键工具。
在原子物理学中，gamma 2.4函数是计算莫尔波尔(Mott-Moeller)平面波散射截面的主要工具之一。
在金属学中，gamma 2.4函数被用来描述金属表面的等离子体共振和量子隧穿效应。
gamma 2.4函数有很多基本性质。
对于正整数n，有:Γ(n) = (n-1)!普遍说来，gamma 2.4函数在实轴上有单调降序的解析函数，γ 2.4函数在实轴负方向的零点为负整数，即Γ(−n) = ∞，n 是任意自然数。
gamma 函数的反函数也是一种重要的函数，即阶乘函数N(x)，它是描述大整数阶乘的函数，当x充分大时，阶乘函数的增长速度超过任何指数函数。
另外，N(0) = 1，N(x)是x 的阶乘。
从 gamma 函数的定义出发，阶乘函数可以写为：随着时间的推移，人们保留和使用的文献大量增加，gamma 2.4函数也越来越与其他数学函数相联系。
伽马分布和负二项分布的关系
伽马分布和负二项分布的关系伽马分布和负二项分布是概率统计学中常见的两种分布形式。
它们在描述随机事件发生的概率分布以及在实际问题中的应用方面都具有重要意义。
尽管它们有一些相似之处，但也存在着一些差异。
下面将详细介绍伽马分布和负二项分布之间的关系及其特点。
伽马分布是一种连续概率分布，它描述了正实数上的随机变量的概率分布。
伽马分布的概率密度函数具有如下形式：f(x) = (1 / (Γ(α) * β^α)) * x^(α-1) * e^(-x/β)其中，Γ(α)表示伽马函数，α和β是分布的两个参数。
伽马分布在很多实际问题中都有广泛的应用，例如描述风险事件发生的时间间隔、可靠性分析以及金融建模等。
伽马分布的特点是具有正偏斜性，即分布的尾部向右延伸，同时具有一定的灵活性，可以通过调整参数来适应不同的数据分布。
负二项分布是一种离散概率分布，它描述了二项分布中成功次数的概率分布。
负二项分布的概率质量函数具有如下形式：P(X = k) = C(k+r-1, k) * p^r * (1-p)^k其中，X表示成功次数，k表示成功的次数，r表示失败的次数，p 表示成功的概率。
负二项分布常用于描述重复试验中，出现r次失败之前成功的次数。
负二项分布的特点是具有右偏斜性，即分布的尾部向右延伸，同时具有离散性，适用于描述离散的随机事件。
伽马分布和负二项分布之间的关系可以通过负二项分布的期望与伽马分布的参数之间的联系来描述。
负二项分布的期望为E(X) = r * (1-p) / p，而伽马分布的期望为E(X) = α * β。
通过比较两个期望的表达式可以得出：r * (1-p) / p = α * β这表明，在满足上述等式的条件下，负二项分布的期望与伽马分布的参数之间存在一种对应关系。
这种对应关系对于实际问题的建模和分析具有重要意义。
例如，在风险事件发生的时间间隔建模中，可以通过负二项分布的参数来确定伽马分布的参数，从而对风险事件的发生概率进行预测和分析。
神奇的Gamma函数 (下)
神奇的Gamma函数 (下)rickjin关键词：特殊函数, 概率分布从二项分布到G a m m a分布Gamma 函数在概率统计中频繁现身，众多的统计分布，包括常见的统计学三大分布(t分布，χ2分布，F分布)、Beta分布、Dirichlet 分布的密度公式中都有Gamma 函数的身影；当然发生最直接联系的概率分布是直接由Gamma 函数变换得到的Gamma 分布。
对Gamma 函数的定义做一个变形，就可以得到如下式子∫∞0xα−1e−xΓ(α)dx=1于是，取积分中的函数作为概率密度，就得到一个形式最简单的Gamma 分布的密度函数Gamma(x|α)=xα−1e−xΓ(α)如果做一个变换x=βt, 就得到Gamma 分布的更一般的形式Gamma(t|α,β)=βαtα−1e−βtΓ(α)其中α称为shape parameter, 主要决定了分布曲线的形状;而β称为rate parameter 或者inverse scale parameter (1β称为scale parameter),主要决定曲线有多陡。
Gamma(t|α,β)分布图像Gamma 分布在概率统计领域也是一个万人迷，众多统计分布和它有密切关系。
指数分布和χ2分布都是特殊的Gamma 分布。
另外Gamma 分布作为先验分布是很强大的，在贝叶斯统计分析中被广泛的用作其它分布的先验。
如果把统计分布中的共轭关系类比为人类生活中的情侣关系的话，那指数分布、Poission分布、正态分布、对数正态分布都可以是Gamma 分布的情人。
接下来的内容中中我们主要关注β=1的简单形式的Gamma 分布。
Gamma 分布首先和Poisson 分布、Poisson 过程发生密切的联系。
我们容易发现Gamma 分布的概率密度和Poisson 分布在数学形式上具有高度的一致性。
参数为λ的Poisson 分布，概率写为Poisson(X=k|λ)=λk e−λk!在Gamma 分布的密度中取α=k+1得到Gamma(x|α=k+1)=x k e−xΓ(k+1)=x k e−x k!所以这两个分布数学形式上是一致的，只是Poisson 分布是离散的，Gamma 分布是连续的，可以直观的认为Gamma 分布是Poisson 分布在正实数集上的连续化版本。
神奇的Gamma函数 (上)
神奇的Gamma函数 (上)rickjin关键词：特殊函数, 欧拉G a m m a函数诞生记学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数Γ(x)=∫∞0t x−1e−t dt通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质Γ(x+1)=xΓ(x)于是很容易证明，Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质Γ(n)=(n−1)!学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：∙ 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；∙ 2.为何定义Γ函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n−1)!最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,⋯可以用通项公式n2自然的表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。
直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。
一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,⋯,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。
而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，如果m,n都是正整数，如果m→∞，有1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m−1+n)(m+n2)n−1→n!于是用这个无穷乘积的方式可以把n!的定义延拓到实数集合。
伽马分布和负二项分布的关系
伽马分布和负二项分布的关系伽马分布和负二项分布是两种常见的概率分布，它们之间存在着密切的关系。
本文将从概率分布的定义、性质以及应用等方面，探讨伽马分布和负二项分布之间的关系。
我们来了解一下伽马分布和负二项分布的定义。
伽马分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数为：$$f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},\quad x>0$$其中，$\alpha$和$\beta$是分布的两个参数，$\Gamma(\alpha)$是欧拉伽马函数。
负二项分布是一种离散概率分布，它的概率质量函数为：$$P(X=k)=\binom{k+r-1}{k}(1-p)^rp^k,\quad k=0,1,2,\cdots$$其中，$r$和$p$是分布的两个参数，$\binom{k+r-1}{k}$是组合数。
接下来，我们来探讨伽马分布和负二项分布之间的关系。
事实上，负二项分布可以看作是伽马分布的一种特殊情况。
具体来说，当伽马分布的参数$\alpha$为正整数时，它就可以表示为$r$次独立伯努利试验中成功$k$次的概率，即：$$P(X=k)=\binom{k+r-1}{k}(1-p)^rp^k,\quad k=0,1,2,\cdots$$其中，$p=\frac{\beta}{\beta+1}$，$r=\alpha$。
这就是负二项分布的概率质量函数。
我们来看一下伽马分布和负二项分布的应用。
伽马分布在统计学中有着广泛的应用，例如用于描述连续随机变量的等待时间、寿命等。
而负二项分布则常用于描述离散随机变量的二项分布中成功次数的分布。
在实际应用中，我们可以通过伽马分布和负二项分布之间的关系，来更好地理解和应用这两种概率分布。
伽马分布和负二项分布之间存在着密切的关系。
负二项分布可以看作是伽马分布的一种特殊情况，它们在统计学中都有着广泛的应用。
对于学习和应用概率分布的人来说，了解伽马分布和负二项分布之间的关系，将有助于更好地理解和应用这两种概率分布。
伽马分布和负二项分布的关系
伽马分布和负二项分布的关系1. 介绍伽马分布和负二项分布伽马分布是概率统计学中一种连续概率分布，它在很多领域都有应用，如保险中的赔付和聚类分析等。
它的概率密度函数如下：$$ f(x;\alpha,\beta)=\frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)} $$其中，$x$ 是随机变量的取值，$\alpha$ 和 $\beta$ 是分布的参数，$\Gamma(\alpha)$ 表示 $\alpha$ 的阶乘。
当 $\alpha=1$ 时，伽马分布就是指数分布；当 $\alpha$ 是整数时，伽马分布就是$\alpha$ 个指数分布的和。
伽马分布的图形如下：负二项分布是概率统计学中一种离散概率分布，它在很多领域都有应用，如投掷硬币的次数、赛车比赛中某车手的获胜次数等。
它的概率质量函数如下：$$ P(k;r,p)={k+r-1\choose k}(1-p)^rp^k $$其中，$k$ 是随机变量的取值，$r$ 和 $p$ 是分布的参数，${k+r-1\choose k}$ 表示 $k+r-1$ 个球中选 $k$ 个恰好是成功的组合数。
当 $r=1$ 时，负二项分布就是几何分布；当 $r$ 是整数时，负二项分布就是 $r$ 个几何分布的和。
负二项分布的图形如下：2. 伽马分布与负二项分布的联系伽马分布和负二项分布之间有着密切的联系。
在某些情况下，它们可以相互转化和近似。
2.1 伽马分布可以表示负二项分布的分布函数当 $r$ 是正整数时，负二项分布的分布函数可以表示为：$$ F(k;r,p)=\sum_{i=0}^{k}{i+r-1\choose i}(1-p)^rp^i $$这个式子看起来很复杂，但实际上它是一种特殊的伽马函数：$$ F(k;r,p)=\frac{\Gamma(k+r)}{k!\Gamma(r)}\int_{0}^{p}{u ^{k}(1-u)^{r-1}du} $$这意味着我们可以用伽马函数的性质来求解负二项分布的分布函数，比如 Gauss 积分、倍角公式等。
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gamma函数负数
Gamma函数（Γ函数）是数学中的一个特殊函数，用于推广阶乘的概念到实数和复数的域上。
在大多数情况下，Gamma函数的定义域是正实数。
然而，Gamma函数在负整数处的值是没有定义的。
具体来说，当输入为负整数时，Gamma函数会产生无穷大或复数结果，无法准确计算。
这是因为Gamma函数的定义包含了对正实数的积分，而对于负整数来说，这个积分是发散的。
举个例子，当输入为-
1时，Gamma函数的值是无穷大（∞）。
当输入为-
2时，Gamma函数的值是复数，即Gamma(-2) = -1/12 +
i*0.86602540378。
需要注意的是，对于一些特殊的负整数，Gamma函数的值可以通过解析延拓（analytic
continuation）进行推导，但这涉及到更高级的数学概念和技巧。
因此，在使用Gamma函数时，一般情况下应将输入限制在定义域内的正实数范围。
如果需要计算Gamma函数在负整数处的值，可能需要使用其他技术或特殊方法进行处理。