第四章 解析延拓Г函数B函数
黎曼曲面解析延拓问题证明逻辑解析
黎曼曲面解析延拓问题证明逻辑解析黎曼曲面解析延拓问题是复变函数理论中的一个重要研究方向。
本文将对黎曼曲面解析延拓问题进行证明逻辑解析。
首先，我们将介绍黎曼曲面和解析延拓的基本概念，然后介绍相关的定理和推论，最后给出证明过程与逻辑推理。
一、黎曼曲面与解析延拓的基本概念黎曼曲面是一种复流形，具有局部欧几里德结构，是复变函数理论的重要基础。
解析延拓是指将函数定义域从一个开集扩展到一个更大的开集上，使函数在定义域的边界上仍然解析。
二、相关定理与推论1. 必要定理在进行黎曼曲面解析延拓的证明前，我们需要先介绍一个必要定理。
根据Cauchy-Riemann方程的性质，如果一个函数在某个点解析，那么它在该点处的偏导数存在且满足Cauchy-Riemann方程。
2. 解析延拓定理解析延拓定理是黎曼曲面解析延拓问题的中心定理之一。
该定理表明，如果函数在某个开集上解析，并且可以延拓到该开集的一个更大的开集上，那么函数在整个扩展开集上也解析。
3. 唯一性推论解析延拓定理的一个重要推论是唯一性推论。
这一推论指出，如果一个函数可以延拓到两个不相交的开集上，那么在这两个开集的交集上，这个函数的值必须相等。
三、证明过程与逻辑推理为了证明黎曼曲面解析延拓问题，我们将使用反证法。
假设存在一个函数f(z)在某个开集U上解析，但无法延拓到U的一个更大开集上。
首先，我们根据必要定理可知，如果f(z)在U上解析，那么它在U的每个点处的偏导数存在且满足Cauchy-Riemann方程。
然后，我们假设存在一个点z0，使得f(z0)无法延拓到U的一个更大的开集上。
根据解析延拓定理，我们可以得出矛盾，因为f(z)在U上是解析的。
因此，我们可以得出结论，对于任意一个解析函数f(z)，它都可以延拓到它定义域的一个更大开集上。
最后，根据唯一性推论，我们可以断定，在解析延拓的过程中，函数的值不会发生变化。
综上所述，我们证明了黎曼曲面解析延拓问题。
根据所给的证明过程和逻辑推理，我们可以得出结论：任意解析函数f(z)都可以进行解析延拓，且延拓后的函数值与原函数值相等。
06 解析延拓 伽玛函数
物理学院邓胜华09:03:13数学物理方法数学物理方法电子教案第四章解析延拓·Γ函数Extending analytical function Γ function北京航空航天大学物理科学与核能工程学院第5 章解析延拓· Γ函数09:03:13一.解析延拓解析延拓解析延拓定义定义1.1.解析延拓解析延拓定义：定义：在另一与区域中解析，若在区域设1211)()(σσz f z f 称中的解析延拓。
同样亦在为则称，中中解析，且在的区域有重叠部分1212212)()(σ≡σσσz z z z f z f K 中的解析延拓。
在为121212)()()()(σz f f f f ∞k 1例如1,)(01<=∑=z z z f k 1,1)(2≠−=z z z f )()(:121z f z f z ≡<例如：就是将上去。
或者说解析延拓函数推广到更大的区域的就是把已知区域内解析简单地说，解析延拓，扩大。
解析函数的定义域加以第5 章解析延拓· Γ函数09:03:132.2.解析延拓的内唯一性定理解析延拓的内唯一性定理的任一子。
中必有，则在整个区域中区域的任子中均解析，若在在区域和设)()()()()()(212121z f z f G z f z f g G G z f z f ≡≡由此可见解析函数i ，只要这些函数是等唯一确定。
换句话说等分别由实函数由此可见，解析函数cos ,sin ,cos ,sin ,x x e z z e x z节那样所定义。
函数在整个复平面上便等，那末这些取值解析的，而且在实轴上4.1cos ,sin ,x x e x 节那样所定义只能如也均成立的等式在复变函数中数们所熟知的各种初等函由此定理还可推知，我也均成立。
的等式，在复变函数中x x x cos sin 22sin =zz z cos sin 22sin =→例如：们在实轴上相等。
都是解析函数，而且他和因为z z z cos sin 22sin第5 章解析延拓· Γ函数09:03:13二、Γ函数1、Γ函数的定义∫∞−−>=Γ01Re d )(z t t e z z t ，2. 2. Γ函数的基本性质基本性质积分拉这积分又称为第二类欧(Euler)()((2)…==+ΓΓ=+Γ..0,1,2N n!1)(n (3)(z)z 1)(z ,,)(()第5 章解析延拓· Γ函数09:03:133. 3. Γ函数的解析性性（1）定义:在有限区域中除极点外别无其它奇点的数称为半纯数其它奇点的函数称为半纯函数。
代数曲面的解析延拓问题证明逻辑解析
代数曲面的解析延拓问题证明逻辑解析代数曲面的解析延拓问题在数学领域一直备受关注。
解析延拓是一种通过利用函数的定义域以外的附加假设，推导出函数在这个定义域外的值的方法。
在代数曲面的研究中，解析延拓的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理解和探索代数曲面的性质。
本文将从证明逻辑和分析角度探讨代数曲面的解析延拓问题。
首先，我们需要明确代数曲面的定义。
代数曲面是由一个或多个多项式方程定义的点集合。
例如，二次曲面可以由一个二次方程定义，如x^2 + y^2 + z^2 = 1。
我们希望通过解析延拓来研究代数曲面在定义域以外的性质。
接下来，我们需要理解解析延拓的基本思想。
解析延拓的关键是找到一个合适的解析函数或级数，使得它在定义域以外的点上收敛。
一旦找到了这个解析函数，我们就可以通过计算这个函数在定义域以外的点的值，来推断代数曲面在这些点上的性质。
在证明代数曲面的解析延拓时，我们一般采用的是反证法。
假设存在一个定义域以外的点，代数曲面在这个点上有一个唯一的解析延拓。
我们可以通过假设这个唯一的解析延拓不存在，来得出一个矛盾的结论。
这样，我们就证明了代数曲面的解析延拓是存在的。
具体来说，我们可以通过以下步骤进行证明逻辑的推导。
首先，我们假设代数曲面在定义域以外的点上没有解析延拓。
然后，我们可以根据这个假设推导出一些定理或结论。
接下来，我们通过反证法，假设这些定理或结论是成立的，然后推导出一个矛盾的结论。
由于这个矛盾的结论是不可能的，我们可以得出结论：代数曲面在定义域以外的点上必定存在解析延拓。
此外，我们还可以通过分析代数曲面的性质，来进一步证明解析延拓的存在。
例如，我们可以研究代数曲面的奇点和极限点的分布情况。
通过分析奇点和极限点的性质，我们可以推断代数曲面在定义域以外的点上的解析延拓是否存在。
如果奇点和极限点的性质满足一定的条件，我们就可以得出代数曲面在定义域以外的点上存在解析延拓的结论。
总之，代数曲面的解析延拓问题是一个非常重要且困难的问题。
武汉大学数学物理方法4_1解析延拓函数
第四章解析延拓·Γ函数§4.1 解析延拓一.解析延拓前言：前面我们已经从微积分，级数等不同的角度了解到解析函数具有很多优秀的性质，然而解析都是对一定的点和区域而言的，婴儿人们自然想到，若能通过某种方式将解析区域扩大，那就能使解析函数的优越性在更大范围内体现.所以，它将f(z)的定义域扩大了,我们称之为解析延拓,即简单的说解析延拓是解析函数的定义域的扩大.本章将学习解析延拓并在此基础上将物理上有用的积分г(x)延拓为г(z)中心：解析延拓和Γ函数目的：1.通过学习了解析函数的内唯一性定理，掌握初等解析函数的值由它在实轴或实轴上一段的值唯一确定（这将为后一章留数定理计算实积分奠定基础）2. г(z)的定义性质又如：在留数定理一章中，若f(x)在实轴上无奇点，改写f(x)为f(z)。
这实为，将解析函数在实轴上的值延拓到全平面除f(z)的奇点的所有点.注意：推广：若ïïïïîïïïïíì····Îκ)2()(2)1()(1)(s s H z f H z f z f 的解析函数、或为则)...](3)(2)[(1)(x f x f x f z f但不能经奇点延拓出z ，若此例中z=1正是这个奇点的存在，决定了解析延拓过程中各幂级数的收敛半径×××××®®=Î=<ºÇ=++Þå¥=)()()(1z )()(,)(,1|:|:)()(,....32121101111321z f z f z f H z f z z f z z f z f k kn 沿任一解析点邻域：去掉又在中在，如解析延拓可以不断进行中在解析区域由s s s s s ss s s s注意：由解析函数的唯一性定理知，解析函数在一个邻域上的值可由它在该区域内任一条小弧段或一个特殊的点列(只要它有一个点属于这个区域)完全确定.这又一次反映出解析函数有十分严格的内在联系,即在某一区域,值完全唯一的确定了.[如:在全平面解析,而在Zn=1/n取值为1/n(n=1,2…) 的函数只有一个W=z.因为,点列{1/n}以z=0为聚点,而z=0落在函数的解析区域内,w=z满足全平面解析,且在Zn=1/n取值为1/n的条件, 根据唯一性定理,这样的函数只有一个]由此可断言,象等这些初等解析函数只能象§1.4 那样定义.如,Sin z 和均解析而他们在实轴上的一段由相等还可推断初等实函等式在复函中也成立,如sin2z和2sinzcosz均解析,而它们在实轴上相等sinx=2sinxcosx,所以,sin2z=2sinzcosz还有如,实轴上取值等于Sin x,而在全平面上解析的函数只有一个,这个函数就定以为Sin z二.解析延拓的唯一性..,)(:1.ii 2i 2恒等则它们在整个区域也必域中恒等的一个字区已知它么在和中解析的函数若有两个在区域唯一性定理g G f z f G 即可中，在当中在只要证当中在则中在解析若中在中解析在和若欲证上结论0)(,0)(,0)(,0)()()()(,)(.2ii 2i 2ii 2i 22ii 2i 2¹¹®ºº-=®º=®z F g z F G G z F z F g f z f z F f z f G G f z f s3.证)(:)(,,0)(,,0)(0,0)(])()([,])([)()()(ii 2i 2,2,1,022110见后页注即以此类推即必须为与题设矛盾则当fz f G z z F g z z F a a a a g z z F a b z a b z a a b z b z a a b z b z a z F n m m m m m m mk k k ºÎº+κ××××××\Îι\»××××-+-+®××××-+-=-=+++¥=åa a[ 设E是一点集，a是一点（不属于E），若在a的任一邻域内都有E的异于a的点，则a称为点集E的一个聚点（或极限点）。
数理方法资料1
课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。
该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。
故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。
如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。
本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。
其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。
第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。
《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。
所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。
对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。
因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。
本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。
近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。
复变函数解析的判定方法
复变函数解析的判定方法复变函数解析的判定方法主要有以下几种:1. 定义法:根据复变函数的定义,它具有以下几个性质:a. 复数函数f(z)在z=0处的值为f(0);b. 复数函数g(z)与f(z)的乘积h(z)在z=0处的值为h(0),即g(z)h(z)=f(0)f(z);c. 任何非零复数z,都有f(z)>0或在z=0处取得实部为零,f(z)<0或在z=0处取得虚部为零。
根据定义,只有满足a、b、c三个性质的复变函数才具有解析性质,否则它只是一个复数算子。
2. 解析延拓法:解析延拓是将一个复变函数的解析形式推广到所有可能解析形式的方法。
如果一个复变函数只有有限个解析形式,那么可以通过解析延拓将其转化为有限个解析形式。
解析延拓法的步骤如下:a. 找到一个解析形式f(x,y,z);b. 将f(x,y,z)表示为一个复数多项式;c. 对于每个复数z,找到另一个解析形式g(x,y,z)=f(x,y,z)(z+a0)^n,其中a0是单位元;d. 如果存在一个正实数n,使得g(x,y,z)(z+a0)^n在z=0处的值为f(x,y,z),那么f(x,y,z)就是一个解析形式。
解析延拓法可以用于判断一个复变函数是否解析,如果一个复变函数只有有限个解析形式,那么可以通过解析延拓将其转化为有限个解析形式,从而判断它是否具有解析性质。
3. 解析解析法:解析解析法是一种新的判定方法,它可以用于判断一个复变函数是否具有解析性质。
解析解析法的步骤如下:a. 找到一个解析形式f(x,y,z);b. 对于每个复数z,找到另一个解析形式g(x,y,z)=f(x,y,z)(z+a0)^n,其中a0是单位元;c. 对于每个解析形式g(x,y,z),判断它的值域是否包括z=0;d. 如果存在一个正实数n,使得g(x,y,z)(z+a0)^n的值域包括z=0,那么f(x,y,z)就是一个解析形式。
解析解析法可以用于判断一个复变函数是否具有解析性质,从而可以直接判断它是否具有解析形式。
解析延拓法-概述说明以及解释
解析延拓法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述解析延拓法是一种常用的数学工具，它在不同领域都有广泛的应用。
通过对问题进行解析建模，该方法能够将问题转化成解析函数的延拓，从而更好地理解和解决问题。
在解析延拓法中，解析函数是指在复数域上定义的函数。
而延拓则是指将函数从定义域延拓到更广泛的域，通常是将函数在实轴或复平面上的一部分延拓到整个实轴或者复平面上。
通过对延拓之后的函数进行分析和计算，我们可以得到更全面和深入的信息，解决原问题中的困难或疑惑。
这种方法的优势在于它不仅能够处理具体问题，还能够揭示问题的本质和内在规律。
通过解析延拓法，我们能够理解函数的性质和行为，从而更好地研究和解决与之相关的问题。
因此，无论是在物理、工程、经济学还是其他各个领域，解析延拓法都是一种非常重要的工具和方法。
在接下来的文章中，我们将对解析延拓法进行详细的探讨。
首先，我们将介绍解析延拓法的定义，阐述其基本原理和思想。
然后，我们将进一步探讨解析延拓法的应用，以及它在不同领域中的具体应用案例。
最后，我们将总结解析延拓法的优势，并展望未来对该方法的发展和应用。
通过对解析延拓法的深入研究和理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并推动相关领域的发展。
希望本文能够为读者提供有益的信息和观点，引起大家对解析延拓法的兴趣和思考。
接下来，我们将开始探索解析延拓法的定义和基本原理。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括以下内容：文章的结构是指文章的整体组织框架，它决定了文章的逻辑顺序和层次结构。
对于本文来说，其结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要用于引导读者进入文章的主题，并对解析延拓法进行概述。
首先，需要对解析延拓法进行简单介绍，包括其定义、原理和应用。
然后，介绍文章的结构和目的，以及大致的内容安排。
最后，对整篇文章进行总结，提供一个概览。
正文部分是文章的核心部分，用于详细解析解析延拓法。
首先，给出解析延拓法的定义，解释它是一种什么方法，并说明其在科学研究中的重要性。
Chapter4解析延拓函数和函数
Chapter 4 解析延拓 Γ函数和B 函数一、 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性1. 零点的定义：设)(z f 在a 点及其邻域内解析，如果0)(=a f ，则称a z =为)(z f 的零点。
设()0(),nn n f z c z a ∞==-∑ (),z a r -< 若0)(=a f ，则必有，0110====-m c c c Λ，0.m c ≠ 此时，称a z =为)(z f 的m 阶零点。
相应地，0)()()()1(==='=-a f a f a f m Λ，()()0.m f a ≠零点的阶数都是确定的正整数——在函数的解析区域内，不可能有分数次的零点。
2. 零点的孤立性：解析函数的零点孤立性定理：设a z =为)(z f 的零点，若)(z f 不恒等于0，且在包含a z =在内的区域内解析，则必能找到圆()0z a ρρ-=>，使在圆内除a z =外，)(z f 无其它零点 [在多值非解析函数())()(/1z a z z f mφ-=中，a z =虽然为零点，但是又是枝点]。
证明：设a z =为)(z f 的m 阶零点，则())()(z a z z f mφ-=，其中)(z φ解析，且()0.a φ≠ 由)(z φ在a z =连续，即，任给0>ε，存在0>ρ，使得当ρ<-a z 时，()().z a φφε-< 不妨取2)(a φε=，由于)()()()(a z z a φφφφ-≤-，则得，1()()()0.2z a a φφεφ>-=>由此即证得)(z f 在ρ<-a z 内除a z =外无其它零点。
推论1：设)(z f 在D ：R a z <-内解析，若在D 内存在)(z f 的无穷多个零点{}n z ，且a z n n =∞→lim ，但a z n ≠，则)(z f 在D 内恒为0.证明：)(z f在D 内连续，lim ()().z af z f a →= 若取a z →的一个特殊序列，即{}n z ，当然仍有，lim ()().n n f z f a →∞= 而0)(=n z f ，故0)(=a f ，即a z =为)(z f的零点，并且是)(z f 的非孤立零点（即)(z f 零点的极限点）。
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第四章
5
推论二：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数， 而且在D内某一点a满足：
( n) f1 (a) f 2 (a), f1( n) (a) f 2 (a)(n 1,2,3, )
k 0
1 z
f ( z ) e zt dt (Rez 0) , F ( z ) 1 ( z 0) , F ( z ) f ( z ) (Rez 0) 0 z
解析函数内部有着严格的约束关系(C—R条件，Cauchy公式 等都表明了这一点)，是可以进行解析延拓的根本原因，其解 析延拓是唯一的.
第四章 解析延拓Г函数B函数(P56)
基本内容：解析延拓的概念， 解析延拓的基本方法
§4.1解析函数的唯一性
1解析延拓
2
解析函数的唯一性
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第四章
2
1 解析延拓 就是将解析函数定义域扩大的问题，或扩大解析区域的问题. 已知某个区域D0内的解析函数f(z)可以找到在包含着D0的较大 区域D上解析的函数F(z)，且在D0内F(z)= f(z)，则F(z)称为 f(z)在D上的解析延拓 1 [例] f ( z ) z k ( z 1 ), F ( z ) ( z 1), F ( z) f ( z) ( z 1),
i ( k 1) i k (1 ) ( z ) ( D2 : z i 1 i 5 ) 2 2 2 2 2 k 0
2015/11/18 第四章 8
i f1( k ) ( ) 2 ( z i )k k! 2
f1 ( z) f 2 ( z) f1 ( z) ( z D1 ) 和f 2 ( z)（z D2 ） 在 D1 D2 ： 互为解析延拓， 或者f1 ( z ) 已解析延拓为 f1 ( z ) ( z D1 ) f ( z) ( D1 D2 ) f 2 ( z ) ( z D2 ) 再在 ( D1 D2 ) 中取如z=i，则
1 1 3 Γ(2z) Γ( z )Γ( z ), ( z 0, ,1, , ) 2 2 2 Γ( z 2) ( z 1) (Re z 2, z 0,1) ( z ) (Rez 1, z 0) z ( z 1) z …… Γ( z n 1) (Re z (n 1), z 0,1,2, ,n) z ( z 1) ( z n)
f 3 ( z)
k 0
f 2( k ) (i) 1 k ( z i) k ( z i ) ( D3 : z i 1 i 2 ) k k! k 0 (1 i)
在( D1 D2 ) D3 : f3 ( z) f ( z) F ( z )
( p)(q) ( p q )
此式已将 B( p, q) 已从Re p 0, Re q 0延拓至除了p=0,-1,-2, …；
q=0,-1,-2, …等孤立奇点外的整个p平面和q平面.
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第四章
13
思考与讨论题 1.何谓解析延拓？它有何意义？ 2.由Γ(z)的定义知其定义域为Rez>0，但为什么 Γ(z)在全平面上除了z=0,-1,-2,…这些一阶奇点 外是处处解析的？ 3.解析延拓的唯一性定理有何意义？ 4.Γ函数有哪些基本性质？ 作业：p64：4.1 (1)，4.2
7
例如：f1 ( z ) z ( D1 : z 1 )
k n! ( n) i 在D1内取z1 , f1 ( ) i 2 2 (1 ) n 1 2 (n 0,1,2 )
i
D2
1
0 D1
i 2
1
x
级数 f 2 ( z )
k 0
2015/11/18 第四章 14
第四章
10
Г函数是物理上很有用的函数，定义：
t z 1 Γ( z) e t dt (Re z 0,约定 arg t 0) 0 , , (n 1) n! (n正整数 ) ( z 1 ) z ( z ) (1) 1, ( ) 2 , Γ( z )Γ(1 z ) (z 整数) sin z
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第四章
3
2 解析函数的唯一性
定理：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数， 在D内某点列{zk}(k=1,2,…)上f1(z) =f2(z)，而{zk}
在D内至少有一个极限点，则：
f1 ( z) f 2 ( z) ( z D)
证明见(P57-58).
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f ( z )(z D1 D2 ) 1 f ( z )( z D ) 1 z 3 3
继续下去解析区域越来越大，但始终不能包含z=1,实质上是z=1 这个奇点决定着延拓过程中级数的收敛半径.
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§4.3利用函数关系进行 解析延拓Г函数
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2 2z-1
……
一直延拓至除了z=0,-1,-2,…等孤立奇点外的整个z平面.
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§4.4 B函数（贝塔函数）
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第四章
12
B( p,q) t p 1 (1 t )q 1 dt (Re p 0, Re q 0)
0
1
可证明：
B( p, q)
第四章
4
推论一：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数，且在某一
点的邻域内(或某一曲线段上)相等，则
f1 ( z) f 2 ( z) ( z D)
显然解析函数ez、sinz、cosz等分别由实函数ex、sinx、cosx 等唯一确定.各种初等实函数的等式在复变函数中也成立.
[例如]sin2z和cos2z都是全平面（不含∞）上的解析函数，在实 轴上有sin2z=sin2x，2sinzcosz=2sinxcosx,且已知sin2x=2sinxcosx
则
f1 ( z) f 2 ( z) ( z. D)
解析函数的唯一性，是复变函数特有的性质，实变函数则 没有，它提供了解析延拓方法多样性的理论依据.
依据唯一性进行解析延拓有两类方法用泰勒级数或利用 函数关系进行.
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第四章
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§4.2用泰勒级数进行解析延拓
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第四章