导数及其应用教案

导数一、知识梳理1.定义：称函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率0000()()limlim x x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为y =f (x )在x =x 0处导数，记作0000000()()()|,()lim lim x x x x f x x f x yf x y f x x x =∆→∆→+∆-∆'''==∆∆或即2.几何意义：函数f(x)在点x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线y=f(x)上点（0x ，0()f x '）处的切线的斜率.相应地，切线方程为y -y 0=0()f x '(x -x 0).3.基本初等函数的导数公式4.导数运算法导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦5复合函数的导数函数导数y c ='0y =*()()n y f x x n Q ==∈1'n y nx -=sin y x = 'cos y x = cos y x ='sin y x =-()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅> ()x y f x e == 'x y e =()log a f x x =1'()(01)ln f x a a x a =>≠且 ()ln f x x ='1()f x x=复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.6.函数的单调性在某个区间（a ,b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.注：函数()y f x =在（a,b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件.7.函数的极值曲线在极值点处切线的斜率为0.曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数 f (x ) 在点 x 0 处连续时，判断 f (x 0) 是极大（小）值的方法是： （1）如果在 x 0附近的左侧 ()0f x '> ，右侧()0f x '< ，那么 f (x 0) 是极大值． （2）如果在x 0附近的左侧 ()0f x '< ，右侧()0f x '> ，那么 f (x 0) 是极小值． 注：导数为0的点不一定是极值点. 8.函数的最值函数()y f x =在区间上如果存在0x ,若使得对区间内任意x 都有0()()f x f x ≥,则0()f x 叫最小值; 若使得对区间内任意x 都有0()()f x f x ≤,则0()f x 叫最大值.注： ①一般地, 闭区间[],a b 上的连续函数()y f x =在[],a b 上必有最大值与最小值.②极值与最值不是同一个概念. 极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.开区间内的最值点一定是极值点,反过来不成立.③函数f (x )在区间[a ,b ]上的最大值为极大值和f (a ) 、f (b )中最大的一个;最小值为极小值和f (a ) 、f (b )中最小的一个.二、 方法归纳1.求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 3.求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) . (2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.三、课堂精讲例题问题一： 导数的运算【例1】求下列函数的导数：（1） cos x y e x = （2）2tan y x x =+ （3）ln(1)y x =+ 【解析】（1）()'''cos ,cos (cos )cos sin xx xxx y e x y ex e x ex e x =∴=+=-（2）()2'2'2'2sin cos sin (sin )tan ,()2cos cos x x x x y x x y xx x x--=+∴=+=+ 212cos x x=+（3）11'(1)'11y x x x =⋅+=++. 【注】 注意复合函数的求导方法（分解→求导→回代）；注意问题的变通：如xxe y -=的导数容易求错，但xe xy =的导数不易求错. 【适时导练】1.求下列函数的导数（1）求)11(32x x x x y ++=的导数；（2）求)11)(1(-+=xx y 的导数；（3）求2cos 2sinx x x y -=的导数；（4）求y=x x sin 2的导数；【解析】（1）2311x x y ++= ,.2332'x x y -=∴ （2）先化简,2121111-+-=-+-⋅=xx xx xx y∴.112121212321'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x y （3）先使用三角公式进行化简.xx x x x y sin 212cos 2sin -=-=.cos 211)(sin 21sin 21''''x x x x x y -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∴（4）'y ==x xx x x 22sin cos sin 2-；问题二：求切线方程【例2】已知曲线31433y x =+， （1） 求曲线在点P (2,4)处的切线方程； （2） 求曲线过点P (2,4)的切线方程； （3） 求斜率为4的曲线的切线方程.分析：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程. 【解析】（1）(2,4)P 在曲线31433y x =+上，且2y x '=∴在点P (2,4)处的切线的斜率k =2|x y ='=4;∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.（2）设曲线31433y x =+与过点P (2,4)的切线相切于点A （x 0，301433x +）， 则切线的斜率020|x x k y x ='==，∴切线方程为y -（301433x +）=20x （x -0x ），即23002433y x x x =-+.∵点P (2,4)在切线上，∴4=220x -302433x +，即3200340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴（x 0+1）(x 0-2)2=0.解得x 0=-1或x 0=2. 故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0.（3）设切点为（x 0,y 0），则切线的斜率为k =x 02=4, x 0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3）. ∴切线方程为y -4=4(x -2)和y +4/3=4(x +2).即4x -y -4=0和12x -3y +20=0. 【注】（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决. 【例3】如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的 切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+= . 【答案】2【解析】观察图形,设(5,(5))P f ,过P 点的切线方程为(5)'(5)(5)y f f x -=-，即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+-，它与8+-=x y 重合,比较系数知:'(5)1,(5)3f f =-=. 故)5()5(f f '+=2. 【适时导练】 2.设函数bx ax x f ++=1)( (a ,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y =3. （1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x =1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值. 【解析】（1）2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a ,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f （2） 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,00x x x ． 由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--． 令x =1，得1100-+=x x y ，切线与直线x =1交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,100x x ． 令y=x ，得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(0--x x ． 直线x =1与直线y=x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ． 所以，所围三角形的面积为定值2.3.已知()ln f x x =，217()22g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图象都相切，且与函数()f x 的图象的切点的横坐标为1．求直线l 的方程及m 的值.【解析】依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线， 故其斜率1(1)11k f '===，所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）.问题三: 导数与函数的单调性 【例4】已知函数()ln f x x =,()(0)ag x a x=>,设()()()F x f x g x =+． （Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅱ）若以函数()((0,3])y F x x =∈图象上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值.【解析】（I ）()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+>，()()221'0a x aF x x x x x-=-=>.∵0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增. 由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减. ∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞. （II ）()()2'03x aF x x x -=<≤， ()()000201'032x a k F x x x -==≤<≤恒成立⇔200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 当01x =时，20012x x -+取得最大值12. ∴12a ≥，∴min 12a =.【适时导练】4.若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.【解题思路】解这类题时,通常令'()0f x ≥(函数()f x 在区间[,]a b 上递增)或'()0f x ≤(函数()f x 在区间[,]a b 上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.【解析】2()31f x ax '=+，又()f x 在区间[－1,1]上单调递增，2()310f x ax '∴=+≥在[－1,1]上恒成立 ，即213a x≥-在[－1,1]上恒成立， 213x -在 [－1,1]的最大值为13-，13a ∴≥-. 故a 的取值范围为1[,)3-+∞.问题四: 导数与函数的极值和最大(小)值 【例5】若函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值,则m = .【解题思路】若在0x 附近的左侧'()0>f x ，右侧'()0<f x ，且'0()0f x =,那么0()f x 是()f x 的极大值；若在0x 附近的左侧'()0<f x ，右侧'()0>f x ，且'0()0f x =,那么0()f x 是()f x 的极小值. 【解析】因为()f x 可导,且'()sin cos2f x m x x =-+,所以'()sincos0442f m πππ=-+=,解得0m =.经验证当0m =时, 函数1()sin 22=f x x 在4x π=处取得极大值.【注】 若()f x 是可导函数，注意0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的必要条件.要确定极值点还需在0x左右判断单调性. 【适时导练】5.设x =1与x =2是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值； （2）试判断x =1,x =2是函数()f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（1）()'21,af x bx x=++ 由已知，得()()''210,10120410.2a b f f a b ++=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎪⎩2,31.6a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩（2）当x 变化时， ()'f x ，()f x 的变化情况如表：故在x =1处，函数()f x 取极小值56；在x =2处，函数()fx 取得极大值42ln 233-.【例6】已知函数()32f x x ax bx c =-+++图象上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+．（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式； （2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围. 【解析】()2'32f x x ax b =-++，因为函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3， 所以()'1323f a b =-++=-，即20a b +=，又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-.（1）函数()f x 在2x =-时有极值，所以()'21240f a b -=--+=，解得2,4,3a b c =-==-，所以()32243f x x x x =--+-．（2）因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()'23f x x bx b =--+，在区间[]2,0-上的值恒大于或等于零，则()()'21220,'00,f b b f b -=-++≥⎧⎪⎨=≥⎪⎩得4b ≥，所以实数b 的取值范围为[)4,+∞.【适时导练】6．已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立.【解析】（1）由奇函数定义，有()(),f x f x x -=-∈R . 即 33,0.ax cx d ax cx d d --+=---∴=因此，3(),f x ax cx =+ 2'()3.f x ax c =+由条件(1)2f =-为()f x 的极值，必有'(1)0,f =故 230a c a c +=-⎧⎨+=⎩ ,解得 1, 3.a c ==-因此3()3,f x x x =-2'()333(1)(1),f x x x x =-=+- '(1)'(1)0.f f -== 当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(,1)-∞-上是增函数. 当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，故()f x 在单调区间(1,1)-上是减函数. 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(1,)+∞上是增函数. 所以，()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1) 2.f -= （2）由(1)知，3()3([1,1])f x x x x =-∈-是减函数，且()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)2,M f =-=最小值为(1) 2.m f ==- 所以，对任意12,(1,1),x x ∈-恒有12|()()|2(2) 4.f x f x M m -<-=--= 问题五：导数的综合应用（恒成立，存在性，证明不等式成立）【例7】 当0x >，求证e 1xx >+.【解题思路】先移项,再证左边恒大于0.【解析】设函数()e (1)x f x x =-+.()1x f x e '=-，当0x >时， 0e e 1x>=，()e 10x f x '∴=->，故()f x 在[0,)+∞单调递增.∴当0x >时，()(0)f x f >,又0(0)e (10)0f =-+=，()0f x ∴>，即e (1)0x x -+>，故e 1x x >+.【注】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明.【例8】已知函数()(1)ln 15,af x x a x a x =++-+其中a <0,且a ≠-1.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数322(23646),1()(),1x x ax ax a a e x g x ef x x ⎧-++--≤=⎨>⎩（e 是自然数的底数）.是否存在a ，使()g x 在[a ,-a ]上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【例9】（辽宁卷文21）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-.【解析】(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞)，2121()2a ax a f x ax x x +++'=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调递增； 当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调递减；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x当x ∈(0,时, ()f x '＞0；x ∈+∞)时，()f x '＜0, 故f (x )在（0,+∞）单调递减.(Ⅱ)不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f (x )在（0，+∞）单调递减. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于12()()f x f x -≥4x 1－4x 2, 即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ,则1()2a g x axx +'=++4＝2241ax x a x +++.于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x --≤0.从而g (x )在（0，+∞）单调递减，故g (x 1) ≤g (x 2)， 即 f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-.【适时导练】 7．已知函数x a x x f ln 1)(-+=（a ∈R ）(1) 求f (x )的单调区间； (2) 证明：ln x <1+x .【解析】（1）函数f (x )的定义域为(0,)+∞，()a f x x '=-=①当0a ≤时，()f x '>0，f (x )在(0,)+∞上递增；②当0a >时，令2x =222440x a x a --=，解得22122222x a x a =-=+因为10x <，故舍去1x ，所以在2(0,22a +上()f x '<0，f (x )递减；在2(22)a ++∞上，()f x '>0，f (x )递增. （2）由（1）知设()ln g x x =在(0,2+内递减，在(2)++∞内递增.min [()](222)12ln(222)g x g =+=+-+，故1ln 12ln(222)x x +-≥+-+.又因为22225e +<<，故212ln(222)12lne 210+-+>+-=->， 得1ln x x +>.8.（全国Ⅰ卷理20）已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.【解析】（Ⅰ）11()ln 1ln x f x x x x x +'=+-=+， ()ln 1xf x x x '=+,题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤. 令()ln g x x x =-，则1()1g x x '=-.当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤， 所以1x =是()g x 的最大值点，()(1)1g x g =-≤. 综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.(Ⅱ)有（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤，即ln 10x x -+≤.当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤； 当1x ≥时， ()ln (ln 1)f x x x x x =+-+1ln (ln 1)x x x x =++-11ln (ln1)x x x x=--+0≥， 所以(1)()0x f x -≥.9.（全国Ⅰ卷文21）已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++，（I ）当16a =时，求()f x 的极值;（II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()()()241331f x x ax ax '=-+-.当16a =时，()22(2)(1)f x x x '=+-，()f x 在(,2)-∞-内单调减，在2-+∞（，）内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值. 所以(2)12f -=-是()f x 的极小值.问题六：导数实际应用题【例10】( 2009·山东理21.)两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065. （1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由. 【解析】解法一:（1）如图,由题意知AC ⊥BC ,22400BC x =-,224(020)400k y x x x =+<<-.其中当102x =时，y =0.065,所以k =9 所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x =+<<-.（2）2249400y x x =+-,42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=--, 令'0y =，得422188(400)x x =-,所以2160x =,即410x =当0410x <<, 422188(400)x x <-,即'0y <，所以函数为单调减函数. 当4620x <时, 422188(400)x x >-,即'0y >，所以函数为单调增函数. 所以当410x =时,函数2249(020)400y x x x=+<<-有最小值. 解法二: （1）同上.（2）设22,400m x n x ==-,则400m n +=,49y m n=+, 所以494914911()[13()](1312)40040040016m n n m y m n m n m n +=+=+=++≥+=,当且仅当49n m m n =即240160n m =⎧⎨=⎩时,取”=”. 下面证明函数49400y m m=+-在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. ABC x设0<m 1<m 2<160,则1211224949()400400y y m m m m -=+-+-- 12124499()()400400m m m m =-+---211212124()9()(400)(400)m m m m m m m m --=+-- 21121249()[](400)(400)m m m m m m =----12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=---, 因为0<m 1<m 2<160,所以412(400)(400)m m -->4×240×240. 9 m 1m 2<9×160×160,所以121212124(400)(400)90(400)(400)m m m m m m m m --->--,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)m m m m m m m m m m ---->--,即12y y >,函数49400y m m=+-在(0,160)上为减函数. 同理,函数49400y m m=+-在(160,400)上为增函数,设160<m 1<m 2<400,则1211224949()400400y y m m m m -=+-+--12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=--- 因为1600<m 1<m 2<400,所以412(400)(400)m m --<4×240×240, 9 m 1m 2>9×160×160 所以121212124(400)(400)90(400)(400)m m m m m m m m ---<--,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)m m m m m m m m m m ----<--即12y y <函数49400y m m =+-在(160,400)上为增函数.所以当m=160即410x =时取”=”,函数y 有最小值, 所以弧上存在一点，当410x =时使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小.【适时导练】10．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y 千元．（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．【解析】（I ）设容器的容积为V ，由题意知23480,,33V r l r V πππ=+=又 故322248044203()333V r l r r r r r ππ-==-=-.由于2l r ≥,因此0 2.r <≤所以建造费用2224202342()34,3y rl r c r r r c rππππ=⨯+=⨯-⨯+ 因此21604(2),0 2.y c r r rππ=-+<≤ （II ）由（I ）得3221608(2)20'8(2)(),0 2.2c y c r r r r r c πππ-=--=-<<- 由于3,20,c c >->所以当3200,2r r c -==-时,m =则0m >, 所以2228(2)'()().c y r m r rm m rπ-=-++ （1）当9022m c <<>即时，'''r y y y ∈∈当=时,=0;当(0,)时,<0;当(,2)时,>0.m r m r m 所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点. （2）当2m ≥,即932c <≤时， 当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减， 所以r =2是函数y 的最小值点.综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2;r =当92c >时，建造费用最小时r =课后自我检测A 组1.(辽宁理7)曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为 （ ） ()2A y x =- ()32B y x =-+ ()23C y x =- ()21D y x =-+ 【答案】 D 【解析】 2222(2)(2)x x y x x ---'==--，222(12)k -==--， ∴切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+.2. （全国Ⅰ新卷理3） 曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 （ ）A.y =2x +1B.y =2x -1C. y =-2x -3D.y =-2x -2 【答案】A【解析】22(2)y x '=+，所以12x k y =-'==，故切线方程为21y x =+．3.（全国Ⅱ卷文7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程 是10x y -+=，则 （ ） （A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 【答案】A 【解析】∵ 02x y x aa='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =.4．（2008广东文12）函数f(x )=x ln x (x >0)的单调递增区间是 ．【答案】1(,)e+∞【解析】由()ln 10f x x '=+>可得1x e>. 5.(辽宁文15)若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a = .【答案】3【解析】'()f x ＝222(1)()(1)x x x a x +-++ ,'(1)f ＝34a -＝0 ⇒ a ＝3. 6.（江西卷文17）设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++. （1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由.【解析】2()186(2)2f x x a x a '=+++. （1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122118ax x ==，所以9a =；（2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>， 所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数. 7.（安徽卷文20）设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值.【解析】,,,()12().423()0()422()x x x x x x x x πππππ=++=+===解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2,知f sin 令f ，从面sin ，得，或，当变化时，f ，f(x)变化情况如下表：8．设函数2()ln()f x x a x =++.（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln 2． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a'=++， 依题意有(1)0f '-=，故32a =．从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调递增，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+．方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-． （ⅰ）若0∆<，即a <()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0∆=，则aa =若a =()x ∈+，2()f x '=．当2x =-时，()0f x '=，当2x ⎛⎛⎫∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a=)x ∈+，()0f x '=>，()f x 也无极值． （ⅲ）若0∆>，即a >a <22210x ax++=有两个不同的实根12a x -=，2x =．当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值．当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a的取值范围为)+．()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．9．（2007山东文）设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．【解析】因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，． ()f x '222b ax bax x x+=+=．当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增；如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减． 所以当0ab >，函数()f x 没有极值点．当0ab <时，2()a x x f x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=令()0f x '=，将1(0)x =+∞，（舍去），2)x =+∞，，当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 222b b b f a a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭．当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 222b b b f a a ⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 综上所述，当0ab >时，函数()f x 没有极值点； 当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 10.（2007山东理18)设函数f (x )=x 2+b ln(x +1),其中b ≠0. (Ⅰ)当b >21时，判断函数f (x )在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数f (x )的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ,不等式ln(3211)11(n n n ->+)都成立.【解析】(I) 函数2()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.222'()211b x x bf x x x x ++=+=++，令2()22g x x x b =++，则()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减，min 11()()22g x g b =-=-+.当12b >时，min 1()02g x b =-+>，2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立. '()0,f x ∴>即当12b >时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增. （II ）分以下几种情形讨论：（1）由（I ）知当12b >时函数()f x 无极值点. （2）当12b =时，212()2'()1x f x x +=+， 11,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭时，'()0,f x >1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，'()0,f x >12b ∴=时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点. （3）当12b <时，解'()0f x =得两个不同解1x =2x =. 当0b <时，11x =<-，21x =>-，()()121,,1,,x x ∴∉-+∞∈-+∞此时()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点2x =.当102b <<时，()12,1,,x x ∈-+∞'()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0 ，'()f x 在12(,)x x 上小于0 ，此时()f x 有一个极大值点112x -=和一个极小值点212x -=.综上可知，0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点212x -=；102b <<时，()f x 有一个极大值点1x =2x =； 12b ≥时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点. （III ） 当1b =-时，2()ln(1).f x x x =-+ 令332()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则32'3(1)()1x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，()h x ∴在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.即当()0,x ∈+∞时，有32ln(1)0,x x x -++>23ln(1)x x x +>-， 对任意正整数n ，取1x n =得23111ln(1)n n n +>-.B 组1．(2007海南、宁夏理10)曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e【答案】D【解析】11221(),2x x y e e ''⇒==曲线在点2(4e )，处的切线斜率为212e ，因此切线方程为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e -所以：221||2.2AOB S e e ∆=-⨯=2.(天津理4)设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = （ ） A.在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点. B.在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点.C.在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点.D.在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.【答案】D【解析】由题得'113()33x f x x x-=-=，令'()0f x >得3>x ；令'()0f x <得30<<x ；'()0f x =得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D. 3. (福建文15)若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(),0-∞【解析】由题意该函数的定义域0x >，由()12f x ax x'=+.因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()12fx ax x'=+存在零点. 解法 1 （图象法）再将之转化为()2g x ax =-与()1h x x=存在交点.当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <，如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞或是{}|0a a <.解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程120ax x +=在()0,+∞内有解，显然可得()21,02a x =-∈-∞.4.已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln 2f x x axg x a x b =+=+，其中0a >.设两曲线(),()y f x y g x ==有公共点，且在公共点处的切线相同.（1）若1a =，求b 的值； （2）用a 表示b ，并求b 的最大值.【解析】（1）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00(,)x y 处的切线相同3'()2,'()f x x g x x=+=.由题意知0000()(),'()'()f x g x f x g x == ，∴200000123ln ,232.x x x b x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由0032x x +=，得01x =，或03x =-（舍去），即有52b = .（2）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00(,)x y 处的切线相同，23'()2,'()a f x x a g x x=+=.由题意知0000()(),'()'()f x g x f x g x == ，∴22000200123ln ,232.x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由20032a x a x +=，得0x a =，或03x a =-（舍去）.即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-.令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则'()2(13ln )h t t t =-，于是当2(13ln )0t t ->，即130e t <<时，'()0h t >； 当2(13ln )0t t -<，即13t e >时，'()0h t <.故()h t 在(0,)+∞的最大值为12333()e 2h e =，故b 的最大值为233e 2.5.（山东省济南市2011届高三第二次模拟考试数学（文）） 已知函数32()212f x mx nx x =+-的减区间是(2,2)-． ⑴试求m 、n 的值；⑵求过点(1,11)A -且与曲线()y f x =相切的切线方程；⑶过点A （1，t ）是否存在与曲线()y f x =相切的3条切线，若存在求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】⑴ 由题意知：2()34120f x mx nx '=+-<的解集为(2,2)-， 所以，-2和2为方程234120mx nx +-=的根， 由根与系数的关系知4120433n ,m m-=--=，即m =1，n =0． ⑵ ∵3()12f x x x =-，∴2()312f x x '=-，∵3(1)112111f =-⋅=-， 当A 为切点时，切线的斜率 (1)3129k f '==-=-，∴切线为119(1)y x +=--，即920x y ++=；当A 不为切点时，设切点为00(,())P x f x ，这时切线的斜率是200()312k f x x '==-，切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，即23003(4)2y x x x =--.因为过点A （1，-11）， 2300113(4)2x x -=--，∴3202310,x x -+=200(1)(21)0x x -+=， ∴ 01x =或012x =-，而01x =为A 点，即另一个切点为147(,)28P -， ∴ 1145()312244k f '=-=⨯-=-，切线方程为 4511(1)4y x +=--，即 45410x y +-=. 所以，过点(1,11)A -的切线为920x y ++=或45410x y +-=． ⑶ 存在满足条件的三条切线． 设点00(,())P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点，则在P 点处的切线的方程为 000()()()y f x f x x x '-=-，即23003(4)2y x x x =--. 因为其过点A （1，t ），所以，233200003(4)22312t x x x x =--=-+-，由于有三条切线，所以方程应有3个实根， 设32()2312g x x x t =-++，只要使曲线有3个零点即可． 设 2()66g x x x '=-=0， ∴ 01x x ==或分别为()g x 的极值点， 当(,0)(1,)和x ∈-∞+∞时()0g x '>，()g x 在(,0)-∞和 (1,)+∞上单增， 当(0,1)x ∈时()0g x '<，()g x 在(0,1)上单减， 所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0,(1)0,g g >⎧⎨<⎩即120,110,t t +>⎧⎨+<⎩解得1211t -<<-.6.（山东卷理22）已知函数1()ln 1()af x x ax a R x -=-+-∈（Ⅰ）当a ≤12时，讨论f (x )的单调性：（Ⅱ）设g (x )=x 2-2bx +4.当a =14时，若对任意x 1∈（0，2），存在x 2∈[]1,2，使12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为1()ln 1af x x ax x -=-+-，所以 2'22111()(0,)a ax x af x a x x x x --+-=-+=∈+∞，令2()1,(0,)h x ax x a x =-+-∈+∞，①当12a =时，12,()0x x h x =≥恒成立，此时'()0f x ≤，函数 ()f x 在∞（0，+）上单调递减；②当1101102a a -＜＜时，＞＞，(0,1)x ∈时，()0h x ＞，此时'()0f x ＜，函数()f x 单调递减；1(1,1)x a ∈-时()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数 ()f x 单调递增； 1(1,)x a ∈-+∞时，()0h x ＞，此时'()0f x ＜，函数()f x 单调递减；③当0a ＜时，由于110a -＜，(0,1)x ∈，()0h x ＞,此时'()0f x ＜，函数 ()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数()f x 单调递增.综上所述：（Ⅱ）因为a =11(0,)42∈，由（Ⅰ）知，1x =1，2x =3(0,2)∉，当(0,1)x ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减；[]min 117()(2)840(2,),28g x g b b b ⎡⎫==-≥∈+∞≤≥+∞⎪⎢⎣⎭当(1,2)x ∈时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，所以()f x 在（0，2）上的最小值为1(1)2f =-.由于“对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥”等价于“()g x 在[]1,2上的最小值不大于()f x 在（0,2）上的最小值12-”（*）又()g x =22()4x b b -+-，[]11,2x ∈，所以①当1b <时，因为，此时与（*）矛盾.②当[]1,2b ∈时，因为[]2min ()40g x b =-≥，同样与（*）矛盾.③当(2,)b ∈+∞时，因为[]min ()(2)84g x g b ==-，解不等式8-4b12≤，可得178b ≥. 综上，b 的取值范围是17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 7．(2008·山东文21)设函数2132()x f x x eax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．（Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小． 【解析】（Ⅰ）因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++，又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，因此6203320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解方程组得13a =-，1b =-． （Ⅱ）因为13a =-，1b =-，所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-，令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =．因为 当(2)x ∈-∞-，(01)，时，()0f x '<； 当(20)(1)x ∈-+∞，，时，()0f x '>．所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是单调递增的；在(2)-∞-，和(01)，上是单调递减的． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e 3x f x x x x -=--， 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-，令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-．令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤，所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减．故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥；因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增．故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥．所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又20x ≥，因此()()0f x g x -≥，故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥． 8. (2009·海南宁夏理21)已知函数32()(3)xf x x x ax b e -=+++（I ）如3a b ==-，求()f x 的单调区间； （II ） 若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα-＜6.【解析】（Ⅰ）当3a b ==-时，32()(333)x f x x x x e -=+--，故322'()(333)(363)x x f x x x x e x x e --=-+--++-3(9)x e x x --=--(3)(3)x x x x e -=--+.当3x <-或03'()0;x f x <<>时，当303'()0.x x f x -<<><或时，从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减少. (Ⅱ)3223'()(3)(36)[(6)].x x x f x x x ax b e x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故从而3'()[(6)42].x f x e x a x a -=-+-+-因为'()'()0,f f αβ==所以3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)(()).x x x αβαβ=--++将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=-故2()4124.a βαβααβ-=+-=-又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <-于是 6.βα->9.(2008·海南、宁夏理21) 设函数1()(,)f x ax a b Z x b=+∈+，曲线()y f x =在点 (2,(2))f 处的切线方程为3y =.（Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值.【解析】（Ⅰ）21()()f x a x b '=-+，于是2123,210.(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩ 解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩ 或9,48.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因,a b Z ∈，故1()1f x x x =+-． （II ）证明：已知函数121,y x y x==都是奇函数， 所以函数1()g x x x=+也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形. 而函数1()111f x x x =-++-. 可知，函数()g x 的图象按向量a =(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数()y f x =的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.（III ）证明：在曲线上任一点0001(,)1x x x +-. 由'0201()1(1)f x x =--知，过此点的切线方程为 200020011[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----. 令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为001(1,)1x x +-. 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(21,21)x x --.直线1x =与直线y x =的交点为(1,1). 从而所围三角形的面积为0000011121211|22|22121x x x x x +---=-=--. 所以, 所围三角形的面积为定值2.10．(2008·山东理21)已知函数1()ln(1),1)n f x a x x =+--（其中*,n N ∈a 为常数.。