2013高三文科暑期第6讲 导数及其应用 教师版
高中数学第六章导数及其应用6.1.导数及其几何意义学案含解析B版选择性第三册 (1)
6。
1.2 导数及其几何意义必备知识·素养奠基1。
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时，若平均变化率=无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x）在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x）在x=x0处的导数,记作f′(x0）=k.“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”还可以怎样表示?提示:还可以表示为,当Δx→0时，→k，或者写成=k，即f′(x0）=。
（2）瞬时变化率f′(x0)的实际意义:当自变量在x=x0处改变量Δx 很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′（x0)Δx。
（1)函数y=f在x=x0处的导数一定存在吗?提示：当Δx→0时，平均变化率的极限存在，则函数y=f在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数。
(2）函数y=f在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗?提示:还可以表示为f′==等。
2.导数的几何意义（1)割线：一般地,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点,则称直线PP0为曲线S的割线.(2）切线:如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称直线l为曲线S在点P0处的切线.f′（x0）就是曲线y=f（x）在点（x0,f(x0）)处(也称在x=x0处）的切线的斜率.切线方程为y-f（x0）=f′（x0)（x-x0）。
（1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个。
（2）曲线的切线与导数有什么关系？提示：①函数f(x)在x=x0处有导数，则函数f（x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率.②函数f(x）表示的曲线在点(x0，f（x0）)处有切线，但函数f(x）在该点处不一定可导,例如f（x)=在x=0处有切线，但不可导.1.思维辨析（对的打“√”,错的打“×")(1）函数y=f（x)在x=x0处的导数f′（x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的函数值. （)(2)函数y=f(x）在x=x0处的导数f′(x0）的几何意义是函数y=f（x)在点（x0，f（x0)）处的切线与x轴所夹锐角的正切值。
北师大文科数学高考总复习教师用书：导数的概念及运算 含答案
第1讲导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理1．导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝αxα－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .( )解析 (1)f ′(x 0)表示函数f (x )的导数在x 0处的值，而f ((x 0))′表示函数值f (x 0)的导数，其意义不同，(1)错．(2)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(2)错．(4)f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2＝x 2＋2ax ＋a 3，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，(4)错． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A.194 B.174 C.154 D.134解析 由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t 2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134. 答案 D3．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案 34．(2017·豫北名校期末联考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 解析 ∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝05．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析 由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，则f ′(1)＝3a ＋1， 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案 1考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝cos x e x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x. 规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．【训练1】 (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析 (1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1x ·x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，则x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 (1)B (2)3考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线方程【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．(2)(2017·南昌质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x . 又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 0＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案 (1)2x －y ＝0 (2)B 命题角度二 求切点坐标【例2－2】 (2017·西安调研)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析 由y ′＝e x ，知曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，又y ＝1x (x >0)的导数y ′＝－1x 2， 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2.依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1. 则点P 的坐标为(1,1)． 答案 (1,1)命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)【例2－3】 已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－12 D ．1 解析 设切点坐标为P (x 0，y 0)， 由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x . ∴y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，依题意，－12＋1x 0＝12，∴x 0＝1，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上， 故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案 B规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．(3)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.【训练2】 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2. 设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a 在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x ，因为a ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． 答案 (1)(e ，e) (2)(－∞，2)[思想方法]1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意交换的等价性．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． [易错防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．3．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．设y ＝x 2e x ，则y ′＝( ) A ．x 2e x ＋2x B ．2x e x C ．(2x ＋x 2)e x D ．(x ＋x 2)e x 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝(2x ＋x 2)e x .2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 B3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0解析 y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 答案 C4．(2017·成都诊断)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e . 答案 C5．(2017·昆明诊断)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2 解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2 x ，∴＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.二、填空题6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 27.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.答案08．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案8三、解答题9．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53， 所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53， 斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln x C ．y ＝e x D ．y ＝x 3解析 若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2.答案 A12．(2017·合肥模拟)点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B.32 C.52 D. 2解析 点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时， 点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1，令y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，∴点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.答案 D13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x (x >0)．∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)．答案 [2，＋∞)14．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.3 利用导数解决实际问题
(-2)
2
(2)当 2a≥b 时,y'=sk·
2 ≤0 在区间(a,b]上恒成立,故当 x=b 时,ymin= - .
(-)
综上可知,若b≤2a,则当船在静水中的航行速度为b km/h时,其全程的燃料
费用最省;
若b>2a,则当船在静水中的航行速度为2a km/h时,其全程的燃料费用最省.
所制容器的底面的一条边比另一条边长0.5 m,那么高为多少时,容器的容
积最大?请求出它的最大容积.
解:设容器底面一条边长为x m,
则另一条边长为(x+0.5)m,
14.8-4-4(+0.5)
高为
=(3.2-2x)m.
4
3.2-2 > 0,
解得 0<x<1.6.
> 0,
设容器的容积为y m3,
此时 6πR2=2πRh+2πR2,故 h∶R=2∶1.
答案:2∶1
反思感悟
选取合适的量为自变量,并确定其取值范围.先正确列出函数的解析式,再
利用导数求最值,其中正确列出函数的解析式是解题的关键.
【变式训练2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶
和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚
容积的最值问题
【例1】 先在长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮的四角上分别截掉一个
大小相同的小正方形,再把四边折起焊接,做成一个无盖的容器.当该容器
的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
分析: 设高为x→建立容积V(x)关于x的函数→利用导数求出V(x)的最大值
→得出结论
解:设容器的高为x cm,容器的容积为V(x)cm3,
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.2.1 导数与函数的单调性
解:f'(x)=3ax2-2x+1.
∵f(x)在R内单调递增,∴f'(x)≥0在R内恒成立,即3ax2-2x+1≥0在R内恒成立.
> 0,
> 0,
1
则有
即
∴a≥ .
3
≤ 0,
4-12 ≤ 0,
1
故 a 的取值范围为 , + ∞ .
3
【易错辨析】
求函数单调区间时忽略定义域而致误
3
延伸探究
1.若例1的条件不变,试求不等式f'(x)>0的解集.
3 1
解:由题图可知函数 y=f(x)在区间 - ,- 和(1,2)内单调递增,故 f'(x)>0 的解集
2 3
3 1
为 - ,- ∪(1,2).
2 3
2.若例1的条件不变,试求不等式xf'(x)>0的解集.
1
解:当 x<0 时,f'(x)<0,由题图可知- <x<0.
故选D.
答案:D
3.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c=
解析:f'(x)=3x2+2bx+c,由题意知,-1,3是f'(x)=0的两个根,
2
∴-1+3=- ,-1×3= ,
3
3
∴b=-3,c=-9,∴b+c=-12.
答案:-12
.
4.已知函数f(x)=x3-ax2-3x在区间[1,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围
【典例】 已知函数
(江苏专用)2013高考数学总复习 第三篇 导数及其应用《第13讲 导数的概念与运算》课件 理 苏教版
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝ axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝logax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝
1 xln
a
f(x)＝ln x
f′(x)＝1 x源自．导数的运算法则∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2
＝10u4＝10(2x－3)4.
(2)设u＝3－x，则y＝ 3－x.
由y＝u12与u＝3－x复合而成．
y′＝f′(u)·u′(x)＝(u12)′(3－x)′＝12u－12(－1)
＝－12u－12＝－2
31－x＝
3－x 2x－6 .
(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋3π， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin2x＋3π·cos2x＋π3＝2sin4x＋23π. (4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则yx′＝yu′·ux′ y′＝2x＋1 5·(2x＋5)′＝2x＋2 5.
(4)∵y＝－sin2x－cos2x＝12sin x，
∴y′＝12sin x′＝12(sin x)′＝12cos x.
(5)y＝1－1
x＋1＋1
x＝11＋－
x＋1－ x1＋
xx＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
2．(2011·南通调研)已知函数f(x)＝
1 3
x3＋x2＋(2a－1)x＋a2－a＋
1，若f′(x)＝0在(1,3]上有解，则实数a的取值范围为
________．
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 习题课——导数的综合应用
取值范围.
解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
1
1-22
f'(x)=-2ax= .当 a≤0 时,f'(x)>0,故函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
1
当 a>0 时,由 f'(x)>0,得 0<x< 2,
1
1
由 f'(x)<0,得 x> 2,故函数 f(x)在区间 0, 2 内单调递增,在区间
和(1,+∞)内单调递增,在区间(2a,1)内单调递减.
2
1
(-1)
③当 a=2时,f'(x)= ≥0,故 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
1
④当 a>2时,2a>1,所以当 0<x<1 或 x>2a 时,f'(x)>0,当 1<x<2a 时,f'(x)<0,所以
f(x)在区间(0,1)和(2a,+∞)内单调递增,在区间(1,2a)内单调递减.
①当2a≤0,即a≤0时,x-2a>0,
所以当0<x<1时,f'(x)<0,
当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
1
②当 0<2a<1,即 0<a< 时,0<2a<1,
2
所以当 0<x<2a 或 x>1 时,f'(x)>0,当 2a<x<1 时,f'(x)<0,所以 f(x)在区间(0,2a)
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.1.2 导数及其几何意义
202 =1,∴x0=±
2
.
2
2
2
当 x0=- 时,切线 l 的方程为 y-2× 2
2
2
2
当 x0= 时,切线 l 的方程为 y-2×
2
2
2
2
2
2
-1=4× x-4× 2
2
2
2
-1=4× x-4×
2
2
2
,即 y=-2√2x;
2
,即 y=2√2x.
故过点 P(0,0)且与曲线 C 相切的直线 l 的方程为 y=-2√2x 或 y=2√2x.
Δ (0 +Δ)-(0 )
(2)求平均变化率Δ =
.
Δ
f(x0 +x)-f(x0 )
(3)取极限,得导数 f'(x0)= lim
.
x
Δ→0
【变式训练1】 求函数f(x)=3x2+ax+b在x=1处的导数.
解:当自变量在x=1处的改变量为Δx时,
∵Δf=f(1+Δx)-f(1)=[3(1+Δx)2+a(1+Δx)+b]-(3+a+b)=3(Δx)2+(6+a)Δx,
则Δ =
=
Δ
Δ
=(Δx)2+3x0Δx+302 .
所以 f'(x0)= lim [(Δx)2+3x0Δx+3x02 ]=3x02 .
Δ→0
故切线方程为 y-x03 =3x02 (x-x0).
而该切线经过点(1,1),所以 1-x03 =3x02 (1-x0),
1
解得 x0=1 或 x0=-2.
高中数学第6章导数及其应用6.1导数6.1.1函数的平均变化率课件新人教B版选择性必修第三册
1．平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平 均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值．
2．运动物体在 t0 到 t1 这段时间内运动的平均速度就是物体运动 的位移函数 s(t)在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实 质就是求函数的平均变化率．
[跟进训练] 3．一个物体做直线运动，位移 s(单位：m)与时间 t(单位：s)之 间的函数关系为 s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在 2≤t≤3 这段时间内的 平均速度为 26 m/s，则实数 m 的值为( ) A．2 B．1 C．－1 D．6 B [由已知，得s33－－2s2＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m) ＝26，解得 m＝1，选 B.]
当ΔΔyx＝0 时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如 f(x) ＝x2 在区间[－2,2]上的平均变化率是 0，但它不是常函数．
拓展：函数平均变化率的几何意义 如图所示，函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线 AB 的 斜率，其中 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上 kAB＝fxx22－－fx1x1＝ΔΔyx.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)Δx 表示 x2－x1，是相对于 x1 的一个增量，Δx 的值可正可负 f(x2)－f(x1)，Δy 的值可正可负，也可以为零．
()
(3)ΔΔxy表示曲线 y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．
求物体运动的平均变化率
【例 2】 跳水运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的 时间 t(单位：s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在0，6459这段时间内的平均速度； (2)运动员在0，6459这段时间内是静止的吗？ (3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
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⑵若 在 内无极值点，求 的取值范围．
【解析】⑴ ．
⑵ 的取值范围是 ．
【演练1】（2008海南宁夏文4）设 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【解析】B
【演练2】（2009西城二模理5）已知函数 ， 为 的导函数，那么（）
A．将 的图象向左平移 个单位可以得到 的图象
1．导数的概念
平均变化率 瞬时变化率 某点的导数 在一点可导 在区间 上可导 导函数
2．导数的几何意义：曲线 过点 的切线的斜率等于 ．
3．常见函数的导数公式：
（ 为常数）； ； ； ； ；
（ ，且 ）； ； （ ，且 ）．
4．两个函数的和、差、积、商的求导法则：
法则1 ．
法则2 ．
法则3 ．
5．导数的应用
C． D．
⑶（2009年宣武二模文8）设 是一个三次函数， 为其导函数，如图所示的是 的图象的一部分，则 的极大值与极小值分别是（）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【解析】⑴A
⑵B
⑶C
考点：利用导数研究函数的简单应用
【例5】⑴（2009广东文8）函数 的单调递增区间是（）
A． B． C． D．
⑵函数 的最小值为________．
⑶（2007浙江）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
【解析】⑴A
⑵A
⑶D
尖子班学案3
【拓1】（2010年朝阳二模理6）函数 的图象大致是（）
【解析】A
目标班学案2
【拓2】（2010年宣武二模理6）
已知函数的图象如右图所示，则其函数解析式可能是（）
A． B．
⑵（2009江苏9）在平面直角坐标系 中，点 在曲线 上，且在第二象限内，已知曲线 在点 处的切线的斜率为2，则点 的坐标为．
【解析】⑴ ．
⑵
考点：导数的几何意义
【例2】⑴（2008江苏8）直线 是曲线 的一条切线，则实数 的值为．
⑵设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ________．
⑶若曲线 存在斜率为 的切线，则实数 的取值范围是________．
【例6】⑴（2010丰台二模理7）
设 、 是 上的可导函数， 、 分别是 、 的导函数，且 ，则当 时，有（）
A． B．
C． D．
⑵已知 ， 都是定义在 上的函数，且满足以下条件：
① （ ）；② ；③ ．
若 ，则实数 ________．
⑶ 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ，对任意正数 、 ，若 ，则必有（）
A． B． C． D．
【解析】D
考点：导数的运算
【例1】⑴求下列函数的导数：
① ；② ；③ ．
⑵已知函数 ，若 ，则 _______．
⑶（2009湖北理14）已知函数 ，则 的值为．
【解析】⑴① ；
② ．
③ ．
⑵ 或 ；
⑶
【备选】 ，则 的值为________．
【解析】
尖子班学案2
【铺1】⑴（2009海南文13）曲线 在点 处的切线方程为．
直线 （ 为自然对数的底数）与两个函数 ， 的图象至多有一个公共点，则实数 的取值范围是__________．
【解析】
考点：利用导数研究函数图象
【例3】⑴（2010朝阳二模文6）
函数 的图象大致是（）．
⑵（2010年石景山一模文7）已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么函数 的图象最有可能的是（）．
B．将 的图象向右平移 个单位可以得到 的图象
C．将 的图象向左平移 个单位可以得到 的图象
D．将 的图象向右平移 个单位可以得到 的图象
【解析】A；
【演练3】（2010丰台一模文12）函数 的图象在点 处的切线方程是．
【解析】
【演练4】（2009湖南文7）若函数 的导函数在区间 上是增函数，则函数 在区间 上的图象可能是（）
A． B． C． D．
【解析】⑴A
⑵
⑶A
【备选】（2009天津文10）设函数 在 上的导函数为 ，且 ．下面的不等式在 上恒成立的是()．
A． B． C． D．
【解析】A．
曲线 过点 的切线方程是_____________．
【解析】 或 ．
（2010北京文18）
设函数 ，且方程 的两个根分别为 ， ．
⑴若 有两个相等实根，求 的解析式；
⑵若 在 上单调递减，求 的范围．
【解析】设 ，则 ， ．
的解集为 ，
∴ 和 是方程 的两根．
因此 ， ， ．
⑴ 在 上单调递减，∴ 在 上恒有
于是 ，即 ，
解得 ．
【解析】⑴
⑵
⑶
目标班学案1
【拓2】⑴（2009江西理5改编）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程
为 ，则曲线 在点 处切线的方程为______________．
⑵（2009福建理14）
若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是________．
【解析】⑴
⑵ ．
【备选】（2010丰台二模文14）
C． D．
【解析】B
考点：函数及其导函数图象综合
【例4】⑴（2008全国Ⅰ文2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一
过程中汽车的行驶路程 看作时间 的函数，其图象可能是（）
⑵（2008崇文二模文8）若偶函数 定义域为 ， 在 上的图象如图所示，则不等式 的解集是（）
A． B．
【解析】A
【演练5】函数 有（ ）
A．极小值 ，极大值 B．极小值 ，极大值
C．极小值 ，极大值 D．极小值 ，极大值
【解析】D
【演练6】（2008海淀一模理13）已知点 在曲线 上，如果该曲线在点 处切线的斜率为 ，那么 ．
【解析】
(2009清华大学自主招生文3)
一元三次函数 的三次项系数为 ， 的解集为 ．
⑴利用导数判断单调性；⑵利用导数研究函数的极值与最值．
<教师备案>导数分成两讲复习，这一讲复习导数的概念、求导法则及其逆用、切线问题、导函数的图象、导函数的简单应用．下一讲重点复习与函数的性质相关的导数问题、含参的函数的单调性与极值、以及简单的恒成立与存在性问题．
尖子班学案1
【铺1】函数 在 处的导数等于（ ）
⑶设函数 ，若当 时，有极值为 ，则函数 的单调递减区间为．
【解析】⑴D
⑵
⑶
目标班学案3
【拓2】（2009湖南理8）设函数 在 内有定义．对于给定的正数 ，定义函数 取函数 ．若对任意的 ，恒有 ，则（）
A． 的最大值为2 B． 的最小值为2
C． 的最大值为1 D． 的最小值为1
【解析】D；
考点：导数公式的逆用