概率习题答案
fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2x1-y2,y<x<1,0,其它, 对∀ x∈(0,1),
fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x)={1x,0<y<x0,其它. 习题 5 X 与 Y 相互独立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的联合概率分布， P{X+Y=1}, P{X+Y≠0}.
P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112, P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}
=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12 =1-112-16=34. 习题 6 某旅客到达火车站的时间 X 均匀分布在早上 7:55∼8:00, 而火车这段时间开出 的时间 Y 的密度函数为
fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它, fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1, 即 fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它. 条件分布与随机变量的独立性 习题 1 二维随机变量(X,Y)的分布律为
X\Y
01
01 7/157/307/301/15
(3)P{X>a,Y≤b}. 解答：
P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b). 习题 3(1) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求：
(1)P{12<X<32,0<Y<4; 解答： P{12<X<23,0<Y<4
P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =14+0+0=14. 习题 3(2) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求：
F(x,y)={0,x≤0 或 y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤,x> 习题 9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)={(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它, 求边缘概率密度 fY(y). 解答： fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy
={∫(2-x)dy,0≤x≤10,其它={(2-x),0≤x≤10,其它. fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx
fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它, 求此人能及时上火车站的概率. 解答： 由题意知 X 的密度函数为
fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为 X 与 Y 相互独立，所以 X 与 Y 的联合密度为：
fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它, 故此人能及时上火车的概率为
X
55
pk
对应 X 的值,将每行的概率相加,可得 P{X=i}. 对应 Y 的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得 P{Y=j}.
Y
55
pk
当 Y=51 时,X 的条件分布律为 P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,, k=51,52,53,54,55.
列表如下:
X
012
pk 3/81/37/24
Y
012
pk 5/1211/241/8
故(1)在 Y=1 条件下，X 的条件分布律为
X∣(Y=1)
012
pk
3/118/110
(2)在 X=2 的条件下，Y 的条件分布律为
Y∣(X=2)
012
习题 4
pk
4/703/7
已知(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)={3x,0<x<1,0<y<x0,其它, 求： (1)边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数. 解答： (1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={3x2,0<x<10,其它,
习题 6 设随机向量(X,Y)服从二维正态分布 N(0,0,102,102,0), 其概率密度为
f(x,y)=1200πex2+y2200,
求 P{X≤Y}.
解答：
由于 P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知
P{X≤Y}=P{X>Y},
故
P{X≤Y}=12.
习题 7 设随机变量(X,Y)的概率密度为
(1)求 Y 的边缘分布律； (2)求 P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0}; (3)判定 X 与 Y 是否独立？ 解答： (1)由(x,y)的分布律知，y 只取 0 及 1 两个值.
P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730= P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=. (2)P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23, P{y=1∣x=0}=13. (3)已知 P{x=0,y=0}=715, 由(1)知 P{y=0}=, 类似可得
P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13. 习题 7 设随机变量 X 与 Y 都服从 N(0,1)分布，且 X 与 Y 相互独立，求(X,Y)的联合概率 密度函数. 解答： 由题意知，随机变量 X,Y 的概率密度函数分别是
fX(x)=12πe-x22， fY(y)=12πe-y22 因为 X 与 Y 相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是
所以 k=18.
(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.
(3)P{X<}=∫∫2418(6-x-y)dy=2732.
(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.
习题 8 已知 X 和 Y 的联合密度为
f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,
(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4}; 解答： P{1≤X≤2,3≤Y≤4} =P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4} =0+116+0+14=516. 习题 3(3) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求：
(3)F(2,3). 解答： F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3) =14+0+0+116+14+0=916. 习题 4 设 X,Y 为随机变量，且
2y2.
F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x
设 0≤x≤1,y>1, 有
F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2. 最后，设 x>1,0≤y≤1, 有
F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2. 函数 F(x,y)在平面各区域的表达式
第三章 多维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布
习题 1 设(X,Y)的分布律为
X\Y 1 2 3
1 1/6 1/9 1/18
2 1/3a1/9
求 a. 分析： dsfsd1f6d 解答： 由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知
1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1, 解得
a=2/9. 习题 2(1) 2.设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)，试用 F(x,y)表示：
P{x=0}=. 因为 P{x=0,y=0}≠P{x=0}⋅P{y=0}, 所以 x 与 y 不独立. 习题 2 将某一医药公司 9 月份和 8 份的青霉素针剂的订货单分别记为 X 与 Y. 据以往积 累的资料知 X 和 Y 的联合分布律为
X\Y 55
55 010.010.010
求边缘分布律; (2)求 8 月份的订单数为 51 时，9 月份订单数的条件分布律. 解答： (1)边缘分布律为
(1)P{a<X≤b,Y≤c}; 解答： P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).
习题 2(2) 2.设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)，试用 F(x,y)表示：
(2)P{0<Y≤b}; 解答： P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0). 习题 2(3) 2.设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)，试用 F(x,y)表示：
={∫(2-x)dx,0≤y≤10,其它={(4y-y2),0≤y≤10,其它. 习题 10 设(X,Y)在曲线 y=x2,y=x 所围成的区域 G 里服从均匀分布，求联合分布密度和边 缘分布密度. 解答： 区域 G 的面积 A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为
f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它, 从而 fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1, 即
101Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{XP{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{ P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{
/2 =1/2}P{Y=-1/2}
X=1/2}P{Y=1}
X=1/2}P{Y=3}
亦即表 X\Y
-1/213
-2-101/2 1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12
X -2-101/2
pi 1/41/31/121/3
表(a) Y -1/213
概率习题(附答案)
随机事件的概率一、选择题(每题4分)1、黑暗中小明从他的一大串钥匙中，随便选择一把，用它开门，下列叙述正确的是( ) A.能开门的可能性大于不能开门的可能性; B.不能开门的可能性大于能开门的可能性 C.能开门的可能性与不能开门的可能性相等 D.无法确定2、有5个人站成一排，则甲站在正中间的概率与甲站在两端的概率的比值为( )A.21 B.2 C.21或2 D.无法确定3、如图,一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是 ( )A 、 21B 、 83C 、 41D 、 314、某商店举办有奖储蓄活动，购货满100元者发对奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个。
若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是 （ ） A 、 1001 B 、10001 C 、100001 D 、100001115、连掷两次骰子，它们的点数都是4的概率是（ ） A 、61 B 、41 C 、161 D 、361 6、啤酒厂做促销活动,在一箱啤酒(每箱24瓶)中有4瓶的盖内印有“奖”字. 小明的爸爸买了一箱这种品牌的啤酒,但是连续打开4瓶均未中奖. 小明这时在剩下的啤酒中任意拿出一瓶,那么他拿出的这瓶中奖的概率( ). (A)424 (B)16 (C)520 (D)15二、填空题（每题3分）7、可能事件的概率p 的取值范围是__________。
必然事件发生的概率是_____，不可能事件发生的概率是_____。
8、投掷一个均匀的正六面体骰子，每个面上依次标有1、2、3、4、5、6，则掷得“5”的概率P=________,这个数表示的意思是__________________. 9、王刚的身高将来会长到4米，这个事件得概率为_____。
10、任意掷一枚均匀硬币两次，两次都是同一面朝上的概率是___11、小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 ．12、右图中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为_______13、一盒子内放有3个红球、6个白球和5个黑球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意摸出1个球是白球的概率为 ．14、小明、小刚、小亮三人正在做游戏，现在要从他们三人中选出一人去帮王奶奶干活，则小明被选中的概率为______,小明未被选中的概率为______15、袋中装有3个白球和2个黄球，从中随机地摸出二个球，都为白球的概率为_______,为一个白球与一个黄球的概率是_______.16、用1，2，3组成三位数（不重复使用），其中排出偶数的概率是_________.17、一个口袋中有24个红球和若干个绿球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中搅匀，重复上述过程，试验200次，其中有125次摸到绿球，估计口袋中有绿球___个。
概率练习题含答案
第一章 随机事件及其概率 练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ） （2）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （3）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（4）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ）（5）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （6）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P {}1=3两个女孩。
（B ） （7）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ）（8）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（9）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ）2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则CA. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C )A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB)（3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A ) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A)C. P(B|A)=P(B)D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B )A.()a c c + B . 1a c +-C. a b c +-D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D )A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率与数理统计习题及详解答案
概率与统计题目精选及答案1. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话.解：设A 1={第i 次拨号接通电话}，i =1，2，3. （1）第3次才接通电话可表示为321A A A 于是所求概率为;1018198109)(321=⨯⨯=A A A P（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A 1+32121A A A A A +于是所求概率为 P （A 1+32121A A A A A +）=P(A 1)+P(21A A )+P(321A A A )=.103819810991109101=⨯⨯+⨯+2. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差 解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=.27431)311)(311(=⨯--（2）易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD3. （理科）摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12所以，157)6(31038===C C P ξ 157)9(3101228===C C C P ξ 151)12(3102218===C C C P ξ……9分 E ξ=6×539151121579157=⨯+⨯+（元）答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是539元 ……………………12分 4. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A 、B 、C ，则P （A ）=0.9 P （B ）=0.8，P （C ）=0.85 …………………………2分 （Ⅰ）)()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅=[1－P （A ）]·[1－P （B ）]·[1－P （C ）] =（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）=0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003………………6分 （Ⅱ）P （C B A C B A C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅） = P （)()()C B A p C B A P C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=[1－P （A ）]·P （B ）·P （C ）+P （A ）·[1－P （B ）]·P （C ）+P （A ）·P （B ）·[1－P （C ）]=（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×（1－0.8）×0.85+0.9×0.8×（1－0.85）=0.329答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329……………………12分5. 如图，A 、B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.（I ）设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ，当x ≥6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；（II ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.解：（I ）411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++C C C x P Θ)6(431012034141)6()4(101202)9(,9432203)8(,842243141205)7(,7322421分分=+++=≥∴===∴=++==∴=++=++===∴=++=++x P x P x P x P ΘΘΘ（II ）)8(203)5(,5221311,101)4(,4211分===++=++===++x P x P ΘΘ ∴线路通过信息量的数学期望 5.61019203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （11分） 答：（I ）线路信息畅通的概率是43. （II ）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12分）6. 三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为,43,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.解：记“三个元件T 1、T 2、T 3正常工作”分别为事件A 1、A 2、A 3，则.43)(,43)(,21)(321===A P A P A P （Ⅰ）不发生故障的事件为（A 2+A 3）A 1.（2分）∴不发生故障的概率为321521]41411[)()]()(1[)4)(()(])[(1321311321=⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 分（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图1中发生故障事件为（A 1+A 2）·A 3 ∴不发生故障概率为3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P )11(12分P P >∴图2不发生故障事件为（A 1+A 3）·A 2，同理不发生故障概率为P 3=P 2>P 1（12分） 说明：漏掉图1或图2中之一扣1分7. 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们 的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求： （1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率. 解：设事件A=“从甲机床抽得的一件是废品”；B=“从乙机床抽得的一件是废品”. 则P （A ）=0.05, P(B)=0.1, （1）至少有一件废品的概率)7(145.090.095.01)()(1)2)((1)(分分=⨯-=⋅-=+-=+B P A P B A P B A P（2）至多有一件废品的概率)12(995.09.095.01.095.09.005.0)(分=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A B A B A P P8. （理科）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2.（2分） 则P （A ）=P 1=0.6,P(B)=P 2:48.08.06.0)()()2(44.08.04.02.06.0)()()()()1(08.02.04.0)()()0()2()7(8.032.04.092.06.06.092.0)1)(1(1)(1)(2222212121的概率分布为分即则ξξξξ=⨯=⋅===⨯+⨯=+===⨯=⋅=====-+∴=-+=---=⋅-=+B P A P P B P A P B P A P P B P A P P P P P P P P P P P P B A P B A P)12(4.096.136.2)()(4.01728.00704.01568.048.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10(4.196.044.048.0244.0108.0022222分或利用=-=-==++=⋅-+⋅-+⋅-==+=⨯+⨯+⨯=ξξξξE E D D E9. (理科考生做) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ 表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：6分因此，公司每年收益的期望值为E ξ ＝x (1－p )＋(x －a )·p ＝x －ap ．8分为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，只需E ξ ＝0.1a ，即x －ap ＝0.1a ， 故可得x ＝(0.1＋p )a ．10分 即顾客交的保险金为 (0.1＋p )a 时，可使公司期望获益10%a ．12分10. 有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2． （1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．解：(1)这批食品不能出厂的概率是： P ＝1－0.85－15C ×0.84×0.2≈0.263． 4分(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：P 1＝14C ×0.2×0.83×0.88分五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：P 2＝14C ×0.2×0.83×0.210分由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P ＝P 1＋P 2＝14C ×0.2×0.83＝0.4096．12分11. 高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛.比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为.21（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？ 解：（I ）参加单打的队员有23A 种方法.参加双打的队员有12C 种方法.……………………………………………………2分所以，高三（1）班出场阵容共有121223=⋅C A （种）………………………5分（II ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，………………………………………………………………………7分 所以，连胜两盘的概率为.832121212121=⨯⨯+⨯………………………………10分 12. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球.解： （Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A 、B ，则73)(,73)(481325482325=⋅==⋅=C C C B P C C C A P ∵A 、B 为两个互斥事件 ∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=76即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76…………6分 （Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C ，则P （C ）=1414845=C C 至少摸出一个黑球为事件C 的对立事件其概率为14131411=-………………12分 13. 一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是31.（I ）求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；（II ）求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差.解：（I ）27431)311)(311(=--=P …………………………………………4分 （II ）依题意ξ~),31,6(B ……………………………………………………7分2316=⋅=∴ξE ……………………………………………………………9分34)311(316=-⋅⋅=ξD ……………………………………………………12分14. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差 解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=.27431)311)(311(=⨯--（2）易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD1、 写出下列随机试验的样本空间。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
《概率论与数理统计》练习题(含答案)
《概率论与数理统计》练习题（含答案）一、单项选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图 可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.SABC答案：（B ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（ ）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.答案：（A ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.6. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ ）Y X（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥答案：C 解答：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ ） （A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b == 答案：B 解答：22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有（ ）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == 答案：C解答：()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（ ）（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX 答案：C 解答：[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（ ） （A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 答案：D 解答：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本，为样本均值，则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是（ D ）。
概率统计习题集（含答案）
第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C + C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P AB P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B = B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -= B ．()A B B A -⊃C ．()A B B A -⊂D ．()A B B A -=8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则PA B C -= （）（ ）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.317掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
概率论课后习题解答
一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论习题与答案
概率论习题 一、填空题1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .4、 已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB =5、 已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P A B === 则(|).P B A B ⋃=6、 掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 若,A B 独立，则().P B =8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B =9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 .11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。
那么(|)P C AB = 。
12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,求此人是男性的概率 。
13、将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。
14、把C B A ⋃⋃表示为互不相容事件的和是 。
15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。
二、选择题1、下面四个结论成立的是（ ）.()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A--=-⋃=∅⊂=∅⋃-=-⋃=若且则2、设()0,P AB =则下列说法正确的是（ ）...()0()0.()()A AB B ABC P A P BD P A B P A ==-=和不相容 是不可能事件或3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（ ）1..21211.0.5.21nn A B n n n C D n -++++ 4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有（ ）.()()..()().()()A P AB P A B B AC P A P BD P AB P A ⋃=∈==5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ ）.A P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ) .C P (A )+P (B )=1 .D P (A |B )=06、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ ）.A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ).D P (A ∪B )=17、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =（ ）.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D 0.758、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ ）.A 0.125 .B 0.25 .C 0.375.D 0.509、设事件,A B 互不相容，已知()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =（ ）.A 0.1 .B 0.4 .C 0.9 .D 110、已知事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则下列等式成立的是（ ）.A ()()()P A B P A P B ⋃=+ .B ()1()()P A B P A P B ⋃=- .C ()()()P A B P A P B ⋃= .D ()1P A B ⋃=11、设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则（ ）．.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立.D 事件A 与B 互不独立12、对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=（ ）．.A )()(B P A P - .B )()()(AB P B P A P +- .C )()(AB P A P -.D )()()(B A P A P A P -+13、设A 、B 是两事件，且P （A ）=0.6,P(B)=0.7则P （AB ）取到最大值时是（ ）.A 0.6 .B 0.7 .C 1 .D 0.4214、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。
(完整版)概率练习题(含答案)
概率练习题（含答案）1 解答题有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”；（3）事件“出现点数相等”.答案（1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）（3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）2 单选题“概率”的英文单词是“Probability”，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是1. A.2. B.3. C.4. D.1答案C解析分析：先数出单词的所有字母数，再让字母“b”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．解答：“Probability”中共11个字母，其中共2个“b”，任意取出一个字母，有11种情况可能出现，取到字母“b”的可能性有两种，故其概率是；故选C．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．3 解答题一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球.现从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次.问：（1）取出的两只球都是白球的概率是多少？（2）取出的两只球至少有一个白球的概率是多少？答案（1）取出的两只球都是白球的概率为3/10；（2）以取出的两只球中至少有一个白球的概率为9/10。