第1章真空中静电场2(高斯定理)PPT课件
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大学物理课件高斯定理
§ 5 电场线和电通量
一、电场线 —用来形象描述场强分布的一族空间曲线
方向： 各点的切线方向表示电场中 该点场强的方向 大小： 在垂直于电场线的单位 面积上，电场线的条数 (数密度)等于该点电场 场强的大小。
EA
A B
EB
dS
dN E ( p) ( )p dS
P
电场线的性质： 电场线不会中断。（连续） q 电场线不会相交。（单值） 电场线不会形成闭合曲线，
Q
R
解：电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性。 场具有球对称性。可选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当 r R 时，高斯面内电荷为Q， 1 E dS qint
S
0
2
r
R
E
E dS
s
Q
0
Q
2
E 4r
Q
0
，
Q
高斯面
s
s
0
q
n
i
0 ?
电荷在曲面外： E dS 0
s
S
q
若在曲面内、外都有电荷呢？ 2. 高斯定理
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于 这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。 数学表达式
1 E dS
S
0
q
int
注意：式中的 E 应是高斯面上各处的场强
vn
将通量的概念推广到任意矢量场:
dΦ A dS
1. 点电荷场的通量
高斯面S
以点电荷为中心，作半径为r的 球面S，称为高斯面 通过高斯面的电通量为：
r
q
Φe E dS EdS
一、电场线 —用来形象描述场强分布的一族空间曲线
方向： 各点的切线方向表示电场中 该点场强的方向 大小： 在垂直于电场线的单位 面积上，电场线的条数 (数密度)等于该点电场 场强的大小。
EA
A B
EB
dS
dN E ( p) ( )p dS
P
电场线的性质： 电场线不会中断。（连续） q 电场线不会相交。（单值） 电场线不会形成闭合曲线，
Q
R
解：电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性。 场具有球对称性。可选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当 r R 时，高斯面内电荷为Q， 1 E dS qint
S
0
2
r
R
E
E dS
s
Q
0
Q
2
E 4r
Q
0
，
Q
高斯面
s
s
0
q
n
i
0 ?
电荷在曲面外： E dS 0
s
S
q
若在曲面内、外都有电荷呢？ 2. 高斯定理
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于 这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。 数学表达式
1 E dS
S
0
q
int
注意：式中的 E 应是高斯面上各处的场强
vn
将通量的概念推广到任意矢量场:
dΦ A dS
1. 点电荷场的通量
高斯面S
以点电荷为中心，作半径为r的 球面S，称为高斯面 通过高斯面的电通量为：
r
q
Φe E dS EdS
大学物理--静电场高斯定理PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
S
dS
qi
E
i
4 0r 2
过场点旳高斯面内电量代数和?
r<R qi 0
i
r>R qi Q
i
r< R E 0
r>R
E
Q
4 0r 2
怎样了解面内场强为0 ?
过P点作圆锥
P
dq1
dq2
则在球面上截出两电荷元
dq1 dS1 dq2 dS2
dq1 在P点场强
dE1
dS1 4 0 r12
dlr1 0dl0
dl
当然 也
dl0 r0
r 射线长为
r1
d
dl1
一般旳定义：线段元dl 对某点所张旳平面角
d
dl0
dl
cos
rr
单位：弧度
r 平面角 d dl0 dl cos
rr
立体角
d
面元dS 对某点所张旳立体角：
r1
drlr1 0dl0
dl
dS
锥体旳“顶角”
d
dS1 dS0
对比平面角，取半径为 r1 r1
ds r
l
Eds
例3 金属导体静电平衡时,体内场强到处为0
求证: 体内到处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
E dS 0 由高斯定理
S
qi dV 0
i
V
体积元任取
0
证毕
d 4 0
dq2
在P点场强
dE2
dS2 4 0 r22
d 4 0
dE1 dE2
方向 如图
方向 如图
例2 均匀带电旳无限长旳直线 线密度
对称性旳分析
电通量真空中静电场的高斯定理
高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。
高斯定理1ppt课件
三、高斯定理
1、定理的描述：
在任意静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通
量，等于该曲面所包围电荷的代数和的
1 0
倍。
qi
e EdS
S
i
0
真空中静电场
qi
i
介质中静电场
qi
i
.
自由电荷
自由电荷与介 质极化电荷
2、讨论： （1）高斯定理中的
E是
q
内
和q外
在闭合面上任一
点激发的总电场；
（2）通过闭合曲面的总电通量之决定于它所包围的电荷；
当带电体的分布具有某种对称性时，其在空
间激发的电场也将具有某种对称性，可以选择合
适的高斯面，利用高斯定理求出
E E (x ,y ,z)
.
常见的电量分布的对称性
球对称
柱对称
均 电匀
带
球体 球面 (点电荷)
长
无 限
柱体 柱面 带电线
面对称
无 平板 限 大
平面
.
例1 讨论一个半径为R均匀带电量为Q的 球体的电场分布。
空 0 <r ≤ R 间 R <r <
Q
R
.
（1） R < r <
Q dq1Βιβλιοθήκη O RS1r1
dq2
dE2 P
dE
dE1
.
解：
q0i
EdS i
S
ε0
Q r
S1
方程
左边
S 1E 1dSS 1E 1dS
R
E1Sd 1 S E14πr2
方程 右边
i q 0i Q
ε0
ε0
E1
大学物理高斯定理PPT课件
q1 ε0
E dS
S
qk ε0
S Ei dS 0 0
E dS
i(内) S
i (外)
qk 1
E dS
S
1
ε0
Φe
qi (内)
E dS
1
S
ε0
qi (内)
q1
qi q2
dS E
qi(内) 是指面内电荷代数和。
qn
第21页/共44页
Φe
E dS
1
S
0
n
qi内
i 1
规定：
1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等
于该点电场强度的大小。 E dN / dS
ddSS⊥
E
E
电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。
第5页/共44页
电场线的特性
1） 电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；
1）点电荷位于球面 S 中心
Φe SE dS SEdS cos0
q E 4πε0r 2
E dS
E SdS
q 4πε0r 2
SdS
q 4πr 2 q
4πε0r 2
ε0
q
+ r
S
结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
第18页/共44页
求：平面附近某点的电场强度。
解： 具有面对称性，作闭合圆柱面为高斯面。
Φe
E dS
S
1
0
n
qi
i 1
qk 1
q1 qi
q2 qn
E dS
S
qk ε0
S Ei dS 0 0
E dS
i(内) S
i (外)
qk 1
E dS
S
1
ε0
Φe
qi (内)
E dS
1
S
ε0
qi (内)
q1
qi q2
dS E
qi(内) 是指面内电荷代数和。
qn
第21页/共44页
Φe
E dS
1
S
0
n
qi内
i 1
规定：
1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等
于该点电场强度的大小。 E dN / dS
ddSS⊥
E
E
电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。
第5页/共44页
电场线的特性
1） 电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；
1）点电荷位于球面 S 中心
Φe SE dS SEdS cos0
q E 4πε0r 2
E dS
E SdS
q 4πε0r 2
SdS
q 4πr 2 q
4πε0r 2
ε0
q
+ r
S
结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
第18页/共44页
求：平面附近某点的电场强度。
解： 具有面对称性，作闭合圆柱面为高斯面。
Φe
E dS
S
1
0
n
qi
i 1
qk 1
q1 qi
q2 qn
大学物理 高斯定理PPT课件
由于电场线的连续性可知，穿 入与穿出任一闭合曲面的电通 量应该相等。所以当闭合曲面 无电荷时，电通量为零。
q
④点电荷系的电通量等于在高斯 面内的点电荷单独存在时电通量 的代数和。
设 闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，
同时面外也有多个电荷qk+1-qn 利用场强叠加原理
n
E =
E精选PiPT课件
i1
2
电场线密度:经过电场中任一点， 作一面积元dS，并使它与该点的 场强垂直，若通过dS面的电场线 条数为dN，则电场线密度
E＝ dN dS
可见,电场线密集处电场强度大,电场线稀疏处电 场强度小
精选PPT课件
3
2、几种典型的电场线分布 负点电荷
正点电荷
+
+
精选PPT课件
等量异号点电荷
4
+2q q
精选PPT课件
17
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的
空间分布。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
SE d S E 4r2
q
0
q
E 4 0 r 2
rR时，高斯面无电荷，
E＝0
++ + + q
+ +
Rr
•通过任意闭合曲面的总通量只取决于面内电荷的代数和，而
与面外电荷无关，也与电荷如何分布无关.但电荷的空间分布
会影响闭合面上各点处的场强大小和方向；
•高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产
生的，并非只有曲面内的电荷确定；
•当闭合曲面上各点 E =时0，通过闭合曲面的电通量
高二物理竞赛利用高斯定理求静电场的分布课件(共18张PPT)
讨论：
1、电荷分布无对称性，只用高斯定理能求场强
分布吗？
(x0,y0,z0)
E (x,y,z)?
EdS
S
1 qi 0 (S)
不能。但这不在于数学上的困难。
高斯定理只是静电场两个基本定理之一，与下
面讲的环路定理结合，才能完备描述静电场。
16
2、对所有平方反比的有心力场，高斯定理
都适用。
引通力过场闭场合强曲:面通g 量-:Grm2g rˆdS -4Gm i
场强 E 能否提出积分号 带电体电荷分布的对称性 利用高斯定理求静电场的分布
+
电荷分布球对称 电场分布球对称（场强沿径向，只与半径有关）
场强 E 能否提出积分号
高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算 电力线连续：不会在没有电荷的地方中断
二、 均匀带电球体的电场分布
+
（2）选半径r高h的同轴圆柱面为高斯面
3 0
(r1
- r2 )
3 0
0R
r
【思考】为什么在r = R 处E 不连续？
2
二、 均匀带电球体的电场分布
球体内：
E
1
Qrrˆ r
40R3 30
球体外：
E
E
Q
rˆ
40r2
0R
r
3
三、无限长圆柱面(线电荷密度)的电场分布
解.（1）场强轴对称沿径向
（2）选半径r高h的 同轴圆柱面为高斯面 h
S
r
E
（3）柱面外
S'
E 2 r h E d S E d S h /0
总结：
S
i
场的观点 场强叠加原理
点电荷场叠加（任意电荷分布）电场分布
第一章 静电学的基本规律(高斯定理)讲解
R
drrA r
r
rB
29
例6 求一均匀带电球面的电势分布。
解 由高斯定理知，电场分布为 E
0
1q
1.当r < R 时
Edr
Edr
4πo r2
R
Edr Edr
r
r
r
R
1
R 4π0
q r2
dr
1
4π0
q R
2.当r > R 时
（D）如果高斯面内有净余电荷 ,则穿过高斯面的电通量 必不为零。
（ E）高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。
27
例5 真空中有一电荷为Q，半径为R的均匀带电球面.试求
（1）球面外两点间的电势差； （2）球面内两点间的电势差； （3）球面外任意点的电势； （4）球面内任意点的电势.
o
AB
R
rA
r
rB
q
40r 2
rˆ dS
qds cos 4 0r 2
q d 4 0
E dS
q d
S
S 4 0
q d q
4 0 S
0
在所设的情况下得证
E
dS
qi
i ( S内)
S
0
41
2)源电荷仍是点电荷
dS1
常见的电量分布的很好的对称性：
球对称
柱对称
面对称
均 匀
球体
带 球面
电 的
(点电荷)
无限长的 柱体 柱面 带电线
无限大的 平板 平面
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电通量的基本定义式
6
通过任意面积元的电通量
dEdS
通过任意曲面的电通量：
把曲面分成许多个面积元
每一面元处视为匀强电场
dEdS
S
S
E
dS
S
7
讨论
1) dEdS 有正 有负
正负取决于面元的法线方向的选取
若取如实蓝箭头所 示的法线方向，则 EdS > 0
若取如虚红箭头所 示的法线方向，则
EdS < 0
E
dS
S
物理上有意义的是求通过闭合面的电通量
8
2)通过闭合面的电通量
SEdS
规定：面元方向 ----由闭合面内指向面外
简称外法线方向
Eds<0 电力线穿入
E
Eds >0 电力线穿出
dS
S
dS
几何含义：通过闭合曲面的电力线的净条数 9
三、静电场的高斯定理 1.表述 在真空中的静电场内 任一闭合面的电通量
Qr
S
dS
E
计算通过 球面的电 通量
通过高斯球面任一面元 dS
的电通量是 deEdS
EdS
12
通过高斯球面的电通量
EdS EdS E dS
S
S
S
E4r2
Q 40r2
4r2
Q 0
等于高斯面内电量代数和除以0
2)场源电荷仍是点电荷 但高斯面不包围电荷
电力线连续 通量为零
等于高斯面内电量代数和除以0
E
2π 0r
思考：此例选取的高斯面在解 场中的方便之处 与例1比较
利用高斯定理 解无限长均匀 带电柱面的电 场强度分布
并与无限长均 匀带电直线的 场比较
总结选取高斯面的规律
后面是：静电场 高斯定理的证明结22 束
附录： 高斯定理的立体角法证明 1.介绍立体角的定义 2.证明
23
1.立体角的概念
1)平面角 由一点发出的两条射线之间的夹角
利用高斯定理解
E
较为方便
常见的电量分布的对称性：
球对称
均
匀 带
球体
电 球面
的 (点电荷)
柱对称 无限长 柱体 柱面 带电线
面对称 无限大 平板 平面
15
举例目的： 1)清晰用高斯定理解题的步骤 2)通过解题明确用高斯定理解题的条件 3)简单的解作为基本结论记住
并且能熟练使用。 理论是建立在理想模型之上的
实际情况应怎 样？
2）小结此例选 取的高斯面为 解场带来的方 便之处？
19
如何理解面内场强为0 ? 过P点作圆锥
d q1 P d d q 2
则在球面上截出两电荷元
d q 1d S 1 d q 2d S 2 面元对应当立体角为 d
dq1
在P点场强
dE1
dS1 40r12
d 4 0
方向 如图
d q 2 在P点场强
dS0是以r为半径的圆锥对应的球面元
是面元dS与球面元dS0间的夹角
25
闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos d l 0 2π 弧度
l
lr
l0 r
16
例1 求电量为Q 半径为R 的均匀带电球面的
电场强度分布 解:
第1步：根据电荷分布的对称性
QRor
S
P E
dS
选取合适的高斯面(闭合面)
取过场点P的以球心 o 为心的球面
第2步：从高斯定理等式的左方入手
计算高斯面的电通量
E dS EdS E dS E4πr2
17
S
S
S
EdSE4πr2
2
定量规定：
通过单位垂直面积的电力线条数等于该区
域的电场强度值
即，
E
d dS
dEdS
式中的dΦ称为通过该面积的电通量
3
2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。
由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。
记做 d
设射线长为r ，
d
线段元dl对某点所张的平面角：
r dl0dl
ddl0
r
dl r
cos
单位：弧度
dl0是以r为半径的圆弧
是线段元dl与dl0之间的夹角
24
2)立体角
面元dS 对某点所张的角叫做立体角
即锥体的“顶角”
对比平面角有
d
dS
r dS0
定义式:
ddS0 dScos
r2 r2
单位：球面度
S
第3步：根据高斯定理列方程 解方程
qi
E4πr 2 i
0
qi
E
i
4 0r 2
第4步：求过场点的高斯面内电量代数和
r < R qi 0
i
r > R qi Q
i
QRor P
S
18
第5步：得解
r< R E0
Q
r > R E4π0r2
E
Q 4π0R 2
0
0R
r
均匀带电球面电场分布
思考：
1）球面内场强 为零 到球面外 突变 物理上合 理吗？
3)推广
qi内
E dS i
S
0
Q
S
13
讨论
1)闭合面内、外电荷的贡献 对 E 都有贡 献
对电通量 E dS 的贡献有差别
S
只有闭合面内的电量对电通量有贡献
2)静电场性质的基本方程 有源场
3)源于库仑定律 高于库仑定律
4)微分形式
1
E
0
14
四、高斯定理在解场方面的应用
对电量的分布具有某种对称性的情况下
等于这闭合面所包围的电量的代数和除以0
qi内
E dS i
S
0
E
ds
S
P.23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ附录： 证10明
2. 高斯定理关系式的导出 思路：1）以点电荷场为例
取包围点电荷的高斯面 取不包围点电荷的高斯面 2）推广到一般 推导： 1）场源电荷是电量为Q的点电荷 高斯面包围该点电荷
11
高斯面如图
通过该高斯面的电通量？ 根据电力线的连续性 等于以点电荷为球心的 任意半径的球面的电通量
dE2
dS2 40r22
4 0
d 方向
如图
dE1dE2
20
例2 均匀带电的无限长的直线 线密度
•对称性的分析 •取合适的高斯面
•计算电通量
E
ds
E ds
E ds
E2πrl
S
侧面 两底面
P
r
dE
•利用高斯定理解出E
l
E2πrl
0
E
2π 0r
ds
l
r
ds
E 21
无限长带电直线场的分布是： 家庭作业：
§3 高斯定理 一、电力线 二、电通量 三、静电场的高斯定理 四、 高斯定理在解场方面的应用 附录：静电场高斯定理的证明
1
一、电力线 用一族空间曲线形象描述场强分布 电场线(electric field line)或电力线 1.规定 方向：力线上每一点的切线方向；
大小： 定性 疏密 定量 垂直面积 规定条数
4
二、电通量 通过任意面积的电力线条数叫通过该面的电通量
由电力线的定量规定 有
dEdS
将上式推广至一般面元 若面积元不垂直电场强度
匀强电场
dS
dS
由图可知: 通过 dS和dS电力线条数相同
5
由图可知: 通过 dS和dS电力线条数相同
令 dSdSnˆ
dEdS
EdScos
匀强电场
dS
dS
ds
E
dEdS