高中数学 《函数模型及其应用-3.2.2函数模型的应用实例》说课稿1 新人教A版必修1
3.2.2 函数模型的应用实例（1）从容说课我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课《函数模型的应用实例》主要通过一些实例来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.函数模型的应用实例主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题.例1主要根据题意列出相应的表格，通过表中数据的实际意义解决问题.例2涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，主要意图是让学生利用函数模型（分段函数）刻画实际问题.例3中的数学模型y=y0e rt是指数函数模型，它由y0与r这两个参数决定，而y0与r的值不难得到.本题意图是让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型，并用数学模型解释实际问题.在教学中结合教材内容注重培养学生阅读理解的能力，提高其读图、画图的能力.三维目标一、知识与技能1.能利用给定函数模型解决实际问题.2.通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合.3.增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力.二、过程与方法1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型.2.根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.三、情感态度与价值观应用数学知识解决实际问题.培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务.教学重点根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.教学难点怎样选择数学模型分析解决实际问题.教具准备多媒体课件、投影仪、计数器.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课《函数模型的应用实例》（板书）主要通过一些实例让我们来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.二、例题剖析【例1】某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元. 问（1）第几年后开始获利？（2）当总纯收入获利最大时，以8万元出售该鱼船，问总获利为多少？分析：首先要弄清什么是第几年后开始获利.开始获利指哪一年后，总收入大于成本与各种费用的和，就开始获利.从题目条件中可以知道，每年捕鱼收益是一个常量50万元，而各种费用是逐年增加的，并且第n年的各种费用为12+（n－1）4=4n+8，从中可以看出，从某一年开始，捕鱼收益不够支付费用，即要亏本.可以计算出10年以后如不出售该渔船将会亏本（50＜4n+8），因为这里变量都是整数且数据较小，因此仅列表就能得出相应的结论.（1）由表格可以得到，第3年开始获利.（2）到第10年时，总纯收入获利最大为102+8=110.（注意：最后该船是以8万元出售的）【例2】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.师：先用投影仪投影出图一（将原图中的阴影部分隐去），分析这张图可以得到的是一个速度关于时间变化的图象，说明了速度与时间之间的什么关系？生：汽车在第1小时内以50 km/h的速度匀速行驶；汽车在第2小时内以80 km/h的速度匀速行驶；汽车在第3小时内以90 km/h的速度匀速行驶；汽车在第4小时内以75 km/h的速度匀速行驶；汽车在第5小时内以65 km/h的速度匀速行驶.师：再用投影仪投影图二，（给出一个阴影矩形的面积，通过分析，让学生理解它的意义；我们知道这个阴影部分的面积（S=速度×时间）为50，它表示的是汽车在第1小时内行驶的路程为50 km.以此我们可以得出第2、3、4、5个阴影部分的面积分别为80、90、75、65，它们分别表示的是汽车在第2、3、4、5小时内行驶的路程.因此，整个阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程之和为360 km. 对于第2个问题，通过对图形的分析，可以看出：汽车在第1小时内以50 km/h 的速度匀速行驶；所以其行驶的路程与时间的函数关系是s ′=50t （0≤t ＜1）.因此第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为 s =s ′+2004=50t +2004（0≤t ＜1）.第2小时，该汽车以80 km 的速度匀速行驶.因此第2小时内，汽车行驶的路程与时间的函数关系为s ′=50+80（t －1）（1≤t ＜2）. 第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为 s =s ′+2054=80（t －1）+2054（1≤t ＜2）. 以此类推，（让学生自主完成）可以得出s =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ 例2所涉及的数学模型是确定的，关键在于利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，让学生学会如何用函数模型来刻画实际问题.这里我们得到的是一个分段函数的模型，让学生注意分段函数的表示方法，及其定义域.学时探究：你能根据图一，作出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？ （1）首先获得路程关于时间变化的函数解析式 s =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ （2）根据上面的函数解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象，其实这个图象就是将图二向下平移了2004个单位.【例3】 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y =y 0e rt，其中t 表示经过的时间，y 0表示t =0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国人口数据资料：50t ， 0≤t ＜1， 80（t －1）+50，1≤t ＜2， 90（t －2）+130，2≤t ＜3， 75（t －3）+220，3≤t ＜4， 65（t －4）+295，4≤t ≤5.50t +2004， 0≤t ＜1， 80（t －1）+2054，1≤t ＜2， 90（t －2）+2134，2≤t ＜3， 75（t －3）+2224，3≤t ＜4， 65（t －4）+2299，4≤t ≤5.（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国人口达到13亿？并根据所得结论，总结说明了什么问题.分析：这里要我们去验证问题中的数据与所提供的函数模型是否吻合，然后再利用函数模型解释实际问题，并利用模型进行预测.这里的函数模型y =y 0e rt是指数型函数模型，它由y 0与r 两个参数决定，实际上，y 0就是1950年的人数，r 是指各年的人口增长率的平均值，比较容易求得.解：（1）设1950～1959年的人口增长率分别为r 1，r 2，…，r 9. 由55196（1+r 1）=56300，可得1951年的人口增长率r 1≈0.0200. 同理可得，r 2≈0.0210，r 3≈0.0229，r 4≈0.0250，r 5≈0.0197，r 6≈0.0223，r 7≈0.0276，r 8≈0.0222，r 9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为 r =（r 1+r 2+…+r 9）÷9≈0.0221.由y 0=55196可得我国在1950～1959年期间的人口增长模型为 y =55196e 0.0221t （t ∈N ）.（请同学们利用计数器作出函数y =55196e 0.0221t（t ∈N ）的图象，再根据表中1950～1959年人口数据，作出散点图（如下图），并进行比较，得出相应的结论）由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.（2）师：根据所得函数模型y =55196e 0.0221t（t ∈N ）预测我国人口大约在哪一年达到13亿，实际上是通过一个对数式55196e 0.0221t=130000来确定t 的近似值.请同学们利用计数器进行计算：即t =22110000（ln130000－ln55196）≈38.76. 因此如果按表中的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口数就已达到13亿，由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.三、课堂练习1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿，而2003年世界人口还没有达到72亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？2.以v 0 m/s 的速度竖直向上运动的物体，t s 后的高度h m 满足h =v 0t －4.9t 2，速度v m/s 满足v =v 0－9.8t .现以75 m/s 的速度向上发射一发子弹，问子弹保持在100 m 以上高度的时间是多少秒？在此过程中，子弹速度的范围是多少？答案：1.（1）由y =5e 0.003t可知，当y =10时，t ≈231，所以1881年世界人口是1650年的2倍.同理可得2003年世界人口是1970年的2倍.（2）由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.2.由题意有75t －4.9t 2=100，解得t =9.425.6075⨯±.解得t 1≈1.480，t 2≈13.827.所以子弹保持在100 m 以上的时间t =t 2－t 1≈12.35，在此过程中，子弹最大速度v 1=v 0－9.8t =75－9.8×1.48=60.498 m/s.四、课堂小结本节课我们主要通过收集数据，作出散点图，然后通过观察图象判断问题适用的函数模型，利用计数器或计算机的数据拟和功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.值得注意的是用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对函数模型进行修正.五、布置作业课本P 126页习题3.2A 组第4、6、7题.板书设计3.2.2 函数模型的应用实例（1）例1 例2 例3课堂小结与布置作业。
高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例讲义教案 新人教A版必修1
学习资料3.2。
2 函数模型的应用实例学习目标核心素养1.会利用已知函数模型解决实际问题．（重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点）3．了解拟合函数模型并解决实际问题．（重点）通过本节内容的学习,使学生认识函数模型的作用,提升学生数学建模、数据分析的素养.1．常用函数模型常用函数模型（1）一次函数模型y＝kx＋b(k,b为常数，k≠0)（2）二次函数模型y＝ax2＋bx＋c（a,b，c为常数，a≠0）(3)指数函数模型y＝ba x＋c（a，b，c为常数，b≠0,a>0且a≠1）（4）对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数,m≠0,a〉0且a≠1)(5）幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数模型y＝错误!思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；（四)还原．这些步骤用框图表示如图：1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(）x 45678910y 15171921232527C．指数函数模型D．对数函数模型A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A。
］2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x(年）的关系为y＝a log2（x＋1）,若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到（）A．300只B．400只C．600只D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1）得，100＝a log2（1＋1），解得a＝100。
所以x ＝7时，y＝100log2(7＋1）＝300.］3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0。
8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0。
高中数学 《函数模型及其应用-3.2.2函数模型的应用实例》说课稿2 新人教A版必修1
3.2.2 函数模型的应用实例（2）从容说课本节课是在上一节课的基础上进一步研究函数模型的应用，让学生不仅能够应用已知的函数模型解决问题，并且还要能够在面临实际问题时，通过有关数据自己建立函数模型来解决实际问题，并加以检验.例1给出的数据具有很强的规律性，它体现的是在理想状态下的数据，通过这些数据所抽象出的函数模型是固定的，相对比较容易，教学时注重引导学生分析问题所提供的数据的特点，再抽象出函数模型；值得注意的是变量的变化范围要符合实际情况.例2中的数据是通过实际测量得到的，它的规律一般不是很明显，主要引导学生通过计算器，画出散点图，然后进行观察比较所作的散点图与哪类函数模型比较接近，从而选择这个函数模型，并注意对模型的修改.通过两节课的几个例子，引导学生回顾问题的特点，以及解决问题的过程与方法，加以总结：根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程：三维目标一、知识与技能1.能根据理想状态下的数据特点，建立函数模型解决实际问题.2.能利用计算器，通过表格画出散点图，进行比较选择函数模型，并能加以修改.3.根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题的基本方法”.二、过程与方法1.对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际意义抽象出函数模型，并注意变量的变化范围.2.针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图，比较抽象出函数模型，这里将学生分成几组，分别从不同的数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的函数模型.三、情感态度与价值观通过对函数模型在实际问题中的应用举例，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新精神和实践能力.教学重点根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题的基本方法”.教学难点对抽象出的函数模型与根据实际数据画出的散点图进行比较，并加以修改.教具准备多媒体课件、投影仪、计数器.教学过程一、创设情景，引入新课师：上一节课我们研究了一些简单函数模型的应用，但是我们不仅要能够应用已知的函数模型解决问题，而且还要能够在面临实际问题时，通过收集到数据自己建立函数模型来解决实际问题.本节课主要通过两个具体的实例去感受如何收集数据，建立适当的函数模型，解决实际问题，同时研究总结它的基本过程.二、例题剖析【例1】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？师：根据上表，我们发现，表中的数据具有很强的规律性，具体体现在哪里.这张表反映了销售单价与日均销售量的什么关系？获得的利润指的是什么？生：当销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，获得利润=日均销售利润－日固定成本（200）.解：设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量就为480－40（x－1）=520－40x（桶）.（在实际问题中应注意变量的变化范围）由x＞0，且520－40x＞0 0＜x＜13.所以y=（520－40x）x－200=－40x2+520x－200 （0＜x＜1）.易知当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.从例1中的数据可以看出它的变化是很有规律性的，它体现的是一种理想状态下的数据，对于这类问题抽象出函数模型比较容易，而且列出的函数模型应该是固定的，但是在现实生活中，一般都是通过实际测量所得数据解决实际问题，它的规律一般不是很明显，我们必须通过计算器加以解决.（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？分析：这里只给了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.师：请同学们根据这些数据画出散点图，再进行观察和思考，所作的散点图与已知的哪一个函数图象最接近，从而选择函数模型.通过散点图，发现指数型函数y=a·b x的图象可能与散点图的吻合较好，而函数y=a·b x 中只有两个待定参数a、b，故只需选取两组数据就能求出a、b的值.但是这里共有12组数据，是否任取两组数据，得到的a、b的值相同呢？将学生分成8组，分别给予两组数据计算a 、b 的值，通过计算器看计算a 、b 的结果是否相同，再同散点图进行比较是否吻合，从中选出最接近的函数模型.课堂上先选取（60，6.13）、（70，7.90）这两组数据，可以用计算器得出a =1.338，b =1.026从而函数的解析式为y =1.338×1.026x，同时画出这个函数图象与散点图，我们发现，函数y =1.338×1.026x 不能很好地反映该地区未成年人体重与身高的关系.课后请同学们自己选择两组数据进行研究，直至得到自己较为满意的函数的模型.在教科书上选取的是（70，7.90），（160，47.25）两组数据，计算出a ≈2，b ≈1.02.从而得到函数模型y =2×1.02x，同时画出这个函数图象与散点图.我们发现，散点图上的点基本上在或接近函数y =2×1.02x 的图象，所以函数y =2×1.02x能较好地刻画该地区未成年人体重与身高的关系.（2）将x =175代入y =2×1.02x ，得y =2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22＞1.2. 所以这个男生偏胖.从例2我们可以看出从实际测量所得的数据抽象出函数模型的应用问题比较困难，尤其要注意如何选择更精确的数学模型，如果能很好地运用计算器的的拟合功能，那么获得的函数模型更精确.从以上例题我们可以得到：根据收集到的数据建立函数模型，解决实际问题的基本过程. 三、课堂练习1.某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.（1）分别求出总成本y 1、单位成本y 2、销售总收入y 3、总利润y 4与总产量x 的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析.解：（1）y 1=150+0.25x ，y 2=xx25.0150+，y 3=0.35x ，y 4=0.1x －150. （2）当x ＜1500时，该公司亏本；当x =1500时，该公司不赔不赚； 当x ＞1500时，该公司赢利.2.不打开降落伞，跳伞运动员离开飞机后，第1 s 下落约5 m ，第2 s 下落约15 m ，第 3 s 下落约25 m ，如果跳伞运动员从离地面1800 m 的高空跳伞，并准备在距地面200 m 时打开降落伞，那么跳伞运动员应在离开飞机多少秒后打开降落伞?（精确到0.1 s ）解：运动员在离开飞机x s 后下落的距离y 为y =5x 2. 由题意知y =1600，解得x ≈17.9.跳伞运动员应在离开飞机后约17.9 s 时打开降落伞.3.某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、61、68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y =ax 2+bx +c ，乙选择了模型y =pq x+r ，其中y 为患病人数，x 为月份数，a 、b 、c 、p 、q 、r 都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为74、78、83，你认为谁选择的模型较好？解：由⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3968246152⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=.41,12,1c b a所以甲函数模型为y =－x 2+12x +41.当x =4时，y =73；当x =5时，y =76；当x =6时，y =77与实际结果相差较大.由⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+⋅=+⋅=r q p r q p r q p 32686152⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.2185,14729,97r q p所以乙函数模型为y =－14729（97）x+r . 当x =4时，y ≈74；当x =5时，y ≈78，当x =6时，y ≈82.与实际结果非常接近.因此选择乙模型较好.三、课堂小结本节课我们主要通过收集数据，作出散点图，然后通过观察图象抽象出函数模型，利用计数器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.四、布置作业课本P 126习题3.2A 组第8、9题；B 组第2、3题. 板书设计3.2.2 函数模型的应用实例（2）例1 例2三、课堂小结与作业布置。
高中数学3.2.2函数模型的应用实例第1课时教学设计新人教A版必修1-经典通用宝藏文档
函数模型的运用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的运用实例的第一课时。
经过对例3，例4的教学让先生学习领会利用已知的函数模型解决成绩和建立确定的函数模型解决理论成绩，进而掌握建立数学模型解决理论成绩的普通步骤。
二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，发掘隐含条件，建立函数模型；2.领会分段函数模型的理论运用，规范分段函数的标准方式；3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与理论情况能否吻合的方法及运用数学模型进行预测。
5.会利用建立的函数模型解决理论成绩，掌握求解函数运用题的普通步骤；6.培养先生浏览理解、分析成绩、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.经过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养先生读图的能力；2.经过实例使先生感受函数的广泛运用，领会建立函数模型解决理论成绩的普通过程；3.浸透数形结合、转化与化归等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.经过切身感受数学建模的过程，让先生体验数学在理论生活中的运用，领会数学来源于生活又服务于生活，体验数学在解决理论成绩中的价值和作用，激发学习数学的兴味与动力，加强学好数学的认识。
2.培养先生的应意图识、创新认识和勇于探求、勤于考虑的精神，优化先生的理性思想和求真务虚的科学态度。
三、教材分析本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决理论成绩；例4 是利用已知的确定的函数模型解决理论成绩，并验证求解出的数学模型与理论情况的吻合程度及用数学模型进行预测。
分别在汽车和人口成绩这两种不同运用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决理论成绩.教学重点1.根据图形信息建立函数模型解决理论成绩.2.用待定系数法求解函数模型并运用.3.将理论成绩转化为数学成绩的过程。
高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例教案 新人教A版必修1
课题：函数模型的应用实例（Ⅰ）课型：新授课教学目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.教学重点与难点：1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2.教学难点：将实际问题转变为数学模型.学法与教学用具1.学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2.教学用具：多媒体教学过程（一）创设情景，揭示课题引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.（二）结合实例，探求新知例1.某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程.老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？2）本例涉及到几个函数模型？3）如何理解“更省钱？”；4）写出具体的解答过程.在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。
高中数学3.2.2函数模型的应用举例(1)教案新人教版必修1
322 （1）函数模型的应用实例（教学设计）教学目标：知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.情感、态度、价值观体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值.教学重点难点：重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题.难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.一、新课引入：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？原来孙子提出了大胆的设想。
分析解答：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”。
这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47—35=12;鸡数就是：35 - 12=23。
激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.二、师生互动，新课讲解：例1（课本P102例3）•一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.1）写出速度v关于时间t的函数解析式；2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象；3）求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.探索：1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？本例所涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型.此题的主要意图是让学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题.50t2004,0t 180(t1)2054, 1 t2(1)获得路程关于时间变化的函数解析式：s 90(t2)2134, 2 t375(t3)2224, 3 t465(t4)2299, 4 t 5.(2)根据解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象.例2 (课本P103例4).人口问题是当今世界各国普遍关注的问题•认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据•早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：rty y o e其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.(精确到0.0001 ),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探索：1) 本例中所涉及的数量有哪些？2) 描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3) 根据表中数据如何确定函数模型？4) 对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？本例中，数学模型y y°e n是指数型函数模型，它由y。
高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例教案精讲 新人教A
3．2.2 函数模型的应用实例[读教材·填要点]函数模型的应用(1)用已知的函数模型刻画实际问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，其基本过程如图所示：[小问题·大思维]1．在实际问题中常用的函数模型如下表所示，你能写出它们对应的解析式吗？ 提示：函数模型 解析式 正比例函数模型f (x )＝kx(k 为常数，k ≠0)一次函数模型 二次函数模型f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)对数函数模型 幂函数模型提示：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0) 反比例函数模型f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1) f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)2．在利用上述函数模型解决问题时，函数的定义域除了使函数解析式有意义之外，还需注意什么？提示：实际问题有意义．例如：“非负”，“取整”，“上、下限”等．已知函数模型的应用题[例1] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示．(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)[自主解答] (1)由图1可得，市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300.由图2可得，种植成本与时间的函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0≤t ≤200时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以，当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100， 所以，当t ＝300时，h (t )取得区间[200,300]上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t ＝50, 即从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大．——————————————————求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：图表中的第一步：实际问题――→分析、联想抽象、转化建立函数模型，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学转化；第二步：建立函数模型――→数学推演数学结果，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：数学结果――→反译实际结果，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论．——————————————————————————————————————1．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分 0.598 超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为：50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)；低谷时间段100千瓦时的用电电费为：50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．合计：148.4(元)．答案：148.4指数函数、对数函数及幂函数模型[例2] 某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年收回本金和利息；另一种是年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？并求比另一种投资5年可多得利息多少元？[解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150万元．本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86万元．由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．——————————————————指数函数、对数函数的应用常与增长率相结合进行考查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·1＋p x其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间的形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.——————————————————————————————————————2．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级．(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？解：(1)M ＝lg A －lg A 0＝lg AA 0＝lg 200.002＝4. 即这次地震的震级为4级．(2)⎩⎪⎨⎪⎧5＝lg A 5－lg A 08＝lg A 8－lg A 0，lg A 8A 5＝3，A 8A 5＝1 000. 即所求是1 000倍．拟合函数模型的建立及应用[例3] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm 与当年灌溉面积y hm 2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序 最大积雪深度x /cm灌溉面积y /hm 21 15.2 28.6 2 10.4 21.13 21.2 40.54 18.6 36.65 26.4 49.86 23.4 45.07 13.5 29.28 16.7 34.19 24.0 45.8 1019.136.9(1)描点画出灌溉面积y hm 2随积雪深度x cm 变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y ＝f (x )，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm ，则可以灌溉土地多少公顷？ [自主解答] (1)描点作图如图甲：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性函数模型y ＝ax ＋b .取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)，代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝10.4a ＋b ，45.8＝24.0a ＋b ，用计算器可算得a ≈1.8，b ≈2.4.这样，我们得到一个函数模型y ＝1.8x ＋2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y ＝1.8×25＋2.4，求得y ＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4 hm 2.——————————————————对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是：1根据原始数据，绘出散点图.2通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. 3根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据. ——————————————————————————————————————3．某汽车公司曾在2013年初公告：2013年销量目标定为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．2010年，某汽车年销量8万辆； 2011年，某汽车年销量18万辆； 2012年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2010,2011,2012,2013年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b >0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与第x 年的关系？解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x＋c ，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·(65)x－42，故g (4)＝1253×(65)4－42＝44.4，与计划误差为5.1.由上可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系.解题高手 妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！图(1)是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图(2)是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧Cm D 是半圆，曲边形ABCD 的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3，设AB ＝2x ，BC ＝y .(1)写出y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度最大．[巧思] 凹槽的强度最大，即横截面的面积最大．只要将凹槽横截面的面积S 表示成x 的函数，然后求函数的最值即可解决．[妙解] (1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ，∴4＝2x ＋2y ＋πx ，∴y ＝4－2＋πx 2.依题意知：0<x <y ，得0<x <44＋π， ∴y ＝4－2＋πx 2(0<x <44＋π)．(2)依题意，设凹槽的强度为T ，横截面的面积为S ，则有T ＝3S ＝3(2xy －πx22)＝3(2x ·4－2＋πx 2－πx 22)＝3[4x －(2＋3π2)x 2]＝－34＋3π2(x －44＋3π)2＋834＋3π.∵0<44＋3π<44＋π，∴当x ＝44＋3π时，凹槽的强度最大．1．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝(0.957 6)x100B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝(0.957 6100)xD ．y ＝1－(0.042 4)x100解析：设镭一年放射掉其质量的t %，则有95.76%＝1·(1－t )100，t ＝1－(95.76100)1100，∴y ＝(1－t )x＝(0.9576)x100.答案：A2．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )解析：从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A ；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B ；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.答案：C3．一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )解析：水深h 越大，水的体积V 就越大，故函数V ＝f (h )是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的．答案：D4．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出以后的头两天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在租出后的第10天应收租金________元．解析：设第n (n ∈N *)天收费y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.8n ， n ≤2且n ∈N*1.6＋0.5n －2，n ≥3且n ∈N*n ＝10时，y ＝1.6＋0.5×8＝5.6(元)．答案：5.65.如图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2分钟，需付电话费________元；通话5分钟，需付电话费________元；如果t ≥3分钟，电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式是________．解析：t＝2时，y＝3.6，t＝5时，y＝6.当t≥3时，设y＝kt＋b.代入(3,3.6)，(5,6)得k＝1.2，b＝0，∴y＝1.2t(t≥3)．答案：3.6,6，y＝1.2t(t≥3)6．在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？解：设每件棉衣日租金提高x个5元，即提高5x元，则每天棉衣减少6x件，又设棉衣日租金的总收入为y元．∴y＝(50＋5x)×(120－6x)．∴y＝－30(x－5)2＋6 750∴当x＝5时，y max＝6 750，这时每件棉衣日租金为50＋5x＝50＋5×5＝75元．∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元．一、选择题1．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )解析：图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．答案：B2．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的13以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.477 1)( )A．10 B．11C．12 D．13解析：设原光线的强度为a，重叠x块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y，则y＝a(1－110)x (x ∈N *)， 令y <13a ，即a (1－110)x <13a ，∴(910)x <13，∴x >lg 13lg 910. ∵lg 13lg 910＝－lg32lg3－1＝－0.477 12×0.477 1－1≈10.4.即x >10.4. 答案：B3．令有一组实验数据如下表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是( ) A ．u ＝log 2t B ．u ＝2t－2 C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，排除B ，故选C.答案：C4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )A ．人可在7秒内追上汽车B ．人可在10秒内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5米D ．人追不上汽车，其间距最少为7米解析：设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7. 答案：D 二、填空题5.对某种产品市场产销量情况如图所示，其中l 1表示产品各年年产量的变化规律；l 2表示产品各年的销量情况，下列叙述：①产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原计划进行生产； ②产品出现了供大于求的情况，价格将趋跌；③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量．你认为较合理的叙述是________．解析：由图可知，对相同的年份，年产量>销售量，即出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重，因而②③正确，这种情况下不宜再按原计划生产，故①不正确．答案：②③6.如图，开始时桶1中有a 升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a ·e －nt(n 为常数，t 为注水时间)，那么桶2中的水就是y 2＝a －a ·e－nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，那么经过________分钟桶1中的水只有a8.解析：由于t ＝5时两桶中的水相等， 所以a ·e－n ×5＝a －a ·e－n ×5，所以(e －n )5＝12，即e －n＝(12)15.由条件可得a ·e－nt＝a8，即(12)t 5＝(12)3，所以t ＝15. 答案：157．某地2002年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2013年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7)．解析：设平均每年新增住房面积为x 万平方米，则 500×6＋11x5001＋1%11≥7，解得x ≥82.27≈82.答案：828.2011年1月29日广州日报：香港出现了第2宗甲型H1N1死亡病例．为了预防甲型H1N1流感，某学校教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比．药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：(1)由图可设y ＝kt (0≤t ≤0.1)，把点(0.1,1)分别代入y ＝kt 和y ＝(116)t －a，得k ＝10，a ＝0.1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ， 0≤t ≤110，116t －0.1， t >110，(2)由(116)t －0.1<0.25＝(116)12得t >0.6.答案：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ， 0≤t ≤110116t －0.1， t >110(2)0.6 三、解答题9．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y 甲、y 乙与购买台数x 之间的函数关系式； (2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？解：(1)y 甲＝⎩⎪⎨⎪⎧6 000x0≤x ≤10，4 200x ＋18 000 x ≥11，y 乙＝5 100x (x ∈N )，(2)当x ≤10时，显然y 甲＞y 乙；当x ＞10时，令y 甲＞y 乙，即4 200x ＋18 000>5 100x ， 解得：x ＜20.故当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．10．2013年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式； (2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元； (3)求第八个月公司所获利润是多少万元？解：(1)由二次函数图象可知，设S 与t 的函数关系式为S ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，25a ＋5b ＋c ＝2.5，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，c ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－1.5，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝0.无论哪个均可解得a ＝12，b ＝－2，c ＝0；∴所求函数关系式为S ＝12t 2－2t ；(2)把S ＝30代入，得30＝12t 2－2t ，解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)，∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元； (3)把t ＝7代入，得S ＝12×72－2×7＝212＝10.5(万元)，把t ＝8代入，得S ＝12×82－2×8＝16(万元)．则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)， ∴第8个月公司所获利润为5.5万元．。
高中数学新人教A版必修1第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例
由题意:v2-v1=1,
2
1
1
− log3 1 = 1.
2
100 2
100
1
log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q 1.
2
1
1
即 log3
∴
故鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的 9 倍.
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
回到实际,检验问题结果.
【做一做1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所
示,那么图象所对应的函数模型是(
)
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
答案:A
【做一做 2】 已知大气压强 p(单位:百帕)与海拔高度 h(单位:
反比例函数模型
f(x) = (k 为常数,k≠0)
一次函数模型
f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=a·bx+c(a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1)
对数函数模型
f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,
M(单位:亿元)和 N(单位:亿元),它们与投资额 t(单位:亿元)的关系有
经验公式:M=
1
3
1
6
,N= . 今该公司将用3 亿元投资这两个项目,若
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1
§3.2.2 函数模型的应用实例一、教学目标：1. 知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题. 2．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.3．情感、态度、价值观体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、教学重难点1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2. 教学难点：将实际问题转变为数学模型.三、教学准备1. 学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2. 教学用具：多媒体四、教学过程（一）新课引入到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？大家首先来看一个例子（二）探求新知例1.（P102 例3）探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程.老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。
另外，在本题中我们用到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻画现实问题的重要模型。
大家在运用分段函数的时候要注意它的定义域。
那么应该如何解函数的应用问题呢？例2．（P103 例4）在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。
因此，往往需要对模型进行修正。
课堂练习1（1）一个月内通话多少分钟，“全球通”与“神州行”通讯费相同？（2）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种通讯方式合算？根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析. 课堂练习2（三）课时小结引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：1）合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题：2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.（四）布置作业P121 习题3.2 A组第6题五、板书设计六、课后反思§3.2.2 函数模型的应用实例1、新课引入；2、分析例1和例2；3、课堂练习1和2；。
高中数学 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用实例教学设计 新人教A版必修1
3.2.2 函数模型的应用实例整体设计教学目标知识与技能：(1)通过实例“汽车的行驶规律”，理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力．(2)通过“马尔萨斯的人口增长模型”，使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．过程与方法：在实际问题的解决中，发展学生科学地提出问题、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系．情感、态度与价值观：通过学习，体会数学在社会生活中的应用价值，培养学生的兴趣和探究素养．重点、难点教学重点：分段函数和指数型函数的应用．教学难点：函数模型的体验与建立．教学过程导入新课思路1．(情境导入)在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们几乎占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．与之相应，图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在有限制的环境中，种群数量一般符合对数增长模型．上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．思路2.(直接导入)上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．推进新课新知探究提出问题(1)我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)，试求f (x )和g (x )．(2)A ，B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处的D 地建一核电站，给A ，B 两城供电，为保证城市安全．核电站距城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域．(3)分析以上实例属于那种函数模型． 讨论结果：(1)f (x )＝5x (15≤x ≤40)；g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤30，2(x －30)＋90，30<x ≤40.(2)y ＝5x 2＋52(100—x )2(10≤x ≤90)．(3)分别属于一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型．应用示例例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图1所示．图1(1)求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s (km)与时间t (h)的函数解析式，并作出相应的图象．活动：学生先思考讨论，再回答．教师可根据实际情况，提示引导．图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不同，汽车里程表读数s (km)与时间t (h)的函数为分段函数．解：(1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.(2)根据图1，有s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t ＋2 004，0≤t <1，80(t －1)＋2 054，1≤t <2，90(t －2)＋2 134，2≤t <3，75(t －3)＋2 224，3≤t <4，65(t －4)＋2 299，4≤t ≤5.这个函数的图象如图2所示．图2图3两种优惠方案所对应的函数解析式：20010031010010x x x ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，，－，，g (x )＝500500()3100500.10x g x x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，，，效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.M a lthus，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0e rt，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料：用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，r3，…，r9.由55 196(1＋r1)＝56 300，可得1951年的人口增长率为r1≈0.020 0.同理可得，r2≈0.021 0，r3≈0.022 9，r4≈0.025 0，r5≈0.019 7，r6≈0.022 3，r7≈0.027 6，r8≈0.022 2，r9≈0.018 4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 1.令y0＝55 196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.022 1t，t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55 196e0.022 1t(t∈N)的图象(图4)．图4由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．(2)将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 1t，由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑平均每台的生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价．从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低．到1997年，尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．(1)求1997年每台A型电脑的生产成本；(2)以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数．(精确到0.01，以下数据可供参考：5＝2.236，6＝2.449)活动：学生先思考讨论，再回答．教师根据实际情况，提示引导． 出厂价＝单位商品的成本＋单位商品的利润．解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x 元，依题意，得x (1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得x ＝3 200(元)．(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y ，则依题意，得5 000(1－y )4＝3 200，解得y 1＝1－255，y 2＝1＋255(舍去)．所以y ＝1－255≈0.11＝11%， 即1997年每台电脑的生产成本为3 200元，1993年至1997年生产成本平均每年降低约为11%.点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关联性．拓展提升某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品的生产方案：准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：(以千元为单位)解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，每周产值为f 千元，则f ＝4x ＋3y ＋2z ，其中⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝360，12x ＋13y ＋14z ＝120，x ≥0，y ≥0，z ≥60，①②③由①②可得y ＝360－3x ，z ＝2x ，代入③得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，360－3x ≥0，2x ≥60，则有30≤x ≤120.故f ＝4x ＋3(360－3x )＋2·2x ＝1 080－x ，当x ＝30时，f max ＝1 080－30＝1 050. 此时y ＝360－3x ＝270，z ＝2x ＝60.答：每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元．点评：函数、方程、不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体．请同学们借助上面的实例细心体会．课堂小结本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数、方程、不等式之间的相互关系．活动：学生先思考讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．作业课本习题3.2A组5,6.设计感想本节设计从有趣的故事开始，让学生从故事中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型．接着通过最新题型，训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题．本节的每个例题的素材贴近现代生活，都是学生非常感兴趣的问题，很容易引起学生的共鸣．第2课时作者：王仁海，瓯海中学教师，本教学设计获浙江省教学设计大赛省一等奖．整体设计教学分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》第三章的“3.2.2函数模型的应用实例”，即建立拟合函数模型解决实际问题．函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，它主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，建立拟合函数模型解决实际问题．而建立拟合函数模型解决实际问题是其重点，也是难点．函数模型的应用教学，既有不可替代的位置，又有重要的现实意义．本节通过实例来说明函数模型的应用，是因为函数模型本身就来源于现实，能给学生提供更多从实际问题中发现或建立数学模型的机会，并体会数学在实际问题中的应用价值．因此在中学教学中有重要的地位．学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了函数的图象和性质，理解了函数的图象与性质之间的关系，尤其是学习了3.2.1几类不同的函数增长模型和3.2.2函数模型的应用实例．学会了如何利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，已经具备了一定的函数模型应用能力．这为理解建立拟合函数模型解决实际问题提供了基础，也为深入理解如何建立合适的拟合函数模型提供了依据．但学生对于动态数据认识薄弱，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生选择合适的模型造成一定的困难．因此，在教学时应该为学生创设熟悉的问题情境，充分利用学生熟悉的函数图象来选择合适的模型．引导学生观察、计算、思考和理解问题的本质．教学目标知识与技能：了解函数拟合的基本思想，学会建立拟合函数模型解决实际问题．过程与方法：借助信息技术，利用数据画出函数图象，从拟合简单的一次函数模型入手，掌握多角度观察函数图象的技能，探究出各种合适的拟合函数模型．在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想．情感、态度与价值观：体验探究的乐趣，体验函数是描述变化规律的基本数学模型，培养学生分析解决问题的能力．重点与难点重点：将实际问题化为函数模型，建立合适的拟合函数模型解决简单的实际问题．难点：如何建立适当的函数模型来解决实际问题．教学过程设计思想一、创设应用情境，引出问题前面我们学习过两种函数模型的应用，分别是利用给定函数模型解决实际问题，建立确定性的函数模型解决问题，那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下，又该如何解决实际问题呢？二、组织探究例 1 下表是我校从实施研究性学习以来，高一年级段学生的研究性学习小论文在我市每年一次的评比中获奖的相关数据.析式．设计意图以学生熟悉的实际问题为背景，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值．探究：(1)组织学生读、议，小组讨论该如何分析题目？①列表②描点图1③根据点的分布特征，可以考虑以一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)作为描绘篇数与年份的变化趋势．取(1,14)，(4,35)，有⎩⎪⎨⎪⎧14＝k ·1＋b ，35＝k ·4＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7，b ＝7.这样，我们就得到函数模型y ＝7x ＋7.作出此模型函数图象如下：图2根据上述图象，我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映我校获奖篇数与年份的变化趋势.图3确定函数模型由前三组数据，用计算器确定函数模型：＋12x＋41；图4可见，乙同学选择的模型较好.此变式训练是为进一步巩固例1的拟合函数思想，培养学生的应用数学意识与提高解决问题能力．例2 我校不同身高的男、女同学的体重平均值如下表：体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高的同学体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常？设计意图本例题以学生熟悉的问题出发再创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生构建自身基础上的“再创造”，并通过小组合作学习，培养学生解决问题的能力，应用数学的意识．问题(1)的探究：①通过学生自主活动分析数据，发现本题只给出了通过测量得到的数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．②教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机，画出它们的散点图．教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型．图5由图可发现指数型函数y＝a×b x的图象可能与散点图的吻合较好，可选之．③教师再问：如何确定拟合函数模型中a，b值．④教师把学生每4人分成一小组合作探究，求出拟合函数模型中a，b的值，然后画出图形，得到的拟合函数效果如何？⑤教师下去巡视后，请小组中的1名成员上台到实物投影处讲解．组1：选取(168,61.4)，(172,66.2)两组数据，用计算器算出a＝2.6，b＝1.019.这样得到函数模型为y＝2.6×1.019x，画出这个函数的图象与散点图．图6我们发现，函数y＝2.6×1.019x不能很好地反映我校学生身高与体重关系．组2：选取(154,46.5)，(168,61.4)两组数据，用计算器算出a＝2.2，b＝1.02.这样得出函数模型为y＝2.2×1.02x，画出这个函数的图象与散点图．图7我们发现，散点图上的点基本上或大多数接近函数y＝2.2×1.02x的图象，所以函数y ＝2.2×1.02x很好地刻画了我校学生身高与体重的关系．教师引导学生回顾问题的特点及解决问题的过程与方法．本题需要判断选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样，需不断修正．当然本题若运用计算器或计算机的拟合功能，那么获得的函数模型会更精确，下课后同学们自己试一试，并且本例题体现了一个完整的建立函数模型进而解决问题的过程．在教师引导下，请一学生归纳解决问题的基本过程：设计意图引导学生进行反思和总结，并将之一般化，用流程的形式表达出来，培养了学生的反思能力及总结提升的能力．问题(2)探究：由于是研究学生自身的体重问题，因而学生的兴趣很高，每人很快都编好了自己的问题，解答起来．如一男生身高175 cm，体重80 kg，他的计算如下：将x＝175代入y＝2.2×1.02x，得y＝2.2×1.02175≈70.4.由于80÷70.4≈1.136＜1.2.所以，该男生体重正常．设计意图采用师生平等对话交流，学生单独完成的模式．因为本题是测算自己本身体重的问题，所以学生兴趣很高．本题问题难度不大，但意义重大，是培养数学应用意识的重要素材，即用拟合函数来预测自己关心的日常生活问题，学生体验过程方式教学，体现了新课程的理念．三、练习反馈教材本节练习1.学生完成后在小组中互相批改、交流．设计意图本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的理念，使学生及时巩固所学知识、方法，以达到教学目标．四、小结反思以小组中1人总结，3人倾听的方式，对本课内容进行自主小结，教师归纳强调建立拟合函数模型解决实际问题的基本过程．设计意图提高学习主动性，培养学生表达、交流的数学能力，自主小结的形式是将课堂还给学生，是对所学内容的回顾与梳理．五、课外作业教材习题3.2A组1题，B组1题．六、课外实践通过拟合函数模型看温州经济发展．上网收集1995～2005年温州的国内生产总值、财政收支、对外经济三项数据，建立适当的拟合函数模型，画出拟合函数模型的图象，并通过拟合函数图象来预测温州在2010年的经济发展状况．设计意图课外作业为巩固作业，课外实践为拓展作业，培养学生应用数学知识、提高解决问题的能力，培养学生的探究和再创造能力．教学流程创设情境——实际问题引入，激发学生兴趣．↓组织探究——画出散点图，建立模型，体会不同函数模型拟合的准确程度．↓探索研究——由数据画出散点图，建立拟合函数模型，尝试选择不同的函数拟合数据并不断修正．↓巩固反思——师生交流共同小结，归纳建立拟合函数模型应用题的求解方法与步骤．↓作业回馈——强化基本方法及过程，规范基本格式．↓课外实践——收集生活中的具体实际问题，运用拟合函数思想来解决，培养问题意识及提高应用数学的能力．知识结构问题探讨(1)第三章的3.2.2函数模型的应用实例是否可以设置为3课时，给定的函数模型、建立确定性函数模型、建立拟合函数模型解决实际问题各设置1课时，这样可以让学生感受到函数的广泛应用，真实体验到数学是有用的；体现新课程的问题性，应用性特点；培养学生的问题意识，更加拓展学生数学活动的空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．(2)在函数模型的应用中，建立拟合函数模型解决实际问题是实际应用最广泛、学生最陌生、也是难度最大的，尤其是如何建立适当的拟合函数模型来解决实际问题．建议在教材中是否可安排更多的建立拟合函数模型解决实际问题的例题，加深学生对如何建立适当拟合函数模型的理解．并在练习中多安排渗透拟合函数思想的思考题．。
高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例教案 新人教a版必修1
3．2.2 函数模型的应用实例[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题．[预习导引]1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：2．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．解决学生疑难点要点一用已知函数模型解决问题例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0＜x ≤10，59，10＜x ≤16，－3x ＋107，16＜x ≤30.(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ 解 (1)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9.故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16＜x ≤30时，f (x )单调递减，f (x )＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min. (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f (5)．因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些． (3)当0＜x ≤10时，令f (x )＝55， 则－0.1×(x －13)2＝－4.9，(x －13)2＝49. 所以x ＝20或x ＝6.但0＜x ≤10， 故x ＝6.当16＜x ≤30时，令f (x )＝55，则－3x ＋107＝55. 所以x ＝17 13.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 13－6＝11 13＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答． 解决此类型函数应用题的基本步骤是： 第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式．根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．跟踪演练1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为：y ＝112 800x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ 解 当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫112 800×403－380×40＋8×2.5＝28.75(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升． 要点二 建立函数模型解决实际问题例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x －x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13x 2＋2003x ＝－13(x 2－200x )＝－13(x －100)2＋10 0003，所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 规律方法 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M (亿元)和N (亿元)，它们与投资额t (亿元)的关系有经验公式：M ＝13 t ，N ＝16t ，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x 亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y 亿元． (1)写出y 关于x 的函数表达式； (2)求总利润y 的最大值．解 (1)当甲项目投资x 亿元时，获得利润为M ＝13x (亿元)，此时乙项目投资(3－x )亿元，获得利润为N ＝16(3－x )(亿元)，则有y ＝13x ＋16(3－x )，x ∈[0,3]．(2)令x ＝t ，t ∈[0，3]，则x ＝t 2， 此时y ＝13t ＋16(3－t 2)＝－16(t －1)2＋23.∵t ∈[0，3]，∴当t ＝1，即x ＝1时，y 有最大值为23.即总利润y 的最大值是23亿元．1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元 答案 B解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )答案 D3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到细胞的个数y 与x 的函数关系是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1C ．y ＝2xD ．y ＝2x ＋1答案 D解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x 次后y ＝2x ＋1个．4．长为3，宽为2的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．答案 12解析 S ＝(3＋x )(2－x 2)＝－x 22＋x2＋6＝－12(x －12)2＋498，∴x ＝12时，S max ＝498.1.函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．一、基础达标1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b ＜a )，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )答案 C解析 由题意可知，s 是关于时间t 的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．2．国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表：( ) A ．5.00元 B ．6.00元 C ．7.00元 D ．8.00元 答案 C解析 由题意可知，当x ＝1 200时，y ＝7.00元．3．某机器总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( ) A ．30 B ．40 C ．50 D ．60 答案 C解析 设安排生产x 台，则获得利润f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x＝－(x －50)2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x ＜A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16 答案 D解析 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 5．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( ) A ．a ＝45，b ＝－30 B ．a ＝30，b ＝－45 C ．a ＝－30，b ＝45 D ．a ＝－45，b ＝－30 答案 A解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x ＞0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.∴⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.6．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．答案 甲解析 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解 设报摊主每天买进报纸x 份，每月利润为y 元(x 为正整数)． 当x ≤250时，y ＝0.1×30×x ＝3x . 当250≤x ≤400时，y ＝0.1×20×x ＋0.1×10×250－(x －250)×0.32×10＝2x ＋250－3.2x ＋800 ＝1 050－1.2x . 当x ≥400时，y ＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x －400)×0.32×20－(x －250)×0.32×10＝800＋250－6.4x ＋2 560－3.2x ＋800 ＝－9.6x ＋4 410.当x ≤250时，取x ＝250，y max ＝3×250＝750(元)． 当250≤x ≤400时，取x ＝250，y max ＝750(元)． 当x ≥400时，取x ＝400，y max ＝570(元)．故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．二、能力提升8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50 答案 C解析 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49501.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e－kt 1， ∴827＝(e －k)t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49501t， ∴t 150＝32，t 1＝75. 9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数．则当N ＝40时，t ＝________(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)． 答案 36.72解析 当N ＝40时，则t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4090＝－144lg 59＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72. 10.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系y ＝a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2； ③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等． 其中正确的命题序号是________．答案 ①②解析 由图象知，t ＝2时，y ＝4， ∴a 2＝4，故a ＝2，①正确．当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，②正确， 当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23.t 2－t 1＝log 23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额． (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L ，则由题设得：L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000.①由销量图易得：Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20＜P ≤26，代入①式得 L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋P －－5 600，14≤P ≤20，－32P ＋P －－5 600，20＜P ≤26，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450(元)， 此时P ＝19.5(元)；当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503(元)，此时P ＝613(元)．故当P ＝19.5(元)时，月利润余额最大，最大余额为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．三、探究与创新12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h t，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min ，那么降温到35℃时，需要多少时间？ 解 由题意知40－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h 20， 即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12h 20，解得h ＝10.故T －24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t . 当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t ＝1164. 两边取对数，用计算器求得t ≈25.因此，约需要25 min ，可降温到35℃.13．今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P ＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)解 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝90%P 0.于是有90%P 0＝P 0e －5k .解得k ＝－15ln 0.9(或0.022)．(2)由(1)得，知P＝tP⎪⎪⎭⎫⎝⎛0.9In51e.当P＝40%P0时，有0.4P0＝tP⎪⎪⎭⎫⎝⎛0.9In51e.解得t＝ln 0.41 5ln 0.9≈－0.9215－＝4.600.11≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时．。