高中函数图像大全
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
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指数函数之吉白夕凡创作概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不克不及为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数分歧，指数也分歧时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=ax在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a＞0，a≠1).因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=logax的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=logax(a ＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x ，y=log10x ，y=log10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a ＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.图 象a ＞1a ＜1性 质(1)x ＞0(2)当x=1时，y=0 (3)当x ＞1时，y ＞0 0＜x ＜1时，y ＜0 (3)当x ＞1时，y ＜0 0＜x ＜1时，y ＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数 (4)在(0，+∞)上是减函数弥补 性质设y1=logax y2=logbx 其中a ＞1，b ＞1(或0＜a ＜1 0＜b ＜1) 当x ＞1时“底大图低”即若a ＞b 则y1＞y2当0＜x ＜1时“底大图高”即若a ＞b ，则y1＞y2比较对数大小的经常使用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数分歧、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较. 3.指数函数与对数函数对比名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=ax(a ＞0，a ≠1)y=logax(a ＞0，a ≠1)定义域 (-∞，+∞) (0，+∞) 值域(0，+∞)(-∞，+∞)幂函数幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的分歧，定义域、值域都会发生变更，可以采纳按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④何两个幂函数最多有三个公共点．定义域 R R R奇偶性奇 奇 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减ny x =奇函数 偶函数 非奇非偶函数1n >01n <<0n <Oxy OxyOxyOx yOxyOxy OxyOxyOxy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(； ②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(； （2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）（在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
一次 函数 k ，b 符号
图象
k kx bk 0
k 0
b0
b0
b0
b0
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
k 0
b0
b0
y
y
O
xO
x
性质
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
b>0
b<0
b=0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
y
O
x
非奇非偶函数
y
O
x
y
O数
k<0
图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小
二次函数
f x ax2 bx ca 0
a0
a0
图像
定义域 对称轴 顶点坐标 值域
单调区间
x b 2a
x b 2a
,
x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
4ac b2 4a
,
,
4ac 4a
b2
,
b 2a
递减
,
b 2a
递增
b 2a
,
递增
b 2a
,
递减
反比例函数
指数函数
对数函数
a＞1 图
象
a＜1
(1)x＞0
性 (2)当 x=1 时，y=0
质 (3)当 x＞1 时，y＞0
(3)当 x＞1 时，y＜0
(完整版)高中数学常见函数图像
高中数学常见函数图像1.2.对数函数：3.幂函数：定义形如αxy=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.图像性质过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．4.函数sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =； 当22xk ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴。
(新)高中数学函数图像大全汇总
高中必考函数大全指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a＞0，a≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的图像的特征和性质.见下表. 图 象 a ＞1a ＜1性 (1)x ＞0(2)当x=1时，y=0比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．n y x =奇函数偶函数非奇非偶函数1n >01n <<0n <定义域 R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单OxyOxyOxyOxyOxyOx yOxyOxyOxy调递增调递增 调递增 调递增 调递减幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(； ②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(),0,0(； （2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
高中函数图像大全汇总
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a ≠1)的图像的特征和性质.见下表.图象a＞1a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1)当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x=随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握ny x=，当112,1,,,323n=±±±的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：①它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．②11,,1,2,332a=时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③1,1,22a=---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④任何两个幂函数最多有三个公共点．ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<n<定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy=（x∈R，α是常数）的图像在第幂函数y xα一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
高中常见函数图像及基本性质
常有函数性质汇总及简单评论对称变换常数函数 f ( x)= b( b∈R)y b1）、y=a和 x=a的图像和走势2）、图象及其性质：函数 f ( x)的图象是平行于x 轴或与 x 轴重合（垂直于y 轴）的直线O一次函数 f ( x)= kx+b ( k≠ 0, b∈R)1) 、两种常用的一次函数形式: 斜截式——y点斜式—— f ( x)= kx+ 2）、对斜截式而言，k、 b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势：b3）、 |k| 越大，图象越陡；|k| 越小，图象越缓和Ox4）、定义域： R值域： R单一性：当0 时；当k<0 时k>奇偶性：当 b=0时，函数 f ( x)为奇函数；当b≠0时，函数 f ( x)没有奇偶性；反函数：有反函数（特别状况下：K=± 1 而且 b=0 的时候）。
增补：反函数定义：例题：定义在 r 上的函数 y=f （x） ; y=g（x）都有反函数，且 f （ x-1 ）和 g-1 (x) 函数的图像对于Rg（ 5） =2016，求 f （ 4） =周期性：无5）、一次函数与其他函数之间的练习1 、常用解题方法：2）点对于直线（点）对称，求点的坐标f( x)=bxy=x 对称，若2、与曲线函数的联合运用反比率函数f ( x )= k ( k ≠ ， 值不相等永不订交； k 越大，离坐标轴越远 )x 0 kk>0 时，函数 f ( x ) 的图象分别在第一、第三图象及其性质：永不订交，渐趋平行；当象限；当 k<0 时，函数 f ( x ) 的图象分别在第二、第四象限； yf ( x )=双曲线型曲线， x 轴与 y 轴分别是曲线的两条渐近线； ax b既是中心对成图形也是轴对称图形cx d定义域：( ,0) (0, )值域： ( ,0) (0, )xO单 调 性：当 k> 0 时；当 k< 0 时 周期性：无奇 偶 性：奇函数反 函 数：原函数自己增补： 1、反比率函数的性质2、与曲线函数的联合运用（常观察有无交点、交点围城图行的面积）——下手点常有两个——⑴直接带入， 利用二次函数鉴别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形联合判断未知数取值（计算面积基本方法也鉴于此）3、反函数变形（如右图）1）、 y=1/ （x-2 ）和 y=1/x-2 的图像挪动比较2）、 y=1/(-x) 和 y=- （ 1/x ）图像挪动比较 3）、 f ( x )=ax b( c ≠ 0 且 d ≠ 0) （增补一下分别常数）cx d（对照标准反比率函数，总结各项内容）二次函数y f ( x )=一般式： f ( x ) ax 2 bx c(a 0) 极点式： f ( x )a( x k ) 2 h(a 0)两根式： f ( x ) a( x x 1 )( xx 2 )( a 0)图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，极点坐标为②当 a 0 时，张口向上，有最低点当 a0时。
高中阶段常见函数图像(高清)(1)
图像
函数表达式
y ln x x
y ln x x
函数极值点
1, 1
y x ln x
函数极值点
1 e
,
1 e
y ln x x
函数极值点
e,
1 e
y x ln x
函数极值点
e, e
y ex x
过定点
0,1
y ex x
函数极值点
0,1
y ex x
函数极值点
1, e
y ln x x 1
函数极值点
e, e
ln x x 1
y ln x 1 ex
函数极值点
0,1 ln x 1 ex
函数表达式
y sin x
y ex x 1
函数极值点
e,
1 e
ex x 1
y ex x 1
过定点
0,1
ex 1 x
y ln 1 1 1 xx
函数极值点
函数表达式
y x2 ex
图像
y
x2 ex
y
ex x2
y ex sin x y ex sin x
4 / 41
y ex sin x y ex sin x
y
sin ex
x
y ex cos x
函数表达式
图像
函数表达式
图像
y ex cos x
y ex cos x
y
cos ex
x
y x2 sin x
y xex
函数极值点
1,
1 e
y
x ex
函数极值点
1,
1 e
图像
1 / 41
函数表达式
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指数函数概念:一般地,函数y=a^x(a＞0,且a≠1)叫做指数函数,其中x就是自变量,函数的定义域就是R。
注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅就是形式定义。
指数函数的图像与性质:规律:1、当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
2、当a＞1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;当0＜a＜1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
3、四字口诀:“大增小减”。
即:当a ＞1时,图像在R 上就是增函数;当0＜a ＜1时,图像在R 上就是减函数。
4、 指数函数既不就是奇函数也不就是偶函数。
比较幂式大小的方法:1. 当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较;2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论;3. 当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较;4.对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较底数的平移:在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
对数函数1、对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞,+∞)上就是单调函数,所以它存在反函数,我们把指数函数y=a x (a ＞0,a ≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=log a x(a ＞0,a ≠1)、因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=log a x 的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)、2、对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x 、 据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质、为了研究对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x,y=log 10x,y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图,再结合指数函数的图像与性质,可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0,a≠1)的图像的特征与性质、见下表、图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时,y=0(3)当x＞1时,y＞00＜x＜1时,y＜0(3)当x＞1时,y＜00＜x＜1时,y＞0 (4)在(0,+∞)上就是增函数(4)在(0,+∞)上就是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1,b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b,则y1＞y2比较对数大小的常用方法有:(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断、(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论、(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较、(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较、3、指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质与图像分类记忆的方法.熟练掌握ny x =,当112,1,,,323n =±±±的图像与性质,列表如下. 从中可以归纳出以下结论:① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.② 11,,1,2,332a =时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上就是增函数. ③ 1,1,22a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上就是减函数.④ 何两个幂函数最多有三个公共点.高中函数图像大全n y x =奇函数偶函数非奇非偶函数1n >01n <<幂函数y x α=(x ∈R,α就是常数)的图像在第一象限的分布规律就是:①所有幂函数y x α=(x ∈R,α就是常数)的图像都过点)1,1(;②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(;③当1=α时,y x α=的的图像在第一象限就是第一象限的平分线(如2c );④当3,2=α时,y x α=的的图像在第一象限就是“凹型”曲线(如1c )⑤当21=α时,y x α=的的图像在第一象限就是“凸型”曲线(如3c )⑥当1-=α时,y x α=的的图像不过原点)0,0(,且在第一象限就是“下滑”曲线(如4c )当0>α时,幂函数y x α=有下列性质:（1）图象都通过点)1,1(),0,0(;（2）在第一象限内都就是增函数;（3）在第一象限内,1>α时,图象就是向下凸的;10<<α时,图象就是向上凸的; （4）(在第一象限内,过点)1,1(后,图象向右上方无限伸展。
当0<α时,幂函数y x α=有下列性质:1）图象都通过点)1,1(;2）在第一象限内都就是减函数,图象就是向下凸的;3）在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近;向右无限地与x 轴无限地接近; 4）在第一象限内,过点)1,1(后,α越大,图象下落的速度越快。
无论α取任何实数,幂函数y x α=的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
对号函数函数xbax y +=(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似符号“√”而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,a b x b ax 2≥+(当且仅当x b ax =即abx =时取等号),由此可得函数xbax y +=(a>0,b>0,x ∈R +)的性质:当ab x =时,函数x b ax y +=(a>0,b>0,x ∈R +)有最小值a b2,特别地,当a=b=1时函数有最小值2。
函数x b ax y +=(a>0,b>0)在区间(0,a b )上就是减函数,在区间(ab,+∞)上就是增函数。
因为函数x b ax y +=(a>0,b>0)就是奇函数,所以可得函数xbax y +=(a>0,b>0,x ∈R -) 性质:当a b x -=时,函数x b ax y +=(a>0,b>0,x ∈R -)有最大值-ab 2,特别地,当a=b=1时函数有最大值-2。
函数x b ax y +=(a>0,b>0)在区间(-∞,-a b )上就是增函数,在区间(-ab,0)上就是减函奇函数与偶函数如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x 值,都有f(－x)=－(x).那么就称f(x)为奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x 值,都有f(－x)=f(x),那么就称f(x)为偶函数.说明:(1)由奇函数、偶函数的定义可知,只有当f(x)的定义域就是关于原点成对称的若干区间时,才有可能就是奇 (2)判断就是不就是奇函数或偶函数,不能轻率从事,例如判断f(x) 就是不易的.为了便于判断有时可采取如下办法:计算f(x)+f(－x),视其结果而说明就是否就是奇函数.用这个方法判断此函数较为方便:f(x) (3)判断函数的奇偶性时,还应注意就是否对定义域内的任何x 值,当x ≠0时,显然有f(－x)=－f(x),但当x=0时,f(－x)=f(x)=1,∴f(x)为非奇非偶函数.(4)奇函数的图象特征就是关于坐标原点为对称的中心对称图形;偶函数的图象特征就是关于y 轴为对称轴的对称图形.(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时,尤其要注意由它们的定义出发来进行论证.例 如果函数f(x)就是奇函数,并且在(0,+∞)上就是增函数,试判断在(－∞,0)上的增减性. 解 设x1,x2∈(－∞,0),且x1＜x2＜0 则有－x1＞－x2＞0,∵f(x)在(0,+∞)上就是增函数, ∴f(－x1)＞f(－x2) 又∵f(x)就是奇函数,∴f(x)=－f(x)对任意x 成立,∴=－f(x1)＞－f(x2)∴f(x1)＜f(x2).∴f(x)在(－∞,0)上也为增函数.由此可得出结论:一个奇函数若在(0,+∞)上就是增函数,则在(－∞,0)上也必就是增函数,即奇函数在(0,+∞)上与(－∞,0)上的奇偶性相同.类似地可以证明,偶函数在(0,+∞)与(－∞,0)上的奇偶性恰好相反.时,f(x)的解析式解∵x＜0,∴－x＞0.又∵f(x)就是奇函数,∴f(－x)=－f(x).偶函数图象对称性的拓广与应用我们知道,如果对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x,都有f(－x)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴对称,反之亦真.由此可拓广如下:如果存在常数a,b,对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x,a+x,b-x仍在(a+b-x,f(x)),而f(a＋b－x)＝f[a＋(b－x)]＝f[b－(b－x)]＝f(x),对称点P'(a+b-x,称:。