电路分析中用到的电感元件的特性讲解
(电路分析)动态元件
动态元件第 1 节动态元件一、电容元件电容器是由两块金属极板，中间隔以绝缘介质（如空气、云母、绝缘纸、电解质等）组成，当电容器的两块金属极板之间加以电压时，两块极板上就会聚集等量异性的电荷（ charge ），从而建立起电场，储存电场能量，当外加电压撤掉后，极板上的电荷可继续存在，因此，电容器是一种能储存电荷的元件。
但是，实际的电容器由于存在介质损耗和漏电流，极板上的电荷会慢慢地消失，时间越长，电荷越少。
1 、伏安特性本章讨论的电容元件，是在忽略了介质损耗和漏电流等因素之后的理想化模型。
电容元件（ capacitor ）的电路符号如图 5.1-1 （ a ）所示。
库伏特性为其中，电荷量 q 的单位是库仑（ coulomb ，简称 C ）； C 称为电容元件的电容量，简称电容（ capacitance ），单位是法拉（ farad ，简称 F ），常用的单位还有微法（ uF ），纳法（ nF ）皮法（ pF ）等，它们之间的换算关系为电容电压与电流取非关联参考方向时，电容元件的伏安关系为电容元件的特性1 、动态性电容上的电流与电压呈微分关系，即任一时刻电容上的电流取决于该时刻电压的变化率，而与该时刻电压本身无关。
电压变化越快，电流也就越大，即使某时刻的电压为 0 ，也可能有电流；如果电容两端电压为直流电压（ DC voltage ），即电压不随时间的变化而变化，那么电容上就无电流通过，这时电容相当于开路，所以，电容具有隔直流作用。
电容元件的特性1 、动态性电容上的电流与电压呈微分关系，即任一时刻电容上的电流取决于该时刻电压的变化率，而与该时刻电压本身无关。
电压变化越快，电流也就越大，即使某时刻的电压为 0 ，也可能有电流；如果电容两端电压为直流电压（ DC voltage ），即电压不随时间的变化而变化，那么电容上就无电流通过，这时电容相当于开路，所以，电容具有隔直流作用。
3 、储能性电容元件吸收的瞬时功率为若，表明电容吸收电能，电容处于充电（ charge ）状态；若，表明电容释放电能，电容处于放电（ discharge ）状态。
《电路分析》重点难点
重点难点：第一章电路模型和电路定律（1）重点：1）电压电流的参考方向2）元件的特性3）基尔霍夫定律（2）难点：1）电压电流的实际方向与参考方向的联系和差别2）理想电路元件与实际电路器件的联系和差别3）独立电源与受控电源的联系和差别第二章电阻电路的等效变换（1）重点：1）电路等效的概念2）电阻的串联和并联3）实际电源的两种模型及其等效变换（2）难点：1) 等效变换的条件和等效变换的目的2）含有受控源的一端口电阻网络的输入电阻的求解第三章电阻电路的一般分析（1）重点：1）KCL 和 KVL 独立方程数的概念2）结点电压法3）回路电流法（网孔电流法）（2）难点：1）独立回路的确定2）正确理解每一种方法的依据3）含独立电流源和受控电流源的电路的回路电流方程的列写4）含独立电压源和受控电压源的电路的结点电压方程的列写第四章电路定理（1）重点：1）叠加定理2）戴维宁定理和诺顿定理3）特勒根定理（2）难点：1）各电路定理应用的条件2）电路定理应用中受控源的处理第五章含有运算放大器的电阻电路（1）重点1）运算放大器的电路模型和外部特性2）含有理想运算放大器的电路的分析3）熟悉一些含有运算放大器的典型电路（2）难点1）运算放大器的理想化条件以及虚断路和虚短路的概念2）应用运算放大器的理想化条件分析含理想运算放大器的电阻电路第六章一阶电路（1）重点1）动态电路方程的建立和动态电路初始值得确定2）一阶电路时间常数的概念3）一阶电路的零输入响应和零状态响应4）求解一阶电路的三要素方法5）自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念（2）难点1）应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程2）电路初始条件的概念和确定方法3）一阶电路的时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量、暂态分量的概念和求解第七章二阶电路（1）重点1）二阶电路特征方程和特征根2）二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应的概念3）二阶电路过渡过程的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼响应的分析方法和物理量（2）难点1）应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程2）二阶电路过阻尼、欠阻尼及临界阻尼响应的分析方法和物理概念第八章相量法（1）重点1）正弦量和相量之间的关系2）正弦量的相位差和有效值的概念3）R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式4）电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式（2）难点1）正弦量和相量之间的联系和区别2）元件电压相量和电流相量的关系第九章正弦稳态电路的分析（1）重点1）复阻抗、复导纳的概念以及它们之间的等效变换2）正弦稳态电路的分析3）正弦稳态电路中的平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算4）最大功率传输5）串联谐振和并联谐振的概念（2）难点1）复阻抗、复导纳的概念以及它们之间的等效变换2）直流电路的分析方法及定理在正弦稳态电路分析中的应用3）正弦稳态电路中的功率与能量关系，如平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算4）应用相量图分析电路的方法5）谐振的概念第十章含有耦合电感的电路（1）重点1）互感和互感电压的概念及同名端的含意2）含有互感电路的计算3）空心变压器和理想变压器的电路模型（2）难点1）耦合电感的同名端及互感电压的极性的确定2）含有耦合电感的电路的方程3）含有空心变压器和理想变压器的电路的分析第十一章三相电路（1）重点1）三相电路的概念2）星形连接、三角形连接下的线电压（电流）与相电压（电流）的关系3）对称三相电路归结为一相电路的计算方法4）三相电路的功率分析5）不对称三相电路的概念（2）难点1）三相电路的计算及相量图的应用2）三线三相制电路功率测量的二瓦特计法第十二章非正弦周期电流电路和信号的频谱（1）重点1）非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值2）非正弦周期电流电路的平均功率3）非正弦周期电流电路的计算方法（2）难点1）叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用2）非正弦周期电流电路功率的计算第十三章拉普拉斯变换（1）重点1）拉普拉斯反变换的部分分式展开法2）基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3）应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤（2）难点1）拉普拉斯反变换的部分分式展开法2）电路分析方法及定理在拉普拉斯变换法中的应用第十四章网络函数（1）重点1）网络函数的定义和极点、零点的概念2）网络函数的极点、零点与冲激响应的关系3）网络函数的极点、零点与频率响应的关系第十五章电路方程的矩阵形式（1）重点1）关联矩阵2）结点电压方程的矩阵形式3）状态方程（2）难点1）电路状态方程列写的直观法和系统法第十六章二端口网络（1）重点1）二端口的方程和参数的求解（2）难点1）二端口的参数的求解第十七章非线性电路简介（1）重点1）非线性元件的特性2）非线性电路的小信号分析法（2）难点非线性电阻电路方程的列写。
交流电路中的电感与电容
表示两个线圈之间互感能力的一个物理量，简称互感。它是两个线圈中互感电动势与其中一个线圈中电流变化率 的比值，单位是亨利（H）。
串联和并联电感特性
串联电感特性
在交流电路中，当两个或两个以上的电感线圈串联时，总电感等于各电感之和。即串联电感具有“总 电感等于各电感之和”的特性。
并联电感特性
在交流电路中，当两个或两个以上的电感线圈并联时，总电感小于任何一个单独的电感线圈的电感值 。即并联电感具有“总电感小于任何一个单独的电感线圈的电感值”的特性。
并联电容特性
并联电容器组的等效电容量等于各个 电容器的电容量之和。当并联电容器 组中任一电容器开路时，整个电容器 组将失效。
充放电时间常数计算
充电时间常数
电容器充电时电压上升的速度与 时间之间的关系称为充电时间常 数。充电时间常数等于电容器的 电容量与充电电流的乘积。
放电时间常数
电容器放电时电压下降的速度与 时间之间的关系称为放电时间常 数。放电时间常数等于电容器的 电容量与放电电流的乘积。
电感作用
电感在交流电路中具有阻碍电流变化的作用，当电流增大时，电感产生自感电 动势阻碍电流增大；当电流减小时，电感则释放储存的磁能，维持电流继续流 动。
电容定义及作用
电容定义
电容是指两个相互靠近的导体，中间夹一层不导电的绝缘介 质所构成的电子元件。当在两个导体上施加电压时，它们之 间就会储存电荷，形成电场。
电容作用
电容在交流电路中具有储存电能和滤波的作用。当电路中的 电压或电流发生变化时，电容可以吸收或释放能量，以平滑 电路中的波动。同时，电容还可以阻止直流电流的通过，允 许交流电流通过。
单位与符号表示
电感单位
电感的单位是亨利（H），常用 单位还有毫亨（mH）、微亨（
电工学 电容,电感元件
4 2
iS/A
2
W / J
4 6 （b）
8
t/s
由题意知L=2H,故电感上的储能为:
16
t0 0 2 4t 0 t 2 1 2 2 w(t ) li 4t 64t 256 2 2t 8 9 9 9 0 t 8
2
4
6
8
（
e ）
例4-4 图所示电路,t<0时开关K闭合，电路已达到稳态。 t=0时刻，打开开关K, 球初始值il(0+), Uc(0+), i(0+), ic(0+), UL(0+)的值。
㈣电容的单位
在国际单位制中，电容C的单位为法拉 （F），但因法拉这个单位太大，所以 通常采用微法（μF）或皮法（pF）作 为电容的单位，其换算关系为
1F 10 F，
6
1F 10 pF
6
㈤电容的伏安关系 设电容上流过电流与其两端电压为关联参 考方向，如图所示，则根据电流的定义有
dq(t ) i(t ) dt
所以
1 1 uc (1) uc (0) ic (t )dt C 0
1 1 V 0 5tdt 1.25 2 0
10 0 -10
iC/A
t/s
1
2
3
4
5
（b）
1 4 uc (4) uc (0) ic (t )dt C 0
1 2 1 4 5tdt (10)dt 2 0 2 0
u(t ) u(t )
(4-4)
等式两边分别为电容电压在t时刻左右极限值.上 式说明在 t 和 t 时刻电压值是相等的。在动态 电路分析中常用这一结论，并称之为“换路理 论”。
电路分析第06章-储能元件
*电感可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
1 2 wL (t ) L i (t ) 2
14
例：已知电感两端电压波形
如图所示，i(0)=01mH
u(t) -
解：
1 t i (t ) i (0) u( )d L 0
p (t ) i (t ) u (t )
15
方法1：分段积分求表达式 。
1 0 t 1m s 0 1m s t 3m s u (t ) 1 3m s t 5m s 0 5m s t 7m s 1 7m s t 8m s
16
i (t ) i (0) 10
3
u(t) -
0.5
wC ( J )
1 3 5 7 9
t (ms)
7
解：
d u(t ) i (t ) C dt
p (t ) i (t ) u (t )
1 wC (t ) C u 2 (t ) 2
8
6-2 电感元件（inductance）
实际电感元件
L,L
A i ＋
用导线绕成的线圈
当i 增加时，WL>0，元件吸收能量；反之，元件释放能量。 可见，电感元件不把吸收的能量消耗掉，而是以磁场能量的 形式存储在磁场中。所以电感元件是一种储能元件。同时， 它也不会释放出多于它吸收或存储的能量，因此它又是一种 无源元件。 注意：今后，理想电感元件
电感元件
电感
L
L
R
12
实际电感元件的线圈导线电阻的损耗不可 忽略时，其电路模型由L、R串连组成。
C
5
*电容电压具有记忆性和连续性。
1 u ( t ) u ( t0 ) C
特殊电阻电路分析方法简析
特殊电阻电路分析方法简析
特殊电阻电路分析方法是指在电路中存在特殊电阻元件，如电感、电容、滑动变阻器等，并且需要通过一些特殊的方法来分析和求解电路中的电流、电压等参数。
一、电感电路分析方法：
1. 频域法：将电路中的元件和信号都转化为复数形式，然后利用复数计算的方法，通过求解电路中的复数电流和电压来得到频域下的响应特性。
2. 时域法：将电感元件建模为电感线圈，利用基尔霍夫电压定律和电感元件的电压-电流关系式，求解微分方程来得到电路的时域响应。
三、滑动变阻器电路分析方法：
滑动变阻器是一种变阻器，可以通过调节滑动位置改变电阻值。
在分析滑动变阻器电路时，可以采用以下方法：
1. 串联电阻法：将滑动变阻器视为其中的一部分元件，将整个电路分解为多个串联电阻的电路，利用串联电阻的电流分配原理，求解电流和电压分布。
2. 平衡法：通过调节滑动变阻器的位置，使得电路中的某些参数达到平衡状态，然后根据平衡条件求解其他参数。
这种方法适用于需要使得电路中某些元件或节点电压等达到特定值的场景。
特殊电阻电路分析方法分为频域法和时域法两种，分别适用于电感电路和电容电路的分析。
对于滑动变阻器电路，则可以采用串联电阻法或平衡法进行分析。
这些方法可以根据特殊电路中元件的不同特性和需要求解的问题来选择和应用。
电路分析中用到的电感元件的特性讲解
图7－14
在已知电感电压uL(t)的条件下，其电流iL(t)为
1t
? iL (t) ? L ?? uL (? )d?
10
1t
? ? ? L
?? uL (? )d? ? L
0 uL (? )d?
1t
? ? iL (0) ? L 0 uL(? )d?
(7 ? 11)
其中
10
? iL (0) ? L ? ? uL (? )d?
图7－15
? ? 1
iL (t) ? L
t ??
uL(? )d?
?
iL (0) ?
1 L
t
0 uL (? )d?
(7 ? 11)
从式(7－11)可以看出电感具有两个基本的性质。
(1)电感电流的记忆性。
从式（6－8）可见，任意时刻T电感电流的数值iL(T)， 要由从-? 到时刻T 之间的全部电压来确定。
§7－2 电感元件 常用的几种电感器
一、 电感元件
如果一个二端元件在任一时刻，其磁通链与电流之间的
关系由i－? 平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电
感元件。电感元件的符号和特性曲线如图 7－12(a)和(b)所 示。
(a) 电感元件的符号 (b) 电感元件的特性曲线
图7-12 (c) 线性时不变电感元件的符号 (d) 线性时不变电感的特性曲线
当p>0时，电感吸收功率；当p<0时，电感发出功率。
电感在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能量为
? ? W (t0,t) ?
t
p(? )d? ? L
t i(? ) di(? ) d?
t0
t0
d?
? ? L
电路分析基础5电容与电感
例1：电压源的波形为三角波，求电容电流和电压波形。
du ( t ) du ( t ) c u ( t ) u ( t ) i C C c dt dt
若取 t0 0 ，则
专业基础课
电路分析基础
教师：张 荣
第二篇 动态电路的时域分析
前面学习的是电阻电路的分析方法。电阻 电路用代数方程描述，电路在任意时刻的 响应只与同一时刻的激励有关，而与过去 的激励无关，这也称为无记忆或即时的。 许多实际电路不可避免的要包含电容和电 感元件，其电压电流关系涉及对电流、电 压的微分或积分，因而称动态元件。
+ u(t) _
1、0→0.25ms时
+ uc_ (t) C=1uF i(t)
du ( t ) 100 3 5 10 4 10 dt 0 . 25
100
u/V
0. 5 0.75
0.25
du ( t ) 6 5 i C 1 10 4 10 0 . 4 A dt
du ( t ) p ( t ) u ( t ) i ( t ) Cu ( t ) dt
瞬时功率可正可负，当 p(t)>0时，说明电 容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) <0 时，说明电容是在提供能量，处于放电状态。 对上式从－∞到 t 进行积分，即得 t 时刻电容 的储能为： t u (t)
1t u ( t ) u ( 0 ) i ( ) d 0 C 1t u ( 0 ) 2 d 0 t t 20
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图7－14
在已知电感电压uL(t)的条件下，其电流iL(t)为
1t
? iL (t) ? L ?? uL (? )d?
10
1t
? ? ? L
?? uL (? )d? ? L
0 uL (? )d?
1t
? ? iL (0) ? L 0 uL(? )d?
(7 ? 11)
其中
10
? iL (0) ? L ? ? uL (? )d?
§7－2 电感元件 常用的几种电感器
一、 电感元件
如果一个二端元件在任一时刻，其磁通链与电流之间的
关系由i－? 平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电
感元件。电感元件的符号和特性曲线如图 7－12(a)和(b)所 示。
(a) 电感元件的符号 (b) 电感元件的特性曲线
图7-12 (c) 线性时不变电感元件的符号 (d) 线性时不变电感的特性曲线
图7－15
? ? 1
iL (t) ? L
t ??
uL(? )d?
?
iL (0) ?
1 L
t
0 uL (? )d?
(7 ? 11)
从式(7－11)可以看出电感具有两个基本的性质。
(1)电感电流感电流的数值iL(T)， 要由从-? 到时刻T 之间的全部电压来确定。
也就是说，此时刻以前在电感上的任何电压对时刻 T 的电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电压或电流仅 取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种 记忆元件。
例7－6电路如图 7－16(a) 所示，电感电压波形如图 7－16(b) 所 示，试求电感电流i(t),并画波形图。
图7－16
图7－16
u(? )d?
?
iL (0) ?
2 ? 103
t10? 3 d? ? 0 ? 2tA ? 2tA
0
当t ? 1s 时 iL (1s) ? 2A
3.当1s<t<2s时，u(t)=-1mV，根据式7－11可以得到
称为电感电压的初始值,它是从t=-∞到t=0时间范围内电感
电压作用于电感所产生的电流。
? ? 1
iL (t) ? L
t ??
uL(? )d?
?
iL (0) ?
1 L
t
0 uL (? )d?
(7 ? 11)
式(7－11)表示t>0的某时刻电感电流 iL(t)等于电感电流的初始 值iL(0)加上t=0到t时刻范围内电感电压在电感中所产生电流 之和，就端口特性而言，等效为一个直流电流源 iL(0)和一个 初始电流为零的电感的并联，如图 7－15所示。
实际电路中使用的电感线圈类型很多，电感的范围变 化很大，例如高频电路中使用的线圈容量可以小到几个微 亨(? H ，1? H=10-6H) ,低频滤波电路中使用扼流圈的电感可 以大到几亨。电感线圈可以用一个电感或一个电感与电阻 的串联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还 需要增加一个电容来构成线圈的电路模型，如图 7－13所示。
dt
dt
? 50 ? 10 ? 3 cos( 5t )V ? 50 cos( 5t )mV
电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关 系，例如将电感电流增加一个常量 k ，变为i(t)=k +10sin5tA 时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元 件在电压电流之间有确定关系的特性。
例7－5 电路如图7－14(a)所示，已知L=5? H电感上的电流 波形如图7－14(b)所示，求电感电压u(t),并画出波形图。
图7－14 例7－5
图7－14 例7－5
解：根据图 6 － 15(b) 波形，按照时间分段来进行计算 1.当t? 0时，i(t)=0，根据式7－10可以得到
u(t ) ? L di ? 5 ? 10? 6 d(0) ? 0
在直流电源激励的电路中，磁场不随时间变化 ,各电压电 流均不随时间变化时，电感相当于一个短路 (u=0)。
在已知电感电流i(t)的条件下，用式(7－10)容易求出其 电压u(t)。
例如L=1mH 的电电感上，施加电流为i(t)=10sin(5t)A时，
其关联参考方向的电压为
u (t ) ? L d i ? 10 ? 3 ? d[10 sin( 5t )]
dt
dt
2.当0? t? 3? s时，i(t)=2? 103t，根据式7－10可以得到
u(t) ? L di ? 5 ? 10? 6 d(2 ? 103 t) ? 10 ? 10? 3 V = 10mV
dt
dt
图7－14 例7－5
3. 当3? s? t? 4? s时， i(t)=24? 103-6? 103t，根据式7－10
图7-12
其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电感元件称为 线性电感元件，否则称为非线性电感元件。线性时不变电 感元件的符号与特性曲线如图 (c)和(d)所示，它的特性曲线 是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为
ψ ? Li (7 ? 9)
式中的系数L为常量，与直线的斜率成正比，称为电 感，单位是亨[利],用H表示。
图9－13 电感器的几种电路模型
二、电感的电压电流关系
对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联 参考方向的情况下，可以得到
u(t) ? dψ ? d(Li) ? L di
dt dt
dt
(7 ? 10)
此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正比， 与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电感 电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。
解：根据图(b)波形，按照时间分段来进行积分运算
1.当t<0时，u(t)=0，根据式7－11可以得到
? ? iL (t) ?
1 L
t u(? )d? ? 2 ? 103
??
t
0d?A ? 0
??
2.当0<t<1s时，u (t)=1mV ，根据式7－11可以得到
? ? 1
iL (t ) ? L
t ??
可以得到
u(t) ? L di ? 5 ? 10? 6 d(24 ? 103 ? 6 ? 103 t )
dt
dt
? ? 30? 10? 3 V = ? 30mV
4. 当4? s? t 时，i(t)=0，根据式7－10可以得到
u(t ) ? L di ? 5 ? 10? 6 d(0) ? 0
dt
dt
根据以上计算结 果，画出相应的波形， 如图7－14(c)所示。 这说明电感电流为三 角波形时，其电感电 压为矩形波形。