平面汇交力系
第二章--平面汇交力系
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形 自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.
例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力 系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R
平面汇交力系
B
A
C
P
a
a
匀速起吊重P的预制梁如图所示，如果要求绳索AB、BC的拉力不超过0.6P，问a 角应在什么范围内？
思考题：
而如将力F沿正交的x、y坐标轴方向分解（图b），则所得分力Fx 、F y 的大小与力F在相应轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。但是当Ox、Oy两轴不正交时，则没有这个关系。
图b
力在坐标轴上的投影
y
x
O
B
A
a
b
F
F
x
F
y
Fx
Fy
b1
a1
式中cosa 和cosb 称为力F 的方向余弦。
∑Fx=0 ， ∑Fy=0
x
O
y
FRx
FR y
FR
F1
F2
Fn
A
B
C
60
45
。
。
（a）
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物处于平衡时，AB、BC杆的内力。
例 题 2- 3
y
x
B
mg
FCB
30
。
FAB
45
。
(b)
注意:
力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投影无ห้องสมุดไป่ตู้谓作用点，而分力作用在原力的作用点。
2. 合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
O
x
y
F1
F2
FR
a
b
c
A
B
C
3. 合成
x
O
y
FRx
FR y
平面汇交力系的合成
平面汇交力系的合成力是物体运动和形态变化的基本原因，而力的合成是力学中非常重要的概念之一。
在平面力学中，我们经常需要将多个力合成为一个力，以便更好地分析物体的运动和受力情况。
本文将介绍平面汇交力系的合成原理和方法。
1. 汇交力系的概念平面汇交力系是指平面内多个力作用在同一个物体上的力系统。
这些力可能是来自不同方向和不同点的，它们的合力可以用一个力来代替，这个力被称为合力。
合力的大小、方向和作用点是通过合力的合成来确定的。
2. 力的合成原理力的合成原理是指将多个力合成为一个力的方法。
在平面力学中，常用的合成方法有向量法和三角法。
(1) 向量法：将力看作是有大小和方向的向量，根据向量的几何性质可以使用向量相加的方法进行合成。
具体步骤如下：a. 将各个力按照其大小和方向用向量表示；b. 将这些力的向量按照规定的比例进行缩放；c. 将这些缩放后的向量按照几何法则进行相加；d. 得到合力的向量表示。
(2) 三角法：将力的大小和方向用三角形的边长和夹角表示，根据三角形的几何性质可以使用三角形的合成定理进行合成。
具体步骤如下：a. 将各个力的大小和方向用三角形的边长和夹角表示；b. 根据三角形的合成定理，计算出合力的大小和方向；c. 根据合力的大小和方向，确定合力的作用点。
3. 力的合成方法根据力的合成原理，我们可以使用向量法或三角法进行力的合成。
具体方法如下：(1) 向量法合成力：a. 将各个力按照其大小和方向用向量表示；b. 将这些力的向量按照规定的比例进行缩放；c. 将这些缩放后的向量按照几何法则进行相加；d. 得到合力的向量表示。
(2) 三角法合成力：a. 将各个力的大小和方向用三角形的边长和夹角表示；b. 根据三角形的合成定理，计算出合力的大小和方向；c. 根据合力的大小和方向，确定合力的作用点。
4. 汇交力系的应用汇交力系的合成在力学中有广泛的应用。
例如，在静力学中，我们可以通过合成力来分析物体的平衡条件；在动力学中，我们可以通过合成力来分析物体的运动状态；在工程中，我们可以通过合成力来设计和优化结构。
第二章 平面汇交力系
即
F F
x y
0 0
平衡方程
平衡的解析条件： 力系中所有各力在直角坐标轴上的投影代 数和分别等于零。
9
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 B 600 A A Q 解： 1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图 3).建立坐标系 X 0 300 C
X cos(F , i)
R
FR ( X ) 2 ( Y ) 2
FR
Y cos(F , j )
R
FR
15
4、平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零。 即 F F 0
R
（2）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。 （3）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐 标轴上投影的代数和分别等于零，即：
y
.
x
Q
4).列出对应的平衡方程 Y 0
5).解方程
TB sin 600 TC sin 300 0
TB cos60 TC cos30 Q 0
0 0
10
简易压榨机
11
求当等长连杆AB、AC与铅垂线成图示角时，托板给被 压物体的力。
12
列方程求解：
销钉A
X 0, Y 0, S AB sin S AC sin P 0 S AB cos S AC cos 0
S AB S AC
S AB S AC P 2 sin
托板
X Y
0, 0,
N S B sin 0 S B cos R 0 R S B cos P 2tg
平面汇交力系
A
FD
O
45°
3. 列出平衡方程：
FB
B
F
F F
D
x y
0 ，FB F cos 45 FD cos 0 0 ，FD sin F sin 45 0
sin 0.243 , cos 0.969
已知：
14.03,
联立求解得
FB 750 N
平面汇交力系
平面汇交力系
汇交力系 定义：作用在物体上的一群力，若其作用点
交于一点，则称为汇交力系。
平面汇交力系
所有各力的作用线都位于同一平面内的 汇交力系。
一、平面汇交力系合成
1。几何法 力多边形法则 平面汇交力系可 简化为一合力，其 合力的大小和方向 等于各分力的矢量 和。合力作用线通 过汇交点。 n
OE EA 24 cm
O
B E
FD
(b)
FB
D
DE 6 tan OE 24 1 arctan 14.01 4
K
I
F
FD
J
FB
(c)
sin 180 FB F 750 N sin
4 .由力三角形图c可得：
解析法
y
1. 取制动蹬 ABD 作为研究对象。 2. 画出受力图，并由力的可传性化 为共点力系。
FRy F1 cos 60 F2 cos 30 F3 cos 45 F4 cos 45 112.3 N
F3
合力的大小：
FR F F 171.3 N
2 Rx 2 Ry
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
理论力学-平面汇交力系
F4
§2-1 平面汇交力系 3.3 平面汇交力的平衡条件与平衡方程
平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。
FR
F F
2 xi yi
2
0
平衡方程：
Fxi 0 Fyi 0 F F
x y
或：
0 0
根据作用力与反作用力原理，有: FBA 7.321kN (压)
B
F FBC T2
x
FBC 27.32kN (压)
§2-1 平面汇交力系
A D 600 B
【说明：设拉原则】
FBA FT1
30o
y
B
60o
300
F FBC T2
P
BA T1 T2
x
C
y
30o
60o
Fx 0, F F cos30 F sin30 0 FT1 sin30 FT2 cos30 0 F 0, FBC
§2-1 平面汇交力系
作 业
习, Fy 0,
FA cos FC cos 45 0
FA
A
E
FA sin FC sin 45 F 0
C
F
45o
B x
5. 解得： FA =22.4kN FC =28.3kN
FC
§2-1 平面汇交力系
解题技巧及说明
1、通常，对于只受三个力作用而平衡的物体，且角 度特殊时用几何法比较简便。- 解力三角形 2、对于受多个力作用平衡的物体，均用解析法。 3、投影轴的选择原则：与未知力垂直或平行，最好 使每个方程中只有一个未知数。 4、解析法解题时，如果力的指向不能确定，可任意 假定，如求出负值，说明力的实际方向与假设方 向相反。 如：对于二力构件，可先预先设为拉力。
第二章 平面汇交力系
§2-2 平面汇交力系合成的几何法
根据矢量平移不变性原理，平面汇交力系的合力可连 续运用力平行四边形法则或力三角形法则求得。 一、合成方法 依次平移力Fi使其首尾相连，合力R大小和方向就是使 力多边形封闭的边。
F2 F1 用平行四 边形法则 依次合成 F 3 F2 合力与 合成秩 序无关 O F1 R F4
C
B F
D A 45º B F
它处于三个力作用平衡状态。
2.画AB杆受力图。 3.画自行封闭的力三角形。 4.解三角形得：
F C
F C 2 2F 28.3kN
2 2 F A 2 1 F 22.4kN
45º
A
C
FA
B
§2-4 平面汇交力系合成的解析法
一、力在坐标轴上的投影
设α为力F与x轴正向间的夹角且逆时针为正值，顺时 针为负值。 y
【例2-4】长l=3R的等截面均匀直杆AB重W＝100N， 放在半径为R的光滑半球槽内，求平衡时杆与水平面 的倾斜角θ以及A、D点的约束反力。 【解】1)选杆为研究对象，它受三个汇交力而平衡， 在三角形AGO中： O
C θ A FD 90º -θ O 2θ θ θ G D θ
B
2)列平衡方程：
F ix F A cos 2 F D cos(90 ) 0 F iy F A sin 2 F D sin(90 ) W 0 W cos 2 75N F D cos 3)求解： F A W tan 43N
合力在任意坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴 上的投影的代数和。
设
R x F ix R y F iy 三、合成的解析法
R Fi
第2章 平面汇交力系
第二章平面汇交力系一、平面共点力系与平面汇交力系平面共点力系：作用于刚体平面上同一点的若干力，称为平面共点力系。
2F 平面汇交力系概述平面汇交力系：同一刚体平面内，位于不同点平面汇交力系的各力作用线汇交于同一点的力系，称为平面汇交力系。
说明：根据力的可传性，作用于刚体的平面汇交力系一定可以转化成平面共点力系，所以二者的研究方法相同。
以下不再区分，统称为平面汇交力系。
二、工程中的平面汇交力系问题举例工程中的平面汇交力系问题举例：：OAAF四、本章的研究内容分别用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成与平衡一、平面汇交力系的合成—力的多边形法则§2-1几何法几何法（（矢量法矢量法））1）三个共点力的合成设为作用在A 点的力系},,{321F F F A1F 2F 3F RF R12F 1F 2F 3F 312R R 2112R F F F F F F +=+=321R F F F F ++=1RF 2F 3F 2）多个共点力的合成},,{21n F F F ⋯设为作用在A 点的汇交力系则该力系的合力为},,{}{21R n F F F F ⋯=∑=+++=in F F F F F ⋯21R123力多边形合力：如果一个力和一个力系等效，则此力称为该力系的合力。
说明说明：：力系的合成与力序无关∑=+++=in F F F F F ⋯21R 矢量方程为：二、平面汇交力系的平衡平衡条件1）从方程上说：2）几何平衡条件：力的多边形自行封闭R =F 123123例2-1压路碾子，自重P=20kN ，半径R =0.6m ，障碍物高h =0.08m 。
碾子中心O 处作用一水平拉力F 。
试求：（1）当水平拉力F =5 kN 时，碾子对地面及障碍物的压力；（2）欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；（3）力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F 为多大。
解：（1）取碾子为研究对（2）根据力系平衡的几何条件根据力系平衡的几何条件，，作封闭的力多边形作封闭的力多边形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F 0
F5 A
F4 F1
A
F1 F2
B
F2
C
F3
D
F3
F5
E
F4
比较下面两力多边形
B
F2
F1
A
C
B
F2
F3
D
A
F1
C
F3
D
F5
E
F4
F5
E
F4
例1、水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于 2 kN，方 向与梁的轴线成 60º 角，支承情况如图所示，试求固定铰链支 座A和活动铰链支座B的约束力，梁的自重不计。
y Fy
Fy
O
F
x Fx Fx
F1F2C来自F3DFR
FR
E
F4
注：绘制力多边形过程中各力无顺序影响，结果不变．
例、钢梁的重量为6KN，夹角为30度，求平衡时钢丝 绳的约束反力。
D 解：此为一个平面汇交力系
6KN A 6KN B
经测量，平衡时钢丝绳的约束反力均为3.45KN。
2 汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的充分必要几何条件为： 该力系的力多边形自行封闭
A C
a a
B
30º
解： 1. 取梁AB作为研究对象。
A
B C
a a
30º
2. 画出受力图。
3. 应用平衡条件画出F，FA 和FB的闭合力三角形。 4. 度量出长度
60º
FA=17.3 kN
FB=10 kN
30º 60º
30º
平面汇交力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法
a F1 A F
合力投影定理
B
F2 C
合力 F 在 x 轴上投影得 由图知
F3
D x b d (b) c
ad = ab + bc + (-dc) Fx= F1x+ F2x+ F3x
推广到任意多个力F1，F2， Fn组成的平面汇交力系，可得
F x= F1x+ F2x+ + Fnx = Fx
平面汇交力系合成的解析法
力在坐标轴上的投影
y b´
Fx F cos
B
Fy F cos
Fy
a´
F
b x
A
a
O
Fx
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间 夹角的余弦。
反之，当投影Fx，Fy 已知时，则可求出力 F 的大小和方向：
F Fx2 Fy2
Fy Fx cos , cos F F
2
合力F的方向余弦
P26， 例题3-3
FRy Fiy FRx Fix cos , cos FR FR FR FR
平面汇交力系平衡的解析条件
FR F F
2 Rx 2 Ry
F F
2 ix iy
2
0
力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等
合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的 投影的代数和。 证明： 以三个力组成的汇交力系为例。设有三个汇交力F1，F2， F3如图a。
F1 A F2 F1 B A F D x F2
C
F3
F3 (a)
(b)
§3–1 平面汇交力系
各力在 x 轴上投影 F1x= ab , F2x= bc , F3x= -dc Fx= ad
于零。 平面汇交力系的平衡方程
F F
x
0
0
P27， 例题3-4
y
2个方程，求解2个未知量
思考题
应用解析法求解平面汇交力系的合力时，取不同的直
角坐标系时，所求合力是否相同？
应用解析法求解平面汇交力系平衡问题时，所取的投
影轴是否一定要互相垂直？
力沿两轴分力的大小和在该两轴上的投影大小相等吗？
向由力多边形的封闭边来表示，且作用线通过汇交点。
n FR F1 F2 F3 F4 Fn Fi i 1
力的多边形规则 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段，加上一封
闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
F1 A F2 F4 F3
A B
根据合力投影定理得
y
FRx F1x F2 x Fnx Fix FRy F1 y F2 y Fny Fiy
合力的大小
A FRy FRy O
FRx
FR
B
FRx
FR F F
2 Rx 2 Ry
F F
2 ix iy
§3.1 平面汇交力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法
第三章 平面基本力系
§3.1 平面汇交力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法
第三章 平面基本力系
合成的几何法：基于平行四边形法则
平面汇交力系的合成结果为一个合力，其大小与方