16.3分式方程(二)
16。3(2)分式方程的应用导学案
（教师备课栏及学生笔记栏）15．3．2 分式方程的应用教学目标：1.会分析题意找出等量关系.2.会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.3.通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，使学生能用所学的知识服务于我们的生活。
教学重点：利用分式方程组解决实际问题.教学难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.导学过程：一、复习•预习1．解分式方程的步骤有哪些？每一步你最容易出错在哪些方面？2．列方程应用题的五个步骤是：__________；_______；_______;______;_________。
3．我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？(1)行程问题：基本公式：____________.(2) 工程问题基本公式：________________________(3) 顺水逆水问题v顺水=____________; v逆水=________________二、例题探解例3．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。
哪个队的施工速度快？【引导分析】甲队一个月完成总工程的31，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的x1，那么甲队半个月完成总工程的（），乙队半个月完成总工程的（），两队半个月完成总工程的（）。
等量关系是：（）解：（教师备课栏及学生笔记栏）（教师备课栏及学生笔记栏）练习：（1）要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，恰好在规定的日期内完成，如果乙单独做，则要超过规定如期3天才能完成，现甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成，问规定的日期是多少天？例4：从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时。
用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？引导分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前的平均速度为x千米/时，则提速前列车行驶s千米所用的时间为（）小时，提速后列车的平均速度为（）千米/时，提速后列车行驶（s＋50）千米所用的时间为（）小时。
16.3分式方程2
16.３分式方程2主备人：张思维一、教学目标：1.了解分式方程的应用步骤，会找里面的等量关系、数量关系，列出方程.2.工程问题和行程问题在分式方程中的应用.二、教学难点与重点：难点：会列出分式方程.重点：能找出分式方程里的等量关系、数量关系.三、预习提纲：1.解方程解应用题的一般步骤是什么？2.例题分析：工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.那个队的施工速度快？分析：甲队单独一个月完成工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______.问题中的等量关系是什么？（用文字语言叙述）解：3.2004年5月某列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行使50千米，提速前列车的平均速度为多少？分析：这里的v、s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x千米/时，先考虑下面的填空：提速前列车行驶s千米所用的时间为小时，提速后列车的平均速度为千米/时，提速后列车运行千米，用时间为小时。
解：4应用：①农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走过40分钟，其余人乘汽车去，结果同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求两车的速度分别为多少？②小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多53倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？四、当堂检测：A 组：1. 沿河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，此船一次往返所需时间为( ) A.b a s +2小时 B.ba s -2小时 C.(b s a s +)小时 D.(ba sb a s -++)小时 2.小强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A.21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21140140++x x =14 D.211010++x x =13. 甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲每天比乙多做a 个，甲做m 个所用的天数与乙做n 个所用的天数相等（其中m ≠n ），设甲每天做x 个零件，则甲、乙两人每天所做零件的个数分别是（ ） A.n m am -、n m an - B. n m an -、nm am - C.n m am +、n m an + D.m n am -、mn an - B 组：4. 当x= ,方程11x +与11x -互为相反数. 5. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 千米，那么可提前到达________小时.6. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为 .C 组：7. 设A=1-x x ，B=1132+-x ，当x 为何值时，A 与B 的值相等？8.两名教师带若干名学生去旅游，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司给的优惠条件是：1名教师按行业统一规定收全票，其余按7.5折收费；乙公司给的优惠条件是：全部按8折收费，经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜321，那么参加旅游的学生的人数是多少？9. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？五、作业：A 组：1.在一次军事演习中，红方装甲部队按原计划从A 处向距离150km 的B 地的蓝方一支部队直接发起进攻，但为了迷惑蓝方，红方先向蓝方另一支部队所在的C 地前进，当蓝方在B 地的部队向 C 地增援后，红方在到达D 地后突然转向B 地进发。
分式方程的解法及应用
§16.3.1分式方程的解法(一)【教学目标】知识与技能：理解分式方程的概念；过程与方法：探索并掌握分式方程的解法；情感态度与价值观：理解分式方程增根产生的原因．【教学重点】掌握分式方程的解法及理解增根产生的原因．【教学难点】理解分式方程增根产生的原因．【学习过程】一、引入：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同．已知水流速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．（设未知数列方程）二、新知：1．分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．增根：在将在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．例1．解方程：806033x x=+-．例2．解方程：12112-=-xx．例3．解方程：（1）100307x x=-；（2）1122xx x-=--；（3）131x xx x+=--（4）31523162x x-=--；（5）0212322=--+x x x x ； （6）21233x x x-=---．三、课堂练习： 1．解下列方程： （1）3513x x =++； （2）263x x x x -=--；（3）2211566x x x x =+-++； （4）232703x x -=-； （5）151511.54x x -=； （6）665122+=++x xx x ．§16.3.1分式方程的解法(二)【教学目标】知识与技能：使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程；会解含有常数项的分式方程.过程与方法：经历探究，找到化分式方程为整式方程的方法.情感态度与价值观：渗透转化思想.【教学重点】会按一般步骤解含有常数项的可化为一元一次方程的分式方程.【教学难点】含有常数项的可化为一元一次方程的分式方程.【学习过程】一、引入：解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程.转化方法：在分式方程的两边同时乘以一个整式约去分母，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母.解方程（1）314725x x=+-；（2）221146x x+--=.二、新知：例1：解方程：21133x xx x=+++；练习：（1）213xx x+=+；（2）31523162x x-=--；例2：13122x x x --=--.练习：（1）21142xx x-=--； （2）31122x x x -=---；（3）2512552x x x +=+-； （4）2111x x x x++=+. 例3：2431422x x x x x +-+=--+.练习：（1）21212339x x x -=+--； （2）22122563x x x x x x x --=--+-.§16.3.1分式方程的应用----行程问题【教学目标】知识与技能：能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理。
分式整章教案
第十六章分式一、教学内容：分式的概念、基本性质、约分与通分，加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。
全章共包括三节：16．1分式 16．2分式的运算 16．3分式方程二、本章知识结构框图：三、课程学习目标：1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。
2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。
3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。
4．结合分式的运算，将指数从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。
5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。
§16.1.1 从分数到分式一．教学目标（1）知识与技能目标：掌握分式概念，学会判别分式何时有意义，能用分式表示数量关系。
（2）过程与方法目标：经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比转化、合情推理、抽象概括等。
（3）情感与态度目标：通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会分式的模型思想。
二．教学重难点重点：分式的概念；难点：识别分式有无意义；用分式描述数量关系 三．教法与学法主要采用‚引导—发现教学法‛，借助于计算机课件，通过‚问题情境—建立模型—解释、应用与拓展‛的模式展开教学。
四、例、习题的意图分析本章从实际问题引出分式方程v +20100=v -2060，给出分式的描述性的定义：像这样分母中含有字母的式子属于分式. 不要在列方程时耽误时间，列方程在这节课里不是重点，也不要求解这个方程.1．本节进一步提出[思考]让学生自己依次填出：710，a s ，33200，s v .为下面的[观察]提供具体的式子，就以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母.[归纳]顺理成章地给出了分式的定义.分式与分数有许多类似之处，研究分式往往要类比分数的有关概念，所以要引导学生了解分式与分数的联系与区别.希望老师注意：分式比分数更具有一般性，例如分式B A可以表示为两个整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数 .2．[思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式 B A才有意义.3． 例1填空是应用分式有意义的条件—分母不为零，解出字母x 的值.还可以利用这道题，不改变分式，只把题目改成‚分式无意义‛，使学生比较全面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范围，打下良好的基础.4．[拓广探索]中第13题提到了‚在什么条件下，分式的值为0？‛，下面补充的例2为了学生更全面地体验分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零.这两个条件得到的解集的公共部分才是这一类题目的解.四．教学过程 发现新知 1.创设情境：‚代数式‛庄园的果树上挂满了‚整式‛的果子：t ，300，s ，n ，a-x ，0，180(n-2)，BA请你任选其中的两个，分别运用整式的四则运算，合成四个代数式；并与同组的伙伴交流你的成果。
16[1].3.分式方程与实际问题(二)
![16[1].3.分式方程与实际问题(二)](https://img.taocdn.com/s3/m/b89dbe0890c69ec3d5bb7528.png)
课题：16．3.分式方程与实际问题（二）学习目标：1.能分析出实际问题中的等量关系，列出方程；2.熟悉列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；3.培养学生应用意识。
重点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结论。
难点：寻求实际问题中的等量关系，正确列出分式方程。
学习过程：一。
课前准备1.列分式方程解应用题的方法与步骤为：二．师生探究（行程问题）【例2】从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？思路点拨：明确这里的字母V、S表示已知量，可以根据行驶时间不变直接设提速前列车的平均速度是X千米/小时，列出方程补充例题：A，B两地相距100千米，两辆汽车从A地开往B地，让大汽车比小汽车早出发5小时，结果小汽车和大汽车同时到达B地.已知两车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度. 三．知识运用（只列分式方程，不求解）1.已知甲车行驶45千米的时间与乙车行驶30千米的时间相同，如果甲车每小时比乙车快3千米，问两车的速度各为多少？2.A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车和小汽车同时出发，结果小汽车比大汽车早到3小时.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.3.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，想容器中注满水的全过程共用时间t分。
求两根水管各自的注水速度。
（要考虑大水管的进水速度是小水管进水速度的多少倍。
）4.小明和小亮进行百米比赛。
当小明到达终点时，小亮距离终点还有5米，如果小明比小亮每秒多跑0.35米，你知道小明百米跑的平均速度是多少吗？5.某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?6、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。
八年级数学下册 分式方程
八年级数学下册分式方程疑难分析1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．2．分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系式的代数式是分式而已．一般地，列分式方程解应用题的步骤：（1）审题，理解题意；（2）设未知数；（3）找出相等关系；（4）解这个分式方程；（5）检验，看方程的解是否满足方程和符合题意；（6）写出答案．例题选讲例1 解下列方程：（1）2233x xx x++=+-；（2）5102552xx x+-=--.解：（1）原方程可变为：（x+2）(x-3)=(x+2)(x+3)x2-x-6=x2+5x+66x=-12∴x=-2检验：当x=-2时，公分母（x+3）(x-3)=-5≠0.∴原方程的解为x=-2.（2）原方程可变为：5102525xx x--=--，方程两边同乘以2x-5得：x-5-(2x-5)=0解这个整式方程得：x=0检验：把x=0代入最简公分母：2x-5=-5 ≠0. ∴x=0是原方程的根.评注：检验是解分式方程不可缺少的一步，在检验时，只需把整式方程的解代入最简公分母判定它是否为零．例2 A、B两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购贷方式不同，其中，采购员A每购买1000千克，购贷员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购贷方式合算？解：设两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元（m>0,n>0,m≠n），购货员A两次购买饲料的平均单价为10001000100010002m n m n++=+（元／千克）．购货员B两次购买饲料的平均单价为8008002800800mnm nm n+=++（元／千克）．而222()2()mn mn m nm n m n m n--=+++＞0.∴22m n mnm n+=+．也就是说，购货员A所购饲料的平均单价高于购货员B所购饲料的平均单价，所以选用购货员B的购买方式合算．评注：此例告诉我们，学会应用数学知识去处理日常生活中的经济问题，可以帮助我们获得较好的经济收益．例3：一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12升水，第2次倒出水量是12升的13，第3次倒出水量是13升的14，第4次倒出水量是14升的15……第n次倒出水量是1n升的11n+……按照这种倒水的方法，这1升水经多少次可以倒完？解：倒n次水的总倒水量为111111 2233445(1)(1)n n n n++++++⨯⨯⨯-+①根据分式的减法法则：11111(1)(1)(1)n nn n n n n n n n+-=-=++++反过来有111(1)1n n n n=-++②利用②可以把①改写成111111111 ()()()() 2233411n n n n+-+-+-+--+③合并③中的相反数，得111n-+，即倒n次水的总倒水量为：111n-+=1nn+（升）评注：你可能会想到通过实验探寻问题的答案，但是实验中要精确地测量倒出水量，当倒出水量很小时测量的难度非常大，我们能否用数学方法替代实验解决这个问题呢？可以发现，按这种方法倒水，随着倒水次数n 的不断增加，总倒水量1nn +也不断增加，然而，不论倒水次数n 有多大，总倒水量1nn +总小于1，因此容器中的1升水是倒不完的，这样，我们就用数学方法分析解决了上面的问题．基础训练一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇，若同向而行，则b 小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）.（A ）a b b + (B)b a b + (C)b a b a +- (D)b ab a-+ 2．要把分式方程3124x x=-化成整式方程，方程两边需要同时乘以（ ）. （A ）2x-4 (B) x (C)2(x-2) (D)2x(x-2) 3．方程21111x x =--的解是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）±1 （D ）0 4．把分式方程11122xx x--=--的两边同时乘以（x-2），约去分母得（ ）. （A ）1-（1-x ）=1 （B ）1+(1-x)=1 （C ）1-（1-x ）=x-2 （D ）1+(1-x)=x-25．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x 公顷，根据题意列方程正确的是（ ）.（A ）24024054x x +=+ （B ）24024054x x -=+（C ）24024054xx +=- （D ）24024054x x -=-二、填一填6．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．解题方案设李明原计划平均每天读书x 页，用含x 的代数式表示： （1）李明原计划读完这本书需用天； （2）改变计划时，已读了页，还剩页；（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需天；（4）根据问题中的相等关系，列出相应方程．7．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：111u v f+=.若f=6厘米v=8厘米，则物距u=厘米．8．已知22334422,33,44,112233⨯=+⨯=+⨯=+若1010a ab b⨯=+（a、b都是整数），则a+b的最小值是．9．已知14xx+=，则2421xx x=++．10．已知113x y-=，则分式2322x xy yx xy y+---的值为．11．某商店经销一种商品，由于进货价降低了6．4%，使得利润提高了8%，那么原来经销这种商品的利润率是%．三、做一做12．解方程（1）31144xx x--=--；（2）311(1)(2)xx x x-=--+.13．观察图示的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：①1112⨯=-②22 2233⨯=-③33 3344⨯=-④44 4455⨯=-……（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式．14．阅读下面对话：小红妈：“售货员，请帮我买些梨．”售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高．”小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱．”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻．试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价．四、试一试15．甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个,现在要求甲生产出168个这种零件,要求乙生产出144个这种零件,他们两人谁能先完成任务呢?16．3 分式方程二、6.(1)200x；(2)5x ,200-5x；(3)20055xx-+；(4)200520015xx x-+=+7.24 8.19 9.11510.35三、12.(1)3；(2)无解 13.(1)555566⨯=-；(2)11n nn nn n⨯=-++14.梨的单价为4元/千克,苹果的单价为6元/千克.四、当乙每小时生产的零件多余48个,则乙先完成任务,如果乙每小时恰好生产48个零件,则两人同时完成任务;如果乙每小时生产的零件少于48个,则甲先完成任务.16.3 分式方程（1）一、教学目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．二、教学重点和难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2．教学难点：检验分式方程解的原因3．疑点及分析和解决办法：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握．三、教学方法启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．四、教学手段演示法和同学练习相结合，以练习为主．五、教学过程(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．解：(1)当x=0时，右边=0，∴左边=右边，这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．(二)新课板书课题：板书：分式方程的定义．分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．练习：判断下列各式哪个是分式方程．在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)是分式方程．先由同学讨论如何解这个方程．在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．解：两边同乘以最简公分母2(x+5)得2(x+1)=5+x2x+2=5+xx=3．如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．检验：把x=3代入原方程左边=右边∴x=3是原方程的解．（三）应用一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v ）千米/时，逆流航行的速度为（20－v ）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为v 20100＋小时，逆流航行60千米所用的时间为v2060－小时。
华师大版数学八年级下册16.3《可化为一元一次方程的分式方程》(第3课时)教学设计
华师大版数学八年级下册16.3《可化为一元一次方程的分式方程》（第3课时）教学设计一. 教材分析《可化为一元一次方程的分式方程》是华师大版数学八年级下册第16.3节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握分式方程的解法，通过将分式方程转化为整式方程，让学生理解分式方程的解法实质，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了分式的概念、性质和运算，对分式有了一定的认识。
但是，对于分式方程的解法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将分式方程转化为整式方程，让学生通过已有的知识解决新的问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的解法，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的解法。
2.难点：如何将分式方程转化为整式方程，以及如何运用分式方程解决实际问题。
五. 教学方法1.自主学习：让学生在课堂上自主探究分式方程的解法。
2.合作交流：引导学生分组讨论，分享解题心得。
3.实例讲解：通过具体例子，让学生理解分式方程的解法在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示分式方程的解法。
2.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入分式方程的概念，让学生回顾分式的性质和运算。
2.呈现（10分钟）展示分式方程的解法，引导学生将分式方程转化为整式方程。
3.操练（10分钟）让学生独立解决一些简单的分式方程，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）讲解一些典型的分式方程案例，让学生进一步理解分式方程的解法。
5.拓展（10分钟）引导学生运用分式方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，让学生明确分式方程的解法及其在实际问题中的应用。
16.3.2分式方程的应用 2
(a1、a2分别表示甲、乙两种糖果的单价，m1、m2
分别表示甲、乙两种糖果的质量千克数)。已知a1=30元
/千克，a2=20元/千克。现在单价为24元/千克的这种混
合糖果100千克，商场想通过增加甲种糖果，把单价提 高10%，问应加入甲种糖果多少千克？你能帮商场算出 结果吗？
单价 =
总价格 总质量
课堂小结
解：设提速前的速度为x,提速后为x+v,则
sv 解得 x 50 sv sv 检验 x 时，x(x+v) ≠0, x 是方程的解。 50 50 ： sv 答：提速前列车的平均速度为 千米/小时 50 。
s s 50 x xv
1、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急 通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队
江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所
用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
解：设水流的速度为x, 则 72 48 20 x 20 x
5、甲、乙两列车分别从相距300 千米的A、B两站同时相向而行。 相遇后，甲车再经过2小时到达B 站，乙车再经过4小时30分到达A
站，求甲、乙两车的速度。
想一想1：
某次测试，初二（5）班55位同学中，80分的 有25位，90分的有30位，班级平均分怎么算？
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1、加深解分式方程的思路
2、利用增根解决问题 3、分清“有增根”和“无解”的 区别
x 1 m 1.m为何值时，方程 x 1 x 1 增根？
会产生
3 k 1 2.若关于x的方程 产生增 1 x 根，k为何值？ x 1
变式1：
k 1 x 3 k为何值时，方程 x2 2 x
无解？
变式2：
k为何值时，方程
k 1 x 3 有解？ x2 2 x
思考：“方程有增根”和“方程无解” 一样吗？
例4： x k x 0 k为何值时，分式方程 x 1 x 1 x 1 无解？ 解： 方程两边都乘以(x-1)(x+1),得 x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0 解，得
整式方程
1 3 (2) x2 x
x ( x 1) (4) 1 x
(3)
3 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1 x 2 10 （6） x 5 2
1 （5）x 2 x
2x 1 3x 1 x
分式方程
解分式方程 的步骤是什 么？ 解分式方程和解整式方程有什么区别？
(1) 3(X-3)=2X
2、解这个整式方程.
3、检验 4、写出原方程的根. 为什么要检验？
一化二解三检验
1 10 例1： 解分式方程： 2 x 5 x 25
方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10 解得： x=5
为什么会产生 增根？增根产 生的原因？
检验：当x=5时最简公分母（x-5）（x+5）=0， 所以x=5是增根。
例2：k为何值时，方程 增根？
k 1 x 3 产生 x2 2 x
问：这个分式方程何时有增根？ 答：这个分式方程产生增根，则增根一定是使 方程中的分式的分母为零时的未知数的值，即 x=2。 问:当x=2时，这个分式方程产生增根怎样利用 这个条件求出k值？
答：把含字母k的分式方程转化成含k的整式方 程，求出的解是含k的代数式，当这个代数式等 于2时可求出k值。
例3：
k为何值时，分式方程 有增根？ 解： 方程两边都乘以(x-1)(x+1),得
x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0 解，得
k x k2
x k x 0 x 1 x 1 x 1
• 当x=1时,原方程有增根，则k=-1
• 当x=-1时，k值不存在 ∴当k=-1，原方程有增根。
原分式方程无解。
对于分式方程，当分式中分母的值为零时无 意义，所以分式方程，不允许未知数取那些 使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐 含着分母不为零的条件。当把分式方程转化 为整式方程以后，这种限制取消了，换言之， 方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化 后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允 许值之外的值，那么就会出现增根。
k x k2
• 当x=1时,原方程无解，则k=-1
• 当x=-1时，k值不存在 • 当k=-2时，k+2=0, 原方程无解
∴当k=-1或k=-2时，原方程无解
思考：“方程有增根”和“方程无解” 一样吗？ “增根”是你可以求出来的，但代入后方 程的分母为0无意义，原方程无解。 “无解”包括增根和这个方程没有可解的根
变式2： K取何值时，分式方程 有解？
x k x 0 x 1 x 1 x 1
x-3 1.解关于x的方程 x-1 = 则常数m的值等于( ) (A)-2 (B)-1
m x-1 (C ) 1
产生增根,
(D) 2
x m 2.当m为何值时，方程 x 3 2 x 3
无解？有解呢？
例2：k为何值时，方程
k 1 x 3 产生增根？ x2 2 x
解：方程两边都乘以x-2，约去分母，得
k+3（x-2)=x-1 解这个整式方程，得
5k x 2
当x=2时，原分式方程产生增根，即
5k 2 2
解这个方程，得 K=1
k 1 x 3 所以当k=1时，方程 产生增根。 x2 2 x
1.什么是整式方程？ 分母里不含有未知数的方程叫 做整式方程。 2.什么是分式方程? 分母里含有未知数的方程叫做 分式方程。
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,
它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与
以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水
的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
3 2 (2) x x3
3X-9=2X 解得 X=9 检验：X=9时X(X-3) ≠0 所以X=9是原方程的解
解：去括号，得3x-9=2x 方程两边同乘以X(X-3)得： 移项，得3x-2x=9 解得x=9
解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做分式方程.
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。 以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
x2 x (1) 2 3
4 3 7 x y