分式方程与一元二次方程应用(20题)
人教版数学九年级上学期课时练习-可化为一元二次方程的分式方程专题(人教版)
专题21.28 可化为一元二次方程的分式方程专题（专项练习）一、解答题1．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1）231x =+ （2）131x x =-（3）22x x+（4）2211x x x =--2．解方程：2311x x x =+-．3．解方程： （1）241142x x =--- （2）11222x x x-+=--4．解方程： (1)3222xx x=---； (2)4x 2－8x +1＝0．5．解方程（1）21133x xx x =-++ （2）2227361x x x x x x +=+--6．解方程： (1)2430x x --= (2)213111x x x +-=--．7．解方程：(1)x 2+6x ＝﹣1（配方法） (2)263111x x -=--8．解方程：（1）2420x x --=； （2）53212x x =+-．9．解方程：(1)解方程：x 2－6x ＋9＝（2x －1）2(2)化简：2122(1)x x x --÷．10．解方程（组）：(1)28124x x x -=--(2)11232(3)3(2)x xx x -⎧->-⎪⎨⎪->-⎩11．解方程：(1)()()2240x x +-+=；(2)214123x x+=+．12．（1）计算：101|1()(2021)2π--+---（2）解不等式组：3(2)41213x x x x --≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩；（3）解方程：322112x x x=---； （4）解方程：x 2﹣4x +4＝3x ﹣6．13．解分式方程：224124xx x -=-+-14．解方程：2412x x x x--=-．15．解分式方程：252112x x x +-＝3．16．解方程214124x x +=-+-．17．解方程： (1)2x －6x －4＝0 (2)x －12x -＝+23x +118．解方程： (1)13012x x+=++(2)22440x x +-=19．解方程： (1)2340x x +-=(2)2269(52)x x x -+=-(3)(1)(3)12x x -+= (4)221111x x +=--20．解分式方程21211x x x -=++21．解方程(组)：(1)3423x y x y -=-⎧⎨-=-⎩(2)213111x x x --=+-；(3)x (x －7)＝8(7－x ).22．解方程： (1)2230x x --=； (2)21124x x x -=--．23．解方程：22321=011x x x x x --+--.24．解方程：1y =25．解方程：2231224x xx --=--．26．解方程(1)21111x x x +=-- (2)x 2＋4x －1＝027．解方程： （1）225x x +=； （2）14733x x x-+=--．28．解方程： （1）24142x xx x +=-+ （2）22530x x +-=（3）2(2)36x x +=+29．解方程：（1）（x ﹣1）（x +3）＝2x +4； （2）2311x x x x-+--＝0．30．解方程： （1）31144x x x-+=--； （2）x 2﹣4x +2＝0；（3）x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）．31．解方程：（1）2(5)360x --=； （2）230x x +-=．（3）214111x x x +-=---．32．（1）化简：a b a b b a +-- （2）解方程：261393x x x x -=+--33．计算题（1）分解因式：x 3﹣2x 2y +xy 2；（2）解不等式组：()214137136x x x x ⎧++⎪⎨---≤⎪⎩＜；（3）解方程：2411x x x =+--1； （4）解方程：x （2x +1）＝8x ﹣3．参考答案1．（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程．解：（1）231x =+是分式方程，去分母可转化为3x +3=2，不是一元二次方程，（2）131x x =-是分式方程，去分母可转化为3x =x -1，不是一元二次方程， （3）22x x+是分式，不是分式方程，（4）2211x x x =--是分式方程，去分母可转化为x 2+x =2，是可化为一元二次方程的分式方程，∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点拨】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．2．x 1=-12，x 2=3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x (x -1)=3(x +1)，整理得：2x 2-5x -3=0，即(2x +1)(x -3)=0， 解得：x 1=-12，x 2=3，检验：把x 1=-12，x 2=3代入得：（x +1）（x -1）≠0，∴x 1=-12，x 2=3都是方程的解．【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．3．（1）1x =-；（2）无解 【分析】先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 解：（1）去分母，得()()()4222x x x =+-+-，整理，得220x x --=， 解得11x =-，22x =，经检验，11x =-是原方程的根，22x =是增根，故原方程的根为1x =-．（2）去分母，得()1221x x +-=-， 去括号，得1241x x +-=-， 移项，合并同类项，得2x =， 检验：把2x =代入20x -=， 所以此方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，解题关键是熟练运用分式方程的解法进行求解，注意：分式方程要检验．4．(1)73x =(2)x x ==【分析】（1）去分母，合并同类项，即可解出； （2）先配方，再求解(1)解：去分母得，32(2)()x x =---去括号得，334x =- 73x =(2)解：原方程变为，()22810x x -+=()222284410x x -+-+=()22415x -=x =x =x =【点拨】本题考查分式方程和一元二次方程的解法，掌握去分母、配方是本题关键． 5．（1）34x =；（2）37x = 【分析】（1）把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．（2）两边同乘以最简公分母(1)(1)x x x +-，即可把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．解：（1）21133x xx x =-++，()()312131x xx x x +-=++ ， ()()()3163131x x xx x +-=++ ，两边同时乘以()31x +得： 633x x x =+- ， 43x = ， 34x =， 经检验34x =是原方程的根． （2）2227361x x x x x x +=+--， ()()()()73611+11x x x x x x x +=+-- ，两边同乘以(1)(1)x x x -+得：()()()()()()()()71316111111x x x xx x x x x x x x x -++=+-+-+- ，7(1)3(1)6x x x x -++=， 277336x x x x -++= ， 271030x x -+= ，()()1730x x --= ，10x -=或730x -=，解得：1231,7x x ==， ∴220,10x x x -≠-≠ ， ∴1x ≠ ， ∴37x =， 经检验37x =是原方程的根． 【点拨】本题考查求解分式方程，一元二次方程．把分式方程转化为整式方程是解题关键，且需要注意验根．6．(1)1x =22x =x ＝12【分析】（1）首先把常数项夫－3移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数－4的一半的平方，配方完成后，开方求解即可求得答案；（2）首先去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求得答案，再检验即可．(1)解：2430x x --=243x x -=24434x x -+=+2(2)7x -=∴2x -=∴1x =22x =(2)解：213111x x x +-=-- 方程两边同乘以（x +1）（x ﹣1）得：（x +1）2﹣3＝（x +1）（x ﹣1），整理得：x 2+2x +1﹣3＝x 2﹣1，解得：x ＝12 ，检验，当x ＝12时，（x +1）（x ﹣1）＝（12+1）（12﹣1）≠0，∴x ＝12是原方程的解． 【点拨】此题考查了配方法解一元二次方程与分式方程的求解方法．解题的关键是注意配方法的步骤与分式方程需检验．7．(1)x 1＝﹣，x 2＝﹣3﹣(2)x ＝﹣4【分析】（1）利用配方法求出解即可；（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．(1)解：配方得：x 2+6x +9＝8，即（x +3）2＝8，开方得：x +3＝，所以x 1＝﹣，x 2＝﹣3﹣； (2)263111x x -=-- 解：方程两边都乘（x +1）（x -1），得6-（x +1）（x -1）=3（x +1），解得：x =-4或x =1，检验：当x =1时，（x +1）（x -1）=0，所以x =1是原方程的增根，当x =-4时，（x +1）（x -1）≠0，所以x =-4是原方程的解，即原方程的解是x =-4．【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．8．（1）12x =，22x =；（2）13x =-【分析】（1）按配方法解一元二次方程即可；（2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项并系数化为1的步骤解分式方程，并对结果进行检验．解：（1）2420x x --=，24424x x -+=+，2(26)x -=，2x -=∴12x =，22x =；（2）解：53212x x =+-， 去分母，得 ()()52321x x -=+，去括号，得 51063x x -=+，移项、合并同类项并系数化为1，得 13x =-，经检验，13x =-是该方程的解．【点拨】本题主要考查了一元二次方程及分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程与分式方程的解题方法和步骤是解题关键．9．(1)143x =，22x =-(2)2x 【分析】 （1）先对方程进行变形，用因式分解法解方程即可；（2）先根据异分母分式相加减对括号中的分式进行运算，然后用分式除法法则进行运算即可．(1)x 2－6x ＋9＝（2x －1）2解：方程可变为：()()22321x x -=-，移项得：()()223210x x ---=，因式分解得：()()3420x x ---=，∴340x -=或20x --=， 解得：143x =，22x =-． (2)2122(1)x x x --÷ ()2211x x x x x -⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ ()2121x x x x -=⋅- 2x =． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程和分式混合运算，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．10．(1)1x =-(2)30x -<<【分析】（1）方程两边同时乘以()()22x x +-，然后解整式方程即可，（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：(1)28124x x x -=-- 2248x x +-+=220x x -+=()()210x x -+=解得122,1x x ==-经检验，1x =-是原方程的根，2x =是原方程的增根∴方程的解为1x =- (2)11232(3)3(2)x x x x -⎧->-⎪⎨⎪->-⎩①②解不等式∴得：3x >-解不等式∴得：0x <∴不等式的解集为：30x -<<【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．11．(1)10x =，23x =-(2)113x =-，23x = 【分析】（ 1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （ 2）整理后求出24b ac -的值，再代入公式求出答案即可．解：(1)()()2240x x +-+=，24440x x x ++--=，230x x +=，(3)0x x +=， 0x =或30x +=，解得：10x =，23x =-； (2)214123x x +=+， 23386x x +=+，23830x x --=，这里3a =，8b =-，3c =-，()()22484331000b ac -=--⨯⨯-=>，x ∴==解得：113x =-，23x =． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．12．（1）4- ；（2）1x ≤；（3）13x =- ；（4）122,5x x == 【分析】（1）先根据绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂化简，再合并，即可求解；（2）先分别求出两个不等式，即可求解；（3）先去分母化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解；（4）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法解答，即可求解．解：（1）101|1()(2021)2π--+---121=----4=- ；（2）3(2)41213①②--≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩x x x x 解不等式∴，得：1x ≤ ，解不等式∴，得：4x < ，所以不等式组的解集为1x ≤；（3）322112x x x=--- 两边同时乘以21x - ，得：()2213x x =-+ ， 解得：13x =- ， 检验：当13x =-时，152121033x ⎛⎫-=⨯--=-≠ ⎪⎝⎭ ， 所以原方程的解为13x =-； （4）x 2﹣4x +4＝3x ﹣6整理得：27100x x -+= ，所以()()250x x --= ，解得：122,5x x == ．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，分式方程，一元一次不等式组，二次根式混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．13．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可． 解：224124x x x -=-+-， 两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点拨】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．14．x ＝4或x ＝1．【分析】设y ＝2x x -，方程变形为：y ﹣2y ＝1，将分式方程转化为整式方程，再解方程，注意结果要进行检验． 解：2412x x x x--=-， 整理，可得()2212x x x x --=- 设y ＝2x x -， 方程变形为：y ﹣2y＝1， 去分母得：y 2﹣y ﹣2＝0，即（y ﹣2）（y +1）＝0，解得：y ＝2或y ＝﹣1， ∴2x x -＝2或2x x -=-1， 解得：x ＝4或x ＝1，经检验x ＝4或x ＝1都为分式方程的解，∴原分式方程的解为x ＝4或x ＝1．【点拨】本题考查解分式方程，因式分解法解一元二次方程，应用换元法解方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，特别注意：分式方程结果要进行检验．15．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18， 检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0． 即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18． 【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 16．1x =【分析】根据解分式方程的步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，因式分解法解一元二次方程，再检验即可． 解：214124x x +=-+-， 去分母，得x -2+4=-x 2+4，移项，合并同类项，得x 2+x -2=0，即(x +2)(x -1)=0，则x 1=-2，x 2=1．经检验，2x =-是原分式方程的增根，1x =是分式方程的解，所以1x =．【点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意：解分式方程时要检验．17．(1)13x =23x =x =7【分析】（1）用一元二次方程的求根公式求解即可；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1，即可求得方程的解． 解：(1)∴2(6)41(4)52∆=--⨯⨯-=∴3x =即13x =23x =解：(2)去分母得：63(1)2(2)6x x x --=++去括号得：633246x x x -+=++移项得：632463x x x --=+-合并同类项得：x =7【点拨】本题考查了解一元一次方程及解二元一次方程，解二元一次方程时，要根据方程的特点灵活选取解方程的方法．18．(1)54x =-(2)11x ，21x = 【分析】（1）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意结果要进行检验；（2）原方程化简后，使用配方法解一元二次方程．解：(1)13012x x+=++ 方程两边都乘以()()12x x ++，得()2310x x +++= 解得54x =-．检验：当54x =-时，()()120x x ++≠ 所以54x =-是原分式方程的解 解：(2)22440x x +-=整理，可得：2220x x +-=222x x +=x 2+2x +1=2+1，()213x +=1x +=11x =，21x =【点拨】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程的步骤，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．19．(1)1241x x =-=，(2)12823x x ==，(3)1253x x =-=，(4)12x x ==【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）方程左边利用完全平方公式变形，再直接开平方即得出两个一元一次方程，求解即可；（3）方程整理，再利用因式分解法解方程即可；（4）将分式方程改为整式方程，再根据公式法求一元二次方程的解，最后检验即可．(1)解：2340x x +-=(4)(1)0x x +-=∴1241x x =-=，；(2)解：2269(52)x x x -+=-整理，得：22(3)(52)x x -=-∴352x x -=-或3(52)x x -=-- ∴12823x x ==，； (3)解：(1)(3)12x x -+=整理，得：22150x x +-=(5)(3)0x x +-=∴1253x x =-=，；(4)解：221111x x +=-- 方程两边同时乘21x -，得：22(1)1x x ++=-，整理，得：240x x --=∴12x x ==经检验12x x =是原分式方程的根，∴原方程的解为12x x ==． 【点拨】本题考查解一元二次方程和解分式方程，掌握解一元二次方程和解分式方程的步骤和方法是解题关键．20．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． 解：21211x x x -=++ 化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1≠0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点拨】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．21．(1)11x y =-⎧⎨=⎩(2)x ＝－12(3)x 1＝7，x 2＝－8 【分析】（1）根据代入消元法，可得方程组的解；（2）根据等式的性质，化为整式方程，根据解整式方程，可得答案；（3）先移项，再提公因式，再求解即可．(1)3423x y x y -=-⎧⎨-=-⎩①②解：由∴，得y ＝3x ＋4∴将∴代入∴，得x －2(3x ＋4)＝－3，解得x ＝－1，将x ＝－1代入∴，解得y ＝1.所以原方程组的解为11x y =-⎧⎨=⎩； (2)213111x x x --=+-； 解：方程两边都乘(x ＋1)(x －1)，得(x －1)2－3＝(x ＋1)(x －1)，解得x ＝－12.经检验，x ＝－12是原方程的解．(3)x (x －7)＝8(7－x ).解：原方程可变形为x (x －7)＋8(x －7)＝0，(x －7)(x ＋8)＝0.x －7＝0，或x ＋8＝0.∴x 1＝7，x 2＝－8.【点拨】本题考查了解二元一次方程组、分式方程及一元二次方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验分时方程的根．22．(1)11x =-；23x =(2)32x =- 【分析】(1)利用因式分解法求方程的根．(2)化成整式方程，计算，注意验根．解：(1)2230x x --=，因式分解，得(3)(1)0x x -+=，解得11x =-；23x =，故方程的两个根为11x =-；23x =．解：(2)21124x x x -=--， 去分母，得2(2)14x x x +-=-， 解得32x =-， 经检验，32x =-是原方程的根． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，熟练选择正确的解法是解题的关键．23．x =13- 【分析】观察可得最简公分母是（x +1）（x -1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：因式分解得：()()()321=0111x x x x x x --++-- 方程的两边同乘（x +1）（x -1），得：()()()32110x x x x -+-+=整理得23210x x --=，因式分解得：(1)(31)0x x -+= 解得1211,3x x ==-．检验：把x =1代入（x +1）（x -1）=0，x =1是增根，把x =13-代入（x +1）（x -1）≠0． ∴原方程的解为：x =13-． 【点拨】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．24．y =2【分析】利用平方法整理方程，进而再根据因式分解法求一元二次方程的解．解：1y =1y =-两边进行平方，得23(1)y y -=-2321y y y -=-+220y y --=∴（y -2）（y +1）=0解得y 1=2，y 2=-1又3-y ≥0，y -1≥0∴1≤y≤3∴ y =2综上可知∴ y =2【点拨】本题考查了平方法解方程，利用因式分解法求一元二次方程的解，二次根式有意义的条件．25．3x =-【分析】由去分母、去括号、移项合并，求出分式方程的解，然后进行检验，即可得到答案． 解：2231224x xx --=--， 去分母，得：223(2)2(4)x x x -++=-，去括号，得：223228x x x -++=-，移项合并，得：260x x +-=，整理得：(3)(2)0x x +-=，解得：13x =-，22x =； 检验：当22x =时，240x -=，则22x =是增根；当13x =-时，240x -≠；∴原分式方程的解为3x =-．【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，正确地进行解题，注意解分式方程需要检验．26．(1)2x =-(2)12x =-22x =-【分析】（1）确定方程最简公分母后，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）利用配方法求解即可．(1)解：（1）方程两边同乘(1)(1)x x +-得：2(1)11x x x ++=-，整理得：2x =-，经检验2x =-是原方程的根；(2)解：2410x x -=+，241x x +=，24414x x ++=+，即2(2)5x +=，2x ∴+=12x ∴=-22x =-【点拨】本题主要考查解分式方程、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程和分式方程的方法是解题的关键．27．（1）11x =-21x =-2）无解．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．解：（1）225x x +=，2(1)6x ∴+=，1∴+=x∴11x =-21x =-（2）去分母得，17(3)(4)x x +-=--，解得3x =，检验：当3x =时，30x -=，∴3x =是方程的增根，所以，原分式方程无解．【点拨】本题考查用配方法解一元二次方程，分式方程的解法，掌握用配方法解一元二次方程，分式方程的解法与步骤是解题关键．28．（1）原方程无解；（2）112x =，23x =-；（3）12x =-，21x =． 【分析】（1） 方程两边都乘以公分母得()2424x x x x +-=-，解方程得2x =-检验分母为零即可；（2）因式分解得()()2310x x +-=分别解每一个一元一次方程即可；（3）先因式分解()()210x x +-=在分别解每一个一元一次方程即可．解：（1）24142x x x x +=-+ ， 方程两边都乘以()()22x x +-得()2424x x x x +-=-，整理得24x =-，解得2x =-，当2x =-时，()()()()2222220x x +-=-+--=，∴2x =-时原方程的增根，∴原方程无解；（2）22530x x +-=，因式分解得()()2130x x -+=，当210x -=，解得112x =， 当30x +=，解得23x =-；∴方程的解为112x =，23x =-； （3）2(2)36x x +=+，()2(2)320x x -++=，()()2230x x ++-=，()()210x x +-=，当20x +=，解得12x =-，当10x -=，解得21x =．∴方程的解为12x =-，21x =．【点拨】本题考查可化为一元一次方程的分式方程与一元二次方程的解法，掌握可化为一元一次方程的分式方程与一元二次方程的解法与步骤是解题关键．29．（1）x 1x 2；（2）原分式方程无解【分析】（1）先将方程整理成一般式，再利用直接开平方法求解即可；（2）两边都乘以x （x ﹣1），将分式方程化为整式方程，再进一步求解即可． 解：（1）整理，得：x 2﹣7＝0，∴x 2＝7，则x ＝，即x 1x 2（2）两边都乘以x （x ﹣1），得：2x 2﹣4x +3＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，∴方程无解，故原分式方程无解．【点拨】此题考查计算能力：解一元二次方程，解分式方程，正确掌握各自的特点及解法是解题的关键．30．（1）3x =；（2）1222x x ==3）121,2x x ==-【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；（2）根据配方法解一元二次方程；（3）根据因式分解法解一元二次方程．解：（1）31144x x x-+=-- 两边同乘以最简公分母(4)x -，得：314x x --=-解得：3x =当3x =时，43410x -=-=-≠所以3x =是原方程的解；（2）x 2﹣4x +2＝02442x x -+=2(2)2x -=2x -=解得1222x x =+=（3）x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）(1)(2)0x x -+=解得121,2x x ==-．【点拨】本题考查了解分式方程，配方法和因式分解法解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．31．（1）1211,1x x ==-;（2）12x x ==；（3）2x =- 【分析】（1）根据直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）根据分式方程的步骤化简为整式方程，再解一元二次方程．解：（1）2(5)360x --=2(5)36x -=56x -=±解得1211,1x x ==-（2）230x x +-=211344x x ++=+ 2113()24x +=12x +=解得：12x x == （3）214111x x x +-=--- 去分母得：22(1)41x x +-=-220x x +-=21944x x ++= 219()24x += 1322x +=± 解得：121,2x x ==-当1x =时，210x -=当2x =-时，2130x -=≠∴原方程的根为2x =-【点拨】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解方程的方法是解题的关键．32．（1）1；（2）x =1【分析】（1）直接利用分式的性质化简即可得到答案；（2）先利用平方差公式去分母，然后利用因式分解的方法解方程即可.解：（1）a b a b b a +-- a b a b a b =--- a b a b-=- 1=；（2）∴261393x x x x -=+--， ∴()()336133x x x x x +=+-+-， ∴()363x x x -+=+，∴2430x x -+=，∴()()130x x --=，解得1x =或3x =，经检验3x =是方程的增根，故3x =不符合题意；经检验1x =是方程的根，∴1x =.【点拨】本题主要考查了解一元二次方程和解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.33．（1）x （x ﹣y ）2；（2）﹣1≤x ＜2；（3）x ＝3；（4）x 112=，x 2＝3． 【分析】（1）先提公因式x ，再利用完全平方公式分解即可；（2）根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．（3）根据解分式方程的步骤依次计算可得．（4）先将方程整理成一般形式，再运用因式分解法转化为两个一元一次方程求解． 解：（1）原式＝x （x 2﹣2xy +y 2）＝x （x ﹣y ）2； （2）()214137136x x x x ⎧++⎪⎨---≤⎪⎩＜①② 解不等式①得：x ＜2，解不等式②得：x ≥﹣1，∴不等式组的解集为﹣1≤x ＜2，（3）两边都乘以（x +1）（x ﹣1），得：x （x +1）＝4+（x +1）（x ﹣1）， 解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解．（4）将方程整理，得2x 2-7x +3＝0，将方程左边因式分解，得（2x -1）（x ﹣3）＝0，所以2x -1＝0或x ﹣3＝0，所以x 112=，x 2＝3． 【点拨】本题主要考查解分式方程、解不等式组、一元二次方程及因式分解，熟练掌握解运算法则是解题的关键．。
专题7一元二次方程及应用-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】(第02期)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）专题7一元二次方程及应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·海南中考真题）用配方法解方程2650x x -+=，配方后所得的方程是（ ）A ．2(3)4x +=-B ．2(3)4x -=-C ．2(3)4x +=D ．2(3)4x -=【答案】D【分析】直接利用配方法进行配方即可．【详解】解：2650x x -+= 22223353x x -⨯+=-+()234x -=故选：D ．【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等．2．（2021·河南中考真题）若方程2x 2x m 0-+=没有实数根，则m 的值可以是（ ）A ．1-B ．0C ．1 D【答案】D【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出m 的取值范围即可．【详解】解：由题可知：“△＜0”，∴()2240m --<,∴1m >,故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握．3．（2021·广西玉林市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程：2x 2x m 0-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ，则（ ）A ．120x x +<B ．120x x <C ．121x x >-D ．121x x < 【答案】D【分析】根据题意及一元二次方程根的判别式可得440m ->，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程：2x 2x m 0-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ，∴440m ->，解得：1m <， ∴由韦达定理可得：121220,1b c x x x x m a a+=-=>==<， ∴只有D 选项正确；故选D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．4．（2021·山东聊城市·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（ ） A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2 【答案】B【分析】把x =-2代入方程即可求得k 的值；【详解】解：将x =-2代入原方程得到：22-8+4=4k k ，解关于k 的一元二次方程得：k =0或4，故选：B ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．5．（2021·湖南怀化市·中考真题）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（ ） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根 【答案】A【分析】先找出2,3,4a b c ==-=，再利用根的判别式判断根的情况即可．【详解】解：22340x x -+=∵2,3,4a b c ==-=∴2=4932230b ac ∆-=-=-<∴这个一元二次方程没有实数根，故A 正确、D 错误． ∵122c x x a==，故C 错误． 123+-2b x x a ==，故B 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握∆<0，一元二次方程没有实数根是关键．6．（2021·湖北荆州市·中考真题）定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q ，有[][],,m p q n mn pq =+※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[][]2,34,5253422=⨯+⨯=※．若关于x 的方程[]21,52,0x x k k ⎡⎤⎣⎦+-=※有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k <且0k ≠B ．54k ≤C ．54k ≤且0k ≠D ．54k ≥ 【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x 的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．【详解】解：∵[x 2+1，x ]※[5−2k ，k ]=0，∴()()21520k x k x ++-=． 整理得，()2520kx k x k +-+=． ∵方程有两个实数根，∴判别式0≥且0k ≠．由0≥得，()225240k k --≥， 解得，54k ≤． ∴k 的取值范围是54k ≤且0k ≠． 故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．7．（2021·山东济宁市·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 【答案】B【分析】根据一元二次方程根的定义得到22021m m +=，则22=2021+m m n m n +++，再利用根与系数的关系得到1m n +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 是一元二次方程220210x x +-=的实数根，∴220210m m +-=，∴22021m m +=，∴2222021m m n m m m n m n ++=+++=++，∵m 、n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，∴1m n +=-，∴22202112020m m n ++=-=，故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a+=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解． 8．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）A ．14B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意可得()11144x x x +++=，然后求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意可得： ()11144x x x +++=，解得：1211,13x x ==-（舍去），故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．9．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()50712833.6x +=B ．()50721833.6x ⨯+=C ．()25071833.6x +=D ．()()250750715071833.6x x ++++=【答案】C【分析】根据题意，业务量由507亿件增加到833.6亿件，2020年快递业务量为833.6亿件，逐年分析即可列出方程．【详解】设从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，2018年我国快递业务量为：507亿件，2019年我国快递业务量为：507507x +=507(1)x +亿件，2020年我国快递业务量为：507(1)x ++2507(1)=507(1)x x x ++，根据题意，得：()25071833.6x +=故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．10．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）关于x 的一元二次方程()2310x k x k ---+=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【答案】A【分析】先计算判别式，再根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案．【详解】△=[-（k -3）]2-4（-k +1）=k 2-6k +9+4k -4=（k -1）2+4，∵（k -1）2≥0，∴（k -1）2+4≥4，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】本题考查的是根的判别式，对于一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0），判别式△=b 2-4ac ，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．11．（2021·湖南张家界市·中考真题）对于实数,a b 定义运算“☆”如下：2a b ab ab =-☆，例如23336222⨯-⨯==☆，则方程12x =☆的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】本题根据题目所给新定义将方程12x =☆变形为一元二次方程的一般形式，即20ax bx c ++=的形式，再根据根的判别式24b ac ∆=-的值来判断根的情况即可．【详解】解：根据题意由方程12x =☆得： 22x x -=整理得：220x x --=根据根的判别式2141(2)90∆=-⨯⨯-=>可知该方程有两个不相等实数根．故选D ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据∆的值来判断根的情况，注意0∆>时有两个不相等的实数根；0∆=时有一个实数根或两个相等的实数根；∆<0时没有实数根． 12．（2021·福建中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是（ ）A ．()0.6310.68x +=B ．()20.6310.68x += C ．()0.63120.68x +=D ．()20.63120.68x += 【答案】B【分析】设年平均增长率为x ，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘()21x +，据此即可列方程求解．【详解】解：设年平均增长率为x ，由题意得：()20.6310.68x +=，故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可． 13．（2021·吉林长春市·中考真题）关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】A【分析】先根据判别式＞0，求出m 的范围，进而即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，∴()26410m ∆=--⨯⨯>，解得：m ＜9，m 的值可能是：8．故选：A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则240b ac ∆=->，是解题的关键．14．（2021·四川宜宾市·中考真题）若m 、n 是一元二次方程x 2＋3x ﹣9＝0的两个根，则24m m n ++的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．12【答案】C【分析】由于m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m ＋n =−3，mn =−9，而m 是方程的一个根，可得m 2＋3m −9=0，即m 2＋3m =9，那么m 2＋4m ＋n =m 2＋3m ＋m ＋n ，再把m 2＋3m 、m ＋n 的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，∴m ＋n ＝−3，mn ＝−9，∵m 是x 2＋3x −9＝0的一个根，∴m 2＋3m −9＝0，∴m 2＋3m ＝9，∴m 2＋4m ＋n ＝m 2＋3m ＋m ＋n ＝9＋（m ＋n ）＝9−3＝6．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根x 1、x 2之间的关系：x 1＋x 2=−b a -，x 1•x 2=c a． 15．（2021·湖北襄阳市·中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．()2500014050x +=B ．()2405015000x += C ．()2500014050x -=D ．()2405015000x -= 【答案】C【分析】根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可.【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x ，根据题意得： ()25000-x =40501故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系.16．（2021·山东菏泽市·中考真题）关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．14k >且1k ≠B ．14k ≥且1k ≠C ．14k >D ．14k ≥【答案】D【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求k 的取值范围即可．【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，∴()()22121410k k ∆=+-⨯⨯≥-，且 1k ≠， 解得，14k ≥且1k ≠， 当方程为一元一次方程时，k =1，方程有实根 综上，14k ≥故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中0a ≠，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．二、填空题17．（2021·江苏南京市·中考真题）设12,x x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =_______．【答案】2【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k 的值即可．【详解】 解：由根与系数的关系可得：123x x +=，12·x x k =， ∵122x x =，∴233x =，∴21x =，∴12x =，∴122k =⨯=; 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其两根之和为 b a -，两根之积为ca．18．（2021·湖北十堰市·中考真题）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ab ⊗=+-，若()13x x ⊗-=，则x 的值为________．【答案】1-或2 【分析】根据新定义的运算得到()()()221113x x x x x x ⊗-=+---=，整理并求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据新定义内容可得：()()()221113x x x x x x ⊗-=+---=， 整理可得220x x --=， 解得11x =-，22x =，故答案为：1-或2． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．19．（2021·青海中考真题）已知m 是一元二次方程260x x +-=的一个根，则代数式2m m +的值等于______． 【答案】6 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m 2+m =6即可． 【详解】解：∵m 为一元二次方程260x x +-=的一个根． ∴m 2+m -6=0， ∴m 2+m =6， 故答案为6．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 20．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知实数a 、b30b +=，若关于x 的一元二次方程20x ax b -+=的两个实数根分别为1x 、2x ，则1211x x +=_____________． 【答案】23- 【分析】根据非负性求得a 、b 的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得1x +2x 、1x 2x ，代入12121211=x x x x x x ++求解即可． 【详解】解：∵实数a 、b30b +=， ∴a ﹣2=0，b +3=0， 解得：a =2，b =﹣3， ∴2230x x --=，∵一元二次方程2230x x --=的两个实数根分别为1x 、2x ， ∴1x +2x =2，1x 2x =﹣3，∴12121211=x x x x x x ++=23-，故答案为：23-． 【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．21．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）已知,m n 是一元二次方程2320x x --=的两个根，则11m n+=__________． 【答案】32-运用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解： ∵,m n 是一元二次方程2320x x --=的两个根， 根据根与系数的关系得：3b m n a +=-=，2cmn a==-， ∴211=3m n m n mn +-+=， 故答案为：32-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知1212a x cx a x x b +=-=，是解题关键．22．（2021·湖南娄底市·中考真题）已知2310t t -+=，则1t t+=________．【答案】3． 【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可． 【详解】解：22111t t t t t t t++=+=，又∵2310t t -+=， ∴213t t +=，则2113=3t tt t t t++==，故答案为：3． 【点睛】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算． 23．（2021·湖北中考真题）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个实数根,αβ．且111αβ+=．则m =_______． 【答案】3先根据一元二次方程的根与系数的关系可得22,m m m αβαβ+==-，再根据111αβ+=可得一个关于m的方程，解方程即可得m 的值． 【详解】解：由题意得：22,m m m αβαβ+==-，111αβαβαβ++==， 221mm m∴=-，化成整式方程为230m m -=， 解得0m =或3m =，经检验，0m =是所列分式方程的增根，3m =是所列分式方程的根， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．24．（2021·江苏盐城市·中考真题）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x ，则可列方程为________．【答案】2300(1)363x += 【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x ，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为x ； 第一年粮食的产量为：300（1+x ）；第二年粮食的产量为：300（1+x ）（1+x ）＝300（1+x ）2； 依题意，可列方程：300（1+x ）2＝363；故答案为：300（1+x ）2＝363． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2＝b ．25．（2021·四川宜宾市·中考真题）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x ，则可列方程__________．【答案】()26521960x += 【分析】根据题意，第一季度地区生产总值(1⨯+平均增长率2)=第三季度地区生产总值，按照数量关系列方程即可得解． 【详解】解：根据题意，第一季度地区生产总值(1⨯+平均增长率2)=第三季度地区生产总值列方程得：()26521960x +=， 故答案为：()26521960x +=． 【点睛】本题主要考查了增长率的实际问题，熟练掌握相关基本等量关系是解决本题的关键．26．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______． 【答案】8或9 【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于x 的方程260x x n -+=的一个根， 因此有24640-⨯+=n ，解得8n =，则方程为2680x x -+=，解得另一个根为2x =，此时等腰三角形的三边长分别为2,4,4，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于x 的方程260x x n -+=有两个相等的实数根， 因此，根的判别式3640n ∆=-=， 解得9n =，则方程为2690x x -+=，解得方程的根为123x x ==，此时等腰三角形的三边长分别为3,3,4，满足三角形的三边关系定理； 综上，n 的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．27．（2021·辽宁本溪市·中考真题）若关于x 的一元二次方程2320x x k --=有两个相等的实数根，则k 的值为________． 【答案】13-． 【分析】根据关于x 的一元二次方程2320x x k --=有两个相等的实数根，得出关于k 的方程，求解即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程2320x x k --=有两个相等的实数根， ∴△=()()2243k --⨯⨯-=4+12k =0， 解得k =13-． 故答案为：13-． 【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式，当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△< 0时，一元二次方程没有实数根．28．（2021·辽宁营口市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】2m ≤ 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根， ∴()4410m ∆=--+≥，解得2m ≤， 故答案为：2m ≤． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．29．（2021·江苏宿迁市·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2 +ax -6=0的一个根是3，则a = 【答案】-1 【分析】把x =3代入一元二次方程即可求出a ． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2 +ax -6=0的一个根是3， ∴9+3a -6=0， 解得a =-1． 故答案为：-1 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的意义是解题的关键．三、解答题30．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：a 是不等式()()528617a a -+<-+的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程2210x ax a +++=．【答案】1x =2x =【分析】先解不等式，结合已知得出a 的值，然后利用配方法解方程即可 【详解】解：∵()()528617a a -+<-+； ∴5108667a a -+<-+； ∴3a -<； ∴-3a ＞；∵a 是不等式()()528617a a -+<-+的最小整数解， ∴=-2a ；∴关于x 的方程2-4-10x x =； ∴2-4+45x x =； ∴()2-25x =；∴-2=x∴1x =2x = 【点睛】本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键．31．（2021·湖南永州市·中考真题）若12,x x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则1212,b cx x x x a a+=-⋅=．现已知一元二次方程220px x q ++=的两根分别为m ，n ．（1）若2,4m n ==-，求,p q 的值；（2）若3,1p q ==-，求m mn n ++的值． 【答案】（1）1,8p q ==-；（2）-1． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到2,qmn p m n p+=-=． （1）把2,4m n ==-，代入2,qmn p m n p+=-=，即可求出,p q 的值；（2）把3,1p q ==-，代入2,q mn p m n p +=-=，得到,2133m n mn +=-=-．利用整体代入即可求解． 【详解】解：∵已知一元二次方程220px x q ++=的两根分别为m ，n ， ∴2,qmn p m n p+=-=． （1）当2,4m n ==-时，2,28qp p-=-=-， 解得1,8p q ==-，经检验，1,8p q ==-是方程的根， ∴1,8p q ==-； （2）当3,1p q ==-时，,2133m n mn +=-=-．∴21133m mn n m n mn ++=++=--=-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到2,qmn p m n p+=-=是解题关键． 32．（2021·北京）已知关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若0m >，且该方程的两个实数根的差为2，求m 的值． 【答案】（1）见详解；（2）1m = 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=的两实数根为12,x x ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得212124,3x x m x x m +=⋅=，进而可得()2124x x -=，最后利用完全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：21,4,3a b m c m ==-=，∴22224164134b ac m m m ∆=-=-⨯⨯=， ∵20m ≥， ∴240m ∆=≥，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=的两实数根为12,x x ，则有：212124,3x x m x x m +=⋅=， ∵122x x -=，∴()()2222121212416124x x x x x x m m -=+-=-=， 解得：1m =±， ∵0m >， ∴1m =． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．33．（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】（1）10%；（2）13.31万 【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x ，根据题意列出等式解出x 即可； （2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x ， 由题意得：210(1)12.1x +=， 解得：110%x =，22110x =-（不合题意，舍去），答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．（2）12.1(110%)13.31⨯+=（万人），答：六月份的参观人数为13.31万人．【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测．34．（2021·山东东营市·中考真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．【答案】（1）20%；（2）能【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x ，依题意列出关于x 的一元二次方程，求解即可；（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x ，根据题意得：()270011008x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（舍去），答：亩产量的平均增长率为20%．（2）第四阶段的亩产量为()1008120%1209.6⨯+=（公斤），∵1209.61200>，∴他们的目标可以实现．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．35．（2021·山西中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】5【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x ，则最大数为+8x ，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．【详解】解：设这个最小数为x ．根据题意，得()865x x +=．解得15=x ，213x =-（不符合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【点睛】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．36．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）解方程：(7)8(7)x x x -=-．【答案】17x =，28x =-【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵(7)8(7)x x x -=-，∴(7)8(7)0x x x -+-=，∴(7)(8)0x x -+=，∴17x =，28x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．37．（2021·湖北黄石市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且221212x x +=，求m 的值．【答案】（1）0m ≤；（2）2m =-【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即0∆≥求解即可；（2）由韦达定理把12x x +和12x x 分别用含m 的式子表示出来，然后根据完全平方公式将221212x x +=变形为()21212212x x x x +-=，再代入计算即可解出答案．【详解】（1）由题意可得：()()22240m m m ∆=-+≥ 解得：0m ≤即实数m 的取值范围是0m ≤．（2）由221212x x +=可得：()21212212x x x x +-=∵122x x m +=-；212x x m m =+ ∴()()222212m m m --+= 解得：3m =或2m =-∵0m ≤∴2m =-即m 的值为-2．【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当0∆≥时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．38．（2021·辽宁本溪市·中考真题）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．（1）请直接写出y （个）与x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y =-2x +220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【分析】（1）根据题意中销售量y （个）与售价x （元）之间的关系即可得到结论；（2）根据题意列出方程（-2x +220）（x -40）=2400，解方程即可求解；（3）设每星期利润为w 元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．【详解】（1）由题意可得，y =100-2（x -60）=-2x +220；（2）由题意可得，（-2x +220）（x -40）=2400，解得，170x =，280x =，∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w 元，由题意可得w =（-2x +220）（x -40）=223008800-+-x x ， 当752b x a=-=时，w 有最大值，最大值为2450， ∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．。
解方程练习题二十道
解方程练习题二十道一、一元一次方程1. 3x + 5 = 142. 7x - 4 = 253. 2(2x + 3) = 204. 4(x - 1) = 165. 3(x + 2) - 5 = 4(x - 1)二、一元二次方程6. x^2 + 4x + 3 = 07. 2x^2 - 5x + 2 = 08. 3x^2 - 7x - 6 = 09. 4(x^2 + 3x) + 5 = 1710. 2(3x^2 - 4) = 5x^2 + 1三、分式方程11. (2x + 1)/(x + 3) = 112. (3x - 2)/(2x + 1) = 213. (x - 1)/(x + 4) = 2/(x + 2)14. (2x + 3)/(3x - 4) = 5/(2x + 1)15. (3/x) + (4/(x + 1)) = 5四、绝对值方程16. |2x - 3| = 517. |3x + 2| - 4 = 1018. |4x - 1| + 2 = 619. |5x + 3| + 7 = 1720. |6x - 2| - 8 = 10以上是20道解方程的练习题。
接下来，我将逐题给出解法和答案。
1.解：从等式中减去5，得到3x=9。
再将9除以3，得到x=3。
2.解：从等式中加上4，得到7x=29。
再将29除以7，得到x=4.14（保留两位小数）。
3.解：首先将2分配给括号里的两项，得到4x+6=20。
接下来，从等式中减去6，得到4x=14。
再将14除以4，得到x=3.5（保留一位小数）。
4.解：首先将4分配给括号里的两项，得到4x-4=16。
接下来，从等式中加上4，得到4x=20。
再将20除以4，得到x=5。
5.解：首先用分配律展开括号，得到3x+6-5=4x-4。
接下来，合并同类项，得到3x+1=4x-4。
再将4x减去3x，得到x=-5。
6.解：这是一个一元二次方程。
可以通过因式分解或使用求根公式来解。
专题六(一元二次方程,分式方程实际问题)优秀练习题
专题六一元二次方程，分式方程实际问题1、（2016乌鲁木齐，19，10分）某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元．（1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？（2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？2、（2015乌鲁木齐，18，10分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？3、（2014乌鲁木齐，18，9分）某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元，从2017年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；（2）购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费）4、（2012乌鲁木齐，19，12分）水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购时该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元．（1）第一次所购水果的进货价是每千克多少元？（2）水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？5、某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模。
方程应用(复习讲义)(一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式、分式方程、一元二次方程应用)原卷版
题型三--方程应用（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次方（组）程应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型×100％；售价=标价×折扣；销售（1）销售打折问题：利润 售价-成本价；利润率=利润成本额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．1.（2022·山东泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．2．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？3.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．4.（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份a x a﹣x2020年4月份 1.1a 1.43x 1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．5.（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．6.（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a%．求a的值．考点02不等式的应用3、列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．1.（2022·四川泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？2．（2021·四川成都市·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？3．（2021·四川眉山市·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？4.（2021·浙江温州市·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？5.（2021·四川资阳市·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．6.（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的1 3，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．考点03分式方程的应用4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．1.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．2.（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．3.（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？4.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．5.（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的1 3，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？6.（2021·湖南中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折．．销售，学校调整了购买方案：不超过．．．720元，A，B两种奖品共100件．求购买A，．．．预算资金且购买A奖品的资金不少于B两种奖品的数量，有哪几种方案？7.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？8.（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？考点04二次方程的应用5、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．6．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=．7．利润等量关系（1）利润=售价－成本．（2）利润率=利润成本×100％．8．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．1.（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？2.（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？3.（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？4.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．5.（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925 a%．求a的值．。
分式方程应用题含答案(经典)
分式方程 应用题专题1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0。
01小时)．2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子,节日期间每盒按进价增加20％作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子,整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．3、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天,总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ）Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天4、炎炎夏日,甲安装队为A 小区安装66台空调,乙安装队为B 小区安装60台空调,两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ )A ．66602x x =-B ．66602x x =-C ．66602x x =+D ．66602x x=+ 5、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量．6.（2008西宁)“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米,所列方程正确的是（ ）A ．12012045x x -=+B ．12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=-7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg,已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg,根据题意，可得方程（ C ）A ．9001500300x x =+B ．9001500300x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x=- 8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话：9、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的错误!，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天?10、南水北调东线工程已经开工，某施工单位准备对运河一段长2240m 的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20m ，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤x m ，则得方程为 ．11、某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润=售价-进价，利润率100%=⨯利润进价)12、某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了减少施工对通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20％,结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修x m ，则根据题意可得方程13、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里,第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用871小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？14、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销,第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20％，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）?若赔钱，赔多少?若赚钱，赚多少？15、甲、乙两火车站相距1280千米,采用“和谐”号动车组提速后,列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时,求列车提速后的速度．16、某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元．根据以上信息,从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元?17、A 、B 两地相距18公里,甲工程队要在A 、B 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A 、B 两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？18、轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是千米/时．19、（2008咸宁） A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？20.（2008山西）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包,面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包,所购数量是第一批购进数量的3倍,但单价贵了4元,结果第二批用了6300元。
分式方程和一元二次方程解答题
分式方程和一元二次方程解答题1 / 12一元二次方程与分式方程四、解答题（题型注释）1．解方程：（1）x 2+4x+1=0 （2）（x ﹣1）2+2x （x ﹣1）=0．2．已知关于x 的一元二次方程23410a x x ---=（），（1）若方程有两个相等的实数根，求a 的值及此时方程的根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．3．永定土楼是世界文化遗产“福建土楼”的组成部分，是闽西的旅游胜地. “永定土楼”模型深受游客喜爱.其中某种规格土楼模型的单价y （元）与购买数量x （个）之间的函数关系如下：当0<x ≤10时，y=200；当10<x<20时，y=-5x+250；当x ≥20时，y=150。
（1）若甲旅游团购买该种规格的土楼模型10个，则一共需要 元；若乙旅游团购买该种规格的土楼模型20个，则一共需要 元。
（2）某旅游团购买该种规格的土楼模型总金额为2625元，问该旅游团共购买这种土楼模型多少个？(总金额=数量×单价)4．现有一块长20cm ，宽10cm 的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm 2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．5．在△ACB 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=3cm ，点P 从A 点开始沿着AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发.(1)经过多长时间，S △PQB =12S △ABC (2)经过多长时间，P 、Q间的距离等于？6．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍。
人教版九年级上册 第21章 《一元二次方程》实际应用同步练习(三)
人教版九年级上册第21章《一元二次方程》实际应用同步练习（三）基础题训练（一）：限时30分钟1．暑假是旅游旺季，为吸引游客，某旅游公司推出两条“精品路线”﹣﹣“亲子游”和“夏令营”．（1）7月份，“亲子游”和“夏令营”活动的价格分别为8000元/人和12000元/人．其中，参加“夏令营”活动的游客人数为“亲子游”活动游客人数的2倍少300人，且“夏令营”线路的旅游总收入不低于“亲子游”线路旅游总收入的一半，问：参加“亲子游”线路的旅游人数至少有多少人？（2）到了8月份，该旅游公司实行降价促销活动，“亲子游”和“夏令营”线路的价格分别下降%和a%（a＜20），旅游人数在7月份对应最小值的基础上分别上升3a%和5a%，当月旅游总收入达到256.32万元，求a．2．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形．解决问题：（1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．（2）边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由3．甘肃是全国马铃薯主产区之一，定西又是甘肃马铃薯最大主产区．经过多年发展，定西在马铃薯种植基地建设，良种工程、优质新品种用与试验、仓储体系、合作经济组织、外销加工及市场扶植等方面取得了突出成绩，鲜薯及薯制品走销全国20多个省市区，并远销东南亚、俄罗斯等国家和地区．某种植户2016年投资20万元种植马铃薯，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求该种植户每年投资的增长率；（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植马铃薯．4．践行“低碳生活，绿色出行”理念，自行车成为人们喜爱的交通工具．其品牌共享自行车在慈溪的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆．（1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？（2）寒假里小明骑“共享单车”去离家2000米的慈溪银泰影视城观看电影，到了影视城发现假期优惠门票忘带了，于是骑车立即返回，已知返回的平均速度是来影视城时的平均速度的2倍，且途中时间少花了5分钟．求小明去影视城的平均速度？5．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？基础题训练（二）：限时30分钟6．2017年的中央一号文件《中共中央、国务院关于深入推进农业供给侧结构性改革加快培育农业农村发展新动能的若干意见》明确把深入推进农业供给侧结构性改革作为新的历史阶段农业农村工作主线，某农业公司市场调研发现，新疆阿克苏冰糖心苹果、香梨特别畅销，于是决定购进大批糖心苹果和香梨进行网上销售.3月份糖心苹果每件的售价是香梨每件售价的1.5倍，3月某顾客花780元购买糖心苹果件数是花200元购买香梨件数的2倍还多3件，根据统计3月份每周可分别卖出香梨和糖心苹果300件和800件．（1）求香梨和糖心苹果每件售价分别为多少元？（2）到了四月份，进入了香梨销售的旺季，苹果的销售淡季，公司打算提高香梨的销售价格，梨每件涨价2a%，而每周的销量比三月每周销量增加2a%；糖心苹果每件降价a%，每周的销量比三月份增加（a+10）%，四月份一周总销售额为69120元，求a的值．7．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.7万件，那么该公司现有的22名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？8．如图，有一块长为21m、宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米．（1）如果两块绿地的面积之和为90m2，求人行通道的宽度；（2）能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由．9．某水果经销商上月份销售一种新上市的水果平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克．经过市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间满足一次函数关系y＝kx+b，且当x＝5时，y＝4000；当x＝7时，y＝2000．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，当本月成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？（利润＝售价﹣成本）10．名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每斤400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：x（元/斤）450 500 600y（斤）350 300 200（1）请根据表中的数据求出y与x之间的函数关系式；（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．参考答案1．解：（1）设参加“亲子游”线路的游客人数为x人，则参加“夏令营”活动的游客人数为（2x﹣300）人，由题意得12000（2x﹣300）≥×8000x解得x≥180，∴参加“亲子游”线路的旅游人数至少有180人；（2）由（1）可知，参加“夏令营”活动的游客人数的最小值为60人，由题意得0.8（1﹣）×180（1+3a%）+1.2（1﹣a%）×60（1+5a%）＝256.32 设a%＝t，整理得：50t2﹣25t+2＝0解得t＝0.4（舍去）或t＝0.1，∴a＝10．2．（1）解：存在；设“加倍”矩形的一边为x，则另一边为（10﹣x）则：x（10﹣x）＝12 （3分）解之得：x1＝5+，x2＝5﹣，∴10﹣x1＝5﹣；10﹣x2＝5+；答：“加倍”矩形的长为5+，宽为5﹣；（2）不存在．因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在．3．解：（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元，根题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95，解得：x＝﹣3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．∴该种植户每年投资的增长率为50%；（2）2019年该种植户投资额为：20（1+50%）3＝67.5（万元）．4．解：（1）设月平均增长率为x，依题意，得：640（1+x）2＝1000，解得：x1＝﹣2.25（舍去），x2＝0.25＝25%，∴1000（1+x）＝1250．答：4月份投放了1250辆．（2）设去影视城时的平均速度为y米/分钟，则返回时的平均速度为y米/分钟，依题意，得：﹣＝5，解得：y＝200，经检验，y＝200是所列分式方程的解，且符合题意．答：小明去影视城的平均速度为200米/分钟．5．解：（1）设通道的宽为x米，根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640解得：x＝34（舍去）或x＝6，答：甬道的宽为6米；（2）设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，根据题意得：（200+a）（64﹣）＝14400整理，得a2﹣440a+16000＝0解得：a1＝400，a2＝40由于是惠民工程，所以a＝40符合题意．答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．6．解：（1）香梨和糖心苹果每件售价分别为x元和1.5x元，根据题意得，＝2×+3，解得：x＝40，经检验：x＝40是原方程的解，∴1.5x＝60，答：香梨和糖心苹果每件售价分别为40元和60元；（2）根据题意得，40（1+2a%）[300（1+2a%）]+60（1﹣a%）{800[1+（a+10）%]}＝69120，解得：a＝10．7．解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2＝14.4，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），∴x＝0.2＝20%．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为20%；（2）今年4月份的快递投递任务是14.4×（1+20%）＝17.28（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.7万件，∴22名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.7×22＝15.4＜17.28，∴该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务，∴需要增加业务员（17.28﹣15.4）÷0.7≈2.7≈3（人）．答：该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务，至少需要增加3名业务员．8．解：（1）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为（21﹣3x）（米），宽为（10﹣2x）（米），根据题意得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90，解得：x1＝10（舍去），x2＝2，答：人行通道的宽度为2米；（2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5，根据题意得：（10﹣2y）：＝3：5，解得：y＝，∵＞3，∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5．9．解：（1）由已知得，解得，∴y＝﹣1000x+9000；（2）由题意可得1000（10﹣5）（1+20%）＝（﹣1000x+9000）（x﹣4），整理得：x2﹣13x+42＝0，解x1＝6，x2＝7（舍去）．答：该种水果价格每千克应调低至6元．10．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得：，解得：，则y＝﹣x+800；（2）设总利润为w，w＝（x﹣400）（﹣x+800）＝﹣x2+1200x﹣320000，令w＝30000得：30000＝﹣x2+1200x﹣320000，解得：x＝500或x＝700，∵a＝﹣1＜0，∴500≤x≤700时w不小于30000，∵x﹣400≤400×40%，∴x≤560，∴500≤x≤560．。
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分式方程与一元二次方程应用（20题）
一．分式方程
1．星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．
2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？
3．黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
4．甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
5．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
二、一元二次方程
6．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽
度为多少米？
7．巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．
8．列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
9．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？。