可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程为了满足字数要求，我将详细解释可化为一元二次方程的分式方程的概念、一些示例、解题步骤和技巧。
以下是一个关于分式方程的完整解释。
分式方程是一个方程，其中包含了分式表达式。
一元二次方程则是一个具有形如 ax^2 + bx + c = 0这种形式的方程，其中 a、b和c是实数，且a ≠ 0。
将分式方程化为一元二次方程可以使我们更容易解决和求解方程。
要将分式方程化为一元二次方程，我们需要遵循以下简单的步骤：步骤一：将分式方程的分子和分母的多项式部分展开。
这可能包括分布律、乘法法则和化简等操作。
步骤二：将方程两侧的分母相乘，以消除分母。
这可以通过将每个项乘以缺少的分母部分来完成。
步骤三：将分母相乘后，将等式的两侧约分。
这可以通过因子分解来完成。
步骤四：将等式的两侧移项并整理，使所有项在一侧，并将方程表示为 ax^2 + bx + c = 0的形式。
这样，分式方程就被转化为了一元二次方程。
为了更好地理解这些步骤，考虑以下示例：例1：将分式方程1/(x+2)+1/(x+3)=1/x化为一元二次方程。
步骤一：展开分子和分母，我们得到：(x+3)(x+2)+x(x+2)=(x+3)(x)步骤二：两侧相乘，我们得到：(x+3)(x+2)x+x(x+2)(x+3)=(x+3)(x)^2步骤三：约分两侧，我们得到：x(x+3)+x(x+2)(x+3)=(x+3)x^2步骤四：移项并整理，我们得到：x^2+3x+x^3+2x^2+3x^3=0合并同类项，我们得到：4x^3+3x^2+3x=0现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=4，b=3，c=0。
例2：将分式方程(3x-7)/(x+2)+(x+1)/(x+3)=4/(x+3)化为一元二次方程。
步骤一：展开分子和分母，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+2)=4(x+2)步骤二：两侧相乘，我们得到：(3x-7)(x+3)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)=4(x+2)(x+3)步骤三：约分两侧，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+3)=4(x+3)步骤四：移项并整理，我们得到：(3x^2-4x-19)(x+3)=4x+12展开和合并同类项中的项，我们得到：3x^3+5x^2-34x-57=4x+12现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=3，b=5，c=-21解决这个一元二次方程可以使用一般的求解方法，例如，可以使用公式法、配方法、因式分解等方法来求解。
解可化为一元二次方程的分式方程
B、12 y2 + 5y + 1 = 0
C、y2 － 5y + 6 = 0
D、 6y2 － 5y + 1 = 0
三、解分式方程：
1、
－
= +1
2、
+ x2－2 = 0
返回
小结
基本思想：化分式方程为整式方程
解
分 式
基本方法
方
程
去分母
换元法（解特殊分式方程的方法） 去分母
基本步骤 解整式方程
验根
返回
解可化为一元二次方程的分式方 程
复习 例一 例二练Fra bibliotek 小结复习
一、填空：
1、___分__母___中__含__有__未__知__数__的__方__程______叫分式方程。
2、解可化为一元一次方程的分式方程的基本思路是 分__式__方_程__
__化__为__整__式__方__程__。 基 本 方 法 是 ____去___分___母_____， 基 本 步 骤 是 ___去__分__母__、__解__整__式__方__程__、__验__根_____。 3、解分式方程时，方程两边都乘以同一个整式，就有产生_增__根__ 的可能，因此解分式方程必须___验___根____。
二、选择：
（1）下列方程中有实数根的是：（ C ）
A、 + 2 = 0
B、
=0
C、
=0
D、
=
(2) 已知 Ｘ＝－2 是某一个方程的增根，则这个方程是：（ B ）
A、X2－4Ｘ＋４＝０
Ｂ、３＋
=
C、
+
=
D、
=
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(3) 用换元法解方程
知识卡片-解分式方程--可化为一元二次方程
解分式方程——可化为一元二次方程能量储备●解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程（一元二次方程），解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解.●解化为一元二次方程的分式方程的一般方法和步骤：方法一：去分母法.（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.（2）解整式方程：即解一元二次方程，去括号、移项、合并同类项等.（3）检验：最后进行检验，有増根，舍掉。
简称为一化，二解，三检验.方法二：换元法.结构上有一定特点，若用常规去分母法求解比较麻烦，可从整体思想出发，采用换元法设辅助未知数，把原方程转化为一个简单的分式方程或正式方程再求解。
如（x−1）2x2−x−1x−2=0即可设x−1x= t换元求解。
●检验的方法（1）直接检验法.将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验.直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确. （2）公分母检验法.把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解.公分母检验法比较简单，因此被广泛运用.通关宝典★★易混易误点易混易误点1:用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边时，要注意用最简公分母乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项.例1解方程：11−x ＝2+3x−x21−x2解法1：方程两边乘1−x2，得1+ x＝2(1−x2) + 3x−x2，整理后，得3x2−2x−1=0. 解得：x1=1,x2=−13,检验：将x1=1代入原方程，1-x=0，所以x=1是方程的增根，舍去x2=−13带入原方程，左边＝右边，所以x2=−13是原分式方程的解.易混易误点2:解分式方程可能产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤.例2 解方程：x ＋1x －1－4x 2－1＝1 解：方程两边乘（x ＋1）（x －1），得（x ＋1）2－4＝（x ＋1）（x －1），解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，（x ＋1）（x －1）＝0，所以x ＝1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 蓄势待发考前攻略分式方程的解法是中考的热点，其题型主要是解答题. 完胜关卡。
初高中数学衔接课程(5)——一元二次不等式与分式不等式讲义
初高中数学衔接课程第五讲 方程与不等式5.1 二元二次方程组解法方程 22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。
其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项。
我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组。
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法。
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解。
例1 解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩解：由②,得x ＝2y ＋2， ③把③代入①,整理,得8y 2＋8y ＝0，即y (y ＋1)＝0。
解得y 1＝0，y 2＝－1。
把y 1＝0代入③,得x 1＝2；把y 2＝－1代入③,得x 2＝0。
所以原方程组的解是112,0x y =⎧⎨=⎩，；220,1.x y =⎧⎨=-⎩说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解。
例2解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩解：由①，得7.x y =- ③把③代入②，整理，得27120y y -+= 解这个方程，得123,4y y ==。
把13y =代入③，得14x =；把24y =代入③，得23x =。
所以原方程的解是114,3x y =⎧⎨=⎩，；223,4.x y =⎧⎨=⎩【例3】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解。
可化为一元二次方程的分式方程的应用题
可化为一元二次方程的分式方程的应用题可化为一元二次方程的分式方程是八年级代数的一个重点内容，它的应用题作为初中阶段围绕方程的一系列知识的终结点，是中考的一个主要考察对象，也是一个难点。
本课中的例题及练习题都给出了三种解法，目的是增加解题手段，并附有专门用于解特殊一元二次方程的变形的求根公式，帮你解决困难。
解答中出现的“同类量”是指与所设未知数有相同单位的量，“相关量”是指由已知数据和所设未知数及其同类量能表示的量. 一般情况下，由“相关量”得出方程.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米. 中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全程少用半小时. 求这两种车速度.解法1：(直接法)设大客车每小时行驶x 千米，(同类量)中巴车每小时行驶(相关量)大客车跑完全程需,300小时x 中巴车需,20300小时 x 则(x +20)千米,例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法1：).2120300300=+-x x 根据题意, 得去分母, 得600x +1200–600x= x2+20x ,整理得x 2+20x –1200=0,解得x 1=100,x 2= –120.(解法1：)经检验，x1=100, x2= –120都是原方程的根,但速度为负不符合题意,∴只取x=100,这时，100+20=120.答：中巴车每小时行驶120千米，大客车每小时行驶100千米.例题1、在高速公路上，A、B两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全解法2：(间接法)设大客车行驶全程需y 千小时，(同类量)中巴车行驶全程需(相关量)大客车速度为,/300小时千米y 中巴车速度为,)21(小时-y ,/21300小时千米-y 则例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法2：).2030021300=--y y 根据题意, 得去分母, 得30y –15(2y –1)=2y 2–y ,整理得2y 2–y –15=0,解得y 1=3,y 2= –2.5.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法2：)经检验，y1=3, y2= –2.5都是原方程的根,但时间为负不符合题意,∴只取y=3,100+20=120.这时，300÷3=100,答：中巴车每小时行驶120千米，大客车每小时行驶100千米.例题1、在高速公路上，A、B两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全解法3：(方程组法)设大客车每小时行驶x 千米，则中巴车每小时行驶(x +20)千米,行驶全程需y 千小时，行驶全程需,)21(小时 y 例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法3：)①,300=xy 根据题意, 得展开②式, 得把①式代入并化简得∵y ≠0,两边都乘以y,得②.300)21)(20(=-+y x ,300102021=-+-y x xy ,0102021=-+-y x {例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法3：),01020212=-+-y y xy 再次把①式代入并整理得2y 2–y –15=0,解得y 1=3,y 2= –2.5.但时间为负不符合题意, ∴只取y =3,这时，300÷3=100,答：(略.)100+20=120.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全程少用半小时. 求这两种车速度.评：本题是四年制代数课本第三册(2002年版)解法1的优点是直接得到所求, 解法2的优点是方程比较容易解, 解法3的优点是不需检验, 第116页例3的“现代版”.缺点是由于得数绝对值大, 因而方程的常数项绝对值也大, 使解方程的难度加大;但必须注意所得结果不是所求, 还需再计算一步;并且适合有两问缺点是解方程组的过程稍麻烦.的题目;课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务. 原计划每天挖多少米?解法1：设原计划每天挖x 米，则(同类量)实际每天挖(相关量)原计划工期为,960天x 实际工期为.20960天 x (x +20) 米，课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?(解法1：).420960960=+-x x 根据题意, 得去分母, 得960x +19200–960x= 4x 2+80x ,整理得x 2+20x –4800=0,解得x 1=60,x 2= –80.(解法1：)经检验，x1=60, x2= –80 都是原方程的根,但工效为负不符合题意,∴只取x=60.答：原计划每天挖60米.课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?解法2：(间接法)设原计划工期为y 天，(同类量)实际工期为(相关量)原计划每天挖,960米y实际每天挖,)4(天-y ,4960米-y 则课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?.209604960=--yy 根据题意, 得去分母, 得960y –(960y –3840)=20y 2–80y ,整理得y 2–4y –192=0,解得y 1=16,y 2= –12.课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?经检验，y1=16, y2= –12都是原方程的根,但工期为负不符合题意,∴只取y=16,这时，960÷16=60.答：(略.)课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?解法3：(方程组法)设原计划每天挖x 米，则实际每天挖(x +20)米,工期为y 天，工期为,)4(天-y ①,960=xy 根据题意, 得②.960)4)(20(=-+y x {课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?展开②式, 得把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,96080204=-+-y x xy ,0205=+-y x (解法3：),02052=+-x xy x 课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?(解法3：)再次把①式代入并整理得x2+20x–4800=0,解得x1=60,x2= –80.∵工期为负不符合题意,∴只取x=60.答：(略.)课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧多少吨？解法1：设原计划用x 天，则(同类量)实际用了(相关量)原计划每天用煤,350吨x .20350吨 x (x +20) 天,实际每天用煤.220350350=+-x x 根据题意, 得去分母并整理得x 2+20x –3500=0,解得x 1=50,x 2= –70.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，经检验，, x1=50, x2= –70都是原方程的根.∵时间为负不符合题意,∴只能取x=50.这时，350÷50=7.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解法2：(间接法)设原计划每天用y 吨，(同类量)实际每天用(相关量)原计划和实际分别用,350天y ,)2(吨-y .2350天-y 则课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，.203502350=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得y2–2y –35=0,解得y 1=y 2=,7.5-课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，经检验，y1=7,y2= –5都是原方程的根.∵每天用量为负不符合题意,∴只能取y=7.这时，350÷7=50.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解法3：(方程组法)则实际用了每天用.)2(吨-y (x +20)天,设原计划用x 天，每天用y 吨，①,350=xy 根据题意, 得②.350)2)(20(=-+y x {课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，展开②式, 得,35040220=--+x y xy 把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得③,01020=-+y x ,03500202=-+x x 课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解得x 1=50,x 2= –70.代入③式, 得y 1=y 2=,7.5 ∵负数不符合题意，舍去.∴{x =50,y =7.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作,6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作各需多少天完成?解法1：设乙班单独工作需x 天完成，则(同类量)甲班单独工作需(相关量)两班的效率分别为,1x.51 x (x –5) 天,.61151=+-x x 根据题意, 得去分母并整理得x2–17x +30=0,解得x 1=15,x 2=2.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作经检验，, x1=15, x2=2都是原方程的根.当x=15 时, x–10=5.当x=2 时, x–10= –8.∵时间为负不合题意,∴只能取x=15.答：单独工作甲班需10小时完成，乙班需15小时.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解法2：(间接法)设乙班的效率为y ，(同类量)甲班的效率为(相关量)单独完成工作两班分别需要,611天y -),61(y -.1天y 则课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法2：).56111=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得30y2–17y +1=0,课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解得y 1=y 2=,151.21(解法2：)经检验，y 1=y 2= 都是原方程的根.,15121,151时当=y ,151=y =-y 611.10课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法2：)答：(略.),41时当=y ,3611,21-=-=y y.,舍去不合题意课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解法3：(方程组法)则甲班需每天完成).61(y 设单独工作乙班需x 天完成，乙班的每天完成的工作量为y ，(x –5)天,课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作①,1=xy 根据题意, 得②.1)61)(5(=--y x {展开②式, 得,156561=+--y xy x 课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,03017=+-y x ,030172=+-x x 解得x 1=15,x 2=2.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法3：)当x=15 时, x–5=10.当x=2 时, x–5= –3.∵时间不能是负数,∴只能取x=15.答：(略.)课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作, 10天以后,甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成.如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天. 求各组单独完成这项工作所需的天数.解法1：设单独完成工作乙组需x 天，则(同类量)单独完成甲组需(相关量)两组的效率分别为,1x .41 x (x –4) 天,.112410=+-xx 根据题意, 得去分母并整理得x 2–26x +48=0,解得x 1=24,x 2=2.课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.经检验，, x1=24, x2=2都是原方程的根.当x=24 时, x–4=20.当x=2 时, x–10= –8.∵时间为负不合题意, ∴只能取x=24.这时，x–4=20.答：单独完成, 甲组需20天，乙组需24天.课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解法2：(间接法)设乙组的效率为y ，(同类量)甲组的效率为(相关量)单独完成分别需,12110天y -,10121y -.1天y则课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.(解法2：).4121101=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得48y2–26y +1=0,课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解得y 1=y 2=,241.21(解法2：)经检验，y 1= y 2= 都是原方程的根.,24121,241时当=y ,241=y .2012110=-y课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.(解法2：)答：(略.),21时当=y .,,212110,21舍去不合题意-=-=yy 课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解法3：(方程组法)则甲组需每天完成.10121y 设单独完成工作乙组需x 天，乙组每天完成的工作量为y ，(x –4)天,课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.①,1=xy 根据题意, 得②.110121)4(=--y x {(解法3：)展开②式并整理, 得,0144812=-+-y xy x 把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,04826=+-y x ,048262=+-x x 课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.。
可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程一、重点、难点1、会用去分母的方法解分式方程。
2、会用换元法解分方式方程。
3、正确理解增根的意义，会排除方程的增根。
二、考点1、掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法。
2、掌握用换元法解某些可化为一元二次方程的分式方程。
3、掌握列分式方程解应用题的一般方法和步骤。
三、例题分析第一阶段例1、解下列分式方程：思路分析：以上两方程都可用去分母的方法化为整式方程，但在去分母的过程中可能产生增根，解得整式方程的解后一定要检验，以确定所得的根是否是分式方程的根。
解：（1）方程两边同乘以(1-x) (1+x),去分母(1-x)+(1-x)(1+x)=2(1+x)整理得x2+3x=0x1=0, x2= -3检验把x=0代入(1-x)(1+x)≠0把x= -3代入(1-x)(1+x)≠0∴x1=0, x2= -3是原方程的解。
方程两边同乘以(1+x)(x+2)(x-2)得(2x-5)(x-2)+4(x+1)=(x+2)(x+1)整理得 x2-8x+12=0解方程x1=2,x2=6检验：把x=2代入(x+1)(x+2)(x-2)=0,∴x=2是增根，舍去把x=6代入(x+1)(x+2)(x-2)≠0∴原方程的根是x=6点评：分式方程根的情况较复杂，它是由化简后的整式方程根的情况及验根后的结果来决定的。
例2、解下列方程思路分析：第（1 ）题用去分母法，将方程两边同时乘以最简公分母(x+1)(x-1),就可转化为整式方程。
第（2）题若用去分母法，转化成的整式方程次数较高，不适合。
可把原方程变形为，此时若设即可把原方程变为一个关于y的整式方程。
解：（1）方程两边同乘以(x+1)(x-1),得2+x-1=x2-1,整理得 x2-x-2=0,解这个方程得 x1=2, x2= -1.经检验：x= -1是增根，故舍去，x=2是原方程的根。
∴原方程的根是x=2.(2)原方程的变形为解这个方程，得解得x3=x4=1.例3、解方程思路分析：此题可用换元法解，把(x2+x)看作一个整体，可以设y=x2+x,原方程变为；若把x2+x+1看作是一个整体，可设y=x2+x+1，则x2+x=y-1，原方程就变为解题时，也可以不设铺助未知数y，直接把x2+x或x2+x+1看成一个整体进行变形，其思维方法仍属于换元法。
《一元二次方程》复习经典讲义--绝对经典实用
《一元二次方程》复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。
如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2.—元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
(3)公式法求根公式：方程小* X 「的求根公式_b 丄v b2-4ac2ti步骤:1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。
2）计算式子卜In的值。
3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当护仏“时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则hbph' ■4tjcr①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■br V ——丫——…_ _②方程' f'有两个相等的实数根•一.③.匸方程农用沁没有实数根.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的条件：•「「）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'的两个根，贝U '-7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是F -（x t ^x2）x^x l x2 -0一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:-<0 丄邸⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负-*<0根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.->0 --> o⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正--<0根；若「，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，'■是煜。
一元二次方程应用教案分式方程问题
风华中学八年级数学组集体备课资料课题一元二次方程的应用科目校对人课时 1课时使用者时间一、教学目标（知识与能力，过程与方法情感态度价值观）1.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，可化为一元二次方程的分式方程解应用题。
2.能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理。
3.在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，培养和提高学生分析问题和解决问题的能力，体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价值。
二、教学重点学会列一元二次方程解应用题。
三、教学难点选择合适的方法解一元二次方程。
四、教学过程第五课时分式方程问题例："丽园"开发公司生产的960件新产品，需要精加工后，才能投放市场。
现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品.求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品。
练习1：某校组织学生360名师生去参观某公园，如果租用甲种客车客车刚好坐满；如果租用乙种客车可少用一辆，且余40个空座位.已知甲种客车比乙种客车少20个座位,求甲、乙两种客车各有多少个座位。
练习2：某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他比第一次多买了10件，这样，第二次共花去2元，且第二次买的小商品恰好成打，问他第一次买的小商品是多少件？练习3：(01年吉林省)某文化用品商店出售一批规格相同的钢笔，如果每支钢笔的价格增加1元，那么120元钱可以买到的钢笔数量将会减少6支，求现在每支钢笔的价格是多少元？练习4：商场销售某种商品，今年四月份销售了若干件，共获毛利润3万元（每件商品的毛利润＝每件商品的销售价格－每件商品的成本价格）．五月份商场在成本价格不变的情况下，把这种商品的每件销售价降低了4元，但销售量比四月份增加了500件，从而所获毛利润比四月份增加了2千元．问调价前，销售每件商品的毛利润是多少元？练习5：(02年天津市)甲、乙两名职工接受相同数量的生产任务，开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用2天时间，这样甲、乙两人各剩624件，随后，乙改进了生产技术，每天比原来多件6件，相同。
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可化为一元二次方程的分式方程
【知识要点】
1. 分式方程的定义
2. 一般分式方程的解法
3. 列方程解应用题
【重难点】
分式方程的判别及其解法
【经典例题】
例1．下列方程哪些是分式方程？
（1）0152=-+x x （2）13222=+x x （3）10
1
5711=-++x x
（4）z x y x z y -=-+-111 （5）5
41212
-+-x x
x
例2．解分式方程21
3
2=+-x x 例3．解方程25311322
=-+-x x x x
例4、k 为何值时，方程3
232
-=--x k x x 会产生增根？
例5．某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？
例6．某村计划开挖一条长为1500m 的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8m ，下底宽1.2m ，坡角为 45,实际开始挖渠道时，每天比原计划多挖土203m ，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米．
例7、今年五月，某工程队（有甲、乙两组）承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙
两组合做能否在规定时间内完成？（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的6
5
后，
工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
【课堂练习】
1．方程21
3
2=+-x x 的根是（ ）
A 、-2
B 、2
1
C 、21,2-
D 、-2，1
2．已知分式方程y x x x x x x =++=+++++11
,71
)161)1(2222设（，于是原方程变形为整式方程是（ ） A 、06722=+-y y B 、06722=-+y y C 、02762=-+y y D 、02762=+-y y 3．用换元法解方程x x y x
x x x -=-=
=-22,26
1若设，则原方程可化为（ ） A 、062=-+y y B 、062=--y y C 、062=++y y D 、062=+-y y
4．方程
031
)
1(21122=-+++++x x x x 的解为（ ） A 、1，2，21,21+- B 、0，1，21,21+- C 、1，2，12,12+- D 、0，1，12,12+-
5．某农场开挖一条长480m 的渠道，开工后，每天比原计划多挖20m ，结果提前4天完成任务，若原计划每天多挖xm ，那么求x 时所列方程正确的是（ ） A 、420480480=+-x x B 、204480480=+-x x
C 、448020480=--x x
D 、204804480=--x
x
6.解下列方程： （1）918332-=++-x x x x x （2）12244212=-+-++x x x x
（3）06)13
(5)13(2=+-+--+x x x x （4）
012
1863222=+-+-+-x x x x
7．某校学生为了感谢修建青藏铁路一线的工人们，需制作400件小礼品，送往昆仑山垭口指挥部．某班全体同学自愿承担了这项任务，但在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样，参加制作的同学平均每人制作的数量，比原定全班同学平均每人要完成的数量多2件．该班共有多少名同学？
8．解放军某部队承担了加固一段300m 长的河堤的任务，加固80m 后，接到防汛指挥部的指示，由于汛期提前，要求加快施工速度，每天多加固15m ，这样一共用6天完成了任务．问加快施工速度以后，部队每天加固河堤多少米？
【课后作业】
1．观察下列方程：（1）;32=+
x x （2）56=+x x ；（3）712
=+x
x ；…按此规律写出关于x 的
第n 个方程为 ，此方程的解为 ．
2．一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生人数是 人．
3．北京至石家庄的铁路长392km ，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40km ，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1h ，如果设该列车提速前的速度为每小时xkm ，那么求x 所列出的方程为 ． 4．解下列分式方程：
（1）1326102=++-+x x x （2）x x x x 312
132
2-=--
5．为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城乡绿化一体化城市．某校甲、乙两班师生前往郊区参加植树活动，已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天．求甲、乙两班每天各植树多少棵？
6.探索规律.
（1）表中方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的列方程，解方程1，2，3，并将它的解添在表的空格中；
（2）若方程
()b a b
x x a φ11=--的解61=x ，102=x ，求a 、b 的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？若是，它是第几个方程？
（3）请写出这列方程中第n 个方程和它的解．。