九年级数学分式方程和一元二次方程PPT优秀课件
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一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
一元二次方程的一般形式： 二次项 一次项 常数项
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数 一次项系数 思考：为什么要规定a≠0？
b、c 可以为零吗？
练习1.下列方程是一元二次方程吗？
（1） x 2 4
√
（2） x 2 1 x 2 x 1
×
× （3） x 2 4 (x 2)2
程？1 x(x 1)＝8 x2 75x 350 0
2这两个方程与一元一次方程的区别
在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念：
等号两边都是整式, 只含有一个 未知数(一元)，并且未知数的最高次 数是2 (二次)的方程,叫做一元二次 方程.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二 次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的 概念
练习2 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数：
解：去括号得 3x2 3x 5x 10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 8x 10 0
注意：各项及各项系数都应带符号
1.一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用 定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确 定一些字母的值及取值范围
九年级-上册 第21章
21.1一元二次方程
： 难点
根据一元二次方程的一般形式，来确定各项系数
1
目录
复习回顾， 引入课题
新课讲授
课堂练习
小节
2
什么叫方程？ 目前我们已经学1 一元二次方程
一元二次方程分式方程
一元二次方程是包含二次项的方程，而分式方程则包含分数。
联系
一元二次方程和分式方程都是常见的数学方程类型，可以应用于各种实际问题。
一元二次方程的应用
曲线绘制
一元二次方程可以用于描述抛物 线和其他曲线的形状。
物体运动
通过解一元二次方程，可以确定 物体在空中的轨迹和碰撞时间。
求根公式
一元二次方程的求根公式可用于 精确计算方程的根。
分式方程的应用
1 比例问题
通过解分式方程，可以确定两个量之间的比例关系。
2 混合物问题
分式方程可用于计算不同成分混合物的比例和成分。
高阶方程
定义
高阶方程是含有三个或更多个未知量的方程，如三 元方程和四元方程。
联系和区别
高阶方程和低阶方程的主要区别在于未知量的个数， 但它们都是数学方程，可以使用类似的解法。
高阶方程的解法
1
高斯消元法
高斯消元法可用于求解线性方程组，从而解高阶方程。
2
逆序消元法
逆序消元法是高阶方程解法中常用的一种策略。
3
相邻相消法
相邻相消法是一种简便的高阶方程解法，适用于特定情况。
结论
一元二次方程和分式方程
这个演示总结了一元二次方程和分式方程的概念、解法和应用。
高阶方程
我们还介绍了高阶方程的定义和解法，以及与低阶方程的区别。
应用
一元二次方程在实际生活中的 应用非常广泛，例如用于解决 物体运动、跳跃和曲线绘制的 问题。
分式方程
1
解法
2
可以使用通分法和消元法来解分式方程，
使方程两边的表达式相等。
3
概念
分式方程是包含分数的方程，其中包含 了未知量或变量。
应用
联系
一元二次方程和分式方程都是常见的数学方程类型，可以应用于各种实际问题。
一元二次方程的应用
曲线绘制
一元二次方程可以用于描述抛物 线和其他曲线的形状。
物体运动
通过解一元二次方程，可以确定 物体在空中的轨迹和碰撞时间。
求根公式
一元二次方程的求根公式可用于 精确计算方程的根。
分式方程的应用
1 比例问题
通过解分式方程，可以确定两个量之间的比例关系。
2 混合物问题
分式方程可用于计算不同成分混合物的比例和成分。
高阶方程
定义
高阶方程是含有三个或更多个未知量的方程，如三 元方程和四元方程。
联系和区别
高阶方程和低阶方程的主要区别在于未知量的个数， 但它们都是数学方程，可以使用类似的解法。
高阶方程的解法
1
高斯消元法
高斯消元法可用于求解线性方程组，从而解高阶方程。
2
逆序消元法
逆序消元法是高阶方程解法中常用的一种策略。
3
相邻相消法
相邻相消法是一种简便的高阶方程解法，适用于特定情况。
结论
一元二次方程和分式方程
这个演示总结了一元二次方程和分式方程的概念、解法和应用。
高阶方程
我们还介绍了高阶方程的定义和解法，以及与低阶方程的区别。
应用
一元二次方程在实际生活中的 应用非常广泛，例如用于解决 物体运动、跳跃和曲线绘制的 问题。
分式方程
1
解法
2
可以使用通分法和消元法来解分式方程，
使方程两边的表达式相等。
3
概念
分式方程是包含分数的方程，其中包含 了未知量或变量。
应用
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
（2）一元二次方程地二次项、二次项系数、一次项、一次 项系数、常数项等都是针对一般形式而言的。
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符 号
?
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它 们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1）
2）（x-2）(x+3)=8
3)
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x 2)
（1）一元二次方程地一般形式不是唯一地，但习 惯上都把二次项地系数化为正整数。
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
一元二次方程解的概念
❖方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根
例4 已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符 号
?
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它 们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1）
2）（x-2）(x+3)=8
3)
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x 2)
（1）一元二次方程地一般形式不是唯一地，但习 惯上都把二次项地系数化为正整数。
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
一元二次方程解的概念
❖方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根
例4 已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，
《一元二次方程》PPT课件
的值为多少?
?
解 :∵ x 0是方程的解 代入得m2 4 0 m 2,且m 2 0 m 2 2m2 4m 3 2 22 4 2 3 3 代数式的值为3.
பைடு நூலகம் 例例题题讲讲解解
(2)关于x的 一方元程二次方程
(m 2)2 x2 3m2x m2 4 0
有一根为0,则2m2 4m 3
解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:
1 x(x 1) 28 2
即:x2-x=56
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
X2-x 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 …
由表中数值可以发现,当x=8时是方程x2-x=56的解. 是否只有x=8是方程的根呢? X= -7呢?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56
?
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
B. (x+7)(x+6)=0
C. x2－x+42=0
D. x2+x－42=0
练习
1)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为_X_=_
1
2)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为X_=_-_1
3)若4a 2b c 0,则一元二次方程
是 2 ___ ,等号两边是 整 __ 式。
2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？ 请定义。
北师大版初中九年级上册数学课件 《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件
(2) x表示长方形的实际宽,不可能小于0
(3)不可能,因为长与宽的和是15, x可能大于15.
(1)根据题意列方程。 (2)x可能小于0吗？说出理由. (3)x可能大于15吗？说出理由. (4)能否想一个办法求得长方形的长x?
x
15-x
x
1
2
3
4
5
6
7
x2 -15x+54
40
28
18
10
4
0
解：如果设花边的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：
(8-2x)
(5-2x)
(8-2x)(5 -2x) = 18.
整理, 得
8m
10m
解:设梯子底端滑动x米,则由题意可得方程：
问题2 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
当a=2，b≠0时是一元一次方程；
3、 关于x的方程ax2 -2bx＋a＝2x2 , 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
变式练习(1): (k+3)x|k|-1 -5x＋6＝0 是关于x的一元二次方程, 则k= .
变式练习(2):关于x的一元二次方程(m-1)x2 +5x＋m2-1＝0 的常数项是0, 则m= .
一元二次方程
没有未知数，不是方程
不是等式，不是方程
一元一次方程
二元一次方程
不是等式，不是方程
(1)2＋3＝5 (2)3x＋2 (3)5x＋3＝18 (4)x-2y＝5
一元一次方程、二元一次方程、分式方程
分式方程
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 8、若9am2-4m+4与5a9是同类项，则m= ___
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
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则2a-1的值是___5_____
(2)关于x的方程x2-x+k=0有两个相等的实数根,
则实数k的值为___0_._2_5__ (3)一元二次方程(m-1)x2-2mx=6的一个根是3,
则实数m的值是___5___
(4)解下列方程
(1) x88 1
x7 7x
无解
(2) xx 22x21641
无解
(3)(x+1)(x-3)=5
3.分式方程的解法: (1)去分母化为整方程(2)换元法
4.解分式方程的一般步骤 (1)去分母，化为整式方程： ①把各分母分解因式; ②找出各分母的最简公分母; ③方程两边各项乘以最简公分母; (2)解整式方程. (3)检验(检验步骤必需写出来). ①把未知数的值代入原方程(一般方法); ②把未知数的值代入最简公分母(简便方法)若使 最简公分母值为0，则这个根是原方程的增根，必须舍去. (4)结论确定分式方程的解.
分式方程和一元二次方程
1.主要概念: 分式方程:分母中含有未知数的方程. 一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最 高次数是2的整式方程.它的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数),其中a叫二次项系 数,b叫一次项系数,c叫常数项.
2.一元二次方程的解法: (1)直接开平方法(2)因式分解法(3)配方法(4)公式法
x
3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
A.3＜x＜3.23 C.3.24＜x＜3.25
.23＜x＜3.23 D.3.25＜x＜3.26
例3
方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一根是0,则a的 值是多少?
(1)已知2是关于x的方程1.5x2-2a=0的一个解,
x1=-2 x2=4
(4)2x2+9x-5=0
x1=-5 x2=0.5
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2021/02/25
8
例1 解方程
( 1 )53 ( 2 )2 0 1 5 5 2 x 1x 2 xx 12
(3)4x290 (4)2x25x0 (5)x22x7 (6)3x25x20 (7)x2(12 3)x3 30
例2
根据下列表格的对应值判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围( C ).
(2)关于x的方程x2-x+k=0有两个相等的实数根,
则实数k的值为___0_._2_5__ (3)一元二次方程(m-1)x2-2mx=6的一个根是3,
则实数m的值是___5___
(4)解下列方程
(1) x88 1
x7 7x
无解
(2) xx 22x21641
无解
(3)(x+1)(x-3)=5
3.分式方程的解法: (1)去分母化为整方程(2)换元法
4.解分式方程的一般步骤 (1)去分母，化为整式方程： ①把各分母分解因式; ②找出各分母的最简公分母; ③方程两边各项乘以最简公分母; (2)解整式方程. (3)检验(检验步骤必需写出来). ①把未知数的值代入原方程(一般方法); ②把未知数的值代入最简公分母(简便方法)若使 最简公分母值为0，则这个根是原方程的增根，必须舍去. (4)结论确定分式方程的解.
分式方程和一元二次方程
1.主要概念: 分式方程:分母中含有未知数的方程. 一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最 高次数是2的整式方程.它的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数),其中a叫二次项系 数,b叫一次项系数,c叫常数项.
2.一元二次方程的解法: (1)直接开平方法(2)因式分解法(3)配方法(4)公式法
x
3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
A.3＜x＜3.23 C.3.24＜x＜3.25
.23＜x＜3.23 D.3.25＜x＜3.26
例3
方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一根是0,则a的 值是多少?
(1)已知2是关于x的方程1.5x2-2a=0的一个解,
x1=-2 x2=4
(4)2x2+9x-5=0
x1=-5 x2=0.5
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2021/02/25
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例1 解方程
( 1 )53 ( 2 )2 0 1 5 5 2 x 1x 2 xx 12
(3)4x290 (4)2x25x0 (5)x22x7 (6)3x25x20 (7)x2(12 3)x3 30
例2
根据下列表格的对应值判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围( C ).