弹塑性力学第二章 矢量和张量
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弹塑性力学-02(张量初步)
S jkm Aijk B im
17
对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。
R ijl Aijk B lk S jkm
点积 是最常用的一种内积，它是前张量A的最后指标与后 张量B的第一指标缩并的结果，记为 A B 。其指标符号为：
A B = Aijk B km
两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。 线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的 特例
i 1 3
i i i
abc i
i
i
若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明 对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以 示不计其数。 例如方程 c i a ib i d i
i
是自由指标
11
综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。
'Байду номын сангаас
x 2 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a 2 3 x 3 a 2 j x j ;
'
x 3 a 3 1 x1 a 3 2 x 2 a 3 3 x 3 a 3 j x j ;
'
再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：
x i a ij x j
'
这里 j 是哑标， i 是自由指标。自由指标可以轮流取该指 标范围内的任何值，关系式将始终成立。
例如， R i Tijj 是一个保留了 i 方向性的矢量，而上述 S j Tiji 是一个保留了 j 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的 例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 j 代 表的是截面上应力的分解方向。 内积 并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积 表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例 如：
弹塑性力学第二章PPT课件
面力平均集度：
p S
[力][长度] -2
一点面力的集度：
p lim S 0 S
pS
Ps方向：与ΔP的极限方向相同。 Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量， 指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
西南科技大学 力学教研室
力和应力的概念
2. 内力
物 体 在外力作用下
变形
（改变 了质点 间距）
在物体内形成
附加 的内 力场
当内力场足以和外 力平衡时，变形不 再继续
平衡
西南科技大学 力学教研室
二、应力的定义
应力：单位面积上的内力： lim p
S Sc 0
c
单位：帕（Pa)
反映了P点内力的强弱程
度，是度量内力分布强弱
程度的物理量。
应力二要素： 点的位置：不同点的应力不同 截面方位：同一点不同方位截面上的应力不同
yx
yz
力和应力的概念
一点的应力状态 ：
x yx
xy y
xz 坐标变换 yz
x yx
xy y
xz yz
zx zy z
zx
zy
z
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应力张量：一点的应力状态是一个对称的二阶张量， 各应力分量即为应力张量的元素。
ij yxx
xy y
xz yz
平衡微 分方程
考虑物体内部任 意一个微分平行 六面体的平衡
静力边 界条件
考虑物体表面任 意一个微分四面 体的平衡
西南科技大学 力学教研室
边界条件
边界条件建立了边界上的物理量与内部物理 量间的关系，是力学计算模型建立的重要环节。
三种边界条件 （1）应力边界条件：在边界上给定内力。 （2）位移边界条件：在边界上给定位移。 （3）混合边界条件：在边界上部分给定面力，部分给定位移。
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
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Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
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Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
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Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
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哈工大弹塑性力学02_张量概念
哈工大 土木工程学院
……
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02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
哈工大 土木工程学院
2 / 48
02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例 3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
哈工大 土木工程学院
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
……
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02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
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02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例 3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
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◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
弹塑性力学PPT课件
早期研究： • 1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为
Mohr- Coulomb准则； • 1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移
面概念； • 1903年Kötter建立滑移线方法； • 1929年Fellenius提出极限平衡法； • 1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法； • 1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法； • 1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。
.
5
1.1 基本概念
• 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是 研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。 应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建 筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。
• 目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时 的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定 一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步 研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力 学问题打下必要的理论基础。
在加载过程中必须对其历史进行记录。
.
18
1.4 塑性力学的研究方法
• 宏观塑性理论 • 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设
和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特 点是： • 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的 主要特性。 • 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变 形过程的物理化学本质。
.
.
6
弹塑性力学的基本假设
• （1）物体是连续的，其应力、应变、位移 都可用连续函数表示。
• （2）变形是微小的，忽略变形引起的几何 变化。
• 即连续介质和小变形假设。
.
7
弹性和塑性变形的特点
弹性变形的特点:
• 应力－应变之间具有一一对应的关系，
弹塑性力学名词解释
弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。
2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。
一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。
3.体积力：作用在物体每一点的外力。
比如每一点都有的重力。
4.面力：作用在物体表面的外力。
比如水给大坝表面的压力。
5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。
物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。
6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。
8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。
变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。
9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。
直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。
10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。
12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。
13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。
弹塑性力学2
1 ω′ = − e : ω 2 1 ωi′ = − eijk ω jk 2
− ω21 0
ω32
− ω31 − ω32 0
′ ω1 ω32 ′ ωi′ = ω2 = ω13 ω ′ ω 3 21
(PQ)= (ds )
2
2
= δ jk dX j dX k
(ds ) − (ds )
* 2
2
= (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k )dX j dX k = 2 E jk dX j dX k
1 (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k ) 2
Green应变张量(二阶对称)
x X1, x1
第二章 运动与变形
一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
刚度分析
强度分析
元线段的相对伸长 两元线段的夹角变化
第二章 运动与变形 一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
X3 Q*
P: X
dx
P*
u+du
Q dX P
P*: x=X+u dx=dX+du Q*: x+dx =X+u+dX+du
（3）
等倾面
O
ωε
eicosωε
ωε
eicos(ωε-2π/3)
OP和1 轴之间的夹角， 称为应变形式指数或应 变状态的特征角。
第二章 运动与变形 二、应变张量
应变张量的其它特性和图形表示
（4）
应变星圆
第二章 运动与变形 二、应变张量
转动张量与转动矢量
1 ε = (u∇ + ∇u) 2
− ω21 0
ω32
− ω31 − ω32 0
′ ω1 ω32 ′ ωi′ = ω2 = ω13 ω ′ ω 3 21
(PQ)= (ds )
2
2
= δ jk dX j dX k
(ds ) − (ds )
* 2
2
= (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k )dX j dX k = 2 E jk dX j dX k
1 (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k ) 2
Green应变张量(二阶对称)
x X1, x1
第二章 运动与变形
一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
刚度分析
强度分析
元线段的相对伸长 两元线段的夹角变化
第二章 运动与变形 一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
X3 Q*
P: X
dx
P*
u+du
Q dX P
P*: x=X+u dx=dX+du Q*: x+dx =X+u+dX+du
（3）
等倾面
O
ωε
eicosωε
ωε
eicos(ωε-2π/3)
OP和1 轴之间的夹角， 称为应变形式指数或应 变状态的特征角。
第二章 运动与变形 二、应变张量
应变张量的其它特性和图形表示
（4）
应变星圆
第二章 运动与变形 二、应变张量
转动张量与转动矢量
1 ε = (u∇ + ∇u) 2
弹塑性力学
张量场的右梯度
S∇ = T
Tijk = Sij,k
2→3
16
笛卡儿张量简介(II)
四、笛卡儿张量场 • 几个常用的积分公式
Vu
Sn
u 在V+S上连续可微
∫V ∇ ⋅udV = ∫S n ⋅udS ∫ ∫ V ui,idV = S niuidS
∫V ∇ o UdV = ∫S n o UdS
广义Gauss公式
8
笛卡儿张量简介(II)
3. 二阶张量 • 张量的不变量
笛卡儿张量简介(II)
3. 二阶张量 • 二阶对称张量的主方向和主值
三维二阶对称张量的独立不变量只有3 个，
三维二阶反对称张量的独立不变量只有1 个
9
10
笛卡儿张量简介(II)
4. 各向同性张量
T = αδ ij ei e j
⎜⎛α 0 0 ⎟⎞ ⎜0 α 0⎟ ⎜⎝ 0 0 α ⎟⎠
n个指标，n个坐标转换系数，n阶张量
2
笛卡儿张量简介(II)
商法则：如果它与一个矢量点积得到的是一个 n - 1阶张量，则该指标符号表示的是一个n 阶 张量。也可表示成，如果它连续和n 个矢量点 积得到一个标量，则该量是一个n 阶张量。
3
笛卡儿张量简介(II)
• 三、张量 2. 张量代数
4
笛卡儿张量简介(II)
பைடு நூலகம்
0 →1 1→ 0
矢量场的旋度 curlu = ω = eieijk ∂ juk = ∇ × u ωi = eijk ∂ juk
1→1
12
2
笛卡儿张量简介(II)
四、笛卡儿张量场 • 标量场与矢量场的微分
∇ ⋅ u = (ei∂i ) ⋅ (u j e j ) = (ei ⋅ e j )∂iu j = ∂iui = ui,i ∇ × u = (ei∂i ) × (u j e j ) = (ei × e j )∂iu j = ek ekij∂iu j = ek ekiju j,i
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为了表示方便，可约定采用通用的单一下标来表示，即用 vi
来表示矢量的三个分量，这里很容易理解下标i取值是1到3。 如，式 xi 0 表示矢量X的各分量为零或X是零矢量。类似有
f ( X ) f (xi ) f (x j ) f (x1, x2 , x3 )
下标可以自由选取，xi 和 x j在上式中表示相同的矢量。
或以标量的坐标形式表示 V （v1, v2, v3)
两矢量U和V相等当且仅当对应分量相等，即 vi ui (i 1,2,3)
矢量的数乘和加减运算 数乘
U V
加减
W U V (u1 v1)e1 (u2 v2)e2 (u3 v3)e3
以分量的形式可以表示成
矢量点积的另外一种表达形式为
U •V u1e1 u2e2 u3e3 (v1e1 v2e2 v3e3 )
u1v1 u2v2 u3v3
3
uivi i 1
2 矢量积
利用右手坐标系，矢量U和V的矢量积可以定义一个新矢量 W.该矢量的长度为，如果U 和V位于纸平面, 那么 矢量W将和 纸平面垂直,且正向按右手螺旋法则确定.用叉积表示为:
例，三元一次齐次方程的缩略表示。
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
缩略表示第一步，方程组可以写成
a1 j x j b1
a2 j x j b2
a3 j x j b3
另一类量，除需要知道大小外还需要说明它的方向，
例如力、速度、加速度和位移等，这一类量称为矢量 （或向量）
表示矢量大小的数值称为矢量的模。
矢量可以用一条有向线段表示，使它的正方向指向矢 量的方向，它的长度等于矢量的模。表示矢量的记号一 般用带箭头的拉丁字母或黑体字表示,也可以用矢量的起 点和终点两字母表示。
u1 u2 u3 U • (V W ) v1 v2 v3
w1 w2 w3
(2.15b)
3）、 4）、
U (V W ) (U •W )V (U •V )W (U V ) W (U •W )V (V •W )U
U (V W ) (U V )W
矢量方程
(2.16) （2.17）
如果 ， 及V的偏导数存在，下列结果很容易得到证明
1、
• 2 2 2 2
x12 x22 x32
2
2 x12
2
x22
2
x32
称为拉普拉斯算子
2、 () （这里 和 是标量场）
3、 • (V ) •V V •
•V divV v1 v2 v3 x1 x2 x3
注： V • 没有意义。
3、矢量的旋度（Curl of a Vector）
梯度算子 和矢量V的叉积形成一个新矢量称为矢量的旋度
e1 e2 e3 V curlV
x1 x2 x3 v1 v2 v3
jj 11 22 33 3
ij 可以当成一个算子或函数来应用，如
i1v1 i2v2 i3v3 vi
或更一般地，有
ij v j vi
另外，可以很容易验证
ij ji ii 11 22 33 3
坐标的平移和转动
i 1
i 1
再如， 若n为单位矢量，p为常数， 则下列关于矢量r的方程代表一个平面
rgn p
在直角坐标系下可表示成
ax by cz p
在用直角坐标表示方 程时，数量关系更加 明确，但有时不够简 练！！
p r
平面方程rgn p
2.4 标量和矢量场
温度和密度等标量只取决于所考察的点所处的空间位置， 可以表示成位置坐标的函数 f (x1, x2 , x3 ) 。而方程
通过方程来表示（矢量）物理量的关系或几何事实
如，一个质点受力 F (1) , F (2) ,..., F (n) 作用，质点的平衡
条件为
F (1) F (2) ... F (n) 0
在直角坐标系Oxyz中，用投影表示
n
n
n
Fxi 0,
Fyi 0,
Fzi 0
i 1
易见有下列关系式
U V (V U )
混合积:
(2.13)
三个矢量U,V和W的混合积有下面的性质
1）、(U •V )W U (V •W ) (一般不相等)
(2.14)
2） U • (V W ) V • (W U ) W • (U V )
(2.15a)
（等于U、V和W三矢量组成的平行六面体的体积）也可以用 矩阵形式表示为
ds2 dx2 dy2 dz2
或
x' y'
x y
h k
若原点保持不动,新坐标系由Ox和Oy沿逆时针方向旋转角得到
则这类转换称为转动，坐标系转动后新老坐标系下的点P之间
满足
y
P
x x 'cos y 'sinY’
y
x
'
sin
y
' cos
x ' x cos y sin
W U V
(2.11)
几何上两矢量的叉积的大小表示该两矢量组成的平行四边 形的面积.矢量的叉积还可以用坐标系的单位矢量和行列式的形 式表示为
e1 e2 e3
W U V u1 u2 u3 v1 v2 v3
(2.12)
e1 (u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3 (u1v2 u2v1 )
f (x1, x2 , x3 ) c 表示三维空间的一个曲面，称为标量场。而流体中质点的 速度随位置的改变关系可以表示为矢量场 V (x1, x2 , x3 )。
1、标量场的梯度（gradient）
假设标量场Φ定义于一指定的空间区域，则其对各坐标
的导数为
Gi xi
（i=1,2,3）
这里的三个导数可以看成是矢量的三个分量，即
(w1, w2, w3) (u1 v1,u2 v2,u3 v3)
以下标表示
wi ui vi
2.3标量积和矢量积
有两类矢量乘积，标量积（又称点积或内积）和矢量 积（或差积），下面分别讨论。 1、标量积
矢量U和V的标量积定义为
U •V U V cos
这里 U 表示矢量的长度或模， 表示两矢量之间的夹角
在直角坐标系中，用ei (i 1, 2, 3) 表示起点在坐标
原点分别和各坐标轴平行的单位矢量。
坐标为 Vi (i=1,2,3)的空间任意一点可以用矢量OP 或V表示.矢量V也可以用其分量 Vi
（i=1，2，3）表示。即
V V1 V2 V3 或以单位矢量表示为 V v1e1 v2e2 v3e3
规律3：在表达式或一个方程中同一项中的下标重复多于 两次以上是错误的。
3 微分的表示
在指标表示中用逗号（comma）表示偏导数，如矢量V的散
度可以表示为
vi,i
v1,1 v2,2
v3,3
vi xi
•V
标量函数 的梯度可以方便地表示成
,ixi ( , , )
但要注意，非重复指标与重复指标的不同含义，如 ui vi 表示的是两个矢量的和（对应分量求和），得到的也是一个新
矢量，即(w1, w2 , w3 ) (u1 v1, u2 v2 , u3 v3 )
但下列表达式是不正确的
ui vi u1 v1 u2 v2 u3 v3
第2章 矢量和张量
2.1 引言
应力、应变、位移和本构方程的矢量与张量表示， 在许多文献和参考书中是很常见的。 对一些基本物理量的矢量和张量表示代替其分量的展开 形式表示，使得我们在描述这些物理量之间的关系时有 很大的优点。
因为其数学表达特别简练，因此可以帮助我们把注 意力集中于理解这些原理所表达的物理内涵而不是花更 多的精力在数学方程本身。
G grad ( , , )
这里 ( , , )
x1 x2 x3 表示梯度算子。
x1 x2 x3
需要强调指出， 是垂直于空间曲面 (x1, x2 , x3 ) c
的一矢量，且是曲面上的最大梯度（证明这里略）。
2、 矢量的散度（Divergence of a Vector） 一个梯度算子和一个矢量的点积称为矢量的散度（标量）
4、 cur lg rad () 0
5、 divcurlV • ( V ) 0
2．5 指标表示与求和约定
前面已经讨论，一个矢量V可以用多种方式表示，如
V (v1, v2 , v3 ) v1e1 v2e2 v3e3
在三维空间中，一个矢量有三个分量，要用三个下标。
其中
( ji ) (ij )T (ij )1
坐标变换矩阵,其逆矩阵为
三维空间
上述关系很容易推广到三维
类似地，有下面两个关系式
ij a ji aii a11 a22 a33
ei • e j ij
在三维欧氏空间，笛卡尔坐标系x,y,z下具有分量
dx, dy, dz的线元。线元长度的平方为
x1 x2 x3
的散度可以表示为
• 2 ,11 ,22 ,33 ,ii
4、克龙克勒符号 ij （Kronecker delta）
克龙克勒 ij 是单位矩阵的一种简单表示，即
来表示矢量的三个分量，这里很容易理解下标i取值是1到3。 如，式 xi 0 表示矢量X的各分量为零或X是零矢量。类似有
f ( X ) f (xi ) f (x j ) f (x1, x2 , x3 )
下标可以自由选取，xi 和 x j在上式中表示相同的矢量。
或以标量的坐标形式表示 V （v1, v2, v3)
两矢量U和V相等当且仅当对应分量相等，即 vi ui (i 1,2,3)
矢量的数乘和加减运算 数乘
U V
加减
W U V (u1 v1)e1 (u2 v2)e2 (u3 v3)e3
以分量的形式可以表示成
矢量点积的另外一种表达形式为
U •V u1e1 u2e2 u3e3 (v1e1 v2e2 v3e3 )
u1v1 u2v2 u3v3
3
uivi i 1
2 矢量积
利用右手坐标系，矢量U和V的矢量积可以定义一个新矢量 W.该矢量的长度为，如果U 和V位于纸平面, 那么 矢量W将和 纸平面垂直,且正向按右手螺旋法则确定.用叉积表示为:
例，三元一次齐次方程的缩略表示。
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
缩略表示第一步，方程组可以写成
a1 j x j b1
a2 j x j b2
a3 j x j b3
另一类量，除需要知道大小外还需要说明它的方向，
例如力、速度、加速度和位移等，这一类量称为矢量 （或向量）
表示矢量大小的数值称为矢量的模。
矢量可以用一条有向线段表示，使它的正方向指向矢 量的方向，它的长度等于矢量的模。表示矢量的记号一 般用带箭头的拉丁字母或黑体字表示,也可以用矢量的起 点和终点两字母表示。
u1 u2 u3 U • (V W ) v1 v2 v3
w1 w2 w3
(2.15b)
3）、 4）、
U (V W ) (U •W )V (U •V )W (U V ) W (U •W )V (V •W )U
U (V W ) (U V )W
矢量方程
(2.16) （2.17）
如果 ， 及V的偏导数存在，下列结果很容易得到证明
1、
• 2 2 2 2
x12 x22 x32
2
2 x12
2
x22
2
x32
称为拉普拉斯算子
2、 () （这里 和 是标量场）
3、 • (V ) •V V •
•V divV v1 v2 v3 x1 x2 x3
注： V • 没有意义。
3、矢量的旋度（Curl of a Vector）
梯度算子 和矢量V的叉积形成一个新矢量称为矢量的旋度
e1 e2 e3 V curlV
x1 x2 x3 v1 v2 v3
jj 11 22 33 3
ij 可以当成一个算子或函数来应用，如
i1v1 i2v2 i3v3 vi
或更一般地，有
ij v j vi
另外，可以很容易验证
ij ji ii 11 22 33 3
坐标的平移和转动
i 1
i 1
再如， 若n为单位矢量，p为常数， 则下列关于矢量r的方程代表一个平面
rgn p
在直角坐标系下可表示成
ax by cz p
在用直角坐标表示方 程时，数量关系更加 明确，但有时不够简 练！！
p r
平面方程rgn p
2.4 标量和矢量场
温度和密度等标量只取决于所考察的点所处的空间位置， 可以表示成位置坐标的函数 f (x1, x2 , x3 ) 。而方程
通过方程来表示（矢量）物理量的关系或几何事实
如，一个质点受力 F (1) , F (2) ,..., F (n) 作用，质点的平衡
条件为
F (1) F (2) ... F (n) 0
在直角坐标系Oxyz中，用投影表示
n
n
n
Fxi 0,
Fyi 0,
Fzi 0
i 1
易见有下列关系式
U V (V U )
混合积:
(2.13)
三个矢量U,V和W的混合积有下面的性质
1）、(U •V )W U (V •W ) (一般不相等)
(2.14)
2） U • (V W ) V • (W U ) W • (U V )
(2.15a)
（等于U、V和W三矢量组成的平行六面体的体积）也可以用 矩阵形式表示为
ds2 dx2 dy2 dz2
或
x' y'
x y
h k
若原点保持不动,新坐标系由Ox和Oy沿逆时针方向旋转角得到
则这类转换称为转动，坐标系转动后新老坐标系下的点P之间
满足
y
P
x x 'cos y 'sinY’
y
x
'
sin
y
' cos
x ' x cos y sin
W U V
(2.11)
几何上两矢量的叉积的大小表示该两矢量组成的平行四边 形的面积.矢量的叉积还可以用坐标系的单位矢量和行列式的形 式表示为
e1 e2 e3
W U V u1 u2 u3 v1 v2 v3
(2.12)
e1 (u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3 (u1v2 u2v1 )
f (x1, x2 , x3 ) c 表示三维空间的一个曲面，称为标量场。而流体中质点的 速度随位置的改变关系可以表示为矢量场 V (x1, x2 , x3 )。
1、标量场的梯度（gradient）
假设标量场Φ定义于一指定的空间区域，则其对各坐标
的导数为
Gi xi
（i=1,2,3）
这里的三个导数可以看成是矢量的三个分量，即
(w1, w2, w3) (u1 v1,u2 v2,u3 v3)
以下标表示
wi ui vi
2.3标量积和矢量积
有两类矢量乘积，标量积（又称点积或内积）和矢量 积（或差积），下面分别讨论。 1、标量积
矢量U和V的标量积定义为
U •V U V cos
这里 U 表示矢量的长度或模， 表示两矢量之间的夹角
在直角坐标系中，用ei (i 1, 2, 3) 表示起点在坐标
原点分别和各坐标轴平行的单位矢量。
坐标为 Vi (i=1,2,3)的空间任意一点可以用矢量OP 或V表示.矢量V也可以用其分量 Vi
（i=1，2，3）表示。即
V V1 V2 V3 或以单位矢量表示为 V v1e1 v2e2 v3e3
规律3：在表达式或一个方程中同一项中的下标重复多于 两次以上是错误的。
3 微分的表示
在指标表示中用逗号（comma）表示偏导数，如矢量V的散
度可以表示为
vi,i
v1,1 v2,2
v3,3
vi xi
•V
标量函数 的梯度可以方便地表示成
,ixi ( , , )
但要注意，非重复指标与重复指标的不同含义，如 ui vi 表示的是两个矢量的和（对应分量求和），得到的也是一个新
矢量，即(w1, w2 , w3 ) (u1 v1, u2 v2 , u3 v3 )
但下列表达式是不正确的
ui vi u1 v1 u2 v2 u3 v3
第2章 矢量和张量
2.1 引言
应力、应变、位移和本构方程的矢量与张量表示， 在许多文献和参考书中是很常见的。 对一些基本物理量的矢量和张量表示代替其分量的展开 形式表示，使得我们在描述这些物理量之间的关系时有 很大的优点。
因为其数学表达特别简练，因此可以帮助我们把注 意力集中于理解这些原理所表达的物理内涵而不是花更 多的精力在数学方程本身。
G grad ( , , )
这里 ( , , )
x1 x2 x3 表示梯度算子。
x1 x2 x3
需要强调指出， 是垂直于空间曲面 (x1, x2 , x3 ) c
的一矢量，且是曲面上的最大梯度（证明这里略）。
2、 矢量的散度（Divergence of a Vector） 一个梯度算子和一个矢量的点积称为矢量的散度（标量）
4、 cur lg rad () 0
5、 divcurlV • ( V ) 0
2．5 指标表示与求和约定
前面已经讨论，一个矢量V可以用多种方式表示，如
V (v1, v2 , v3 ) v1e1 v2e2 v3e3
在三维空间中，一个矢量有三个分量，要用三个下标。
其中
( ji ) (ij )T (ij )1
坐标变换矩阵,其逆矩阵为
三维空间
上述关系很容易推广到三维
类似地，有下面两个关系式
ij a ji aii a11 a22 a33
ei • e j ij
在三维欧氏空间，笛卡尔坐标系x,y,z下具有分量
dx, dy, dz的线元。线元长度的平方为
x1 x2 x3
的散度可以表示为
• 2 ,11 ,22 ,33 ,ii
4、克龙克勒符号 ij （Kronecker delta）
克龙克勒 ij 是单位矩阵的一种简单表示，即