高中数学线面角与线线角例题、习题-学生
线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】
1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2π
θ∈；
（2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；
【典型例题】
例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ）
A 、11AC AD ⊥
B 、11D
C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角
D 、11AC 与1B C 成60角
（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ）
A 、2个
B 、4个
C 、6个
D 、8个
（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ）
A ．90º
B ．60º
C ．45º
D ．30º
（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。
（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.
例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。
（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于
A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；
（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E
点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。
例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面
PAB ⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;
(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;
(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D
P
A B C H S M
线面角与线线角专练（小练习二）
例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。
如图,3:4:,6
5cos ==∠PB PA ABC 求直线PB 和平面PAC 所成角的大小.
例5．如图，四面体ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，
M 为AB 的中点，求：
（1）BC 与平面SAB 所成的角；
（2）SC 与平面ABC 所成角的正弦值。
例6．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长
AB ＝2，侧棱BB 1的长为4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱
CC 1于点E ，交B 1C 于点F ，
⑴求证：A 1C ⊥平面BDE ；
⑵求A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值。
例7．已知等腰∆ABC 中，AC = BC = 2，∠ACB = 120︒，
∆ABC 所在平面外的一点P 到三角形三顶点的距离都等于4，
求直线PC 与平面ABC 所成的角。
2019-2020年高考数学 专题34 空间中线线角、线面角的求法黄金解题模板
2019-2020年高考数学 专题34 空间中线线角、线面角的求法黄金解题模板【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步 首先将两异面直线平移到同一平面中；第二步 然后运用余弦定理等知识进行求解；第三步 得出结论.例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π 【答案】B平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常转化为解三角形的问题处理，要注意异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦。
【变式演练1】如图，四边形ABCD 是矩形， 沿直线BD 将ABD ∆翻折成'A BD ∆，异面直线CD 与'A D 所成的角为α, 则（ ）A ．'A CA α<∠B ．'A CA α>∠C.'A CD α<∠ D ．'A CD α>∠【答案】B考点：异面直线所成角的定义及运用.【变式演练2】【2018年衡水联考】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ， F 分别是侧面11AA D D 与底面ABCD 的中心，则下列命题中错误的个数为（ ）①//DF 平面11D EB ； ②异面直线DF 与1B C 所成角为60︒；③1ED 与平面1B DC 垂直； ④1112F CDB V -=． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】对于①，∵DF 11//B D ，DF ⊄平面11D EB ， 11B D ⊂平面11D EB ，∴//DF 平面11D EB ，正确； 对于②，∵DF 11//B D ，∴异面直线DF 与1B C 所成角即异面直线11B D 与1B C 所成角，△11C B D 为等边三角形，故异面直线DF 与1B C 所成角为60︒，正确；对于③，∵1ED ⊥1A D ， 1E D ⊥CD，且1A D ⋂CD=D ，∴1E D ⊥平面11A B DC ，即1E D ⊥平面1B DC ，正确；对于④，11CDF 1111133412F CDB B CDF V V S --==⨯⨯=⨯=，正确， 故选：A 【变式演练3】设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BCA ∠=︒，2BC CA ==，若该棱柱的所有顶点都在体积为323π的球面上，则直线1B C 与直线1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．23-B ．23C ． 【答案】B【变式演练4】如图所示，正四棱锥P ABCD -的底面面积为3，， E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C方法二 空间向量法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标；第三步 再利用cos a ba bθ→→→→⋅=即可得出结论. 例2、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，13AC BC AA ===，AC BC ⊥，点M 在线段AB 上.（1）若M 是AB 中点，证明：1//AC 平面1B CM ；（2）当BM =11C A 与平面1B MC 所成角的正弦值【答案】（1）详见解析（2（II ）1,AC BC CC ABC ⊥⊥平面,故如图建立空间直角坐标系1(033),(300),(030),(000)B A B C ，，，，，，，，,BA =13BM BA = 1(1,1,0),(0,3,0)(1,1,0)(1,2,0)3BM BA CM CB BM ==-=+=+-=， 令平面1B MC 的法向量为(,,)n x y z =，由100n CB n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020y z x y +=⎧⎨+=⎩ 设1z =所以(2,1,1)n =-,11(3,0,0)C A CA == ，设直线11C A 与平面1B MC 所成角为q1111||sin ||||3C A n C A n q ×===故当BM =11C A 与平面1B MC 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.例3、如图，正方形AMDE 的边长为2，B C、分别为线段AM MD 、的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD PC 、分别交于点G H 、．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．【答案】（1）详见解析（2）6π考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练4】已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为______．考点：异面直线及其所成的角【变式演练5】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．6B ．6C ．10D ．10【答案】D【解析】试题分析：以BC 的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A，1A ，(0,2,3)E ，(0,2,4)F -，1(3)A E =--，(2,4)AF =--，设1A E ，AF 所成的角为θ，则11||cos 10||||5A E AF A E AF θ⋅===⋅⨯． 考点： 线面角.类型二空间中线面角的求法方法一 垂线法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD 是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .GD BA（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅱ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；．证法2：（坐标法）证明1-=⋅BE AC K K ，得BE AC ⊥，往下同证法1．证法3：（向量法）以,为基底， ∵-=+=21,，0=⋅∴)21()(AB AD AB AD BE AC -⋅+=⋅221-=01221=-⨯= ∴BE AC ⊥，往下同证法1．（2）在AGF Rt ∆中，22GF AF AG +=36)33()33(22=+= 在BGF Rt ∆中，22GF BF BG +=1)33()36(22=+= 在ABG ∆中，36=AG ，1==AB BG ∴2)66(13621-⨯⨯=∆ABG S 656303621=⨯⨯=设点E 到平面ABG 的距离为d ，则GF S d S ABF ABG ⋅=⋅∆∆3131，∴ABG ABFS GF S d ∆⋅=1030653312221=⨯⨯⨯= 22)66()33(2222=+=+=EF GF EG ，设直线EG 与平面ABG 所成角的大小为θ，则 EG d=θsin .515221030== 考点：线面垂直的判定，直线与平面所成的角．【点评】解决直线与平面所成的角的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角.【变式演练6】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B．3 C． D ．23【答案】B考点:直线与平面所成的角．【变式演练7】在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且ABD BCD ⊥平面平面，M 为AB 中点，则CM 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A．2 B．3 C．2 D．3【答案】D考点：1．平面与平面垂直；2．直线与平面所成的角．方法二空间向量法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步再利用a bsina bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 [2018衡水金卷大联考]如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.当时，有，【变式演练8】【2018浙江嘉兴市第一中模拟】如图，四棱锥,底面为菱形，平面，，为的中点，.（I）求证：直线平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（I）证明：，又又平面,直线平面.（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系..设平面的法向量，.所以直线与平面所成角的正弦值为【高考再现】1. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A C D 【答案】C【考点】 异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。
高考数学一轮复习全套课时作业7-6-1线线角与线面角
题组层级快练7.6.1线线角与线面角一、单项选择题1．(2021·宁夏银川高级中学)在各棱长均相等的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知M 是棱BB 1的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为()A.3B ．1C.63D.222．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为()A.1010B.15C.31010D.353.(2021·河北辛集中学月考)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.1054．(2020·福建厦门二模)一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B ＝∠F ＝90°，∠A ＝60°，∠D ＝45°，BC ＝DE.现将两块三角板拼接在一起，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列直线与平面OFM 所成的角不为定值的是()A ．ACB ．AFC ．BFD ．CF5.(2021·湖南、江西十四校联考)如图，已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点E 为线段CD 1的中点，则直线AE 与平面A 1BCD 1所成角的正切值为()A.22B.12C.32D.26．(2021·四川雅安期末)如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 移到点A 1处，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上，则BC 与A 1D 所成角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．(2021·河北示范性高中联合体3月联考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱上到直线A 1B 与CC 1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E ，F ，G ，则直线AC 1与平面EFG 所成角的正弦值为()A.2613B.22613C.27839D.478398．(2021·保定模拟)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.则A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是()A.2 3B.73C.32D.37二、多项选择题9.(2021·山东青岛期末)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个结论正确的是()A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为π4B．点C到平面ABC1D1的距离为22C．异面直线D1C与BC1所成的角为π4D．三棱柱AA1D1－BB1C1外接球的半径为32三、填空题与解答题10．(2018·课标全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78.SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．11．(2021·河北承德二中期末)已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，∠BAD＝60°，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB，点E是棱AD的中点，F在棱PC上．若PF∶FC＝1∶2，则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为________．12.(2021·鲁西部分重点中学期末)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中点M是顶点P在底面ABCD的射影，N是PC的中点．(1)求证：平面MPB⊥平面PBC；(2)若MP＝MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．13．(2021·山东德州模拟)如图，P－ABC是一个三棱锥，AB是圆的直径，C是圆上的点，PC垂直圆所在的平面，D，E分别是棱PB，PC的中点．(1)求证：DE⊥平面PAC；(2)若二面角A－DE－C是45°，AB＝PC＝4，求AE与平面ACD所成角的正弦值．14.(2020·浙江)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC.(1)证明：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．7.6.1线线角与线面角参考答案1．答案C解析本题考查异面直线所成角的正切值的求法．设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，如图所示，以A 为原点，AC 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(0，0，2)，M(3，1，1)，B(3，1，0)，N(0，1，0)，则A 1M →＝(3，1，－1)，BN →＝(－3，0，0)．设异面直线A 1M 与BN 所成角为θ，则cos θ＝|A 1M →·BN →||A 1M →||BN →|＝35×3＝155，∴sin θ＝1－cos 2θ＝105，∴tan θ＝sin θcos θ＝63.∴异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为63.故选C.2．答案C解析以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，2)．∴BE →＝(0，－1，1)，CD 1→＝(0，－1，2)．∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝1＋22×5＝31010.3.答案D解析本题考查线面角的计算．如图所示，在平面A 1B 1C 1D 1内过点C 1作B 1D 1的垂线，垂足为E ，连接BE.1E ⊥B 1D 1，1E ⊥BB 1，1D 1∩BB 1＝B 1，得C 1E ⊥平面BDD 1B 1，∴∠C 1BE 的正弦值即为所求．∵BC 1＝22＋12＝5，C 1E ＝2×222＝2，∴sin ∠C 1BE ＝C 1E BC 1＝25＝105.4．答案B解析本题考查直线与平面垂直的判定定理，直线与平面所成角．因为O ，M 分别为BC ，AC 的中点，所以OM ∥AB ，所以OM ⊥BC.又OF ⊥BC ，且OM ∩OF ＝O ，所以BC ⊥平面OMF ，所以BF ，CF 与平面OFM 所成的角分别为∠BFO 和∠CFO ，它们相等，均为45°.根据直线与平面所成角的定义知，AC 与平面OFM 所成的角为∠CMO ＝∠CAB ＝60°.故只有AF 与平面OFM 所成的角不为定值．5.答案A解析连接AB 1，AB 1与A 1B 交于点F ，由于AF ⊥A 1B ，AF ⊥BC ，且A 1B ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面A 1BCD 1.连接EF ，则∠AEF 是直线AE 与平面A 1BCD 1所成角，tan ∠AEF ＝AF EF ＝22.故选A.6．答案D解析本题主要考查异面直线所成角及线面垂直的判定与性质．因为A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上，所以A 1O ⊥平面BCD.因为BC ⊂平面BCD ，所以A 1O ⊥BC.又因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，所以BC ⊥平面A 1CD.又A 1D ⊂平面A 1CD ，所以BC ⊥A 1D ，故BC 与A 1D 所成的角为90°.故选D.7．答案D解析正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱上到直线A 1B 与CC 1的距离相等的点分别为D 1，BC 的中点，B 1C 1的四等分点(靠近B 1)，不妨设D 1与G 重合，BC 的中点为E ，B 1C 1的四等分点(靠近B 1)为F.以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图．设AB ＝2，则E(1，2，0)，2，G(0，0，2)，A(2，0，0)，C 1(0，2，2)，从而EF →0，GF →2，AC 1→＝(－2，2，2)．设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z)·EF →＝0，·GF →＝0，＋2z ＝0，＋2y ＝0，令x ＝4，得n ＝(4，－3，－1)．设直线AC 1与平面EFG 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉|＝|n ·AC 1→||n |·|AC 1→|＝47839.故选D.8．答案B解析以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图，设CA ＝CB ＝a ，则A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，A 1(a ，0，2)，D(0，0，1)，∴，a 2，，a 3，GE →，a 6，BD →＝(0，－a ，1)，∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴GE →⊥平面ABD ，∴GE →·BD →＝0，解得a ＝2.∴GE →，13，BA 1→＝(2，－2，2)，∵GE →⊥平面ABD ，∴GE →为平面ABD 的一个法向量．∵cos 〈GE →，BA 1→〉＝GE →·BA 1→|GE →|·|BA 1→|＝4363×23＝23，∴A 1B 与平面ABD 所成的角的余弦值为73.9.答案ABD解析本题考查异面直线所成角、线面角、点到平面距离及外接球问题．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角为∠CBC 1＝π4，故A 正确；连接B 1C ，由B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，BC 1∩AB ＝B ，得B 1C ⊥平面ABC 1D 1，所以点C 到平面ABC 1D 1的距离为B 1C 长度的一半，即22，故B 正确；因为BC 1∥AD 1，所以异面直线D 1C 与BC 1所成的角为∠AD 1C ，连接AC ，则△AD 1C 为等边三角形，故异面直线D 1C 与BC 1所成的角为π3，故C 错误；三棱柱AA 1D 1－BB 1C 1的外接球也是正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1的外接球，故外接球半径为12＋12＋122＝32，故D 正确．故选ABD.10．答案402π解析如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，∴SA 2＝80，SA ＝4 5.∵SA 与底面所成的角为45°，∴∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA·cos45°＝45×22＝210.∴底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，∴圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.11．答案43535解析如图，以D 点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz.设菱形ABCD 的边长为2，则D(0，0，0)，E(32，－12，0)，，23，EF →－32，76，又平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，所以cos 〈EF →，n 4＝43535，即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为43535.12.答案(1)略(2)267解析(1)证明：如图，连接BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠ADC ＝120°，且M 为AD 的中点，∴△ABD 为等边三角形．∴MB ⊥AD ，∴MB ⊥BC.∵P 在底面ABCD 的射影M 是AD 的中点，∴PM ⊥平面ABCD ，又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PM ⊥BC ，又PM ∩MB ＝M ，PM ，MB ⊂平面MPB ，∴BC ⊥平面MPB ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面MPB ⊥平面PBC.(2)方法一：过点B 作BH ⊥MC 于点H ，连接HN(图略)．∵PM ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，∴BH ⊥PM.又∵PM ，MC ⊂平面PMC ，PM ∩MC ＝M ，∴BH ⊥平面PMC.∴直线HN 为直线BN 在平面PMC 上的射影，∴∠BNH 为直线BN 与平面PMC 所成的角．在菱形ABCD 中，设AB ＝2a ，则MB ＝AB·sin60°＝3a ，MC ＝MB 2＋BC 2＝7a ，PC ＝MC 2＋MP 2＝2MC 2＝14a ，∴在Rt △MBC 中，BH ＝2a·3a 7a＝2217 a.由(1)知BC ⊥平面MPB ，PB ⊂平面MPB ，∴PB ⊥BC ，∴BN ＝12PC ＝142a ，∴sin ∠BNH ＝BH BN ＝2217a142a ＝267，即直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值为267.方法二：由(1)知MA ，MB ，MP 两两垂直，以M 为坐标原点，以MA ，MB ，MP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系M －xyz ，不妨设MA ＝1.∴M(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，3，0)，C(－2，3，0)，P(0，0，7)．∵N 是PC 的中点，∴1，32，设平面PMC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，又∵MP →＝(0，0，7)，MC →＝(－2，3，0)，·MP →＝0，·MC →＝0，0＝0，0＋3y 0＝0，令y 0＝1，则n1，|n |＝72.又∵BN →1，－32，|BN →|＝142，∴|cos 〈BN →，n 〉|＝|BN →·n ||BN →||n |＝267.∴直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值为267.13．答案(1)略(2)4214解析(1)证明：因为AB 是圆的直径，所以BC ⊥AC ，因为PC 垂直圆所在的平面，所以PC ⊥BC ，又因为AC ∩PC ＝C ，所以BC ⊥平面PAC.因为D ，E 分别是棱PB ，PC 的中点，所以BC ∥DE ，从而有DE ⊥平面PAC.(2)由(1)可知，DE ⊥AE ，DE ⊥EC ，所以∠AEC 为二面角A －DE －C 的平面角，从而有∠AEC ＝45°，则AC ＝EC ＝12PC ＝2，又BC ⊥AC ，AB ＝4，得BC ＝23.以C 为坐标原点，CB →，CA →，CP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.则C(0，0，0)，A(0，2，0)，E(0，0，2)，B(23，0，0)，P(0，0，4)，D(3，0，2)，AE →＝(0，－2，2)，CA →＝(0，2，0)，CD →＝(3，0，2)．设n ＝(x ，y ，z)是平面ACD ·CA →＝0，·CD →＝0，0，＋2z ＝0.可取n ＝(2，0，－3)．故|cos 〈n ，AE →〉|＝|n ·AE →||n |·|AE →|＝4214.所以直线AE 与平面ACD 所成角的正弦值为4214.14.思路(1)通过添加辅助线，利用面面垂直得到线面垂直，进而得到DO ⊥BC ，再根据题中所给的已知条件，证得BO ⊥BC ，由此可得BC ⊥平面DBO ，BC ⊥DB ，由BC ∥EF 即可得证；(2)可通过作辅助线找到直线DF 与平面DBC 所成角，利用解三角形知识求得直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值，也可以建立合适的空间直角坐标系，通过计算直线DF 的方向向量与平面DBC 的法向量求解直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值．答案(1)略(2)33解析(1)证明：如图，过点D 作DO ⊥AC ，交直线AC 于点O ，连接OB.由∠ACD ＝45°，DO ⊥AC 得CD ＝2CO.由平面ACFD ⊥平面ABC ，DO ⊥AC ，平面ACFD ∩平面ABC ＝AC ，得DO ⊥平面ABC ，所以DO ⊥BC.由∠ACB ＝45°，BC ＝12CD ＝22CO 得BO ⊥BC ，又DO ⊥BC ，DO ∩BO ＝O ，所以BC ⊥平面BDO ，故BC ⊥DB.由三棱台ABC －DEF 得BC ∥EF ，所以EF ⊥DB.(2)方法一：如图，过点O 作OH ⊥BD ，交直线BD 于点H ，连接CH.由三棱台ABC －DEF 得DF ∥CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角．由BC ⊥平面BDO 得OH ⊥BC ，又OH ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，故OH ⊥平面BCD ，所以∠OCH 为直线CO 与平面DBC 所成角．设CD ＝22，则DO ＝OC ＝2，BO ＝BC ＝2，所以BD ＝6，OH ＝233，所以sin ∠OCH ＝OH OC ＝33，因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33.方法二：由三棱台ABC －DEF 得DF ∥CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.如图，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz.设CD ＝22，则O(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，2)．因此OC →＝(0，2，0)，BC →＝(－1，1，0)，CD →＝(0，－2，2)．设平面BCD 的法向量n ＝(x ，y ，z)，n ·BC →＝0，n ·CD →＝0，－x ＋y ＝0，－2y ＋2z ＝0，可取n ＝(1，1，1)．所以sin θ＝|cos 〈OC →，n 〉|＝|OC →·n ||OC →|·|n |＝33.因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为3 3 .。
高中数学线面角与线线角例题、习题-学生
线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是 （ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1BC 成60角（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。
（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。
（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。
例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面PAB ⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C DPA B C H S M 线面角与线线角专练（小练习二）例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。
高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面面角
高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面
面角
时间过的飞快，距离高考的时间就只剩76天了，同学和老师也越来越紧张了，有些地方欠缺的同学开始寝食难安，老师也赶快奉献点干货来帮助几何证明欠缺的学生。
立体几何其实难度不大，只要你会空间向量，会建系，一切就自然而然水到渠成了。
在这先分析这些立体几何的解题思路。
在立体几何中，第一问一般会让你证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
1、证明线面平行的方法1、平移的方法，找到直线与平面内一条直线平行
2、利用面面平行、证明线面平行
2、证明线面垂直的方法1、证明直线与平面内相交的两直线垂直
3、证明面面平行的方法1、证明一个平面内两相交的直线与另一个平面内两相交的直线互相平行
2、证明平面内两相交的直线分别平行另一个平面
4、证明面面垂直的方法1、先证明一条直线垂直于一个平面，这条直线还在另一个平面内
利用这些方法第一问就可以轻松解决了。
在立体几何第二中，会求线面角、面面角，在第二步中，利用空间向量解决就可以
利用空间向量解决第二问的步骤1、找三垂，建立空间直角坐标系
2、写出各个点的坐标
3、求出直线向量、面的法向量
4、利用夹角公式算出余弦值
下面通过两个例题说明一下这个空间几何。
专题3 线线角、线面角求法 高一数学必修第二册
CM⊂平面 PCD,所以 AM⊥CM.所以 S = △ACM 1 AM·MC= 6 .
2
2
设点 D 到平面 ACM 的距离为 h,由 V =V ,得 D-ACM M-ACD
1 S△ACM·h= 1 S · △ACD 1 PA,解得 h= 6 .
3
3
2
3
设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为θ,则 sin θ= h = 6 ,
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以 PA⊥AB. 因为AB⊥AD,AD∩PA=A,AD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD, 所以AB⊥平面PAD.
因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD. 因为BM⊥PD,AB∩BM=B,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM, 所以PD⊥平面ABM. 因为AM⊂平面A的一般步骤： （1）作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，
连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角 ，即为斜线和平面所成的角；
（2）证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角； （注：关键证明线面垂足，即证得斜线在面内的射影）
l
I．在其中一个半平面内取恰当的一点P，
过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q；
II．过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP；
III．易知，l垂直OP，所以∠POQ即为二面角
的平面角.
P
Q
难点突破二面角
例2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值.
【解】 如图，取A1C1的中点O，连接B1O，BO， 由题意知B1O⊥A1C1. 又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1， 所以∠BOB1是二面角B-A1C1-B1的平面角.
最新-2018年高考数学考点解析：线线角与线面角的题型与解法 精品
线线角与线面角高考考纲透析：线线,线面,面面的平行与垂直,异面直线所成角,直线与平面所成角高考热点：异面直线所成角,直线与平面所成角知识整合:1.转化思想:将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形;⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证热点题型1例1、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点.(Ⅰ)求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面;(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值.解析;异面直线所成角的平面角顶点O 的选取一般选在两异面直线的端点处,初学者或观察能力有限者可采用穷举法,实行逐个端点考察,也有取在某线段的中点处. 解：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1； （II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， ∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1； （III ）∵ DE//AC 1，∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CED 中，ED=21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21CB 1=22， ∴8cos 522CED ∠==⋅ ∴ 异面直线 AC 1与 B 1C所成角的余弦值5.1A1A解法二： ∵直三棱锥111ABC A B C -底面三边长3,4,5AC BC AB ===，1,,AC BC CC 两两垂直.如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C 1(0, 0,4),B(0,4,0),B 1(0,4,4),D(32,2,0) (Ⅰ)11(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-=,11110,AC BC AC BC ∴⋅=∴⊥.(Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，则E(0,2,2)13(,0,2),(3,0,4),2DE AC =-=-111,//2DE AC DE AC ∴=∴111,,DE CDB AC CDB ⊂⊄平面平面11//AC CDB ∴平面.(Ⅲ)11(3,0,4),(0,4,4),AC CB =-=1111112cos ,5||||AC CB AC CBAC CB ∴<>==∴异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为5. 热点题型2例2、如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为120， E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点 （Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角 （Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积.解：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ，垂足为H ． 连结AH ，并延长交BC 于G ，于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角．1∵AC A AB A 11∠=∠，∴AG 为BAC ∠的平分线． 又∵AC AB =，∴BC AG ⊥，且G 为BC 的中点． 因此，由三垂线定理BC A A ⊥1．∵B B A A 11//，且B B EG 1//，∴BC EG ⊥．于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角，即120=∠AGE ． 由于四边形AGE A 1为平行四边形，得601=∠AG A ．（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ，则点P 为EG 的中点．连结PF ． 在平行四边形1AGEA 中，因F 为A A 1的中点，故FP E A //1． 而⊂FP 平面FC B 1，⊄E A 1平面FC B 1，所以//1E A 平面FC B 1．（Ⅲ）连结C A 1．在AC A 1∆和AB A 1∆中，由于AB AC =，AC A AB A 11∠=∠，A A A A 11=，则AC A 1∆≌AB A 1∆，故B A C A 11=．由已知得a C A B A A A ===111．又∵⊥H A 1平面ABC ，∴H 为ABC ∆的外心．设所求球的球心为O ，则H A O 1∈，且球心O 与A A 1中点的连线A A OF 1⊥．在FO A Rt 1∆中，3330cos 21cos 111a aH AA F A O A ===．故所求球的半径a R 33=，球的体积33273434a R V ππ==． 热点题型3例3、如图，在四棱锥P —ABC 右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点.（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离.解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0，0，0），B （3，0，0），C （3，1，0），D （0，1，0）， P （0，0，2），E （0，21，2）. 从而AC =（3，1，0），PB =（3，0，-2）. 设AC 与PB 的夹角为θ，则1473723||||cos ==⋅=PB AC PB AC θ， ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473. （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，0，z ），则)1,21,(z x ME --=.由NE ⊥面PAC可得：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0AC NE AP NE 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--,0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(z x z x化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.1,63.0213,01z x x z即N 点的坐标为（63，0，1），从而N 点到AB 、AP 的距离分别为1，63解法二：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角.在ΔAOE 中，AO=1，OE=21PB=27，AE=21PD=25，∴14173127245471cos =⨯⨯-+=EOA . 即AC 与PB 所成角的余弦值为14173.（Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6π=∠ADF .连PF ，则在Rt ΔADF 中DF=33tan ,332cos ===ADF AD AF ADF AD .设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC 从而NE ⊥面PAC. ∴N 点到AB 的距离=21AP=1，N 点到AP 的距离=21AF=63.。
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。
求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。
思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。
转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。
（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。
则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。
在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。
线面角练习题
线面角练习题在数学中，线面角是一种常见的概念，用于描述线与面之间的相对关系。
本文将为你提供一系列线面角练习题，帮助你加深对线面角概念的理解并提高解题能力。
练习题一：线与平面的关系1. 建立直角坐标系，并画出平面P：4x - 2y + z = 6。
a) 在该平面上选择一点A(x1, y1, z1)，其中x1, y1, z1为任意实数。
画出该平面与点A的关系示意图。
b) 选择另一点B(x2, y2, z2)，其中x2, y2, z2为任意实数。
画出该平面、点A和点B之间的关系示意图。
练习题二：线与平面上的点的关系2. 平面P：2x + 3y - 4z = 12与直线L：x = 2 + t, y = 3 - t, z = -1 + 2t相交于点A。
求出点A的坐标。
练习题三：线面角的计算3. 已知平面P：2x - y + 3z = 1和直线L：x = 3 - t, y = 2 + 2t, z = -1 + t。
求出直线L与平面P的线面角。
练习题四：垂直线面角的判断4. 平面P1：2x - y + 2z = 5与平面P2：4x - 2y + 4z = 9之间的夹角为α。
判断平面P1与平面P2是否垂直。
练习题五：平行线面角的计算5. 平面P：3x - 2y + 4z = 7和直线L：x = 1 + 2t, y = -2 + 3t, z = 3 - t 之间的夹角为β。
判断直线L与平面P是否平行。
练习题六：点到平面的距离计算6. 平面P：2x - y + z = 5上有一点A(1, -3, 2)。
求出点A到平面P的距离。
练习题七：平行平面之间的距离计算7. 已知平面P1：2x - 3y + z = 4和平面P2：4x - 6y + 2z = 8平行。
求出平面P1与平面P2之间的距离。
练习题八：垂直线面之间的距离计算8. 平面P：2x - y + 3z = 5与直线L：x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3t之间的距离为d。
如何找出线面夹角和面面夹角
线面角在哪里？【例题1】如图，已知EA ⊥平面ABC ，FC ⊥平面ABC ，△ABC 是正三角形，D 是的中点，且1AB AE ==，2CF =（Ⅰ） 求证：AD ⊥平面BCF（Ⅱ）求直线DF 与平面BEF 所成角的正弦值能否通过观察找到线面夹角。
通常来说，要过斜线上一点做面的垂线。
那么，问题来了，点往面上做垂线，垂足如何确定？先看下面的题目，思考一下：在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA OB OC ==,M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是__________________(用反三角函数表示)【分析】一方面，设OA=OB=OC=1，可以通过等体积法只关注点O 到面ABC 的距离：11113322A OBC OBC V OA S OA OC OB -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 111!332A OBC O ABC ABC V V d S OA CM AM --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 就可以得到点O 到面ABC 的距离。
一方面，做出垂面——CB 垂直于OM ，CB 垂直于OA ，因此CB 垂直于面AOM ，所以，面ACB 垂直于面AOM 。
也就说，面AOM 是面ACB 的垂面。
A FEDC B O M C BA根据定理两个面垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个面。
因此只需在三角形AOM 中，过点O 做交线AM 的垂线即可。
那么问题又来了——刚才的例题1咋整？过点E 找到面ADF 中的垂面，然后在垂面中过点E 做垂面与面ADF 交线的垂线，即可。
是否有垂面？面DAF 与面AFC 互相垂直！（怎么证？有没滴办法塞？）面面夹角在哪里？【例题2】在60°角的二面角的棱上有两个点A 、B 、AC 、BD 分别是这个二面角的两个面内，且都垂直于AB ，若AB=5,AC=3,BD=8，则CD=__________?问题1：什么是二面角？A FE DCB M CB 垂足N A B D C二面角要用“二面角的平面角”来度量。
线线角_线面角_二面角的一些题目
线线角与线面角、二面角一、目标1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法．2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法．并了解求线二面角常用方法3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法.三、典型例题例1. 如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值.例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B所成的角.例3. 如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1—BD—C的正切值。
ADC1D1A1B1CBDACB F EA BC DAD CBB 1D 1ADC 1BC A 1二、重要题型1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 .2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A).46(B).36 (C).62(D).633.平面α与直线a 所成的角为3π,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为(A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是 ．6. 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC —-D 的大小。