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2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解上海理科数学试题及答案

2010年高考上海理科数学试题及答案一、填空题（共13小题；共65分）1. 若复数z=1−2i，i为虚数单位，则z⋅z+z=．2. 动点P到点F2,0的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为．3. 行列式 \（\begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）的值是．4. 圆C:x2+y2−2x−4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=．5. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：x78910Pξ=x0.30.350.20.15则该随机变量ξ的均值是．6. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在下边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入．7. 对于不等于1的正数a，函数f x=log a x+3的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标为．8. 从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张，事件A为"抽得红桃K "，事件B为"抽得黑桃"，则概率P A∪B=（结果用最简分数表示）．9. 在n行n列矩阵123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n12⋯n−3n−2n−1中，记位于第i行第j列的数为a ij i,j=1,2,⋯,n ．当n=9时，a11+a22+a33+⋯+a99=．10. 将直线l1:nx+y−n=0，l2:x+ny−n=0n∈N∗，x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为S n，则limn→∞S n=．11. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．12. 如图所示，直线x=2与双曲线Γ:x24−y2=1的渐近线交于E1、E2两点，记OE1=e1，OE2=e2，任取双曲线Γ上的点P，若OP=ae1+be2a,b∈R，则a、b满足的一个等式是．13. 从集合U=a,b,c,d的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅,U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B．那么，共有种不同的选法．二、选择题（共4小题；共20分）14. " x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 直线l的参数方程是x=1+2ty=2−t t∈R，则l的方向向量d可以是 A. 1,2B. 2,1C. −2,1D. 1,−216. 若x0是方程12x=x13的解，则x0属于区间 A. 23,1 B. 12,23C. 0,13D. 13,1217. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将 A. 不能作出满足要求的三角形B. 作出一个锐角三角形C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形三、解答题（共5小题；共65分）18. 已知0<x<π2，化简：lg cos x⋅tan x+1−2sin2x2+lg2cos x−π4−lg1+sin2x．19. 已知数列a n的前n项和为S n，且S n=n−5a n−85,n∈N∗．（1）证明：a n−1是等比数列；（2）求数列S n的通项公式，并指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．20. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．21. 若实数x、y、m满足∣x−m∣>∣y−m∣，则称x比y远离m．（1）若x2−1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab；（3）已知函数f x的定义域D= x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R ．任取x∈D，f x等于sin x和cos x中远离0的那个值．写出函数f x的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．22. 已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点P的坐标为−a,b．（1）若直角坐标平面上的点M、A0,−b、B a,0满足PM=12PA+PB，求点M的坐标；（2）设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若k1⋅k2=−b2a2，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆Γ上的点Q a cosθ,b sinθ0<θ<π，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1、P2使PP1+PP2=PQ，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ满足的条件．答案第一部分1. 6−2i【解析】由z=1−2i，知z=1+2i，那么zz+z=1−2i1+2i+1−2i=5+1−2i=6−2i．2. y2=8x【解析】由定义知P的轨迹是以F2,0为焦点的抛物线，故p=4，所以其方程为y2=8x．3. 12【解析】由于 \（ \begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）=sinπ3cosπ6−cosπ3sinπ6=sinπ3−π6=sinπ6=12．4. 3【解析】配方得圆C:x−12+y−22=1，得圆心1,2，那么圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=22=3．5. 8.2【解析】由随机变量ξ的概率分布列知，ξ的均值为Eξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2．6. S←S+a7. 0,−28. 726【解析】从一副混合后的扑克牌中随机抽取1张的基本事件总数为52种，而事件A∪B为"抽得红桃K或抽得黑桃"，其对应的事件数为14，那么相应的概率为P=1452=726．9. 45【解析】由矩阵的特点知a11=1,a22=3,a33=5,a44=7,a55=9,a66=2,a77=4,a88=6,a99=8,那么，a11+a22+a33+⋯+a99=45．10. 1【解析】l1、l2分别变形为l1:n x−1+y=0、l2:n y−1+x=0，所以直线l1、l2分别过定点A1,0、B0,1，联立nx+y−n=0,x+ny−n=0解得x=nn+1y=nn+1，即直线l1、l2的交点为C nn+1,nn+1；可知S n=S四边形OACB =nn+1，那么limn→∞S n=limn→∞nn+1=limn→∞11+1=11+0=1．11. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．12. 4ab=1【解析】依题意可知：E12,1,E22,−1，所以OP=ae1+be2=2a+2b,a−b.因为点P在双曲线上，所以2a+2b 24−a−b2=1，化简得4ab=1．13. 36【解析】由题可知，另外两个集合均为全集U的非空真子集，不妨设，两个集合分别为A、B，且A⊆B，则选法可分为以下两类：（1）当集合A中含有一个元素时，集合A共有4种选法，此时集合B的所有选法为23−2=6种；（2）当集合A中含有两个元素时，集合A共有C42种选法，此时集合B的所有选法为22−2=2种；综上，不同的选法共有36种．第二部分14. A 【解析】由题知，当x=2kπ+π4k∈Z时，可得tan x=1；而当tan x=1时，可得x=kπ+π4k∈Z．故" x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的充分不必要条件．15. C【解析】提示：该直线方程的一般形式为x+2y−5=0．16. D 【解析】设函数f x=12x−x13，结合各选项有：f0=1>0，由幂函数的性质，得f13=121−131>0，由指数函数的性质，得f12=121−121<0，因此，根据函数零点的意义知，x0属于的区间为13,12．17. D 【解析】设三角形的对应三条边长分别为a、b、c，利用等积法有1 13a=111b=15c=k,从而a=13k,b=11k,c=5k,那么角A为最大角，从而有cos A=b2+c2−a2=−23<0,故△ABC一定是钝角三角形．第三部分18. 因为0<x<π2，所以原式=lg sin x+cos x+lg cos x+sin x−2lg sin x+cos x=0.19. （1）当n=1时，a1=−14;当n≥2时，a n=S n−S n−1=−5a n+5a n−1+1,可化为a n−1=56a n−1−1,又a1−1=−15≠0，则数列a n−1是等比数列；（2）由（1）知a n−1=−15⋅56n−1,解得a n=1−15⋅56n−1,从而S n=75⋅56n−1+n−90n∈N∗,由不等式S n<S n+1，得5 6n−1<225,即n>log562+1≈14.9,于是当n≥15时，数列S n单调递增；同理可得，当n≤15时，数列S n单调递减；故当n=15时，S n取得最小值．20. （1）设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2−2r0<r<0.6,S=−3πr−0.42+0.48π,所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米．（2）当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得A 1B 3 = 0.3,0.3,0.6 ，A 3B 5 = −0.3,0.3,0.6 ，设向量A 1B 3 与A 3B 5 的夹角为θ，则cos θ=A 1B 3 ⋅A 3B 5∣∣A 1B 3 ∣∣⋅∣∣A 3B 5 ∣∣=23,所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的余弦值为23． 21. （1）由题意得∣x 2−1∣>1，即x 2−1>1 或 x 2−1<−1.由x 2−1>1，得x <− 2 或 x > 2;由x 2−1<−1，得x ∈∅．综上可知x 的取值范围为 −∞,− ∪ +∞ ．（2）由题意，即证∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣>∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣.因为a ≠b ，且a 、b 都为正数，所以∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣=∣∣∣ a 3 2+ b 3 2−2 a 3b 3∣∣∣=∣∣∣ a − b 2∣∣∣= a a −b b 2,∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣=∣∣ab a +b −2 ab ∣∣=ab a − b 2= a b −b a 2,即证a a −b b 2− a b −b a 2>0,即证a a −b b −a b +b a a a −b b +a b −b a >0,需证a −b a +b a −b a + b >0,即证a +b a −b 2>0.因为a、b都为正数且a≠b，所以上式成立．故命题成立．（3）因为x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R，所以当∣sin x∣>∣cos x∣时，得sin2x>cos2x，即cos2x<0，解得kπ+π4<x<kπ+3π4,k∈Z，此时f x=sin x；当∣sin x∣<∣cos x∣时，得sin2x<cos2x，即cos2x>0，解得kπ−π4<x<kπ+π4,k∈Z，此时f x=cos x．综上可得f x=sin x,x∈ kπ+π,kπ+3πk∈Z,cos x,x∈ kπ−π4,kπ+π4k∈Z.性质如下：非奇非偶函数；值域为 −1,−22∪22,1；函数最小正周期为2π；函数的单调增区间为2kπ−π4,2kπ ，2kπ+π4,2kπ+π2，2kπ+π,2kπ+5π4和2kπ+3π2,2kπ+7π4,k∈Z；函数的单调减区间为2kπ,2kπ+π4，2kπ+π2,2kπ+3π4，2kπ+3π4,2kπ+π 和2kπ+5π4,2kπ+3π2，k∈Z．22. （1）设M x0,y0，则PM=x0+a,y0−b,PA=a,−2b,PB=2a,−b.由PM=12PA+PB得x0+a,y0−b=12a,−2b+2a,−b.所以x0=a,y0=−b,所以M a2,−b2．（2）由方程组y=k1x+p,x2 2+y22=1,消去y得方程a2k12+b2x2+2a2k1px+a2p2−b2=0,因为直线l1交椭圆Γ于C、D两点，所以Δ>0，即a2k12+b2−p2>0,设C x1,y1、D x2,y2，CD中点坐标为x0,y0，则x0=x1+x2=−a2k1p12,y0=k1x0+p=b2pa2k12+b2,由方程组y=k1x+p,y=k2x,消去y得方程k2−k1x=p,又因为k2=−b2a2k1，所以x=p21=−a2k1p12=x0,y=k2x=b2pa2k12+b2=y0,故E为CD的中点．（3）如果椭圆Γ上存在不同的两个点P1、P2满足PP1+PP2=PQ，则四边形PP1QP2是平行四边形，因而P1P2的中点应与PQ的中点重合，故只需据此求出直线P1P2的斜率即可．设P1 x P1,y P1，P2 x P2,y P2，PQ中点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2．因为P1、P2在椭圆上，所以x P1 2 a2+y P12b2=1. ⋯⋯①①−②并整理得y P1−y P2x P1−x P2=−b2 x P1+x P2a2 y P1+y P2=−b2⋅a cosθ−1a2⋅b1+sinθ=b1−cosθa1+sinθ.求作点P1、P2的步骤如下：1）连接PQ，作出线段PQ的中点R；2）过点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2作斜率为k=b1−cosθa1+sinθ的直线l，交椭圆Γ于P1、P2点，则点P1、P2就是所求作的点．当0<θ<π时，只需PQ的中点在椭圆内部，则由作法可知满足条件的点P1、P2就存在，所以有−a+a cosθ22 2+b+b sinθ222<1a>b>0,化简得sinθ−cosθ<1 2 ,即sin θ−π4<24且0<θ<π．。

2010年上海市高考理科数学试卷及答案(打印版)-推荐下载

6. 随机变量的概率分布率由下图给出：
则随机变量的均值是
7. 2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园，20:00 停止入园。在右边的框图中，
S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， a 表示整点报道前
1 个小时内入园人数，则空白
的执行框内应填入
。
8.对任意不等于 1 的正数 a，函数 f(x)= loga (x 3) 的反函数的图像都经过点
(B)(2,1) (C)(-2,1)
(
1 2
)
x

1
x3
的解，则
（B）必要不充分条件.
（D）既不充分也不必要条件.
(t

R)
，则
x0 属于区间
第2页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解9复数部分

十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解9复数部分一、选择题（共6小题；共30分）1.设置？？1.2.∈??，那么“1和2都是实数”是“1和2都是实数”的结果吗？？a.充分非必要条件c.充要条件b、必要条件和非充分条件D.既不充分也不必要条件2.设??1,??2∈??，则“??1，??2中至少有一个数是虚数”是“??12是虚数”的??a、充分和不必要条件C.必要和充分条件b.必要非充分条件d.既非充分又非必要条件3.\? 2.≤?? ≤ 2\是\实系数一元二次方程？？2++ 1=0，具有虚拟根\？？a.必要不充分条件c.充要条件b、充分和不必要的条件D.既不充分也不必要的条件4.已知互异的复数??，??满足≠0，集合??,??=??2,??2，则??+??=??a、二,b.1c、 0d.?15.如果1+2I约为？？实系数方程？？2++??= 一个0的复数根，那么？？a.??=2，??=3c.??=?2，??=?1??的值分别是??b、？？=2，??=? 1d.？？=？2，??= 三6.已知??,??∈??，且2+??i，??+3i（i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么??，a、？？=？3,??= 二b.??=3,??=?2d.??=3,??=2c、？？=？3,??=? 二二、填空题（共16小题；共80分）7.计算：1+I=（I为虚单位）3?i8.如果复数？？满意吗2+??+ 1I（I是一个虚数单位）是一个纯虚数，其中？？∈??，那么o？？o=。

9.若??是实系数方程??2+2??+??=0的一个虚根，且o??o=2，则??=．10.设??=11.设??=3+2ii3+2ii，其中i为虚数单位，则??的虚部等于．，其中i为虚数单位，则??的虚部等于．12.如果复数？？满足3的要求？+=1+I，其中I是一个虚单位，那么？=13.如果复数=1+2I，其中I是虚单位，那么“+？？”=14.设??∈??，??2+2+??2?1i是纯虚数，其中i是虚数单位，则??=．15.已知互异的复数??,??满足≠0，集合??,??=??2,??2，则??+??=．16.若复数??满足??1+i=1?i（i是虚数单位），则其共轭复数??=．17.若复数??同时满足z=2i，z=i??（i为虚数单位），则??=．1第1页，共5页18.若复数??=1?2i，i为虚数单位，则+??=．19.若复数??满足??(1+i)=2，则??的实部是．20.如果复数？？满足方程？？i=i？1（我是一个虚构的单位），那么？=21.如果复数=1+2I，其中I是一个虚单位，那么“+？？”=22.对于非零实数??,??，以下四个命题都成立．①??+ ≠0；②??+?? 2=?? 2+2+?? 2.11.③ 如果o？？o=o？？o、然后=±④ 如果2=，然后呢？=所以，对于非零复数？？，？？，所有仍然有效的命题序列号都是三、解答题（共6小题；共78分）23.已知复数？？1.满足以下要求：？？1.21+i=1？I（I是一个想象的单位），复数？？2的虚部是2，并且？？1.2是真的数，求??2．24.已知复数？？1.满足以下要求：？？1.21+i=1？I（I是一个想象的单位），复数？？2的虚部是2，？？1.2是一个实数，求??2．25.证明在复范围内，方程o？？o2+1？我1+i=2o27.已知复数？=？+？？我∈??+ I是虚数，单位是等式？？2.4??+ 5=0的根。

十年上海数学高考真题专题汇编-解析几何

x2
+
y2
=
1 2
内的点都不是“ C1
− C2
型点”．
【2014 上海理 3 文 4】若抛物线 y2 = 2 px 的焦点与椭圆 x2 + y2 = 1 的右焦点重合，则该抛 95
物线的准线方程为___________.
【2014 上海理 22】在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 l : ax + by + c = 0 和点 P1(x1, y1 ) ， P2 (x2 , y2 )记 = (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c). 若 0 ，则称点 P1 ， P2 被直线 l 分隔.若
（1）若 M 与 A 重合，求曲线 C 的焦点坐标；
（2）若 m = 3 ，求 PA 的最大值与最小值；
（3）若 PA 的最小值为 MA ，求实数 m 的取值范围.
【2011 年上海理 23】已知平面上的线段 l 及点 P ，任取 l 上一点 Q ，线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离，记作 d (P,l) （1）求点 P(1,1) 到线段 l : x − y − 3 = 0 (3 x 5) 的距离 d (P,l) ；（2）设 l 是长为 2 的线段，求点的集合 D = {P d (P,l) 1} 所表示的图形面积；（ 3 ）写出到两条线段 l1,l2 距离相等的点的集合 = {P d (P,l1) = d (P,l2 )} ，其中 l1 = AB,l2 = CD ， A, B,C, D 是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2 分，②6 分，③8 分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ① A(1,3), B(1, 0),C(−1,3), D(−1, 0) . ② A(1,3), B(1, 0),C(−1,3), D(−1, −2) . ③ A(0,1), B(0, 0),C(0, 0), D(2, 0)

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,解析版)

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（某某卷，解析版）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将某某、高考某某号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、不等式042>+-x x的解集为_______________；【解析】20(4)(2)0(4)(2)0424xx x x x x x->⇔+->⇔+-<⇔-<<+，故答案为：)2,4(-.或由2020404x xx x ->⎧->⇔⎨+>+⎩或2040x x -<⎧⎨+<⎩，解得42x -<<，故答案为：)2,4(-. 【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解. 2、若复数12z i =-（i 为虚数单位），则=+⋅z z z _____________；【解析】∵12z i =-，∴(12)(12)1251262z z z i i i i i ⋅+=-++-=+-=-，故答案为：i 26-【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题．3、若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________；【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题.4、行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_______________；【解析】cossin 36coscossinsincos()cos 03636362sincos36πππππππππππ=-=+==，答案为：0.【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.5、圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离=d ________；【解析】由044222=+--+y x y x ，得22(1)(2)1x y -+-=，则圆心为(1,2)，故22334d ==+，答案为：3.【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.6、随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x 7 8 9 10 P(x =ξ)0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是__________；【解析】70.380.3590.2100.158.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：8.2. 【点评】本题考查随机变量ξ的概率分布和均值（期望）的计算，属常规题，无难度. 7、2010年某某世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

2010年上海高考真题(含答案)数学理

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．不等式042>+-xx的解集为_______________； 2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3．若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4．行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_________；5．圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________； 6．随机变量ξ的概率分布率由下图给出：则随机变量ξ的均值是__________；7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。

8．对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是__________。

9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P ____________（结果用最简分数表示）。

10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=______。

2010年高考试题数学(上海卷精校版含答案)

2010年高考数学（文科）上海试题2010-6-7班级_____，学号_____，姓名_____________ 一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．已知集合A ={1,3,m }，B ={3,4}，A ⋃B ={1,2,3,4}，则m =_______________． 2．不等式204x x ->+的解集是_______________．3．行列式cossin 66sincos66ππππ的值是_______________．4．若复数z =1-2i （i 为虚数单位），则z z z ⋅+=_______________．5．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取_______________个个体．6．已知四棱锥P —ABCD 的底面是边长为6的正方体，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A =8，则该四棱锥的体积是_______________．7．圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线3x +4y +4=0的距离d =_______________． 8．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________．9．函数f (x )=log 3(x +3)的反函数的图像与y 轴的交点坐标是_____． 10．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为____________（结果用最简分数表示）． 11．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________．12．在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n --⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为a ij (i ,j =1,2,···,n )．当n =9时，a 11+a 22+a 33+···+a 99=_______________． 13．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为0)，1(2,1)e =、2(2,1)e =- 分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若12O P a e be =+(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是_______________．14．将直线l 1:x +y -1=0、l 2:nx +y -n =0、l 3:x +ny -n =0(n ∈N *,n ≥2)围成的三角形面积记为S n ，则lim n n S →∞=_______________．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z =x +y 的最大值是（）A ．1B ．32C ．2D ．316．“24x k ππ=+(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 17．若x 0是方程lg x +x =2的解，则x 0属于区间（） A ．(0,1)B ．(1,1.25)C ．(1.25,1.75)D ．(1.75,2) 18．若∆ABC 的三个内角满足sin A :sin B :sin C =5:11:13，则∆ABC（）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+．20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．(1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；(2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．21．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n-5a n-85,n∈N*．(1) 证明：{a n-1}是等比数列；(2) 求数列{S n}的通项公式，并求出使得S n+1>S n成立的最小正整数n．22．（本题满分16分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|，则称x比y接近m．(1) 若x2-1比3接近0，求x的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2(3) 已知函数f(x)的定义域D={x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1+sin x和1-sin x中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)为Γ的三个顶点．(1) 若点M满足1()2AM AQ AB=+，求点M的坐标；(2) 设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若2122bk ka⋅=-，证明：E为CD的中点；(3) 设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足12PP PP PQ+=？令a=10，b=5，点P的坐标是(-8,-1)．若椭圆Γ上的点P1、P2满足12PP PP PQ+=，求点P1、P2的坐标．2010年高考数学（理科）上海试题2010-6-7班级_____，学号_____，姓名_____________一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．不等式204x x ->+的解集是_______________．2．若复数z =1-2i （i 为虚数单位），则z z z ⋅+=_______________．3．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________．4．行列式cossin 36sincos36ππππ的值是_______________．5．圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线3x +4y +4=0的距离d =_______________． 6．随机变量ξ的概率分布由下表给出：则该随机变量ξ的均值是_______________．7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________．8．对于不等于1的正数a ，函数f (x )=log a (x +3)的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标为_______________．9．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率()P AB = ______________(结果用最简分数表示)． 10．在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n --⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为11．将直线l 1：nx +y -n =0、l 2：x +ny -n =0(n ∈N *)、x 轴、y 轴围成的封闭区域的面积记为S n ，则lim n n S →∞=_______________．12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD相交于点O ，剪去∆AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A (B )、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积是_______________．13．如图所示，直线2x =与双曲线22:14xy Γ-=的渐近线交于1E 、2E 两点，记11O E e =，22O E e =，任取双曲线Γ上的点P ，若12(,)O P a e be a b R =+∈，则a 、b 满足的一个等式是_______________． 14．从集合{,,,}U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1) ,U ∅都要选出；(2)对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇．那么，共有___________种不同的选择．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．“24x k ππ=+(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．直线l 的参数方程是12()2x t t y t =+⎧∈⎨=-⎩R ，则l 的方向向量d 可以是（）A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(-2,1)D ．(1,-2) 17．若x 0是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则x 0属于区间（）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭18．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将（）A ．不能作出满足要求的三角形B ．作出一个锐角三角形 B三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+．20．（本题满分13分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n -5a n -85,n ∈N *． (1) 证明：{a n -1}是等比数列；(2) 求数列{S n }的通项公式，并指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由．20．（本题满分14分）第1小题满分5分，第2小题满分8分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．(1) 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；(2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分．若实数x 、y 、m 满足|x -m |﹥|y -m |，则称x 比y 远离m ．(1) 若x 2-1比1远离0，求x 的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2； (3) 已知函数f (x )的定义域{|,,}24k D x x k x ππ=≠+∈∈Z R ．任取x ∈D ，f (x )等于sin x 和cos x中远离0的那个值．写出函数f (x )的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）23．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，点P 的坐标为(-a ,b )．(1) 若直角坐标平面上的点M 、A (0,-b )、B (a ,0)满足1()2PM PA PB =+，求点M 的坐标；(2) 设直线l 1:y =k 1x +p 交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线l 2:y =k 2x 于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；(3) 对于椭圆Γ上的点Q (a cos θ ,b sin θ )(0<θ <π)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P 1、P 2使12PP PP PQ+= ，写出求作点P 1、P 2的步骤，并求出使P 1、P 2存在的θ 的取值范围．A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8B 1B 2B 3B 4B 5B 6 B 7B 8文科参考答案一、填空题 1．2；2．(-4,2)； 3．0.5；4．6-2i ； 5．20； 6．96； 7．3；8．y 2=8x ； 9．(0,-2)； 10．351； 11．S ←S +a ； 12．45；13．4ab =1； 14．12．二、选择题 15．C ；16．A ； 17．C ； 18．C ．三、解答题19．原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0．20．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r =0.3时，l =0.6，作三视图略．21．(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；由S n +1>S n ，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，最小正整数n =15．22．(1) x ∈(-2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b，有222a b ab +>332a b +>因为22332|2|2()()0a b ab a b a b a b +--+-=-+-<，所以2233|2|2a b ab a b +-<+-，即a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2；(3) 1sin ,(2,2)()1|sin |,1sin ,(2,2)x x k k f x x x k x x k k πππππππ+∈-⎧==-≠⎨-∈+⎩,k ∈Z ，f (x )是偶函数，f (x )是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x )的最小值为0，函数f (x )在区间[,)2k k πππ-单调递增，在区间(,]2k k πππ+单调递减，k ∈Z ．23．(1) (,)22a bM -；(2) 由方程组122221y k x p x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，则212102221201022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩，由方程组12y k x p y k x=+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩，故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ+=知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122bk a k =-，从而得直线l的方程．1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212bk a k =-=，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)．理科参考答案一、填空题1．(-4,2)； 2．6-2i ； 3．y 2=8x ； 4．0；5．3；6．8.2； 7．S ←S +a ；8．(0,-2)； 9．726；10．45； 11．1；12．313．4ab =1； 14．36．二、选择题 15．A ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题19．原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0．20．(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；解不等式S n <S n +1，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，当n ≥15时，数列{S n }单调递增；同理可得，当n ≤15时，数列{S n }单调递减；故当n =15时，S n 取得最小值． 21．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米； (2)当r =0.3时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =- ，35(0.3,0.3,0.6)A B =--，设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则133513352cos 3||||A B A B A B A B θ⋅==⋅，所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小为2arccos 3．22．(1) (,)x ∈-∞+∞ ；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b，有332a b +>222a b ab +>因为33222|2|2()()0a b a b ab a b a b +--+-=+->，所以3322|2|2a b a b ab +->+-，即a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2；(3)3sin ,(,)44()x x k k f x ππππππ⎧∈++⎪⎪=⎨，性质：1︒f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，2︒f (x )是周期函数，最小正周期2T π=，3︒函数f (x )在区间(,]242k k πππ-单调递增，在区间[,)224k k πππ+单调递减，k ∈Z ，4︒函数f (x )的值域为2．23．(1) (,)22abM -；(2) 由方程组122221y k x p x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，则21210222121022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩，由方程组12y k x p y k x=+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩，故E 为CD 的中点；(3) 求作点P 1、P 2的步骤：1︒求出PQ 的中点(1cos )(1sin )(,)22a b E θθ-+-，2︒求出直线OE 的斜率2(1sin )(1cos )b k a θθ+=--，3︒由12PP PP PQ+=知E 为CD 的中点，根据(2)可得CD 的斜率2122(1cos )(1sin )bb k a k a θθ-=-=+，4︒从而得直线CD 的方程：(1sin )(1cos )(1cos )()2(1sin )2b b a y x a θθθθ+---=++，5︒将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P 1、P 2的坐标．欲使P 1、P 2存在，必须点E 在椭圆内，所以22(1cos )(1sin )144θθ-++<，化简得1sin cos 2θθ-<，sin()44πθ-<又0<θ <π，即3444πππθ-<-<，所以arcsin444ππθ-<-<，故θ 的取值范围是(0,arcsin44π+．。

十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解3函数部分

十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解3函数部分一、选择题（共17小题；共85分）1. 若 x 0 是方程 lgx +x =2 的解，则 x 0 属于区间 ( ) A. (0,1)B. (1,1.25)C. (1.25,1.75)D. (1.75,2)2. 函数 f (x )=x 2−1(x ≥1) 的反函数为 f −1(x ) ，则 f −1(2) 的值是 ( )A. √3B. −√3C. 1+√2D. 1−√23. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 (0,+∞) 上单调递减的是 ( )A. y =x−2B. y =x−1C. y =x 2D. y =x 134. 若函数 f (x )=12x +1，则该函数在 (−∞,+∞) 上是 ( )A. 单调递减无最小值B. 单调递减有最小值C. 单调递增无最大值D. 单调递增有最大值5. 若函数 y =f (x ) 的图象与函数 y =lg (x +1) 的图象关于直线 x −y =0 对称，则 f (x )= ( )A. 10x −1B. 1−10xC. 1−10−xD. 10−x −16. 设 f (x )={(x −a )2,x ≤0,x +1x +a,x >0, 若 f (0) 是 f (x ) 的最小值，则 a 的取值范围为 ( ) A. [−1,2]B. [−1,0]C. [1,2]D. [0,2]7. 若 x 0 是方程 (12)x=x 13的解，则 x 0 属于区间 ( )A. (23,1)B. (12,23) C. (0,13) D. (13,12)8. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0,+∞) 上单调递减的函数是 ( )A. y =ln1∣x∣B. y =x 3C. y =2∣x∣D. y =cosx9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 (0,+∞) 上单调递减的为 ( )A. y =ln 1∣x∣ B. y =x 3 C. y =2∣x∣D. y =cosx10. 若函数 y =f (x ) 的图象可由函数 y =lg (x +1) 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 π2 得到，则f (x )= ( )A. 10−x −1B. 10x −1C. 1−10−xD. 1−10x11. 设函数 f (x ) 的定义域为 R ，有下列三个命题：（1）若存在常数 M ，使得对任意 x ∈R ，有 f (x )≤M ，则 M 是函数 f (x ) 的最大值；（2）若存在 x 0∈R ，使得对任意 x ∈R ，且 x ≠x 0 ，有 f (x )<f (x 0) ，则 f (x 0) 是函数 f (x ) 的最大值；（3）若存在 x 0∈R ，使得对任意 x ∈R ，有 f (x )≤f (x 0) ，则 f (x 0) 是函数 f (x ) 的最大值．这些命题中，真命题的个数是 ( ) A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个12. 设 a >0 ， a ≠1 ，函数 y =log a x 的反函数和 y =log a 1x 的反函数的图象关于 ( )A. x 轴对称B. y 轴对称C. y =x 对称D. 原点对称13. 设 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 f (x )+g (x )，f (x )+ℎ(x )，g (x )+ℎ(x ) 均为增函数，则 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 中至少有一个为增函数；②若 f (x )+g (x )，f (x )+ℎ(x )，g (x )+ℎ(x ) 均是以 T 为周期的函数，则 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是 ( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题14. 已知无穷等比数列 {a n } 的公比为 q ，前 n 项和为 S n ，且 lim n→∞S n =S ，下列条件中，使得 2S n <S (n ∈N ∗) 恒成立的是 ( ) A. a 1>0，0.6<q <0.7 B. a 1<0，−0.7<q <−0.6 C. a 1>0，0.7<q <0.8D. a 1<0，−0.8<q <−0.715. 记方程①：x 2+a 1x +1=0，方程②：x 2+a 2x +2=0，方程③：x 2+a 3x +4=0，其中 a 1，a 2，a 3 是正实数．当 a 1，a 2，a 3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是 ( )A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根16. 过圆 C:(x −1)2+(y −1)2=1 的圆心，作直线分别交 x 、 y 正半轴于点 A 、 B ，△AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 S Ⅰ+S Ⅳ=S Ⅱ+S Ⅲ，则这样的直线 AB 有 ( )A. 0 条B. 1 条C. 2 条D. 3 条17. 设定义域为 R 的函数 f (x )={|lg|x −1||,x ≠1,0,x =1,则关于 x 的方程 [f (x )]2+bf (x )+c =0 有 7个不同实数解的充要条件是 ( )A. b <0 且 c >0B. b >0 且 c <0C. b <0 且 c =0D. b ≥0 且 c =0二、填空题（共49小题；共245分） 18. 方程 4x +2x −2=0 的解是．19. 若函数 f (x )=2x +1 的反函数为 f −1(x ) ，则 f −1(−2)= ． 20. 方程 lgx 2−lg (x +2)=0 的解集是． 21. 函数 f (x )=1x−2 的反函数为 f −1(x )= ．22. 函数 f (x )=x 3+1 的反函数 f −1(x )= ．23. 函数 f(x)=1x−1的反函数 f −1(x)= ．24. 方程 lgx +lg(x +3)=1 的解 x = ．25. 若函数 f (x ) 的反函数为 f −1(x )=x 2(x >0)，则 f (4)= ．26. 若函数 f (x )=a x (a >0,且a ≠1) 的反函数的图像过点 (2,−1) ，则 a = ． 27. 函数 f (x )=log 4(x +1) 的反函数 f −1(x )= ． 28. 若函数 f (x ) 的反函数为 f −1(x )=log 2x ，则 f (x )= ．29. 若函数 f (x )=(x +a )(bx +2a )（常数 a,b ∈R ）是偶函数，且它的值域为 (−∞,4]，则该函数的解析式 f (x )= ．30. 设函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，若当 x ∈(0,+∞) 时，f (x )=lgx ，则满足 f (x )>0 的 x的取值范围是． 31. 计算 (254)32= ____.32. 已知 y =f (x ) 是奇函数，若 g (x )=f (x )+2 且 g (1)=1，则 g (−1)= ．33. 已知函数 f (x )=e ∣x−a∣（a 为常数）．若 f (x ) 在区间 [1,+∞) 上是增函数，则 a 的取值范围是．34. 已知函数 f (x )=log 3(4x +2)，则方程 f −1(x )=4 的解 x = ．35. 设奇函数 f (x ) 的定义域为 [−5,5]．若当 x ∈[0,5] 时，f (x ) 的图象如图，则不等式 f (x )<0 的解是．36. 设 f (x )={x,x ∈(−∞,a ),x 2,x ∈[a,+∞), 若 f (2)=4 ，则 a 的取值范围为．37. 函数 f (x )=x 2+1(x ≤0) 的反函数 f −1(x )= ． 38. 设 f −1(x ) 为 f (x )=x2x+1的反函数，则 f −1(2)= ．39. 设常数 a ∈R ，函数 f (x )=∣x −1∣+∣x 2−a ∣ ，若 f (2)=1 ，则 f (1)= ． 40. 若 f (x )=x 23−x −12，则满足 f (x )<0 的 x 取值范围是． 41. 方程 3x−1=19 的解是．42. 对于不等于 1 的正数 a ，函数 f (x )=log a (x +3) 的反函数的图象都经过点 P ，则点 P 的坐标为．43. 若函数 f (x )=a∣x −b∣+2 在 [0,+∞) 上为增函数，则实数 a 、 b 的取值范围是． 44. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数．若当 x ≥0 时， f (x )=log 3(1+x ) ，则 f (−2)= ． 45. 函数 f (x )=−x 2 (x ∈(−∞,−2]) 的反函数 f −1(x )= ．46. 方程x3+lgx=18的根 \（x\thickapprox\）．（结果精确到0.1）47. 某算法的程序框图如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．48. 已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1．若g(x)=f(x)+2，则g(−1)=．49. 已知点(3,9)在函数f(x)=1+a x的图象上，则f(x)的反函数f−1(x)=．50. 设a为实常数，y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=9x+a2x+7，若f(x)≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．51. 方程93x−1+1=3x的实数解为．52. 对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)={y∣ y=g(x),x∈I}，已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f−1(x)，且f−1([0,1))=[1,2),f−1((2,4])=[0,1)，若方程f(x)−x=0有解x0，则x0=．53. 方程33x−1+13=3x−1的实数解为．54. 设f−1(x)为f(x)=2x−2+x2，x∈[0,2]的反函数，则y=f(x)+f−1(x)的最大值为．55. 设f(x)={−x+a,x≤0,x+1x,x>0,若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为．56. 函数f(x)=sinx+2∣sinx∣,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是．57. 甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%．乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为元．（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）58. 设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[−2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为．59. 方程log3(x2−10)=1+log3x的解是．60. 已知函数f(x)=log a(−x2+log2a x)的定义域是(0,12)，则实数a的取值范围是．61. 方程 x 2+√2x −1=0 的解可视为函数 y =x +√2 的图象与函数 y =1x的图象交点的横坐标，若 x 4+ax −4=0 的各个实根 x 1，x 2，⋯，x k (k ≤4) 所对应的点 (x i ,4x i) (i =1,2,⋯,k ) 均在直线 y =x 的同侧，则实数 a 的取值范围是．62. 已知函数 f (x )=sinx +tanx ．项数为 27 的等差数列 {a n } 满足 a n ∈(−π2,π2)，且公差 d ≠0，若 f (a 1)+f (a 2)+⋯+f (a 27)=0，则当 k = 时，f (a k )=0．63. 某地街道呈现东 − 西、南 − 北向的网格状，相邻街距都为 1 ．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 (−2,2) ， (3,1) ， (3,4) ， (−2,3) ， (4,5) ， (6,6) 为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．64. 设 g (x ) 是定义在 R 上且以 1 为周期的函数，若 f (x )=x +g (x ) 在 [3,4] 上的值域为 [−2,5]，则f (x ) 在区间 [−10,10] 上的值域为．65. 将函数 y =√4+6x −x 2−2(x ∈[0,6]) 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 θ(0≤θ≤α)，得到曲线 C ．若对于每一个旋转角 θ，曲线 C 都是一个函数的图象，则 tanα 的最大值为．66. 已知函数 f (x )=2x +log 2x ，数列 {a n } 的通项公式是 a n =0.1n (n ∈N ∗)，当 ∣f (a n )−2005∣取得最小值时，n = ．三、解答题（共25小题；共325分） 67. 已知函数 f (x )=2x −12∣x∣，（1）若 f (x )=2，求 x 的值；（2）若 2t f (2t )+mf (t )≥0 对于 t ∈[1,2] 恒成立，求实数 m 的取值范围．68. 有时可用函数 f (x )={0.1+15ln aa−x,x ≤6x−4.4x−4,x >6描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数 (x ∈N ∗)，f (x ) 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关．（1）证明：当 x ≥7 时，掌握程度的增加量 f (x +1)−f (x ) 总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科．69. 已知函数 f (x )=ax 2+1x ，其中 a 为常数．（1）根据 a 的不同取值，判断函数 f (x ) 的奇偶性，并说明理由；（2）若 a ∈(1,3)，判断函数 f (x ) 在 [1,2] 上的单调性，并说明理由．70. 如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB =5 千米，AC =3 千米，BC =4 千米．现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，过 t 小时，他们之间的距离为 f (t )（单位：千米）．甲的路线是 AB ，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8 千米/小时．乙到达 B 地后在原地等待．设 t =t 1 时，乙到达 C 地．（1）求t1与f(t1)的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1,1]上的最大值是否超过3 ?说明理由．71. 已知R为全集，A={x∣ log12(3−x)≥−2}，B={x∣ 5x+2≥1}，求∁R A∩B．72. 甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是100(5x+1−3x)元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润．73. 设常数a≥0，函数f(x)=2x+a2x−a．（1）若a=4，求函数y=f(x)的反函数y=f−1(x)；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由．74. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100(5x+1−3x)元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+1x −3x2)元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此最大利润．75. 已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0．（1）令ω=1，判断函数F(x)=f(x)+f(x+π2)的奇偶性并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象．对任意的a∈R，求y=g(x)在区间[a,a+10π]上零点个数的所有可能值．76. 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）?77. 已知函数f(x)=a⋅2x+b⋅3x，其中常数a，b满足a⋅b≠0．（1）若a⋅b>0，判断函数f(x)的单调性；（2）若a⋅b<0，求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围．78. 已知函数f(x)=a⋅2x+b⋅3x，其中常数a,b满足ab≠0．（1）若ab>0，判断函数f(x)的单调性；（2）若ab<0，求f(x+1)>f(x)时x的取值范围．79. 已知椭圆C:x2m2+y2=1（常数m>1），点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为(2,0)．（1）若M与A重合，求椭圆C的焦点坐标；（2）若m=3，求∣PA∣的最大值与最小值；（3）若∣PA∣的最小值为∣MA∣，求m的取值范围．80. 已知函数f(x)=x2+ax，x≠0，常数a∈R．（1）当a=2时，解不等式f(x)−f(x−1)>2x−1；（2）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．81. 设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，a n+S n=4096．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{log2a n}的前n项和为T n，对数列{T n}，从第几项起T n<−509 ?82. 已知a∈R，函数f(x)=log2(1x+a)．（1）当a=5时，解不等式f(x)>0．（2）若关于x的方程f(x)−log2[(a−4)x+2a−5]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围．（3）设a>0，若对任意t∈[12,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围．83. 已知函数f(x)=lg(x+1)．（1）若0<f(1−2x)−f(x)<1，求x的取值范围；（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)=f(x)，求函数y= g(x)(x∈[1,2])的反函数．84. 已知a∈R，函数f(x)=log2(1x+a)．（1）当a=1时，解不等式f(x)>1；（2）若关于x的方程f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a>0，若对任意t∈[12,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．85. 已知数列{a n}与{b n}满足a n+1−a n=2(b n+1−b n)，n∈N∗．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n≥a n（n∈N∗），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ<0，b n=λn（n∈N∗），求λ的取值范围，使得对任意m,n∈N∗，a n≠0，且a ma n ∈(16,6)．86. 已知数列{a n}与{b n}满足a n+1−a n=2(b n+1−b n)，n∈N∗．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n≥a n(n∈N∗)．求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ<0，b n=λn(n∈N∗)．求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且Mm∈(−2,2)．87. 已知函数y=f−1(x)是y=f(x)的反函数．定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y=f(x+a)与y=f−1(x+a)互为反函数，则称y=f(x)满足" a和性质"；若函数y=f(ax)与y=f−1(ax)互为反函数，则称y=f(x)满足" a积性质"．（1）判断函数g(x)=x2+1(x>0)是否满足" 1和性质"，并说明理由；（2）求所有满足" 2和性质"的一次函数；（3）设函数y=f(x)(x>0)对任何a>0，满足" a积性质"．求y=f(x)的表达式．88. 对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b−1)(a≠0)．（1）当a=1,b=−2时，求函数f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A,B两点关于直线y=kx+12a2+1对称，求b的最小值．89. 对于定义域为R的函数g(x)，若存在正常数T，使得cosg(x)是以T为周期的函数，则称g(x)为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f(x)是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f(x)单调递增，f(0)=0，f(T)=4π．（1）验证ℎ(x)=x+sin x3是以6π为余弦周期的余弦周期函数；（2）设a<b，证明对任意c∈[f(a),f(b)]，存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=c；（3）证明：“ u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上的解”的充要条件是“ u0+T为方程cosf(x)=1在[T,2T]上的解”，并证明对任意x∈[0,T]都有f(x+T)=f(x)+f(T)．90. 已知倾斜角为45∘的直线l过点A(1,−2)和点B，B在第一象限，∣AB∣=3√2．（1）求点B的坐标；（2）若直线l与双曲线C:x 2a2−y2=1(a>0)相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为(4,1)，求a的值；（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称∣PQ∣的最小值为P与线段AB的距离．已知点P在x轴上运动，写出点P(t,0)到线段AB的距离ℎ关于t的函数关系式．91. 对定义域分别是D f、D g的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数ℎ(x)={f(x)⋅g(x),当x∈D f,且x∈D g f(x),当x∈D f,且x∉D g g(x),当x∉D f,且x∈D g（1）若函数f(x)=1x−1，g(x)=x2，写出函数ℎ(x)的解析式；（2）求问题（1）中函数ℎ(x)的值域；（3）若g(x)=f(x+α)，其中α是常数，且α∈[0,π]，请设计一个定义域为R的函数y= f(x)，及一个α的值，使得ℎ(x)=cos4x，并予以证明．答案第一部分 1. D【解析】设 f(x)=lgx +x −2，由于 f(1)=−1<0，f(2)=lg2>0 ，那么 x 0∈(1，2) ；又 f(1．25)=0．25−3lg2<0，f(1．75)=lg7−2lg2−0．25<0，故 x 0∈(1．75，2) ． 2. A3. A【解析】y =x −1 和 y =x 13 是奇函数，排除B ，D ；y =x 2 是在区间 (0,+∞) 上单调递增的函数，排除C ； y =x −2 是偶函数，且在区间 (0,+∞) 上单调递减． 4. A 【解析】由于 y =2x +1 在 (−∞,+∞) 上单调递增且大于 1，所以 f (x )=12x +1 单调递减，值域为 (0,1)，没有最小值．5. A6. D【解析】当 x >0 时，f (x ) 在 x =1 处取得最小值 2+a ，要使得 f (0) 是 f (x ) 的最小值，需要满足 {f (0)≤f (1),a ≥0, 解得 a ∈[0,2]．7. D【解析】设函数 f (x )=(12)x−x 13，结合各选项有：f (0)=1>0，由幂函数的性质，得f (13)=(12)13−(13)13>0，由指数函数的性质，得 f (12)=(12)12−(12)13<0，因此，根据函数零点的意义知，x 0 属于的区间为 (13,12)． 8. A9. A【解析】y =ln 1∣x∣，y =2∣x∣，y =cosx 均为偶函数，y =x 3 为奇函数，所以排除B ．y =2∣x∣ 在区间 (0,+∞) 上单调递增，y =cosx 在区间 (0,+∞) 上不单调，所以排除C 、D ． y =ln 1∣x∣=−ln ∣x ∣ 是在区间 (0,+∞) 上单调递减的函数． 10. A11. C 12. B 13. D 【解析】①不成立，可举反例．f (x )={2x,x ≤1,−x +3,x >1.g (x )={2x +3,x ≤0,−x +3,0<x <1,2x,x ≥1.ℎ(x )={−x,x ≤0,2x,x >0.② f (x )+g (x )=f (x +T )+g (x +T ) f (x )+ℎ(x )=f (x +T )+ℎ(x +T ) g (x )+ℎ(x )=g (x +T )+ℎ(x +T )前两式作差，可得 g (x )−ℎ(x )=g (x +T )−ℎ(x +T )．结合第三式，可得 g (x )=g (x +T )，ℎ(x )=ℎ(x +T )．也有 f (x )=f (x +T )．所以②正确． 14. B 【解析】S n =a 1(1−q n )1−q，S =a11−q ，−1<q <1．2S n <S ，即 a 1(2q n −1)>0，若 a 1>0，则 q n >12，不可能成立．若 a 1<0，则 q n <12，B 成立．【解析】由题意知a3=a22a1，方程③无实根，当且仅当方程③的判别式Δ= 3a32−16=1a12(a22+4a1)(a22−4a1)<0.又a1,a2,a3均为正实数，故只需a22−4a1<0．而方程①的判别式Δ=1a12−4，方程②的Δ=2a22−8．当Δ≥10，而Δ<20时，有a1≥2，a22<8，此时Δ<30．16. B 【解析】由题意知SⅢ−SⅠ=SⅣ−SⅡ，而SⅣ−SⅡ是定值，所以SⅢ−SⅠ是定值，设为M．直线AB绕C逆时针转动时，S I逐渐增大，SⅢ逐渐减小，则SⅢ−SⅠ由+∞单调递减至−∞，中间存在且只存在一个位置使得SⅢ−SⅠ=M．17. C 【解析】函数f(x)的图象如图所示，再由题关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，所以，关于f(x)的方程有两个不同解，且[f(x)]1=0，[f(x)]2>0，因此，c=0且b<0．第二部分18. x=0【解析】设t=2x，则原方程可化为t2+t−2=0，解得t=1或t=−2（舍去）．再由2x=1得x=0．19. −32【解析】∵y=2x+1，则x=y−12．∴f−1(x)=x−12．∴f−1(−2)=−32．20. {−1,2}21. 1x+222. √x−1323. 1+1x( x≠0 )24. 225. 226. 1228. 2x (x ∈R ) 29. −2x 2+4【解析】f (x )=bx 2+a (b +2)x +2a 2 为偶函数，则 a (b +2)=0．当 a =0 时，f (x )=bx 2，此时它的值域不可能为 (−∞,4]；当 b =−2 时，f (x )=−2x 2+2a 2，则 2a 2=4，从而 f (x )=−2x 2+4． 30. (−1,0)∪(1,+∞) 31.125832. 3【解析】考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用 y =f (x ) 为奇函数．已知函数 y =f (x ) 为奇函数，由已知得 g (1)=f (1)+2=1，所以 f (1)=−1，则 f (−1)=−f (1)=1，所以 g (−1)=f (−1)+2=1+2=3． 33. (−∞,1]【解析】函数 f (x ) 图象的对称轴为 x =a ，且递增区间为 [a,+∞)．根据题意，得 [1,+∞)⊆[a,+∞)，所以 a ≤1． 34. 135. (−2,0)∪(2,5] 36. (−∞,2] 37. −√x −1(x ≥1) 38. −2339. 3【解析】a =4 ． 40. (0,1)【解析】在同一坐标系内，画出幂函数 g (x )=x 23，ℎ(x )=x −12的图象，根据图象即得． 41. x =−1 42. (0,−2) 43. a >0 且 b ≤0 44. −1【解析】f (−2)=−f (2)=−1 ． 45. −√−x,x ∈(−∞,−4] 46. 2.647. y ={2x ,x ≤12x,x >148. −1【解析】因为 y =f (x )+x 2 是奇函数，所以 f (−1)+(−1)2=−[f (1)+12]=−2，解得 f (−1)=−3．因为 g (x )=f (x )+2，所以 g (−1)=f (−1)+2=−3+2=−1． 49. log 2(x −1)【解析】a 3+1=9，故 a =2,f (x )=1+2x ．所以 x =log 2(y −1)，所以 f −1(x )=log 2(x −1)． 50. a ≤−87【解析】f (0)=0，故0≥a +1⇒a ≤−1;当 x >0 时，f (x )=9x +a 2x−7≥a +1,即 6∣a ∣≥a +8，又 a ≤−1，故 a ≤−87．51. x =log 34【解析】提示：原式可化为 93x −1=3x −1，即 (3x −1)2=9．52. 2【解析】根据反函数定义，当 x ∈[0,1) 时，f (x )∈(2,4]，此时 f (x )≠x ； x ∈[1,2) 时，f (x )∈[0,1)，此时 f (x )≠x ；而 y =f (x ) 的定义域为 [0,3]，且有反函数，故当 x ∈[2,3] 时，f (x )∉(2,4]，而 f (x )=x 有解，故只可能有 x 0=2． 53. log 34 54. 4【解析】f (x )=2x−2+x2 在 x ∈[0,2] 上为单调增函数，f (x ) 在 x ∈[0,2] 上的值域为 [14,2]，f −1(x ) 在区间 [14,2] 上也为增函数，所以 y =f (x )+f −1(x ) 在区间 [14,2] 上也为增函数，所以所求最大值为 y max =f (2)+f −1(2)=1+1+2=4． 55. (−∞,2]【解析】当 x ≤0 时，f (x ) 的最小值为 f (0)=a. 由题意，得 a ≤x +1x .而 x >0 时，x +1x≥2√x ⋅1x=2，即 x +1x的最小值为 2，故 a ≤2． 56. (1,3)【解析】提示：f (x )={3sinx,0≤x ≤π,−sinx,π<x ≤2π.57. 219.01【解析】甲所得本息和为 10000+10000×2.88%×(1−20%)×5=11152．乙所得本息和为 10000[1+2.25%×(1−20%)]5≈10932.99，则甲与乙所得本息之和的差为 11152−10932.99=219.01（元）． 58. [−2,7]【解析】由 f (x )=x +g (x ) 可得，f (x +1)=(x +1)+g (x +1)，结合 g (x ) 是周期为 1 的函数，所以 f (x +1)=x +g (x )+1，即 f (x +1)=f (x )+1．所以函数 f (x ) 在 [1,2] 上的值域为 [−1,6]，在 [2,3] 上的值域为 [0,7]，所以 f (x ) 在区间 [0,3] 上的值域为 [−2,7]． 59. 5 60. [132,12)61. (a<−6,a>6)解析：【解析】方程x4+ax−4=0的实根可视为函数y=4x与函数y=x3+a的交点的横坐标，要满足方程的实根所对应的点(x i,4x i)均在直线y=x的同侧，只需这两个函数图象的交点均在直线y=x的同侧．两个函数图象有两个交点．其临界情况是过点A(−2,−2)与点B(2,2)，即过y=4x与y=x的两个交点，此时a=6或a=−6．故a>6或a<−6时满足题意．62. 14【解析】提示：函数f(x)=sinx+tanx为奇函数，a1+a27=a2+a26=⋯=2a14=0时，满足题意．又因为此函数在(−π2,π2)上为增函数，所以k只能等于14．63. (3,3)【解析】设发行站的坐标为(x,y)，（x、y∈Z）．则6个零售点沿街道到发行站之间路程的和为：s=s1+s2．其中s1=2∣x+2∣+2∣x−3∣+∣x−4∣+∣x−6∣，s2=∣y−1∣+∣y−2∣+∣y−3∣+∣y−4∣+∣y−5∣+∣y−6∣.易得出当x=3时，s1最小；y=3或y=4时，s2最小．故发行站的坐标为(3,3)．64. [−15,11]【解析】解法一：设x1∈[3,4]，则f(x1)=x1+g(x1)∈[−2,5].因为g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，则g(x1+1)=g(x1).当x2∈[4,5]时，f(x2)=f(x1+1)=x1+1+g(x1+1)=x1+g(x1)+1∈[−1,6];当x3∈[5,6]时，f(x3)=f(x2+1)=x2+1+g(x2+1)=f(x2)+1∈[0,7];当x4∈[6,7]时，f(x4)=f(x3+1)=x3+1+g(x3+1)=f(x3)+1∈[1,8];以此类推，当x7∈[9,10]时，f(x7)=f(x6+1)=x6+1+g(x6+1)=f(x6)+1∈[4,11];同理，当x依次取[2,3]，[1,2]，[0,1]，⋯，[−10,−9]时，f(x)的值域依次为[−3,4],[−4,3],[−5,2],⋯,[−15,−8].所以，当x∈[−10,10]时，f(x)的值域是上述分段值域的并集，即为[−15,11]．解法二：∵g(x+1)=g(x)，由题可得f(x+1)=(x+1)+g(x+1)=x+g(x)+1=f(x)+1，∴f(x+1)−f(x)=1，∴f(x)在[4,5]内的最大值和最小值都比[3,4]内的最大值和最小值大1，即f(x)在[4,5]内的值域为[−1,6]，同理可得f(x)在[5,6]内的值域为[0,7]，⋯，以此类推，f(x)在[9,10]上的值域为[4,11]，在[−10,−9]内的值域为[−15,−8]，取以上值域的并集，可得函数f(x)在[−10,10]上的值域为[−15,11]．65. 23【解析】将函数变形为方程，可得(x−3)2+(y+2)2=13,x∈[0,6],y≥0，其图象如图所示．过点O作该图象所在圆M的切线OA，将该函数的图象绕原点逆时针旋转时，其最大的旋转角为∠AOy，此时曲线C都是一个函数的图象，因为k OA=−1k OM =32，所以tan∠AOy=23．66. 110【解析】提示：f(a n)=20.1n+log2(0.1n)单调递增，且f(a109)<2005，f(a110)>2005，∣f(a109)−2005∣>∣f(a110)−2005∣，所以当n=110时，∣f(a n)−2005∣取得最小值．第三部分67. （1）当x<0时，f(x)=0；当x≥0时，f(x)=2x−12x；由条件可知2x−12x=2，即22x−2⋅2x−1=0,解得2x=1±√2,∵x>0，∴x=log2(1+√2)．（2）当t∈[1,2]时，2t(22t−122t)+m(2t−12t)≥0,即m(22t−1)≥−(24t−1),∵22t−1>0，∴m≥−(22t+1)，∵t∈[1,2]，∴−(22t+1)∈[−17,−5]，故m的取值范围是[−5,+∞)．68. （1）当x≥7时，f(x+1)−f(x)=0.4(x−3)(x−4),而当x≥7时，函数y=(x−3)(x−4)单调递增，且(x−3)(x−4)>0,故f(x+1)−f(x)单调递减，∴ x ≥7 时，掌握程度的增长量 f (x +1)−f (x ) 总是下降．（2）由题意可知0.1+15ln aa −6=0.85,整理得aa −6=e 0.05, 解得 a =e 0.05e 0.05−1⋅6≈20.50×6=123.0,123.0∈(121,127]．由此可知，该学科是乙学科．69. （1） f (x ) 的定义域为 {x∣ x ≠0,x ∈R }，关于原点对称． f (−x )=a (−x )2+1−x =ax 2−1x ，当 a =0 时，f (−x )=−f (x )，故 f (x ) 为奇函数，当 a ≠0 时，由 f (1)=a +1，f (−1)=a −1，知 f (−1)≠f (1)，且 f (−1)≠−f (1)，f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数．（2）设 1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)−f (x 1)=ax 22+1x 2−ax 12−1x 1=(x 2−x 1)[a (x 1+x 2)−1x 1x 2]，由 1≤x 1<x 2≤2，得 x 2−x 1>0，2<x 1+x 2<4，1<x 1x 2<4，−1<−1x 1x 2<−14，又 1<a <3，所以 2<a (x 1+x 2)<12，得 a (x 2+x 1)−1x 1x 2>0，从而 f (x 2)−f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当 a ∈(1,3) 时，f (x ) 在 [1,2] 上单调递增． 70. （1） t 1=38．记乙到 C 时甲所在地为 D ，则 AD =158千米．在 △ACD 中，CD 2=AC 2+AD 2−2AC ⋅ADcosA ，所以 f (t 1)=CD =38√41（千米）．（2）甲到达 B 用时 1 小时；乙到达 C 用时 38 小时，从 A 到 B 总用时 78 小时．当 t 1=38≤t ≤78 时，f (t )=√(7−8t )2+(5−5t )2−2(7−8t )(5−5t )⋅45=√25t 2−42t +18；当 78≤t ≤1 时，f (t )=5−5t ．所以f (t )={√25t 2−42t +18,38≤t ≤78,5−5t,78<t ≤1.因为 f (t ) 在 [38,78] 上的最大值是 f (38)=3√418，f (t ) 在 [78,1] 上的最大值是 f (78)=58，所以 f (t ) 在 [38,1] 上的最大值是3√418，不超过 3．71. 由已知 log 12⁄(3−x )≥log 12⁄4，因为 y =log 12x 为减函数，所以 3−x ≤4．由{3−x ≤4,3−x >0解得 −1≤x <3．所以 A ={x∣ −1≤x <3}．由 5x+2≥1，解得：−2<x ≤3．所以 B ={x∣ −2<x ≤3}．于是 ∁R A ={x∣ x <−1 或 x ≥3}，故 ∁R A ∩B ={x∣ −2<x <−1 或 x =3}． 72. （1）根据题意，200(5x +1−3x)≥3000化简可得5x −14−3x≥0. 又 1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.（2）设利润为 y 元，则y=900x ⋅100(5x +1−3x)=9×104[−3(1x −16)2+6112].故 x =6 时，y max =457500 元． 73. （1）由 y =2x +42x −4，解得2x =4(y +1)y −1,由4(y+1)y−1>0，得y <−1 或y >1,且x =log 24(y +1)y −1,所以，所求反函数为f −1(x )=log 24(x +1)x −1(x <−1 或 x >1).（2） ①当 a =0 时，f (x )=1，x ∈R ，则 f (x ) 是偶函数； ②当 a =1 时，f (x )=2x +12x −1，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),且f (−x )=2−x +12−x −1=−2x +12x −1=−f (x ),则 f (x ) 是奇函数；③当 0<a ≠1 时，定义域为 (−∞,log 2a )∪(log 2a,+∞) 不关于原点对称，则 f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．74. （1）因为每小时生产 x 千克产品，获利 100(5x +1−3x )，所以生产 a 千克该产品用时间为 ax ，且所获利润为100(5x +1−3x )⋅a x =100a (5+1x −3x2).（2）生产 900 千克该产品，所获利润为90000(5+1x −3x 2)=90000[−3(1x −16)2+6112],所以当 x =6 时，最大利润为 90000×6112=457500 元．75. （1） ω=1 时，f (x )=2sinx ，所以F (x )=f (x )+f (x +π2)=2sinx +2sin (x +π2)=2sinx +2cosx=2√2sin (x +π4),奇函数 y =2√2sinx 的图象左移 π4后得F (x )=2√2sin (x +π4),所以 F (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）由题意得g (x )=f (x +π6)+1=2sin (2x +π3)+1,所以，函数 g (x ) 的最小正周期为 T =π, 则区间 [a,a +10π] 含有 10 个周期．当 a 是零点时，函数 g (x ) 在 [a,a +10π] 上有 21 个零点；当 a 不是零点时，a +kπ(k ∈Z ) 也不是零点，从而函数 g (x ) 在 [a +kπ,a +(k +1)π](k ∈Z ) 上有两个零点，所以函数 g (x ) 在 [a,a +10π] 上有 20 个零点，所以 y =g (x ) 在区间 [a,a +10π] 上，零点个数可以取 20 、 21 个．76. （1）由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36%，38%，40%，42%．则 2006 年全球太阳电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8(兆瓦).（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ，则1420(1+x )42499.8(1+42%)4≥95%.解得x ≥0.615.因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61.5%．77. （1）当 a >0，b >0 时，任取 x 1,x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=a (2x 1−2x 2)+b (3x 1−3x 2).因为 2x 1<2x 2，a >0，所以a (2x 1−2x 2)<0,因为 3x 1<3x 2，b >0，所以b (3x 1−3x 2)<0,所以f (x 1)−f (x 2)<0,函数 f (x ) 在 R 上是增函数．当 a <0，b <0 时，同理，函数 f (x ) 在 R 上是减函数．（2）f (x +1)−f (x )=a ⋅2x +2b ⋅3x >0.当 a <0，b >0 时，(32)x >−a 2b, 则x >log 1.5(−a2b); 当 a >0，b <0 时，(32)x <−a 2b, 则x <log 1.5(−a 2b).78. （1）当 a >0,b >0 时，设任意 x 1,x 2∈R ，x 1<x 2，则 f (x 1)−f (x 2)=a (2x 1−2x 2)+b (3x 1−3x 2)，因为 2x 1<2x 2,a >0，所以 a (2x 1−2x 2)<0，因为 3x 1<3x 2,b >0，所以 b (3x 1−3x 2)<0，所以 f (x 1)−f (x 2)<0，函数 f (x ) 在 R 上是增函数．当 a <0,b <0 时，同理可得，函数 f (x ) 在 R 上是减函数．（2）原不等式等价于 f (x +1)−f (x )>0, 即 a ⋅2x +2b ⋅3x >0，当 a <0,b >0 时，(32)x>−a2b ，则x >log 1.5(−a 2b ); 当 a >0,b <0 时，(32)x<−a2b ，则x <log 1.5(−a 2b).79. （1）由 A (2,0)，M 与 A 重合，得 m =2．椭圆方程为 x 24+y 2=1，则c =√4−1=√3.因此，椭圆的左、右焦点坐标分别为(−√3,0)、(√3,0)．（2）当m=3时，椭圆方程为x29+y2=1．设P(x,y)，则∣PA∣2=(x−2)2+y2=(x−2)2+1−x2 9=89(x−94)2+12.根据椭圆的几何性质，得−3≤x≤3．因此，当x=94时，∣PA∣min=√2 2;当x=−3时，∣PA∣max=5.（3）设P(x,y)，则∣PA∣2=(x−2)2+y2=(x−2)2+1−x2 m2=m2−1m2(x−2m2m2−1)2−4m2m2−1+5.根据椭圆的几何性质，得−m≤x≤m．因为当x=m时，∣PA∣取最小值，且m 2−1m2>0，所以2m2m2−1≥m,结合m>1，解得1<m≤1+√2.因此，m的取值范围为1<m≤1+√2．80. （1）因为x2+2x −(x−1)2−2x−1>2x−1，所以2x −2x−1>0，所以x(x−1)<0．所以原不等式的解集为{x∣ 0<x<1}．（2）当a=0时，f(x)=x2，对任意x∈( −∞,0 )∪( 0,+∞ )，f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，所以f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)=x2+ax( a≠0,x≠0 ),取x=±1，得f(−1)+f(1)=2≠0,f(−1)−f(1)=−2a≠0,所以f(−1)≠−f(1),f(−1)≠f(1),所以，函数 f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．81. （1） ∵a n +S n =4096，∴a 1+S 1=4096，a 1=2048．当 n ≥2 时，a n =S n −S n−1=(4096−a n )−(4096−a n−1)=a n−1−a n .所以a n a n−1=12. 当 n ≥2 时，a n =2048⋅(12)n−1，当 n =1 时，经检验 a 1 满足通项公式，所以 {a n } 的通项公式为a n =2048⋅(12)n−1.（2） ∵log 2a n =log 2[2048(12)n−1]=12−n ，∴T n =12(−n 2+23n )．由 T n <−509，解得 n >23+√46012，而 n 是正整数，于是 n ≥46．∴ 从第 46 项起 T n <−509．82. （1） log 2(1x +5)>0⇔1x +5>1⇔4x+1x>0⇔x (4x +1)>0，所以不等式的解为 {x ∣ x >0或x <−14}．（2）依题意，log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]，所以 1x +a =(a −4)x +2a −5，①可得 (a −4)x 2+(a −5)x −1=0，即 (x +1)[(a −4)x −1]=0，②当 a =4 时，方程②的解为 x =−1，代入①式，成立．当 a =3 时，方程②的解为 x =−1，代入①式，成立．当 a ≠3 且 a ≠4 时，方程②的解为 x =−1,1a−4．若 x =−1 为方程①的解，则 1x +a =a −1>0，即 a >0．若 x =1a−4为方程①的解，则 1x+a =2a −4>0，即 a >2．要使得方程①有且仅有一个解，则 1<a ≤2．综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则 a 的取值范围为 1<a ≤2 或 a =3 或 a =4．（3）在 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上单调递减．依题意，f (t )−f (t +1)≤1，即 log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，所以 1t +a ≤2(1t+1+a)，即 a ≥1t−2t+1=1−tt (t+1)．设 1−t =r ，则 r ∈[0,12]， 1−tt (t+1)=r(1−r )(2−r )=rr 2−3r+2．当 r =0 时，rr 2−3r+2=0．当 0<r ≤12 时，r r 2−3r+2=1r+2r−3．因为函数 y =x +2x在 (0,√2) 递减，所以 r +2r≥12+4=92，所以1r+2r−3≤192−3=23，所以 a 的取值范围为 a ≥23． 83. （1）由 {2−2x >0,x +1>0,得−1<x <1.由0<lg (2−2x )−lg (x +1)=lg2−2xx +1<1, 得1<2−2xx +1<10. 因为 x +1>0，所以x +1<2−2x <10x +10,解得−23<x <13. 由 {−1<x <1,−23<x <13,得 −23<x <13.（2）当 x ∈[1,2] 时，2−x ∈[0,1]，因此y=g (x )=g (x −2)=g (2−x )=f (2−x )=lg (3−x ).由单调性可得 y ∈[0,lg2]．因为 x =3−10y ，所以所求反函数是 y =3−10x ,x ∈[0,lg2]． 84. （1）由 log 2(1x+1)>1，得 1x+1>2，解得 {x∣ 0<x <1}．（2） log 2(1x +a)+log 2(x 2)=0 有且仅有一解，等价于 (1x +a)x 2=1 有且仅有一解，等价于 ax 2+x −1=0 有且仅有一解．当 a =0 时，x =1，符合题意；当 a ≠0 时，Δ=1+4a =0，a =−14．综上，a=0或−14．（3）当0<x1<x2时，1x1+a>1x2+a，log2(1x1+a)>log2(1x2+a)，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t+1)．f(t)−f(t+1)=log2(1t +a)−log2(1t+1+a)≤1，即at2+(a+1)t−1≥0，对任意t∈[12,1]成立．因为a>0，所以函数y=at2+(a+1)t−1在区间[12,1]上单调递增，所以t=12时，y有最小值34a−12，由34a−12≥0，得a≥23．故a的取值范围为[23,+∞)．85. （1）由b n+1−b n=3，得a n+1−a n=6，所以{a n}是首项为1，公差为6的等差数列，故{a n}的通项公式为a n=6n−5，n∈N∗．（2）由a n+1−a n=2(b n+1−b n)，得a n+1−2b n+1=a n−2b n，所以{a n−2b n}为常数列，a n−2b n=a1−2b1，即a n=2b n+a1−2b1，因为a n≥a n，n∈N∗，所以2b n0+a1−2b1≥2b n+a1−2b1，即b n≥b n，故{b n}的第n0项是最大项．（3）因为b n=λn，所以a n+1−a n=2(λn+1−λn)，当n≥2时，a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=2(λn−λn−1)+2(λn−1−λn−2)+⋯+2(λ2−λ)+3λ=2λ2+λ.当n=1时，a1=3λ，符合上式，所以a n=2λn+λ．因为a1=3λ<0，且对任意n∈N∗，a1a n ∈(16,6)，故a n<0，特别地，a2=2λn+λ<0，于是λ∈(−12,0)．此时对任意n∈N∗，a n≠0．当−12<λ<0时，a2n=2∣λ∣2n+λ>λ，a2n−1=−2∣λ∣2n−1+λ<λ，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2λ2+λ<0，最小值为a1=3λ．由题意a ma n 的最大值及最小值分别为a1a2=32λ+1及a2a1=2λ+13．由2λ+13>16及32λ+1<6，解得−14<λ<0．综上所述，λ的取值范围为(−14,0)．86. （1）由b n+1−b n=3，得a n+1−a n=6，所以{a n}是首项为1，公差为6的等差数列，故{a n}的通项公式为a n=6n−5，n∈N∗．（2）由a n+1−a n=2(b n+1−b n)，得a n+1−2b n+1=a n−2b n．所以{a n−2b n}为常数列，a n−2b n=a1−2b1，即a n=2b n+a1−2b1．因为a n≥a n，n∈N∗，所以2b n0+a1−2b1≥2b n+a1−2b1，即b n≥b n．故{b n}的第n0项是最大项．（3）因为b n=λn，所以a n+1−a n=2(λn+1−λn)，当n≥2时，a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=2(λn−λn−1)+2(λn−1−λn−2)+⋯+2(λ2−λ1)+λ=2λn−λ.当n=1时，a1=λ，符合上式．所以a n=2λn−λ．因为λ<0，所以a2n=2∣λ∣2n−λ>−λ，a2n−1=−2∣λ∣2n−1−λ<−λ．（i）当λ<−1时，由指数函数的单调性知，{a n}不存在最大、最小值；（ii）当λ=−1时，{a n}的最大值为3，最小值为−1，而3−1∉(−2,2)；（iii）当−1<λ<0时，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值M=a2=2λ2−λ，最小值m=a1=λ，由−2<2λ2−λλ<2及−1<λ<0，得−12<λ<0．综上，λ的取值范围是(−12,0)．87. （1）函数g(x)=x2+1(x>0)的反函数是g−1(x)=√x−1(x>1),所以g−1(x+1)=√x(x>0),而g(x+1)=(x+1)2+1(x>−1)，其反函数为y=√x−1−1(x>1),故函数g(x)=x2+1(x>0)不满足" 1和性质"．（2）设函数f(x)=kx+b(x∈R)满足" 2和性质" k≠0．所以f−1(x)=x−bk(x∈R),所以f−1(x+2)=x+2−bk.而f(x+2)=k(x+2)+b(x∈R)得反函数y=x−b−2kk.由" 2和性质"定义可知x+2−bk =x−b−2kk对x∈R恒成立，所以k =−1,b ∈R,即所求一次函数为f (x )=−x +b (b ∈R ).（3）设 a >0，x 0>0，且点 (x 0,y 0) 在 y =f (ax ) 图象上，则 (y 0,x 0) 在函数 y =f −1(ax ) 图象上，故{f (ax 0)=y 0,f −1(ay 0)=x 0,可得ay 0=f (x 0)=af (ax 0).令 ax 0=x 则a =x x 0, 所以f (x 0)=xx 0f (x ), 即f (x )=x 0f (x 0)x. 综上所述，f (x )=kx(k ≠0), 此时 f (ax )=kax ，其反函数就是y =k ax, 而f −1(ax )=k ax , 故 y =f (ax ) 与 y =f −1(ax ) 互为反函数．88. （1）因为 a =1，b =−2 时，f (x )=x 2−x −3，由不动点的定义可得f (x )=x ⇒x 2−2x −3=0所以 x =−1 或 x =3，所以函数 f (x ) 的不动点为 −1 和 3；（2）函数 f (x ) 恒有两个相异的不动点，即f (x )=ax 2+(b +1)x +b −1=x有两个不等实根，即b 2−4a (b −1)>0,对任意实数 b ，函数 f (x ) 恒有两个相异的不动点，则Δ=(−4a )2−4×4a <0⇒0<a <1,所以 a 的取值范围为 0<a <1；。

2010上海高考数学(文科)+答案

2010年高考数学（文科）上海试题一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．已知集合A ={1,3,m }，B ={3,4}，A ⋃B ={1,2,3,4}，则m =_______________．2．不等式204xx ->+的解集是_______________．3．行列式cos sin 66sincos66ππππ的值是_______________．4．若复数z =1-2i （i 为虚数单位），则z z z ⋅+=_______________．5．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取_______________个个体．6．已知四棱锥P —ABCD 的底面是边长为6的正方体，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A =8，则该四棱锥的体积是_______________．7．圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线3x +4y +4=0的距离d =_______________． 8．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________．9．函数f (x )=log 3(x +3)的反函数的图像与y 轴的交点坐标是_____．10．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为____________（结果用最简分数表示）．11．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中， S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前 1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________． 12．在n 行n列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为a ij (i ,j =1,2,···,n )．当n =9时，a 11+a 22+a 33+···+a 99=_______________．13．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，1(2,1)e = 、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+ (a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是_______________． 14．将直线l 1:x +y -1=0、l 2:nx +y -n =0、l 3:x +ny -n =0(n ∈N *,n ≥2)围成的三角形面积记为S n ，则l i m n n S →∞=_______．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z =x +y 的最大值是（）A ．1B ．32C ．2D ．316．“24x k ππ=+(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 17．若x 0是方程lg x +x =2的解，则x 0属于区间（） A ．(0,1) B ．(1,1.25) C ．(1.25,1.75) D ．(1.75,2) 18．若∆ABC 的三个内角满足sin A :sin B :sin C =5:11:13，则∆ABC （） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形三、解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+．20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．(1) 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）； (2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）． 21．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n -5a n -85,n ∈N *．(1) 证明：{a n -1}是等比数列； (2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n +1>S n 成立的最小正整数n ． 22．（本题满分16分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．若实数x 、y 、m 满足|x -m |<|y -m |，则称x 比y 接近m ． (1) 若x 2-1比3接近0，求x 的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2；(3) 已知函数f (x )的定义域D ={x |x ≠k π,k ∈Z ,x ∈R }．任取x ∈D ，f (x )等于1+sin x 和1-sin x 中接近0的那个值．写出函数f (x )的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明） 23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，A (0,b )、B (0,-b )和Q (a ,0)为Γ的三个顶点．(1) 若点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M 的坐标；(2) 设直线l 1:y =k 1x +p 交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线l 2:y =k 2x 于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；(3) 设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点P 1、P 2满足12PP PP PQ +=？令a =10，b =5，点P 的坐标是(-8,-1)．若椭圆Γ上的点P 1、P 2满足12PP PP PQ += ，求点P 1、P 2的坐标．2010年上海高考数学文科参考答案一、填空题 1．2； 2．(-4,2)； 3．0.5； 4．6-2i ； 5．20； 6．96； 7．3；8．y 2=8x ； 9．(0,-2)； 10．117； 11．S ←S +a ； 12．45； 13．4ab =1；14．12．二、选择题15．C ； 16．A ； 17．D ； 18．C ．三、解答题19．原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0．20．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r =0.3时，l =0.6，作三视图为两个圆，一个正方形．21．(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；由S n +1>S n ，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，最小正整数n =15． 22．(1) x ∈(-2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b，有222a b ab +>332a b +>因为22332|2|2()()0a b ab a b a b a b +--+-=-+-<，所以2233|2|2a b ab a b +-<+-，即a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2； (3) 1sin ,(2,2)()1|sin |,1sin ,(2,2)x x k k f x x x k x x k k πππππππ+∈-⎧==-≠⎨-∈+⎩,k ∈Z ， f (x )是偶函数，f (x )是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x )的最小值为0，函数f (x )在区间[,)2k k πππ-单调递增，在区间(,]2k k πππ+单调递减，k ∈Z ． 23．(1) (,)22a bM -； (2) 由方程组122221y k x p x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，则212102221201022212x x a k p x a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩ 由方程组12y k x p y k x =+⎧⎨=⎩得 (k 2-k 1)x =p ，又2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p p x x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩，故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ += 知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122b k a k =-，从而得直线l 的方程．1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212b k a k =-=，解方程组22112110025y x x y⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)。

2010年全国各地高考理科数学试题汇编汇总上海

2010年全国各地高考数学试题之(上海卷)数学(理科)一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。

1.不等式204xx ->+的解集是 (-4,2) 。

解析:考查分式不等式的解法204xx ->+等价于(x-2)(x+4)<0,所以-4<x<2 2.若复数12z i =-(i 为虚数单位),则z z z ⋅+= 6-2i 。

解析:考查复数基本运算z z z ⋅+=i i i i 2621)21)(21(-=-++-3. 动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等,则P 的轨迹方程为28y x =。

解析:考查抛物线定义及标准方程定义知P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线,p=2所以其方程为y 2=8x4.行列式cossin 36sincos36ππππ的值是 0 。

解析:考查行列式运算法则cossin 36sincos36ππππ=02cos 6πsin 3πsin 6πcos 3πcos==-π5. 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l:3440x y ++=的距离d =3 。

解析:考查点到直线距离公式圆心(1,2)到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯6. 随机变量ξ的概率分布率由下图给出:则随机变量ξ的均值是 8.2解析:考查期望定义式E ξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.27. 2010年上海世博会园区每天9:00开园,20:00停止入园。

在右边的框图中,S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数,a 表示整点报道前1个小时内入园人数,则空白的执行框内应填入 S ←S+a 。

8.对任意不等于1的正数a,函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P,则点P 的坐标是 (0,-2)解析:f(x)=log (3)a x +的图像过定点(-2,0),所以其反函数的图像过定点(0,-2)9.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张,事件A 为“抽得红桃K ”,事件B 为“抽得为黑桃”,则概率P(A ⋃B)==726(结果用最简分数表示) 解析:考查互斥事件概率公式 P(A ⋃B)=2675213521=+ 10.在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中, 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

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2. 已知函数 f (x) = ax2 + 2x 是奇函数，则实数 a = __________。
3. 计算： 2i = __________（ i 为虚数单位）。 1+ i
4.
已知集合 A =
x| x 2
，
B
=
x
|
1 x +1
0
，则
A
B
=
__________。
5.
若椭圆
x2 25
+
y2 16
10. 各棱长为1的正四棱锥的体积V = __________。
开始
否是
12 4 11. 方程 1 x x2 = 0 的解为 __________。
1 −3 9
12. 根据所示的程序框图（其中 x表示不大于 x 的最大整数），
输出 r = __________。 13. 在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40cm ，
已知首项为
x1 的数列xn 满足
xn+1
=
axn xn +1
（a
为常数）。
1) 若对于任意的 x1 −1，有 xn+2 = xn 对于任意的 n N * 都成立，求 a 的值；
4
上海高考真题-2010 春
2) 当 a = 1时，若 x1 0 ，数列xn 是递增数列还是递减数列？请说明理由； 3) 当 a 确定后，数列 xn 由其首项 x1 确定。当 a = 2 时，通过对数列 xn 的探究，写出
24. 不等式 2 − x 0 的解集是 __________。 x+4
25. 若复数 z = 1− 2i （ i 为虚数单位），则 z z + z = __________。
5
上海高考真题-2010 春
26. 若动点 P 到点 F(2,0) 的距离与它到直线 x + 2 = 0 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为
( ) 在平面上，给定非零向量 b 。对任意向量 a ，定义 a' = a − 2 a b b 。 2 b
1) 若 a = (2,3)， b = (−1,3)，求 a' ； 2) 若 b = (2,1)，证明：若位置向量 a 的终点在直线 Ax + By + C = 0 上，则位置向量 a' 的
终点也在一条直线上；
lim Sn = ______。 n→ n3 + 1
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）
15. 若空间三条直线 a、b、c 满足 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则直线 a 与 c （）。
2
上海高考真题-2010 春
(A)一定平行 (B)一定相交
(C )一定是异面直线 (D)平行、相交、是异面直线都有可能
东经121 、北纬 39 ，里斯本的位置约为西经10 、北纬 39 。
1) 若飞机以平均速度 720 千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时
（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到 0.1 小时）？
2) 求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）。
北极
里斯本
大连
上海
赤道
O
南极
22. （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
母线长最短 50cm ，最长 80cm ，则斜截圆柱的侧面积
S = __________cm2 。
14. 设 n 阶方阵
输出 r 结束
50cm
80cm
40cm
1
2n +1
3 2n + 3
5 2n + 5
2n −1 4n −1
An
=
4n +1
4n + 3
4n + 5
6n
−
1
(A)不能作出满足要求的三角形 (B)作出一个锐角三角形
7
(C )作出一个直角三角形
(D ) 作出一个钝角三角形
上海高考真题-2010 春
六、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）
42. （本题满分 12 分）
已知 0 x ，化简： 2
lg cos x tan
x
+1−
2 sin 2
x 2
16. 已知 a1, a2 (0,1)，记 M = a1a2 ，N = a1 + a2 −1，则 M 与 N 的大小关系是（）。 (A) M N (B) M N (C) M = N (D)不确定
17. 已知抛物线 C : y 2 = x 与直线 l : y = kx + 1，“ k 0 ”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不
“ xn 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。
说明：对于第 3 题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。
2010 年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）
考生注意：本试卷共有 23 道试题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。
四、填空题（本大题共 14 题，每题 4 分，满分 56 分）
五、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）
38. “ x = 2k + (k Z )”是“ tan x = 1”成立的（）。
4
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C )充要条件 (D)既不充分也不必要条件
39.
直线
l
的参数方程是
x
y
= 1 + 2t ,
= 2−t
(t
结束
数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 ___________ 。
31. 对任意不等于1的正数 a ，函数 f (x) = loga (x + 3)的反函数的图像都经过点 P ，则点 P
的坐标为 __________。 32. 从一副混合后的扑克牌（ 52张）中，随机抽取1张，事件 A 为“抽得红桃 K ”，事件 B
6
上海高考真题-2010 春
( ) 34. 将直线 l1 : nx + y − n = 0,l2 : x + ny − n = 0 n N * ，x 轴，y 轴围成的封闭区域的面
积记为 Sn
，则
lim
n→
Sn
=
__________。
D
C
35. 如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点
= 1 上一点 P
到焦点 F1 的距离为 6
，则点 P
到另一个焦点 F2 的距离是
__________。
6. 某社区对居民进行伤害世博会知晓情况分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和
老年人分别有 800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是 70 ，则在中年人中的抽样人数应该是 __________。
R)，则
l
的方向向量
d
可以是（
）。
(A) (1,2) (B) (2,1) (C) (− 2,1) (D) (1,−2)
40.
若
x0
是方程
1 2
x
=
1
x 3 的解，则 x0 属于区间（
）。
(A) 2 ,1 (B) 1 , 2 (C) 1 , 1 (D) 0, 1
3
2 3
3 2
3
41. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是 1 , 1 , 1 ，则此人将（）。 13 11 5
x
7
8
9
10
P( = x) 0.3
0.35
0.2
0.15
开始 T←9,S←0
输出 T,S
否 T≤19
是 T←T+1
输入 a
则随机变量的均值是 __________。
30. 2010年上海世博会园区每天 9 : 00开园， 20 : 00停止入园．在右边
的框图中， S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人
为“抽得黑桃”，则概率 P(A B) = __________（结果用最简分数表示）。
1 2 3
2
3
4
33. 在 n 行 n 列矩阵 3 4 5
n 1 2
n − 2 n −1 n
n −1 n
1
n 1 2 中，记位于第 i 行第 j 列的数为
n − 3 n − 2 n −1
aij (i, j = 1, 2,……, n) 。当 n = 9 时， a11 + a22 + a33 + + a99 = __________。
+
lg
2
cos
x
−
4
−
lg(1
+
sin
2x)
。
43. （本题满分 13 分，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 8 分）
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn = n − 5an − 85，
1) 证明：an −1是等比数列；
2) 求数列S n 的通项公式，并指出 n 为何值时， Sn 取得最小值，并说明理由。
O ，剪去 AOB ，将剩余部分沿 OC, OD 折叠，使 OA, OB 重合，则
O
以 A(B),C, D,O 为顶点的四面体的体积是 __________。
A
36. 如图所示，直线
x=
2 与双曲线 :
x2 4
−
y2
= 1 的渐近线交于 E1, E2 两点，记