高中数学必修5(必修五)课件第三章：不等式
• 1．若A＝x2－2x，B＝－6x－4，则A，B的 大小关系是( ) • A．A≤B B．A≥B • C．A＝B D．与x的值有关 • 解析： ∵A－B＝(x2－2x)－(－6x－4)＝x2 ＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，∴A≥B.故选B. • 答案： B
• ( • • • • • •
2．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是 ) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 解析： ∵－1<β<1，∴－1<－β<1. 又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2， 又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A. 答案： A
第三章
不等式
•3.1 不等关系与不等世界和日常生活中 存在着大量的不等关系，会用不等式及不等式组表示不 等关系． • 2．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值 的大小． • 3．掌握不等式的性质，能运用不等式的性质解决 问题．
• 一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶 的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为______________；如果它每天 行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程 现在就得花9天多的时间，用不等式表示为 ________________．
不等式的性质
性质 1 2 3 4 别名 对称性 传递性 可加性 可乘性 性质内容 b<a a>b⇔_____ 注意 可逆 可逆 c 的符号
a> c a>b，b>c⇒_____ a>b⇔__________ a＋c>b＋c a>b ⇒_____ ac>bc c>0 a>b ac<bc ⇒_____ c<0
同正
• 2．关于性质的几点说明 • (1)性质1把不等式两边的式子交换，所得不 等式和原不等式异向． • (2)注意传递性是有条件的！ • (3)性质3是移项的依据．不等式中任何一项 改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即 a＋b>c⇒a>c－b.性质3是可逆的，即a>b⇔a＋ c>b＋c.
• (4)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是 双向的，其余的在一般情况下是不可逆的． • (5)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前 提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服 “想当然”“显然成立”的思维定势．
用不等式表示不等关系
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
小于
>
<
至多
至少
≤
≥
大于等于 小于等于
≥ ≤
不少于 不多于
≥ ≤
实数大小比较
• • • • • • • •
(1)文字叙述 如果a－b是 _____，那么a>b； 正数 如果a－等于 b_______ ，那么a＝b； 0 如果a－b是 _____，那么a<b，反之也成立． 负数 (2)符号表示 a－b>0⇔> a_____b； a－b＝0⇔＝ a_____b； a－b<0⇔a_____b . <
合作探究 课堂互动
用不等式(组)表示不等关系
• 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知 生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生 产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．公司 在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B 原料都不超过12千克．写出满足上述所有不等关 系的不等式． • [思路点拨]
[提示] 如果该汽车每天行驶的路程比原来多 19 km， 那么 在 8 天内它的行程为 8(x＋19)km，因此，不等关系“在 8 天内 它的行程将超过 2 200 km”可以用不等式 8(x＋19)>2 200 来表 示； 如果它每天行驶的路程比原来少 12 km， 那么它原来行驶 8 8x 天的路程现在所花的时间为 ，因此，不等关系“它原来行 x－12 8x 驶 8 天的路程现在就得花 9 天多的时间”可以用不等式 >9 x－12 来表示．
解析：
0≤4x≤200×2 100， 由题意可得x≥80 000， 0≤0.02x≤600＋1 200. 0≤4x≤200×2 100， x≥80 000， 0≤0.02x≤600＋1 200
答案：
• • • •
4．已知a>b>0，d<c<0.求证：ad<bc. 证明： ∵d<c<0，∴－d>－c>0， 又a>b>0，∴－ad>－bc>0， ∴ad<bc.
性质 5 6 7 8
别名 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性
性质内容 a>b a＋c>b＋d ⇒__________ c>d a>b>0 ac>bd ⇒_____ c>d>0
注意 同向 同向
an>bn a>b>0⇒_______ (n∈N，n≥2) n n a>b>0⇒_______ a> b (n∈N，n≥2)
将不等关系用含未知数的不等式组表示
解析：
设生产甲产品 x 桶，乙产品 y 桶，
x＋2y≤12， 2x＋y≤12， 则 x≥0， y≥0.
• (1)当问题中同时满足几个不等关系 时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系； • (2)若问题中有几个变量，则选用几个字母分别 表示变量即可，解决这类有多个不等关系的问题 时，要注意根据题设将所有的不等式都找出来．
• 3．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受 下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200 人；每个工人年工作约计2 100 h；预计此产品明 年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h；每袋需用 原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t．试根据这些数据预测明年的产量x(写出不等式 (组)即可)为________．
• 1．实数比较大小的注意事项 • (1)符号“⇔”表示“等价于”，即可以互相推 出．“⇔”的右边反映的是两个实数a，b的大小 关系，左边反映的是实数的运算性质，三个等价 式子体现的是实数的大小顺序和实数的运算性质 之间的关系． • (2)比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差 a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此， 比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变 形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有 配方、分解因式等．
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人教版高中数学必修课件一元二次不等式及其解法
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
总结出： 解一元二次不等式
ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的步骤是：
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
(2) 写出ax2+bx+c=0判定△的符号，
当x取 0 < x <5 时，y<0?
(3).由图象写出：
不等式x2 -5x>0 的 解集为 ﹛x|x<0或x>5﹜ 。
不等式x2 -5x<0 的 解集为 ﹛x| 0 <x <5﹜ 。
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
一元二次不等式及其解法
=(2x-1)2≥0
(2)解不等式 - x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0
因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
(3)求出方程 的实根;画出函数图像
(4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
高中数学必修5课件：第3章3-3-1二元一次不等式(组)与平面区域
数学 必修5
第三章 不等式
(3)若直线 l：Ax＋By＋C＝0，记 f(x，y)＝Ax＋By＋C，M(x1， y1)，N(x2，y2)，则
点M，N在l的同侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2>0 点M，N在l的异侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2<0
数学 必修5
第三章 不等式
1．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
() A.32 4 C.3
B.23 D．34
数学 必修5
第三章 不等式
解析： 如图所示为不等式表示的平 面区域，平面区域为一三角形，三个顶点 坐标分别为(4,0)，43，0，(1,1)，所以三角 形的面积为 S＝12×4－43×1＝43.
答案： C
数学 必修5
第三章 不等式
用二元一次不等式(组)表示实际问题
数学 必修5
第三章 不等式
答案：
4x＋3y≤480， 2x＋5y≤500， x≥0， y≥0， x，y∈N*
数学 必修5
第三章 不等式
4．画出不等式组x0－≤yx≤＋1y0≤，20， 0≤y≤15，
表示的平面区域．
解析： 根据题意画出不等式组表示的平面区域，如图所
示．
数学 必修5
第三章 不等式
数学 必修5
第三章 不等式
3．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种1 t产品的资源 需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
甲
2
3
5
乙ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度， 每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两 种产品允许的产量的范围．
高中数学第三章不等式3.4简单线性规划3.4.3简单线性规划的应用课件北师大必修5
题型一 题型二
【变式训练1】 某公司的仓库A存有货物12 t,仓库B存有货物8 t. 现按7 t,8 t和5 t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店.从仓库A运 货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为8元、6元、9元;从 仓库B运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、 5元.应如何安排调运方案,才能使得从两个仓库运货物到三个商店 的总运费最少?
题型一 题型二
解:设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆,公司所花的成本费为z元. 列表分析数据如下:
A 型车
B 型车
限量
车辆数 x
y
10
运物吨数 24x
30y
180
费用
320x
504y
z
������ + ������ ≤ 10, 24������ + 30������ ≥ 180, 由表可知 x,y 满足的约束条件为 0 ≤ ������ ≤ 8,������∈N,
取得最小值,zmin=2.5×4+4×3=22.
因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可
满足要求,且所花的费用最少.
题型一 题型二
反思对于线性规划的实际应用问题,通过审题理解题意,找出各量 之间的关系.最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目 标函数,通过数形结合解答问题.解线性规划应用题时,先转化为简 单的线性规划问题,再按如下步骤完成:
分析:本题考查了利用线性规划解决实际问题,将实际问题中的 数据转化为下表:
商店 每吨运费 仓库
甲
乙
丙
A
8
6
9
B
3
4
5
题型一 题型二
解:设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x t,y t,则仓库A运给丙 商店的货物为(12-x-y)t,仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
高中数学人教A版必修5第三章3.4.1基本不等式 课件
三相等
当且仅当 x＝4x，即 x2＝4，x＝2 时取等号.
∴函数 y＝x＋4x(x>0)在 x＝2 时取得最小值 4.
反思与感悟
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正： 二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大 值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
思考：能给出不等式 a2+b2≥2ab 的证明吗？
证明： a b2 0
a2 b2 2ab 0 a2 b2 2ab (当且仅当a b 0即a b时等号成立)
思考：
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab 2
基本不等式 ab a b (a 0,b 0) 2
2
42
例2、已知0<x<1,求函数y=x1-x的最大值。
最值定理：
1.当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
即a 0,b 0且a b M , M 为定值 ax
M2 4
“和定积最大”
2.当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值。
即a 0,b 0且ab P, P为定值 a b 2 P 当且仅当a b时，等号成立。( a b)min 2 P
ICM2002会标
如图，这是在北京召 开的第22届国际数学家 大会会标．
会标根据中国古代数 学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去象 一个风车，代表中国人民 热情好客。
看一看：这会标中含有 怎样的几何图形
直角三角形和正方形
想一想：你能否在这个 图案中找出一些相等关 系或不等关系？
四个直角三角形的面积相等 直角三角形的直角边不相等 大正方形的面积大于四个直角三角形的面积