安徽中职数学公式总结(2017)

中职学校数学常用公式及考点解析 （2017）

一、集合

考点：集合元素的无序性，互异性；元素与集合，集合之间的关系；集合的交并补运算；｛0｝与?，N,Z,Q ，R 之间的关系；集合的子集，真子集；充要条件。 1 集合12{,,

,}n a a a 的子集有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空真子集有22n -个.

2充要条件：

①p q ?，则p 是q 的充分条件，亦可称q 是p 的必要条件； ②p q ?，且q ≠> p ，则p 是q 的充分不必要条件； ③p ≠> q ，但q p ?，则p 是q 的必要不充分条件； ④p ≠> q ，且q ≠> p ，则p 是q 的既不充分又不必要条件。 3 常见词和反设词的含义比较：大于（不大于）---如4(4)x x >≤；

小于（不小于）---如3(y 3)y <≥；至少一个（一个也没有）---即1(0)x x ≥=；

至多有一个（至少有两个）---即1(2)x x ≤≥；p 或q （p ?且q ?），p 且q （p ?或q ?） 如：方程2

320x x -+=的两根是1x =或2x =，而不等式2

320x x -+≠的解为1x ≠且2x ≠。

二、不等式

考点：不等式基本性质；区间表示；一元一次不等式组；一元二次不等式；简单的绝对值不等式。 4不等式基本性质：,a b b c a c >>?>（传递性）；a b a c b c >?±>±（加法原理） ,a b c d a c b c >>?+>+（可加性）；,0,0a b c a c b c

a b c a c b c >>??>???

>

（乘法原理）

0,0a b c d a c b d >>>>??>?（可乘性）

几个非负式：对于,a b R ∈都有2

2

2

||0()0,0a b a b a b -≥-≥+≥，成立。 注意：2

2

2

2

()(

)a b ac bc ac bc a b >?>?>?>，√ 5作差法比较实数大小：

000a b a b a b a b a b a b ->?>??

-=?=??-

注意：当被减式、减式是多项式时，必须添上括号！

6区间： 分开区间，闭区间，半开半闭区间三类。

注意：区间右端点总大于左端点；-∞在左且为开，+∞在右且为开。如(,2]-∞和(4,+)∞。 7一元一次不等式组：若a b <，则有：(,)x a x b x b >??∈+∞?

>?，(,)x a

x a b x b >??∈?

(,)x a x a x b

x x b ?

8一元二次不等式：2

0(0)ax bx c ++><或2

(0,40)a b ac >?=->，若2

0ax bx c ++>，则其解集

在两根之外；若2

0ax bx c ++<，则其解集在两根之间.

注意：①对于0a <时，可将不等式两边同乘以-1将其化为正。

②若2

ax bx c ++易于分解因式，则可以用十字相乘法或乘法公式计算两根，否则，应该用求根公式计算两根。0?≤的情形只需简单了解。 9 含有绝对值的不等式 ： 当0a >时，有

x a a x a

x a x a >?>或x a <-.

注意：遇到形如||c ax b +<，一般应将ax b +看成整体x 应用以上公式。

三、函数

考点：函数概念；函数的定义域；函数表示法；二次函数；函数的奇偶性；函数的单调性。

10函数概念：结合图像判断（()x f x →若“一对一或多对一”即为函数，否则“一对多”等不是） 11函数定义域：()y f x =中若()f x 是：①整式，则x R ∈；②分式，则使分母不为0；③偶次根式，则使被开方式≥0；④对数式，则使真数>0;⑤指数式0

()f x ，则使()0f x ≠；⑥正切式tan (+)x ω?，则使

+,2

x k k Z π

ω?π≠

+∈。

12函数单调性：（定义法判断，常见函数单调性） ①函数单调性定义：

增函数：(1)、文字描述：y 随x 的增大而增大。

（2）、数学符号表述：设f （x ）在(,)x a b ∈上有定义，若对任意的1212,(,),x x a b x x ∈<且，都有12()()f x f x <成立，则就叫f （x ）在(,)x a b ∈上是增函数。(,)a b 为f （x ）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述：y 随x 的增大而减小。

（2）、数学符号表述：设f （x ）在(,)x a b ∈上有定义，若对任意的1212,(,),x x a b x x ∈<且， 都有12()()f x f x >成立，则就叫f （x ）在(,)x a b ∈上是减函数。(,)a b 为f （x ）的递减区间。 ②常见函数的单调性：（1）一次函数,y kx b =+0k >为增函数，0k <为减函数； （2）反比例函数k y x =

，0(-,0)+0(-,0)+k k >∞∞??<∞∞?时，在和（0，）上分别为减函数

时，在和（0，）上分别为增函数

； （3）二次函数2

2

24(+)24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=+， 当0a >时，函数在(,)2b a -∞-

上是减函数，在(,)2b

a -+∞上是增函数； 当0a <时，函数在(,)2

b a -∞-上是增函数，在(,)2b

a

-+∞上是减函数。

13函数奇偶性：（定义法判断，常见函数奇偶性）

①奇偶性定义：（函数是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）

在前提条件下，若有()()f x f x -=-，则f （x ）是奇函数；若有()()f x f x -=，则是偶函数。 性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称； （2）、定义在R 上的奇函数，必有f （0）=0。

②常见函数的奇偶性：（1）一次函数y kx b =+，在0b =时是奇函数，在0b ≠时非奇非偶； （2）反比例函数k

y x

=

是奇函数； （3）二次函数2

y ax bx c =++，在0b =时是偶函数；

（4）三角函数sin y x =和tan y x =在定义域上是奇函数，cos y x =是偶函数。

14二次函数的解析式的三种形式：

(1) 一般式：2

()(0)f x ax bx c a =++≠;

(2) 顶点式：2

()()(0)f x a x h k a =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）（**） (3) 零点式：12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，

设为此式）

15对于函数)(x f y =(R x ∈),若()()f a x f b x +=-恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2

b

a x +=。 16常见函数的图像：

k<0

k>0

y=kx+b

o

y

x

a<0

a>0

y=ax 2+bx+c o

y

x

0

a>1

1

y=a x

o

y

x

0

a>1

1y=log a x

o

y

x

17分段函数：①求函数值。根据自变量范围，确定需代入的表达式； ②求定义域。取函数各段上的范围求并集。

③求值域。画出函数图像，结合图像特征写出值域。

四、指数函数、对数函数

考点：指数式、对数式的计算、化简；指数函数和对数函数的图像、性质运用 18分数指数幂与根式的性质： (1)、m

n m n

a a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）.

（2）、1

1

m n

m n

m

n

a

a a -

=

=

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

（3）、()n

n a a =.

（4）、当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时，,0

||,0

n

n a a a a a a ≥?==?

-

19 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

指数性质： (1)、1p

p a

a

-=

； （2）、0

1a =（0a ≠） ； (3)、()m n mn a a = (4)、r

s

r s

a a a

+?= ； (5)、r r s s a a a

-= ； （6）、()r r r

ab a b =?

对数性质：

(1)、log 10a = (2)、log 1a a = ； (3)、log n

a a n =； (4)、log a b

a

b =

20 指数函数：

(1)、(1)x

y a a =>在定义域内是单调递增函数；

（2）、(01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）

21对数函数：

(1)、log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；

（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0） 22 对数的换底公式 :log log log m a m N

N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

23积、商、幂的对数: 若01a a >≠且，0,0M N >>则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a

a a M

M N N

=-; (3)log log ()n

a a M n M n R =∈;

24 平均增长率的问题 （负增长时0x <）：

如果原产值为a ，平均增长率为x ，则对于时间n 的总产值A ，有(1)n

A a x =+.

五、三角函数

考点：三角函数定义；特殊角的三角函数值；三角函数的符号；同角三角函数关系式；诱导公式；正弦、余弦函数的图像和性质；两角和、差的正弦、余弦、正切公式；二倍角公式；正弦型函数的性质；正余弦定理及应用。

25三角函数定义：已知角α的终边上一点(,)P x y ，22||0r OP x y ==

+>，

则sin ,cos ,tan y x y r r x

ααα=

==。 26特殊角的三角函数值： 三角函数

0 6π 4

π 3

π 2

π π

32

π 2π

sin α

0 12

22 32 1 0 -1 0 cos α

1 3

2 22

12 0 -1 0 1 tan α

33

1

3

不存在

不存在

27三角函数的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 28同角三角函数关系式：2

2

sin cos 1αα+=，x R ∈；sin tan ,,cos 2

k k Z απ

ααπα=

≠+∈ 注意：①前式中“由弦求弦时，必须根据角的范围定值”；

②后式常用来解决“由正切值求正余弦的齐次式的值”。 29诱导公式：（k Z ∈）奇变偶不变，符号看象限 诱导公式

2k απ+

α- πα-

πα+

2

π

α-

2

π

α+

正弦 sin α sin α- sin α

sin α-

cos α cos α 余弦

cos α cos α cos α- cos α- sin α

sin α-

正切

tan α tan α- tan α- tan α

/

/

30正弦、余弦函数的图像与性质

①正弦、余弦函数的图像（正弦简图必须会画！）

-1

1

y=sinx

-2π2π

3π/2

π

π/2

-3π/2

-π

-π/2

o

y

x

-1

1

y=cosx

-2π2π

3π/2π

π/2

-3π/2

-π

-π/2

o

y

x

②正弦、余弦函数的性质：（1）定义域：x R ∈，值域：[1,1]y ∈-； （2）奇偶性：sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数； （3）周期性：2T π=； 另外：（4）正弦函数的最大（小）值和取得： 当2,2

x k k Z π

π=

+∈时，max 1y =；当min 2,,12

x k k Z y π

π=-

+∈=-。

（5）正弦函数的单调区间： 单增区间是[2,

2],2

2

k k k Z π

π

ππ-

++∈；单减区间是3[

2,

2],2

2

k k k Z π

π

ππ++∈。 31两角和、差的正弦、余弦、正切公式：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβ

αβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

.

注意：该公式的正用和反用，以及和诱导公式的穿插应用。 32辅助角公式：sin cos a x b x + =

22sin()a b x ?++

(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b

a

?= ).

注意：该公式主要用于求形如sin cos a x b x +的函数的最值、周期、单调区间。

33 二倍角公式：

sin 22sin cos ααα=；

2222cos sin cos 22cos 112sin αα

ααα

?-?

=-??-?

；221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+?==

2

2tan tan 21tan α

αα

=

-。 注意：对二倍角公式的要求是会运用公式求值即可。 34正弦型函数的性质：

sin()y A x ω?=+，

（0,0,||2

A π

ω?>><

）具有以下性质：

①2||

T π

ω=

；②值域：[,]y A A ∈-; ③单调区间：把x ω?+看成整体，运用正弦函数的单调区间求法。

35 正弦定理 ：sin sin sin a b c

A B C

==

①定理变形：sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ===::sin :sin :sin a b c A B C ?=

②主要应用：由两角和一边求其他；由两边和一边的对角求其他。

36余弦定理：

2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.

①定理变形：222cos 2b c a A bc +-=；222

cos 2a c b B ac

+-=；222cos 2a b c C ab +-=

②主要应用：由两边和夹角求其他；由三边求任一角；由三边判断三角形形状。

37三角形面积公式：

（1）111

222a b c S ah bh ch =

==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===.（**）

注意：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+222

C A B

π+?

=-

.从而有 sin sin ()C A B =+, cos cos()C A B =-+，sin

cos

22

C A B

+=等式成立。 六、数列

考点：根据通项求数列的项；求数列的通项公式；等差数列性质的应用；等比数列性质的应用。

38求数列的项：若已知通项公式，只需将项数代入计算即可；若已知递推公式，则一般应在先求出前几项（依次代入项数）基础上才可求。 39 等差数列：

①定义表达式：1n n a a d +-=，d 是常数；（它是判断等差数列的重要方法）

②通项公式： （1） 1(1)n a a n d =+- ；其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。

（2）推广：(),(>)n k a a n k d n k =+-；

③前n 项和： （1）1()

2

n n n a a S +=

；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。 （2）1(1)

2

n n n S na d -=+；

④常用性质：（1）若m n r s +=+，则有m n r s a a a a +=+ ；

（2）若,D a b 是的等差中项，则必有2

a b

D +=

，反之亦成立。 （3）{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。

40等比数列：

①定义表达式：

1

n n

a q a +=，q 是非零常数；（它是判断等比数列的重要方法） ②通项公式：（1）1

1,n n a a q -= 其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比，n a 为末项。

（2）推广：,()n k

n k a a q n k -=?>；

③前n 项和：（1）111(1)

(1)(1)

11n n

n na q S a a q a q q q q =?

?

=--?=≠?--?

； ⑤常用性质：（1）若m n r s +=+ ，则有m n r s a a a a ?=? ；

（2）若,G a b 是的等比中项，则有2

G a b =? ，反之不成立！！

41通项公式的求法：

①若是等差（比）数列，则运用相关公式求解；

②满足1()n n a a f n +-=时，可运用对n 取值累加法；（如：已知112,n n a a a n +=-=，求通项。）

③满足

1()n n a f n a +=时，可运用对n 取值累乘法；（如：已知1111

,22

n n n a a a n ++==+，求通项。） ④已知通项n a 和n S 的关系式，一般考虑运用公式：11,(1)

,(2)n n n S n a S S n -=?=?

-≥?将“和”转化成“项”，再判断等差还是等比。（如《相约在高校》活页作业册：P.372，14.已知数列{}n a 的前n 项和1

(1)3

n n S a =-，求证：数列{}n a 是等比数列。）

七、平面向量

考点：平面向量的定义；相等向量、零向量和单位向量；向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 向量的减法；数乘向量；向量共线的充要条件；向量的坐标运算；向量内积的公式和坐标运算。 42平面向量的概念：两个要素：大小，方向；表示法；相等向量，零向量和单位向量； 43向量的加法：①三角形法则：首尾联，首指尾；②平行四边形法则：始点同，对角线。 向量的减法：始点同，指被减。（三角形法则也适用于共线向量的加法） 44向量的数乘：①模：||||||a a λλ=；②方向：0a λλ>时，与a 同向，0a λλ<时，与a 反向。 注意：当0λ=或0a =时，都有0a λ=成立。 45向量数乘运算律: 设λ、μ为实数，那么： (1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;

(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .

46向量的内积（数量积） 定义式：a ·b =|a ||b |cos ,a b <>。 47平面向量的坐标运算：

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ±b =1212(,)x x y y ±±；

(2)设点A 11(,)x y ，点B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--； (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ；

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212x x y y +，2211||a x y =

+.

48向量的共线（平行）与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则： ①a //b ?b =λa 12210x y x y ?-=.（交叉相乘差为零）；

②a ⊥b (a ≠0)? a ·b =012120x x y y ?+=.（对应相乘和为零）。 49线段中点公式和三角形重心公式：

①设11A(x ,y )、22B(x ,y )，线段AB 的中点为M ，则1212

(

,)22

x x y y M ++；

（**） ②设ABC ?三个顶点分别为112233(,)(,)(,)A x y B x y C x y ，则ABC ?的重心123123

(,)33

x x x y y y G ++++.

50 平面两点间的距离公式：设点A 11(,)x y ，点B 22(,)x y ，则 ,A B d =||AB 222121()()x x y y =-+-。（**）

八、平面解析几何 （一）直线

考点：直线的倾斜角和斜率；直线的横截距和纵截距；直线的点斜式方程和斜截式方程；两条直线的位

置判断；两直线的交点；点到直线的距离。 51直线的倾斜角和斜率：

①倾斜角定义：从x 轴正方向绕着直线与x 轴的交点逆时针旋转到直线向上的部分形成的最小正角。

用α表示直线l 的倾斜角，则有[0,)απ∈，其中0α=是指直线与x 轴重合或平行。 ②斜率求法：（1）定义法：tan k α=，注意：2

π

α=

时，斜率不存在，此时直线垂直于x 轴；

（2）已知直线上两点111(,)P x y 、222(,)P x y ，则有21

21

y y k x x -=

-。

52 直线方程的三种形式：

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

注意：直线的横截距、纵截距求法：只需在直线方程中，分别令x=0求纵截距，令y=0求横截距。 53 点到直线的距离 ：002

2

||

Ax By C d A B

++=

+，(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

注意：两平行直线的距离公式：1:1220,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，12C C ≠，则12,l l 的距离

是1222||C C d A B

-=+。

54两直线的位置关系判断：

①直线的斜率存在时，两直线方程形如：1:11222,:l y k x b l y k x b =+=+，则

12l l 与平行1212k k b b ?=≠且；12l l 与重合1212k k b b ?==且； 12l l 与相交12k k ?≠；又若121k k ?=-，则12l l ⊥。

②直线方程是一般式时，方程形如：1:11122220,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则

12l l 与平行12211221A B A B AC A C ?=≠且；12l l 与重合12211221A B A B AC A C ?==且； 12l l 与相交1221A B A B ?≠；又若12120A A B B +=，则12l l ⊥。

（二）圆

考点：圆的标准方程；圆的一般方程；点与圆的位置关系判断；直线与圆的位置关系判断；圆的切线方程；圆的弦长公式。

55 圆的方程的两种形式：

（1）圆的标准方程 ：2

2

2

()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程：2

20x y Dx Ey F ++++=，(22

4D E F +-＞0). 注意：①将圆的一般方程经过分别对x,y 的配方，化成标准方程必须会！！（**）

②标准方程适合于：已知圆心和半径；已知直径两端点坐标；已知圆心和圆上一点坐标。 ③一般方程适合于：已知圆上任意三点坐标。 56点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-

①计算点P 到圆心(,)a b 的距离：22

00()()d a x b y =-+-；

②比较d r 与的大小：d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;0 ≤d r

2

2

)()(r b y a x =-+-

①计算圆心(,)a b 到直线l 的距离：2

2

B

A C Bb Aa d +++=

；

②比较d r 与的大小：0d r >???<直线与圆相离；0d r =???=直线与圆相切； 0 ≤0d r 直线与圆相交.

58圆的切线方程l ：过点00,P x y （）与与圆:C 2

22)()(r b y a x =-+-相切

①点P 在圆上时：CP k 求 l k →求 l →求方程；

②点在圆外时：设切线斜率k →写出切线方程并整理成一般式→求出圆心C 到切线距离d →由

d r =求得斜率k →代入整理得切线方程。

注意：若求出的斜率只有一个，说明经过点P 垂直于x 轴的直线为另一条切线。

x

y A 1

F 1

o

F 2 A 2

B 2

B 1 图 1

x

y A 1 F 1 o F 2 B 2

图 2

A 2

B 1

59圆的弦长m ：直线:l 0=++C By Ax 与圆:C 2

22)()(r b y a x =-+-

①计算圆心C(,)a b 到直线l 的距离：2

2

B

A C Bb Aa d +++=；

②将d 代入公式：222m r d =-即可。

（三）圆锥曲线（对口高考压轴题所在！！）

考点：椭圆、双曲线与抛物线的定义；椭圆、双曲线与抛物线的标准方程；椭圆、双曲线与抛物线的性质；直线与椭圆、抛物线相交形成的弦长，弦的中点，弦的斜率等综合问题。 60 椭圆：①定义表达式：已知定点12,F F ,动点P 满足：12||||2PF PF a +=，（122||a F F >）

应用：常用来求经过一个焦点的弦与另一个焦点组成的三角形的周长。（4a ）

②标准方程和性质：（列表如下）

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上 图形

个

性

焦点坐标 12(,0),(,0)F c F c - 12(0,),(0,)F c F c -

顶点坐标 1212(,0),(,0),(0,),(0,)A a A a B b B b -- 1212(0,),(0,),(,0),(,0)A a A a B b B b --

共性

对称轴 x 轴，y 轴

焦距，长轴，

短轴

焦距：12||2F F c =，长轴：12||=2A A a ，短轴：12||=2B B b

,,a b c 的关系

222a b c =+

离心率e

,(0< 1)c

e e a

=

<

61双曲线：①定义表达式：已知定点12,F F ,动点P 满足：12||||||2PF PF a -=，（122||a F F <） 应用：主要用于求双曲线上一点到焦点的距离。 ②标准方程和性质：

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

个

性

焦点坐标

12(,0),(,0)F c F c -

12(0,),(0,)F c F c -

顶点坐标 12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -

渐近线 y b x a

=±

y a x b

=±

共性

对称轴；焦距，实轴，虚轴 x 轴，y 轴；焦距：12||2F F c =，实轴：12||=2A A a ，虚轴：12||=2B B b

,,a b c 的关系

222c a b =+

离心率e

,( 1)c

e e a

=

> 63抛物线：①定义表达式：

已知定点F ，定直线l ，动点P 满足：||PF d =，其中d 表示点P 到直线l 的距离。 应用：在已知抛物线上的点到焦点距离问题时经常转化成该点到准线的距离。 ②标准方程和性质：

焦点位置

x 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴正半轴 y 轴负半轴 标准方程

2

2,(0)y px p => 22,(0)y px p =-> 22,(0)x py p => 22,(0)x py p =-> 图形

焦点坐标 (,0)2p F (,0)2p F -

(0,)2p F

(0,)2p F -

准线方程 2

p x =-

2p x =

2p y =-

2

p y =

对称轴 x 轴

y 轴

离心率 1e =

焦准距p

焦点到准线的距离（0p >）

64直线与圆锥曲线相交的弦长公式：已知直线与圆锥曲线交于两点1122(,),(,)A x y B x y ,求弦长AB ：

①将直线方程化成斜截式代入曲线方程消元；（由方程???=+=0

)y ,x (F b

kx y 消去y 得到02=++c bx ax ）

②运用韦达定理求出两根和与两根积；1212

b x x a c

x x a ?

+=-???

??=??

③将上述结果代入弦长公式：2

2

2121(1)[()4]AB k x x x x =++-?即可。

65弦的中点和斜率问题：

①与以上求弦长的前两步相同，然后借助于线段中点公式求弦的中点坐标；

②求以已知点为弦中点的弦的直线方程：一般考虑用点差法求出弦的斜率，继而得到弦的直线方程。

九、立体几何

考点：平面的基本性质；线与面、面与面的平行；线面所成角；二面角；线与面、面与面的垂直；柱锥球的组成和侧面积（全面积）、体积. 66平面的基本性质：

o

l F

x

o

l

F

x o

l F

x

o

l

F

x

y y y y

确定一个平面的条件：①不共线的三点；②直线和线外一点；③两平行直线；④两相交直线。 注意：点线面的关系表示和两相交平面的画法必须会！ 67空间的平行：

①线线平行：//,////a b b c a c ?（平行传递性） ②线面平行：

（1）判定定理：线线．平行?线面平行；（平面外的直线与平面内的直线） （2）性质定理：线面平行?线线．平行；（平面外的直线与两个面的交线） 注：证明线面平行，还可以通过面面平行推得线面平行。 ③面面平行：

（1）判定定理：线．面平行?面面平行（一个面内的两条相交直线） （2）性质定理：面面平行?线线．．

平行（两个面与第三个面的交线） 68直线、平面所成的角：

①异面直线所成的角：一般是通过平移将其转化成两相交直线所夹的角； ②线面所成角：

（1）平面的垂线、斜线、垂足、斜足，斜线在平面上的射影等概念； （2）线面所成角：平面的斜线和斜线在平面上的射影所夹的角。

注：求线面所成角时，一般是将其放在由斜线、垂线和射影组成的Rt ?中求解！ ③面面所成角：

（1）二面角的大小：由棱上的一点在两个半平面中分别作棱的垂线组成的平面角度量。 （2）二面角的求法：一般考虑由一个面内的一点向另一个面所引的垂线得到平面角再求解。 69空间的垂直

①线线垂直：包括相交垂直和异面垂直两种情况； ②线面垂直：

（1）判定定理：线线．垂直?线面垂直（必须是平面内的两条相交直线） （2）性质定理：线．面垂直?线线平行（必须是垂直于同一个平面的两条直线） ③面面垂直：

（1）判定定理：线．

面垂直?面面垂直（必须是另一个平面内的直线） （2）性质定理：面面垂直?线．

面垂直（必须是在一个平面内垂直于交线的直线） 70柱、锥、球 （一）棱柱

①棱柱定义、正棱柱性质；（底面是正多边形的直棱柱）

②面积体积：=,=+2=S ch S ch S V S h 正棱柱侧正棱柱全底面正棱柱底面，，其中c 表示底面周长，h 表示高。 （二）棱锥

①棱锥定义、正棱锥性质 (底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形)，斜高（侧面底边上的高）； ②面积体积：111

=

,=+=223

S ch S ch S V S h ''正棱锥侧正棱锥全底面正棱锥底面，，其中h '表示斜高。 （三）圆柱

①圆柱的组成和性质，轴截面是长为高，宽为底面直径的矩形； ②面积体积：2=2,=2(+)=S r h S h r V

r h πππ圆柱侧圆柱全圆柱，，其中r 是底面圆半径，h 表示高。

（四）圆锥

①圆锥的组成和性质，轴截面是等腰三角形，底边上的高是圆锥的高；

②面积体积：21=,=(+)=3

S r l S r l r V r h πππ圆锥侧圆锥全

圆锥

，，其中l 是母线长，r 是半径，h 是高。 （五）球

①球的组成，球面、球心，大圆，小圆；

②截面圆：若球心到截面的距离为d ，球的半径是R ，截面圆半径是r ，则有22r R d =-；

③面积体积：2

3

4=4=3

S R V R ππ球球，，其中R 是球的半径。

十、排列、组合、二项式定理

考点：分类计数原理、分步计数原理；排列数公式、组合数公式；二项式的通项；二项式的性质。 70 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++.特点：每一类都能一次性完成任务！

分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =??

?.特点：必须各步骤依次完成，任务才完成！

71排列数公式 ：m

n P =)1()1(+--m n n n =！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=.

72 组合数公式：m n

C =m n m m

P P =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).

组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10

=n C .

73解决计数问题的几种方法：

①特优法：特殊位置和特殊元素需优先考虑！ ②相邻问题“捆绑法”：把需要相邻的元素看成一个元素和其他元素后，再考虑顺序！ ③不相邻问题“插空法”：将要求不相邻的元素插入其他元素留下的空档内（包括首尾两位置！）

74 二项式定理 ：n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; ①二项展开式的通项：1m n m m

m n T C a b -+=(012)m n =，，，. ②2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=+++

+的展开式中的系数关系：

012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -++

+-=-；0(0)a f =。

十一、概率与统计初步

考点：随机事件；古典概率；独立重复试验及其概率；总体、样本与抽样方法；样本平均数和方差 75随机试验、随机事件：

①特点是条件相同，重复进行的试验和观察；

②频率与概率：前者是试验值，后者是趋近值，概率()P A [0,1]∈，其中()1,()0P P Ω=?=。 76古典概型：

①满足的条件：结果有限个，每个结果发生的可能性相同； ②概率公式：()m

P A n

=

，其中n 表示试验的基本事件总数，m 表示事件A 所含的基本事件数。 77伯努利概型：

①独立重复试验：条件相同，重复进行n 次试验且每次试验结果互不影响（相互独立）

②伯努利试验及概率公式：在以上独立重复试验中，每次试验的可能结果有2个，则为伯努利试验。

在n 伯努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1).k k n k

n n P k C p p -=-，其中1,2k n =…，

p 表示一次试验中事件A 发生的概率，1p -表示一次试验中事件A 不发生的概率。

78互斥事件及概率加法公式：

①互斥事件：不可能发生的两个事件；

②互斥事件的概率加法公式：若事件A B 与互斥，则有()()()P A B P A P B ?=+. 79总体、样本与抽样方法：

①总体、样本概念：前者是研究对象．．

的全体，后者是被抽取的对象的集合； 注意：研究对象很可能不是人，而是某项指标或特征量！ ②抽样方法：简单随机抽样（试验对象较少），系统抽样（个体较多且比较均衡）和分层抽样（总体是由有明显差异的几个部分组成）。 80样本平均数和样本方差：

若有n 个数12,,n x x x …，则它们的平均数为：12n

x x x x n ++=

…+；

若样本是由n 个数12,,n x x x …组成，则样本方差为：2

222121[()()()]1

n s x x x x x x n =-+-+--…+。

注：样本平均数表示样本数据的整体水平，而样本方差表示样本数据的稳定性。

2017年7月