第六章静不定
材料力学第6章简单超静定问题习题解
第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。
设2F 作用点为C ，F 作用点为D ，则：B BD R N =F R N B CD +=F R N B AC 3+=变形谐调条件为：0=∆l02=⋅+⋅+⋅EA aNEA a N EA a N BD CD AC02=++BD CD AC N N N03)(2=++++F R F R R B B B45FR B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑）故：45FN BD -=445FF FN CD -=+-=47345FF F N AC =+-=轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。
试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X030cos 30cos 01032=-+-N N N0332132=-+-N N N0332132=+-N N N (1)∑=0Y030sin 30sin 0103=-+F N N2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：00130cos 30sin x y l δδ+=∆x l δ=∆200330cos 30sin x y l δδ-=∆03130cos 2x l l δ=∆-∆2313l l l ∆=∆-∆设l l l ==31，则l l 232= 223311233EA l N EA l N EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =-15023200100231⨯=-N N N 23122N N N =-21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学-第六章
第15单元第六章 弯曲变形§6-1 引言应用：梁的刚度问题，静不定梁，压杆稳定挠曲轴：变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线)。
挠度()y x ： 横截面形心的位移 转角()θx ：横截面绕中性轴的转角挠曲轴方程：()y y x = (挠曲轴的解析表达式)()tg dy dxy x θ=='()θθ≈='tg y x(通常θ<︒1=0.01745弧度)§6-2 梁变形基本方程目的：求()y x ，()()[]θx y x =' 途径：建立微分方程求解 一、挠曲轴微分方程1.中性层曲率表示的弯曲变形公式()1ρ=M x EI(其中M 可以通过弯矩方程表示为x 的函数，ρ为曲率半径，它可由'y 和''y 表示) 2.由数学()11232ρ=±''+'y y3.挠曲轴微分方程()()±''+'=y y M x EI1232(1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程 小变形，()'≈<y θ0.0175(弧度)'<<y 21112+'≈y ((1)式分母等于1)正负号确定——确定坐标系：y 向上''>y 0(从数学) ''<y 0M >0(本书规定) M <⇒选正号()∴''=y M x EI二、积分法计算梁的变形()θ='=+⎰y M x EI dx C()y M x EIdx Cx D =++⎰⎰C 、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
三、位移边界与连续条件边界条件：固定端 y A A ==00,θ 固定铰，活动铰 0,0==F E y y 自由端：无位移边界条件 连续条件 y y C C C C 左右左右===00θθy y y y B BG G G G 左右左右左右===θθ例1：()M x M =0，()''=y x M EI 0()()θ='=+y x M EI x C 0()y x M EIx Cx D =++022由()()y D y C 00000=='==()()∴==y x M EIxx M EIx022θ例2：求挠曲轴微分方程AB 段： BC 段''=y M EI x l 10 ''=-⎛⎝ ⎫⎭⎪y M EI x l201y M EI x lC xD =++03116 y M EI x l x C x D =-⎛⎝ ⎫⎭⎪++0322262边界和连续条件()y 100= ()y l 20=y l y l 1222⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪(连续条件)'⎛⎝ ⎫⎭⎪='⎛⎝ ⎫⎭⎪y l y l 1222 (光滑条件)四个方程定4个常数()()y x M x lEI x l 1022244=- ()()y x M x l EIl2024=-例3：1.画剪力弯矩图2.列挠曲线的位移和连续条件3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点) 位移与连续条件 A ：()y 100= B:()()()()a y a y a y a y 2121'='=,C:()()020232==a y a y ,()()a y a y 2232'=' D:无挠曲线大致形状的画法 (1)根据弯矩图定凹凸性， +→⋃-→⋂,(2)弯矩图过零点处为拐点 (3)支座限定支座处的位移§6-3 计算梁位移的奇异函数法奇异函数法仍属积分法。
工程力学--材料力学(北京科大、东北大学版)第4版第六章习题答案
第六章习题6—1用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。
已知抗弯刚度EI为常数。
6-2、用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。
已知抗弯刚度EI为常数。
6-3、用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角。
已知梁的抗弯刚读EI为常数。
6-4阶梯形悬臂梁如图所示，AC段的惯性矩为CB段的二倍。
用积分法求B端的转角以及挠度。
6-5一齿轮轴受力如图所示。
已知：a=100mm,b=200mm,c=150mm,l=300mm;材料的弹性模量E=210Pa;轴在轴承处的许用转角[]=0.005rad。
近似的设全轴的直径均为d=60mm,试校核轴的刚度。
回答：6-6一跨度为4m的简支梁，受均布载荷q=10Kn/m,集中载荷P=20Kn,梁由两个槽钢组成。
设材料的许用应力[]=160Ma,梁的许用挠度[]=。
试选择槽钢的号码，并校核其刚度。
梁的自重忽略不计。
m壁厚=4mm,单位长度重量6-7两端简支的输气管道，外径D=114m。
q=106N/m,材料的弹性模量E=210Gpa。
设管道的许用挠度试确定管道的最大跨度。
6-845a号工字钢的简支梁，跨长l=10m,材料的弹性模量E-210Gpa。
若梁的最大挠度不得超过，求梁所能承受的布满全梁的最大均布载荷q。
6-9一直角拐如图所示，AB段横截面为圆形，BC段为矩形，A段固定，B段为滑动轴承。
C端作用一集中力P=60N。
有关尺寸如图所示。
材料的弹性模量E=210Gpa,剪切弹性模量G=0.4E。
试求C端的挠度。
提示：由于A端固定，B端为滑动轴承，所以BC杆可饶AB杆的轴线转动。
C端挠度由二部分组成；（1）把BC杆当作悬臂梁，受集中力P作用于C端产生的挠度，；（2）AB杆受扭转在C锻又产生了挠度，。
最后，可得C端的挠度6-10、以弹性元件作为测力装置的实验如图所示，通过测量BC梁中点的挠度来确定卡头A处作用的力P，已知,梁截面宽b=60mm,高h=40mm,材料的弹性模量E=210Gpa。
材料力学-第六章 简单的超静定问题
变形协调条件：
l1 l 3 cos
F N1
F N3
F N2
l3
l1
A
A
l2
例2.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
解: 装配后各杆变形 1杆伸长 l1 2杆缩短 l 2 变形协调条件
A
1
l1
4、联解方程
FN 1 F E3 A3 2 cos 2 E1 A 1 cos
FN 3
F E1 A 3 1 1 2 cos E3 A3
●装配应力的计算
装配应力：超静定结构中由于加工误差， 装 配产生的应力。 平衡方程：
FN 1 FN 2
1
3 2
A
l
FN 3 ( FN1 FN 2 ) cos
2、AC和BC材料相同，面积不同，外力作用在 连接界面处，在外力不变的情况下，要使AC上 轴力增加，错误的方法有（ ）。 A、 增加AC的横截面积 B、 减小BC的横截面积 C、 增加AC的长度 D、 增加BC的长度
A l1 C F B l2
3、AB为等截面杆，横截面面积为A，外力F作 用在中间，则AC和BC上应力分别（ ）。
2
l 2
B
2( l1 ) l 2
解: 分析AB
A
aF 1 2aF 2 0
F1l 物理方程 l1 EA 变形协调条件
FA
F1
F2
B
F2 l l 2 (缩短) EA
2( l1 ) l 2
4EA 2EA F1 (拉力) F2 (压力) 5l 5l
材料力学(I)第六章
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
材料力学第六章静不定
FN2
FN3
（c） F
材料力学
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13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大
A
F
材料力学
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C
刚度增加 内力不变
A
F
14
静不定结构的特点（2） 配应力
——装
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
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8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联
立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
l1
FN1
2 3
EA
l ，l2
1F.5NE2lA，l3
FN3
2 3
2EA
l
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
14 2 3 FN1 23 F 0.76F
FN2 3
3 2 F 0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
32 2 3 FN3 23 F 1.24F ()
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
第六章 超静定
A'
（3）补充方程
Statically indeterminate
（4）联立平衡方程与补充方程求解
B 1
D 3 2
C
FN1 FN 2
FN1 cos FN 2 cos FN 3 F 0 EA 2 FN1 FN 3 cos E3 A3
AC= BC
Me
•
T1a M eA a AC GI p GI p T2b M eB b BC GI P GI P M eAa M eB b M eA M eB M e 0
解得
A a
C
b l
B
MeA
Me
MeB
M eA Mb / l M eB Ma / l
如何避免温度应力
(2)钢轨各段之间留有温度缝
Statically indeterminate
如何避免温度应力
(3) 桥梁的一端采用活动铰支; 以削弱对膨胀的约束, 降低温度应力。
Statically indeterminate
§6-2 扭转超静定问题 (Statically indeterminate problem in torsion)
Mx 0
M eA M eB M e 0
这是一次超静定问题,
Me
A
a
须建立一个补充方程
杆的变形相容条件是 C截面相对于两固定端 A和B的相对扭转角相等.
C
B b
l
MeA
Me
MeB
A
C
B
Statically indeterminate
（1）变形几何方程
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刚性梁AB悬挂于三根平行杆上。l=2m，a=1.5m，b=1m，c=0.25m， d=0.2m。1杆由黄铜制成，E1=100GPa，A1=2cm2，a1=16.5×10-6/ 0C。 2和3杆由碳钢制成，E2=E3=200GPa，A2=1cm2， A3=3cm2 ， a2=a3=12.5×10-6/0C，F=40kN。 设温度升高20 0C，求各杆的应力。
9
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OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同， EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
450 ① ②
Dl 2 2Dl1 0 sin 45
即
O a
D l1
A a
D l2
B
F
Dl2 2Dl1
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联 立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
∆l2
（ c）
∆l3
材料力学
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5
还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。 FN1
∆l1
FN2
FN3
∆l2
∆l3
（a）
∆l1 ∆l2 ∆l3
（a）
F FN3
对应受力图
FN1
FN2
（b）
（b）
F FN3
FN1
∆l1 ∆l2
FN2
（ c）
∆l3
（ c）
F
6
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5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得补充方程。
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4
图示静不定结构， 可列如右变形图。
几何方程
∆l1
∆l2
∆l3
2Dl2=Dl1 +Dl3
（a） a
1 2
a
3
∆l1
∆l2 ∆l3
2(Dl2+Dl1 ) = Dl3 +Dl1
（b）
刚 体
F
∆l1
2(Dl2+Dl3 ) =Dl1 +Dl3
32 2 3 FN3 F 1.24 F () 23
求拉压静 不定结构 注意事项
材料力学
内力假设与变形假设应一致。 内力假设受拉，变形只能假设伸长。 内力假设受压，变形只能假设缩短。
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8
OAB为刚性梁，写几何方程。
450 ①
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。 F
FN1
A
D l1
a
FN2
b
c
FN3
a
B
1 2
d
D l2
b
3
F
D l3
c
l
A
d
刚 体
B
解：平衡方程为
FN1+FN2+FN3－F=0
FN1a+Fc －FN3b=0
F
变形协调方程为
Dl2 d Dl1 a Dl3 Dl1 a b
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19
材料力学
FN1l Dl1 a1DTl E1 A1
2l
A 2 FN1l FN2l FAy 2a l Dt EA EA F 4 EAaDt 4 EaDt N1 1
FN2
5 5 结合平衡方程，求得 2 2 FN2 EAaDt 2 EaDt 5 5
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18
M
A
M
B
T1
解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加力偶M解除后，圆轴必然力图恢 复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭 矩 T1和T2。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡 方程为 T1-T2=0
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22
M
M
2
1
焊接前轴在M作用下的扭转角为
CB
T2b M Bb GI p GI p
代入上式
AC
T a ( M A )a 1 GI p GI p
建立补充方程 联立求解方程(a)与(b)
M A a M Bb 0
MA
(b)
Mb Ma ， MB ab ab
21
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设有A、B两个凸缘的圆轴，在力偶M的作用下发生了变形。这时把一个 薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除M。设轴和圆筒的抗扭刚度 分别是G1Ip1和G2Ip2，试求轴内和筒内的扭矩。 T2
D FN1
F
l
变形协调方程
Dl3 Dl2 cot 300 0 sin 30 Dl2 (Dl1 ) 0 0 cos 30 D l tan 30 2 sin 300
Dl Dl3 A 2
300
Dl1
FN2 FN3
A
300
F
300 300 300
化简得
3Dl2 Dl1 Dl3
装配应力是不容忽视的，如：d/l=0.001， E=200GPa， q=30° 1 =113MPa ，2 = 3 =－65.2MPa
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14
图示悬吊结构AB梁刚性，各杆EA相同，杆3短d，求各杆装配应力。
解：1、平衡方程
FN1－FN2+FN3=0 FN1=FN3 2、几何方程
列平衡方程 SMA=0 得
①
FN1 l FN2 2lFN1 2FN2
l A l l FN1 FAx
q q
② D l2
①杆在温度影响下伸长，在轴力作用 下缩短，②杆在轴力作用下缩短。刚 体绕A转动，变形几何关系图如图示。 由图可列出变形几何关系方程 2Dl1=Dl2
Dl1 a l Dt FN1l F l ， Dl2 N2 EA EA
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2cos3 q d cos 2 q d 1 E 2 = 3 E 3 3 1 2cos q l 1 2cos q l
注意：1杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短 , 应为压力。
FN2 FN1
q q
FN3
FN2
FN1
q q
FN3
A
A
正确
不正确
F
11
静不定结构的特点（2） ——装配应力
B C B D
C
A
A
静定结构 ——无装配应力
静不定结构 ？——产生装配应力
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已知三根杆EA相同，1杆有制造误差d， 求装配后各杆的应力。
解：因制造误差，装配时各杆必须变形， 因此产生装配内力。 FN1 FN2 FN3 一次静不定问题。 q q 平衡方程：FN2=FN3 FN1－2FN2cosq=0 A 几何方程：Dl1＋Dl2 / cosq =d 物理方程： Dl1 FN1l Dl2
A
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4、补充方程
FN1l 2 FN2l FN3l + + d EA EA EA
补充方程与平衡方程联立解得: FN1 FN3
d EA
6l
；FN2
d EA
3l
()
1 3
dE
6l
； 2
dE
3l
AB为刚性梁，写出所需方程。 变形协调关系 Dl2 (d Dl1 ) 2 sin 450 平衡方程
23
材料力学
§6.4
弯曲简单超静定问题
一、相当系统的建立
1、相当系统的特点： 静定结构； 含有多余约束力； 主动力与原结构相同。 2、建立相当系统的步骤： 判断静不定次数； 解除多余约束，代之以多余约束力； 其余照原问题画。
O
②
①
F
a
B
O
A
B
l
D l1
l
D l2
Dl1
C
l
②
b
A
Dl 2 2Dl1 sin 45
l
l
l
FN1 2l FN2 l 2 EA sin a cos a EA sin b cos b
FN1 sin 2a FN2 sin 2b
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Dl1 Dl 2 2 sin a sin b
Dl1 FN1 F 2l l ( )，Dl2 N2 ( ) EA cos a EA cos b
物理方程为
FN1 A D l1
a
FN2 b c
FN3
F l Dl2 N2 a 2 DTl E2 A2 F l Dl3 N3 a 3DTl E3 A3
d
D l2
B
F
D l3
物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得： FN1=7.92kN，FN2=10. 2kN，FN3=21.9kN 由此求得应力为
5、多余约束力：多余约束提供的约束力。 静不定次数 = 多余约束力数目
材料力学
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3
二、拉压静不定问题的解法
1、判断静不定次数； 2、列静力平衡方程； 3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系(变形协调方
程)，具体问题具体分析，一般通过“变形几何图”列方程。
特别注意：力与变形相对应！！ （即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应） 4、列物理方程：变形与力的关系；
当温度变化为 Dt =t2-t1 时，杆件因温度变化而产生的变形为：
Dlt a l Dt
式中：a ——材料的线膨胀系数。
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