《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解
材料力学第六章简单的超静定问题
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
例2
图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水 平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点 处受荷载F作用，试求B点的位移δB。
§6-1 超静定问题
静定结构：
约束反力 可由静力平 衡方程全部 求得
超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高 约束反力不能全 部由平衡方程求得 超静定次数： 约束反力多于 独立平衡方程的数
独立平衡方程数： 平面任意力系： 3个平衡方程 平面共点力系：
2个平衡方程
平面平行力系：2个平衡方程 共线力系：1个平衡方程
3
B
联立①②③，解得：
D
1 C 2 30 30 3
A
y
A
3FN1 2FN 2 3FN 3
FN1 FN 3 2F
F
FN 1 FN 2 FN 3
y
A
x
FN 3 2FN1 2FN 2
2 FN1 2 F 25.4kN 3 1 127MPa（拉）
FN 1 FN 2 FN 3
y
A
列出平衡方程： FN 1 cos 30 0 FN 2 FN 3 cos 30 0 Fx 0
Fy 0
FN1 sin 30 0 FN 3 sin 30 0 F
FN1 FN 3 2F
x 即：
3FN1 2FN 2 3FN 3
1 2
EA
2000
EA N1 =
6000
材料力学-第六章 简单的超静定问题
变形协调条件：
l1 l 3 cos
F N1
F N3
F N2
l3
l1
A
A
l2
例2.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
解: 装配后各杆变形 1杆伸长 l1 2杆缩短 l 2 变形协调条件
A
1
l1
4、联解方程
FN 1 F E3 A3 2 cos 2 E1 A 1 cos
FN 3
F E1 A 3 1 1 2 cos E3 A3
●装配应力的计算
装配应力：超静定结构中由于加工误差， 装 配产生的应力。 平衡方程：
FN 1 FN 2
1
3 2
A
l
FN 3 ( FN1 FN 2 ) cos
2、AC和BC材料相同，面积不同，外力作用在 连接界面处，在外力不变的情况下，要使AC上 轴力增加，错误的方法有（ ）。 A、 增加AC的横截面积 B、 减小BC的横截面积 C、 增加AC的长度 D、 增加BC的长度
A l1 C F B l2
3、AB为等截面杆，横截面面积为A，外力F作 用在中间，则AC和BC上应力分别（ ）。
2
l 2
B
2( l1 ) l 2
解: 分析AB
A
aF 1 2aF 2 0
F1l 物理方程 l1 EA 变形协调条件
FA
F1
F2
B
F2 l l 2 (缩短) EA
2( l1 ) l 2
4EA 2EA F1 (拉力) F2 (压力) 5l 5l
材料力学教学课件 第六章 简单的超静定问题
FN a EA
2qa 3 A FN 2 3a A I Z
FN a 3 FN a q2a FN 2a 8EI Z 3EI Z 3EI Z EA
4
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____ A 不会 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
所有超静定结构，都是在静定结构上再加一个或几个约束，这些约束对 于特定的工程要求是必要的，但对于保证结构平衡却是多余的，故称为多余 约束。未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数。
对超静定问题，可综合运用平衡条件、变形的几何相容条件和力与变形 间的物理关系等三个方面来求解。
6-2.拉压超静定问题
例题：求图 ( a ) 所示等直杆 AB 上下端的约束力，并求 C 截面的位移。 杆的拉压刚度为EA。
解: 1、有两个未知约束力FA , FB (见 图a ) , 但只有一个独立的平衡方程， 故为一次超静定问题。
FA +FB - F = 0
2、取固定端B 为“多余”约束。相应 它应满足相容条件 的静定杆如图 (b)。 ΔBF + ΔBB = 0，参见图(c) (d)。 3、补充方程为
A. 有弯矩，无剪力；
q
B
B. 有剪力，无弯矩；
C. 既有弯矩又有剪力； D. 既无弯矩又无剪力；
A
L2
C
L2
例题 6.13
等直梁受载如图所示.若从截面C截开选取基本结 构,则_____. A
A. 多余约束力为FC，变形协调条件为ωC=0; B. 多余约束力为FC，变形协调条件为θC=0; C. 多余约束力为MC，变形协调条件为ωC=0; D. 多余约束力为MC，变形协调条件为θC=0;
孙训方材料力学06简单的超静定问题
B
DC
1
3
2
A
F
10
材料力学
第六章 简单的超静定问题
解：（1）判断超静定次数 结构为一次超静定。
（2）列平衡方程
Fx 0 FN1 FN2
Fy 0
FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
B
D
1
3 2
l2 C
l1 A
A
B
F （6）联立平衡方程与补充方程求解
FN1 FN2 FN3 F 0 2aFN1 aFN2 0 FN1 FN3 2FN2
FN1 F / 6 FN2 F / 3 FN3 5F / 6
材料力学
Ⅱ. 装配应力
B
杆系装配好后，各杆将处于
材料力学
【例】 图示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结。设两 支承的距离(即杆长)为 l，杆的横截面面积为 A，材料的弹
性模量为 E，线膨胀系数为 。试求温度升高 T 时杆内的
温度应力。
A
B
l
材料力学 A
解: 这是一次超静定问题
l
变形相容条件：杆的长度不变
A
Δl 0
杆的变形为两部分：
q B
l/2
FC
l
基本静定系 或相当系统
材料力学
第六章 简单的超静定问题
求解超静定问题的步骤
(1) 判断超静定次数：去掉多余约束，画上相应约束反力 —建立基本静定系。
(2) 列平衡方程: 在已知主动力，未知约束反力及多余约束 反力共同作用下；
(3) 列几何方程：根据变形相容条件； (4) 列物理方程：变形与力的关系； (5) 组成补充方程：物理方程代入几何方程即得。
材料力学简单的超静定问题
§6-4 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
1Δ2l3cos
②
(3)代入物理关系，建立补充方程
1
N1 1 E1 A1
N1
E1 A1 cos
③
3
N3 E3 A3
13
2
A
2
1
3
A
§6-2 拉压超静定问题
(2)建立变形协调方程：如图三杆铰结， 画A节点位移图,列出变形相容条件。要 1 注意所设的变形性质必须与受力分析所 中设定的力的性质一致。由对称性知
C
(b)
F
B
F C
B
C
(c)
FBy
(c)
FBy FF
BB B
(d) (d) B
F CC C
C
(d) FBy
F(2a)2
1F 43a
(w B)F
(9a2a)
6EI
3EI
(wB)FBy
8FBya3 3EI
所以
14Fa3 8FBya3 0 3EI 3EI
FBy
7 4
F
4）由整体平衡条件求其他约束反力
M AF 2(a), F Ay 4 3F ( )
FCFFB 408.75
4.875kN
M C0 , M C2 F 4 F B 0
MC 4FB 2F
48.75240115kN.m
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Δl1＝FN1l1/EA1＝FN1l/（EA1cos30°） Δl2＝FN2l2/EA2＝FN2l/（EA2） Δl3＝FN3l3/EA3＝FN3l/（EA3cos30°） 代入式③可得补充方程： FN1l/（EA1sin30°·cos30°）＝2FN2l/（EA2tan30°）＋FN3l/（EA3sin30°·cos30°）④ （3）求解 联立式①②④，可得各杆轴力：FN1＝8.45kN，FN2＝2.68kN，FN3＝11.55kN。
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MB = 0
FN2 Leabharlann 2 2a+
FN4
2 2
a
+
FN3
2a − F ( 2 a + e) = 0 2
②
根据结构的对称性可得 FN2＝FN4③
（2）补充方程
如刚性板的位移图所示，根据几何关系可得：Δl1＋Δl3＝2Δl2④
由结构对称可知 Δl2＝Δl4，其中，由胡克定律可得各杆伸长量：
Δl1＝FN1l/EA，Δl2＝FN2l/EA，Δl3＝FN3l/EA
代入式④，整理可得补充方程：FN1＋FN3＝2FN2⑤
（3）求解
联立式①②③⑤，解得各杆轴力：
FN1
=
(1 4
−
e )F(压) 2a
FN2
=
FN4
=
F 4
材料力学土木类第六章简单的超静定问题
B
D
C 解：一次超静定问题
1 32
(1)力：由节点A的平衡条件列 出平衡方程
y
F
N1
F
N3
F
N2
A
F
A F
Fx 0, FN1sinFN2 sin 0
F y 0 ,F N 3 F N 1 co F N 3 s co F s 0
x
l 3
B
D
1 32
A A'
C (2)变形：变由变形协调条件建立补充方程来求
解。
例 梁AC在B、C处分别为固定铰支座和可动铰支座，
梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接。在梁受荷载作
用以前，杆 AD 内没有内力。已知梁和拉杆用同样的
钢材制成，材料的弹性模量为E，梁横截面的惯性矩
为I，拉杆横截面的面积为A，其余尺寸见图。试求钢
例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模
量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁， 试求在荷载F 作用下各杆的轴力
l
解: (1)受力分析--平衡方程
1
2
3
a
a
a
D2 C
A BF
FN1 A
FN2
FN3
B
C
D F
Y 0 , F N 1 F N 2 F N 3 F 0 M D 0 , 1 . 5 F N 1 0 . 5 F N 2 0 . 5 F N 3 0
土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利 用装配应力来提高构件承载能力的例子。
(2) 温度应力
静定问题：由于杆能自由变形，由温度所引起的变 形不会在杆中产生内力。
超静定问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所 引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这 种内力称为温度内力。
材料力学-简单超静定
EA
C
F
B
FRA
b L
F
FRB
a L
F
L
例 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截
面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆
均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和 GbIpb。组合杆的左端为固定端，右端固结于刚性板 上。当在刚性板处受力偶矩Me作用时，试求分别作 用在内、外杆上的扭矩。
FN1 FN2 FN3 /2
(2) 几何方程
B 1
1
C1 2
A1 l
C 1 3
B
C
A C'
aa
l1l3 Δ FN1l FN3l Δ EA E3A3
二、温度应力
a
t
A
EA
C
L
a
t
A
EA
C
L
b B
b B
静定结构无温度应力
超静定结构 有温度应力
B=0
FB
tL F B L =0
l
A
A
A
F
F
FN3’
(1)
(2)
ΔA1 ΔA2
(F FN3)l
2E1A1 cos2
FN' 3l cos
E3 A3
FN3
12
F E1A1
cos3
E3A3
FN1
FN2
F
2cosE1AE13cAo32s
讨论：1. 刚度引起的受力分配原则 2. 基本结构的不同取法
例2-12 如图所示，三杆的横截面积、长度和弹性
a
b
FAFFB
F
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第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。
设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+=变形谐调条件为：0=∆l02=⋅+⋅+⋅EA aN EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N03)(2=++++F R F R R B B B45FR B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45FN BD-= 445F F F N CD -=+-=47345FF F N AC=+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。
试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X030cos 30cos 01032=-+-N N N0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)∑=0Y030sin 30sin 0103=-+F N N2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：00130cos 30sin x y l δδ+=∆x l δ=∆200330cos 30sin x y l δδ-=∆03130cos 2x l l δ=∆-∆2313l l l ∆=∆-∆设l l l ==31，则l l 232=223311233EA l N EA lN EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 15023200100231⨯=-N N N23122N N N =-21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
[习题6-3] 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。
如果荷载F 作用在A 点，试求这四根支柱各受多少力。
解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。
分别用4321,,,N N N N 表示。
由其平衡条件可列三个方程：0=∑Z04321=-+++F N N N N F N N N N =+++4321 (1)0=∑xM0222242=-⋅a N a N 42N N = (2)0=∑yM0222231=⋅-⋅+⋅a N e F a N aFeN N 231-=- (3)由变形协调条件建立补充方程EAN EA l N EA l N 2312=+2312N N N =+。
（4）(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得：442F N N == F a e N )241(1-=F ae N )241(3+=[习题6-4] 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如所示。
如已知kN F 50=，两根钢杆的横截面面积21000mm A =，试求两杆的轴力和应力。
解：以AB 杆为研究对象，则：0=∑AM0350221=⨯-⋅+⋅a a N a N 150221=+N N (1)变形协调条件：122l l ∆=∆EAlN EA l N 122= 122N N = (2)(1)、(2)联立，解得：kN N 301= kN N 602=MPa mm NA N 30100030000211===σ MPa mm NA N 60100060000222===σ[习题6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。
已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和21400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。
解：以AB 杆为研究对象，则：0=∑AM023)330(3121=⨯⨯-⨯+⨯N N 135321=+N N (1)变形协调条件：3121=∆∆l l 123l l ∆=∆112238.1EA lN EA l N ⨯=⋅40032008.112N N =⋅ 212.1N N = (2)(1)、（2）联立，解得：kN N 571.381=（压）；kN N 143.322=（拉）故可记作：kN N 571.381-=；kN N 143.322= 强度校核： MPa MPa mmNA N 170][4275.9640038571||||2111=<===σσ，符合强度条件。
MPa MPa mm N A N 170][715.160200321432122=<===σσ，符合强度条件。
[习题6-6] 试求图示结构的许可荷载[F]。
已知杆AD ，CE ，BF 的横截面面积均为A ，杆材料的许用应力为][σ，梁AB 可视为刚体。
解：以AB 杆为研究对象，则：∑=0Y0321=-++F N N NF N N N =++321 (1)∑=0AM0232=⋅-⋅+⋅a F a N a N F N N =+322 (2)变形协调条件： 2132l l l ∆+∆=∆EAlN EA l N EA l N 21322+=⋅ 2134N N N += (3)(1)(2)(3)联立，解得： 5221F N N ==；53FN = 强度条件： ][5221σσσ≤==AFA A F ][5.22][5σσ=≤][53σσ≤=AF][5σA F ≤故：A F ][5.2][σ=[习题6-7] 横截面积为mm mm 250250⨯的短木柱，用四根mm mm mm 54040⨯⨯的等边角钢加固，并承受压力F ，如图所示。
已知角钢的许用应力MPa s 160][=σ，弹性模量GPa E s 200=；木材的许用应力MPa w 12][=σ，弹性模量GPa E w 10=。
试求短木柱的许可荷载[F]。
解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：（1）由木柱与角钢间的变形相容条件，有（2）由物理关系：（3）式（3）代入式（2），得（4）解得：代入式（1），得：（2）许可载荷 由角钢强度条件由木柱强度条件：故许可载荷为：[习题6-8] 水平刚性横梁AB 上部由于某1杆和2杆悬挂，下部由铰支座C 支承，如图所示。
由于制造误差，杆1和长度短了mm 5.1=δ。
已知两杆的材料和横截面面积均相同，且GPa E E 20021==，A A A ==21。
试求装配后两杆的应力。
解：以AB 梁为研究对象，则：0=∑CM0145sin 2021=⨯+⋅-N N2142N N =…………(1) 变形协调条件： 11AA l -=∆δ1222BB l =∆2111212l l BB AA ∆∆-==δ 2122l l ∆=∆-δEAl N EA l N 22221⋅=-δEAlN EA l N 214=-δ………...(2) (1)、(2)联立，解得：l EA N )162(21+=δ；lEA N )162(42+=δMPa mm mm MPa l E 242.161500)162(5.1102002)162(231=⨯+⨯⨯⨯=+=δσMPa mmmm MPa lE 939.451500)162(5.1102004)162(432=⨯+⨯⨯⨯=+=δσ[习题6-9] 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离mm 1=δ。
已知上、下两段杆的横截面面积分别为2600mm 和2300mm ，材料的弹性模量GPa E 210=。
试作图示荷载作用下杆的轴力图。
解：设装配后，支座B 的反力为B R （↓），则： B BC R N =40+=B CD R N （D 为60kN 集中力的作用点）100+=B AD R N变形协调条件：δ=∑=ni il1m R R m m kN m kN R B B B 36666262610110600102102.1)100(10600102104.2)40(10300/102102.1----⨯=⨯⨯⨯⋅++⨯⨯⨯⋅++⨯⨯⨯⋅1261202.1964.24.2=++++B B B R R R906-=B R)(15kN R B -=。
故：[习题6-10] 两端固定的阶梯状杆如图所示。
已知AC 段和BD 段的横截面面积为A ，CD 段的横截面面积为2A ；杆的弹性模量为GPa E 210=，线膨胀系数106)(1012--⨯=C l α。
试求当温度升高C 030后，该杆各部分产生的应力。
解：变形协调条件：0=∆l0=∆+∆t N l l04)2(22=⋅∆⋅++a t A E aN EA Na l α 043=⋅∆⋅+a t EANal α 043=⋅∆⋅+t EANl α )(100800/1021030)(101234342260106kN A Am m kN C c tEA N l -=⋅⨯⨯⨯⨯⨯-=∆-=--α MPa kPa ANBD AC 8.100)(100800-=-===σσ MPa kPa ANCD 4.50)(504002-=-==σ[习题6-11] 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩e M 。
若212d d =，试求固定端的支反力偶矩A M 和B M ，并作扭矩图。
解：把B 支座去掉，代之以约束反力偶 ，其矩为B M ，转向为逆时针方向，则：B BC M T = e B CA M M T -=变形协调条件：A 、B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故：0=+=CB AC AB ϕϕϕ02)(21=+-P B P e B GI aM GI a M M0221=+-P BP e B I M I M M式中，241414111632116)2(321321P P I d d d I =⋅===πππ，故： 021622=+-P B P e B I M I M M0216=+-B eB M M M33eB M M =333233ee e A M M M M -=-=（顺时针方向转动） 33eB BC M M T == 3332ee B CA M M M T -=-=AB 轴的轴力图如下：和截面C 的扭转角。
解：把B 支座去掉，代之以约束反力力偶，其矩为B M ，逆时针方向 转动。
，则：B CB M T = e B CA M M T -=变形协调条件：A 、B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故：0=+=CB AC AB ϕϕϕ015.0)(=⋅+⋅-P B P e B GI M GI M M02=+-B e B M M M3eB M M =，故：)(267.138.33m kN M M T e B CB ⋅==== )(533.238.3232m kN M M M T e e B CA ⋅-=⨯-=-=-= C 截面左侧的最大切应力： PCACA W T =max,τ 式中，抗扭截面模量)(423906014.3161161333mm d W P =⨯⨯==π MPa mmmmN W T P CA CA8.594239010533.2||36max,=⋅⨯==τ C 截面右侧的最大切应力： PCBCB W T =max,τ MPa mmmm N W T P CB CB9.294239010267.1||36max,=⋅⨯==τ C 截面的转角： PCBCB BC C GI l T ==ϕϕ 式中，444412717006014.3321321mm mm d I P =⨯⨯==π 04236714.0)(01245.01271700/1080100010267.1==⨯⨯⨯⋅⨯===rad mm mm N mm mm N GI l T P CB CB BCC ϕϕ[习题6-13] 一空心圆管套在实心圆杆B 的一端，如图所示。