第6章简单的超静定问题
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7第六章简单的超静定问题
E3 A3
FN 1
FN 2
2COS
F E3 A3
EACOS
2
解超静定问题的步骤
（1）列 静力平衡方程 确定超静定次数； （2）根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的
个数与超静定次数相等； （3）将 物理方程 （胡克定律）代入变形几何方程得补充方程； （4）联立补充方程与静力平衡方程求解。
第六章
简单的超静定问题
• 超静定问题及其解法 • 拉压超静定问题 • 扭转超静定问题 • 简单超静定梁
§6—1 超静定问题及其解法
1，静定问题 约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情 况称作静定问题。
2，超静定问题
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超 静定问题。
F
A
C
2
3
1
A
B
C
P 40
80
FN1
FN2
80
FN3
P
几何方程
2 l2 l1 l3
物理方程
l1
F N1l1 EA
l 2
F N2l2 EA
l3
F N3l3 EA
2
3
1
A
B
C
l1
P l2
l3
4080807575补充方程
2 F N 2 l2 F N1l1 F N 3 l3 EA EA EA
2
3
1
A
B
2
A
F
B
D
C
3 1
2
A
FN1
FN3
FN2
αα
A
F
F
解：列静力平衡方程
F N1 F N2
材料力学(I)第六章(配孙训方版)
4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：
FN1 FN2
eEA l
1
1 2
EA
，
E3 A3
FN3
eE3 A3 l
1
1 E3 A3
2EA
所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉
力和杆3的装配内力为压力是正确的。
载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移 相容条件为
BMe
BM B
注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。
33
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
Mea M Bl GI p GI p
由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
在基本静定系上加
B
C
D
上原有荷载及“多
1
2
余”未知力
FN3
并使“多余”约束
A
A
处满足变形(位移)
ΔA'
相容条件
A'
ΔA
A
F
FN3
相当系统 (equivalent system)
6
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
B 1
C 2
FN3
第六章 简单的超静定问题
求算FN3需利用位移(变形)相容条件 (图a)
AA AA e
列出补充方程
FN3l3 E3 A3
FN3l1
2 E1 A1cos2
6-简单超静定问题
4、补充方程
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
材料力学(I)第六章
N2 y N1 N2 N3
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
第六章简单超静定问题
yc = 0
去掉多余约束而成为形式上 去掉多余约束而成为形式上 基本静定基。 的静定结构 — 基本静定基。
q A
l 2
q
C
l 2
B
AA
L/2
C
Rc
B
L/2
静力、几何、物理条件) 解超静定的步骤 —— (静力、几何、物理条件) 用多余约束反力代替多余约束（ 静定基，原则：便于计算） 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 分析—— ω
A
l 2
1)研究对象，AB梁 研究对象 B 解：1)研究对象，AB梁， 受力分析： 受力分析：R A , RB , RC , ql
∑ Y = 0, R A + RB + RC − ql = 0
∑ M A = 0, RB l + 0.5RC l − 0.5ql 2 = 0
q A
RC
B
２)选用静定基，去Ｃ支座 选用静定基， 静定基 ３)变形协调方程
C 2 δ
1
3 α
α
A
由温度引起杆变形而产生的应力（ 1）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。 温度应力 由温度引起杆变形而产生的应力 热应力）。 温度引起的变形量 —
∆L = α∆tL
1、静定问题无温度应力。 静定问题无温度应力。 超静定问题存在温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。
F
B 1
D 3 α α A 2
C
超静定结构的特征：内力按照刚度分配
∆l3
∆l2
A2
∆l1
A3
第六章简单的超静定问题
例1 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和 木材的许用应力分别为[]1=160M Fa和[]2=12MFa，弹性模
量分别为E1=200GFa 和 E2 =10GFa；求许可载荷P。 P 解：平衡方程: y Y 4F F P 0
N1
N2
4FN1
FN2
几何方程
2 FN1 FN3
X F
Y F
FN2
N1
N1
sin FN 2 sin 0
A P
cos FN 2 cos FN 3 P 0
A P
B 3
D
1
A
2
C 几何方程——变形协调方程： L1 L3 cos
物理方程——弹性定律：
L1 FN 1 L1 E1 A1 L3 FN 3 L3 E3 A3
(a)
Tb Ta
(b)
解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 ── 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程
Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。
2. 位移相容条件为
Ba Bb
Tb Ta
(b)
3. 利用物理关系得补充方程为
Ga I pa Tal Tbl ，即 Ta Tb Ga I pa Gb I pb Gb I pb
P1 A11 / 0.07 308.6 160/ 0.07 705.4kN
FN 2 0.72P A2 2
P2 A2 2 / 0.72 2502 12 / 0.72 1042kN
求结构的许可载荷： 方法2:
1 L1 / E1 0.8mm 2 L 2 / E2 1.2mm
第六章 简单超静定问题
A
B
2.装配应力 2.装配应力
静定结构中当结构尺寸有误差时， 静定结构中当结构尺寸有误差时，只会引起 结构几何位置的变化，内部不会产生应力。 结构几何位置的变化，内部不会产生应力。 图示静定结构， 杆短， 杆长， 图示静定结构，1杆短，2杆长，装配时不会 产生装配应力。 产生装配应力。 超静定结构中当构件 尺寸有误差时， 尺寸有误差时，会引起强 迫装配， 迫装配，从而内部会产生 附加应力。 附加应力。
§6-2
拉压超静定问题
一、拉压超静定问题的求解 二、温度应力和装配应力
一、拉压超静定问题的求解
例题： 例题：求图示杆的支反力 解： AB 杆受力如图 由： A a F B b
F B A
FA
a
∑F
y
=0
A B 得： F + F = F
b
F B 本问题为共线力系， 本问题为共线力系，只有一个独立平衡方程
(
)
∆l1
例题
图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同 根杆的抗拉刚度相同， EA， 图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为 EA， 3 杆比设计尺寸短了δ，若：3根杆均为圆钢杆 杆比设计尺寸短了δ d = 40mm, E = 200GPa, l =1 , δ = 0.5mm,α = 300 m
D
2
C
3
α α
B
1
l
A
根杆的装配应力。 求：3根杆的装配应力。
δ
解： 3根杆的装配内力为： 根杆的装配内力为：
δ EAcos2 α FN1 = FN2 = (2cos3 α +1)l
F3 N 2 EAcos α δ EAcos = 2cos3 α +1 l
第六章——简单的超静定问题
(2)根据变形协调条件列变形几何方程
(3)将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几ห้องสมุดไป่ตู้方程得补充方程
(4)联立补充方程与静力平衡方程求解
杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题。
2、超静定问题
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。
二、超静定问题求解方法
1、超静定的次数
未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数.
n=未知力的个数-独立平衡方程的数目
2、求解超静定问题的步骤
(1)确定静不定次数；列静力平衡方程
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束。
未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数。
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面。
§6—2拉压超静定问题
一、静定与超静定问题
1、静定问题
章节
名称
学时
备注
第六章
简单的超静定问题
1教学目标：
2教学内容：
3重点、难点分析及解决策略
4教学方法：
5教学进程：
§6—1超静定问题及其解法
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构。
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构。
(3)将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几ห้องสมุดไป่ตู้方程得补充方程
(4)联立补充方程与静力平衡方程求解
杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题。
2、超静定问题
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。
二、超静定问题求解方法
1、超静定的次数
未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数.
n=未知力的个数-独立平衡方程的数目
2、求解超静定问题的步骤
(1)确定静不定次数；列静力平衡方程
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束。
未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数。
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面。
§6—2拉压超静定问题
一、静定与超静定问题
1、静定问题
章节
名称
学时
备注
第六章
简单的超静定问题
1教学目标：
2教学内容：
3重点、难点分析及解决策略
4教学方法：
5教学进程：
§6—1超静定问题及其解法
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构。
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构。
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T1l 1 GI P1 T2l 2 GI P 2
材料力学 任课教师：金晓勤
21
φ
代入变形几何条件得：
φ1 φ2
T1l T1l Tl GI P1 GI P 2 GI P 2
I P1T 32 T1 T2 I P1 I P 2 D 4 d 4 D 4 d 4 1 1 2 2 32 32 1004 904 2 1.165kNm 4 4 4 4 100 90 90 80
代入数据，得
FW 0.717 F Fst 0.283F
根据角钢许用应力，确定F
F
st
0.283F st Ast
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
0.717 F W W AW
许可载荷
F 1046kN
250 250
F 698kN
材料力学
将平衡方程与补充方程联立，求解，可得：
RA RB P RAl1 RB l2 E A E A 0 2 2 1 1
P RA E2 A2l1 1 E1 A1l2
P RB E1 A1l2 1 E2 A2l1
材料力学 任课教师：金晓勤
9
例题 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst 变形协调关系: l st l w （1）
b
⑶物理方程
FN 1l1 FN 1l l1 E1 A1 E1 A1 cos FN 2l2 FN 2l l2 E2 A2 E2 A2
由(b)、(c)得补充方程:
c
FN 2l FN 1l 2 E2 A2 E1 A1 cos
材料力学 任课教师：金晓勤
F
FW l 物理关系: lW EW AW
lst
补充方程:
FW Fst
250 250
Fst l Est Ast
（2）
Fst FW Est Ast EW AW
材料力学
任课教师：金晓勤
10
3.086cm 2 查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast 12.34cm 2 , AW 25 25 625cm 2 故 Ast 4 Ast
第六章 简单的超静定问题
第六章 简单的超静定问题
6.1 超静定问题及其解法 6.2 拉压超静定问题 6.3 扭转超静定问题 6.4 简单超静定梁
材料力学
任课教师：金晓勤
2
6.1 超静定问题及其解法
1. 超静定的概念
静定结构：
约束反力（轴 力）可由静力 平衡方程求得
材料力学
任课教师：金晓勤
3
超静定结构：约束反力不能由平衡方程求得 结构的强度和刚度均得到提高 超静定度（次）数：
B
4.作FS、M图
极值弯矩位置：
3 x0 : 8
FS
B FBy x0 3 ql 8
3 x0 l 8
极值弯矩：
1 ql 8
2
1 2 M M 0 FBy x0 qx0 2 2 3 3 1 3 9 ql l q l ql 2 8 8 2 8 128
6
两个未知量，一个静平衡方程，光由平衡方
程无法求解，这种问题称为超静定问题。需寻找 补充方程方能求解。
(2) 建立变形协调方程
A ②
E1A1
根据约束对变形的限制可 知，杆的总伸长不变，即可给 出变形协调方程：
l l1 l2 0
l1
C
① E2A2 l2
B
材料力学 任课教师：金晓勤
7
lR lT
⑶物理方程
b
α — 线膨胀系数, 1/℃
lT T l , Rl lR EA
由(b)、(c)得补充方程:
c
Rl T l EA 联立(a)式得: R T EA FN
材料力学 任课教师：金晓勤
13
例: 若管道中，材料的线膨胀系数
2max
材料力学
任课教师：金晓勤
23
6.4 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
M max
1 2 M A ql 8
27
9 ql 2 128
材料力学
任课教师：金晓勤
5.讨论
设MA为多余约束力
q A l B
列变形几何方程
A Aq AM 0
A
q MA A
B
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
1 2 M A ql 8
约束反力多于独立 平衡方程的数
独立平衡方程数：
平面任意力系： 3个平衡方程
平面共点力系： 2个平衡方程 平面平行力系：2个平衡方程 共线力系：1个平衡方程
材料力学
任课教师：金晓勤
4
6.2 拉压超静定问题
例: 图示构件是由横截面
面积和材料都不相同的 两部分所组成的，在C截 面处受 P 力作用。试求杆 两端的约束反力。
(3) 建立补充方程
FN 1 RA FN 2 RB FN 1l1 l1
RA A P
FN 2l2 l2 E2 A2
E1 A1
C
RAl1 RB l2 0 E1 A1 E2 A2
—— 补充方程
B RB
材料力学
任课教师：金晓勤
8
(4) 联立求解
的横截面上的最大切应力。
φ
1
φ
φ1 φ2
2
材料力学
任课教师：金晓勤
20
解: 内管2受外力偶T后两端发生相对扭转角φ。
Tl GI P 2
φ φ1 φ2
当撤除外力偶T后内管2由于弹性 恢复，φ减小为φ2，并使外管1产生φ1， 变形几何条件为：
1 2
此时，在两管的横截面上必将产生等值反向的扭 矩，T1=T2，两管的相对扭转角分别为：
材料力学
任课教师：金晓勤
19
例: 两根长度为l的钢制圆管松套在一起，外管1的 外 径 D1=100mm ， 内 径 d1=90mm ； 内 管 2 的 外 径 D2=90mm ，内径 d2=80mm ( 如图所示 ) 。在内管两端加 以外力偶 T=2kN·m ，内管发生扭转变形，此时将两管
的两端焊接为一个组合管。试求撤除外力偶T后组合管
qL3 A 24 EI z
挠度： 3、8、48、5384
转角： 2、6、16、24
材料力学 任课教师：金晓勤
25
例：试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
解： 一次超静定
1.取静定基
q A l B
设FBy为多余约束力
2.求FBy 列变形几何方程 yB yBq yBFBy 0 查表
4
q
材料力学 任课教师：金晓勤
22
4 4 D d 1 1 T
φ φ1 φ2
1max
T1 1.165 106 17.3MPa 4 Wt1 90 3 100 1 16 100 T2 1.165 106 21.7 MPa 4 Wt 2 80 3 90 1 16 90
16
联立(a)式得:
FN 1 FN 3
FN 2
E2 A2 l E2 A2 2 cos 1 3 2 E A cos 1 1 E2 A2 1 E2 A2 l 1 2 E1 A1 cos3 1
(压)
（拉）
⑴内力(或约束力)的分配不仅与外载荷有关,还与杆件的刚度有关; ⑵超静定结构会引起温度应力和装配应力。
7-6
材料力学
任课教师：金晓勤
24
A
P B L q
PL wB 3EI z qL wB 8EI z PL wC 48EI z
3
4
3
PL2 B 2 EI z qL3 B 6 EI z PL2 A 16 EI z
A
B
L P
A
L/2
C
B
L/2
B L/2
q A
L/2
C
5qL4 wC 384 EI z
任课教师：金晓勤
11
3. 温度应力和装配应力
1）. 温度应力
由于温度变化会引起物体的膨 胀和压缩.对于超静定结构,其胀 缩变形受到约束会产生内应力, 称为温度应力。
设温度上升ΔT,则A、B端 分别有约束力RA , RB
⑴静力平衡方程
RA RB R
a
材料力学
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12
⑵变形协调方程
A B FBy q
A
B yBq
BFBy
ql y y Bq , y BFBy A B 8 EI 3 EI F 代入上式，解得 3 FBy ql 8 材料力学 任课教师：金晓勤
By
FBy l 3
26
q
3.求静定基的支反力
5 1 2 FAy ql， M A ql 8 8
材料力学 任课教师：金晓勤
21
φ
代入变形几何条件得：
φ1 φ2
T1l T1l Tl GI P1 GI P 2 GI P 2
I P1T 32 T1 T2 I P1 I P 2 D 4 d 4 D 4 d 4 1 1 2 2 32 32 1004 904 2 1.165kNm 4 4 4 4 100 90 90 80
代入数据，得
FW 0.717 F Fst 0.283F
根据角钢许用应力，确定F
F
st
0.283F st Ast
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
0.717 F W W AW
许可载荷
F 1046kN
250 250
F 698kN
材料力学
将平衡方程与补充方程联立，求解，可得：
RA RB P RAl1 RB l2 E A E A 0 2 2 1 1
P RA E2 A2l1 1 E1 A1l2
P RB E1 A1l2 1 E2 A2l1
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9
例题 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst 变形协调关系: l st l w （1）
b
⑶物理方程
FN 1l1 FN 1l l1 E1 A1 E1 A1 cos FN 2l2 FN 2l l2 E2 A2 E2 A2
由(b)、(c)得补充方程:
c
FN 2l FN 1l 2 E2 A2 E1 A1 cos
材料力学 任课教师：金晓勤
F
FW l 物理关系: lW EW AW
lst
补充方程:
FW Fst
250 250
Fst l Est Ast
（2）
Fst FW Est Ast EW AW
材料力学
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10
3.086cm 2 查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast 12.34cm 2 , AW 25 25 625cm 2 故 Ast 4 Ast
第六章 简单的超静定问题
第六章 简单的超静定问题
6.1 超静定问题及其解法 6.2 拉压超静定问题 6.3 扭转超静定问题 6.4 简单超静定梁
材料力学
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2
6.1 超静定问题及其解法
1. 超静定的概念
静定结构：
约束反力（轴 力）可由静力 平衡方程求得
材料力学
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3
超静定结构：约束反力不能由平衡方程求得 结构的强度和刚度均得到提高 超静定度（次）数：
B
4.作FS、M图
极值弯矩位置：
3 x0 : 8
FS
B FBy x0 3 ql 8
3 x0 l 8
极值弯矩：
1 ql 8
2
1 2 M M 0 FBy x0 qx0 2 2 3 3 1 3 9 ql l q l ql 2 8 8 2 8 128
6
两个未知量，一个静平衡方程，光由平衡方
程无法求解，这种问题称为超静定问题。需寻找 补充方程方能求解。
(2) 建立变形协调方程
A ②
E1A1
根据约束对变形的限制可 知，杆的总伸长不变，即可给 出变形协调方程：
l l1 l2 0
l1
C
① E2A2 l2
B
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7
lR lT
⑶物理方程
b
α — 线膨胀系数, 1/℃
lT T l , Rl lR EA
由(b)、(c)得补充方程:
c
Rl T l EA 联立(a)式得: R T EA FN
材料力学 任课教师：金晓勤
13
例: 若管道中，材料的线膨胀系数
2max
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23
6.4 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
M max
1 2 M A ql 8
27
9 ql 2 128
材料力学
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5.讨论
设MA为多余约束力
q A l B
列变形几何方程
A Aq AM 0
A
q MA A
B
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
1 2 M A ql 8
约束反力多于独立 平衡方程的数
独立平衡方程数：
平面任意力系： 3个平衡方程
平面共点力系： 2个平衡方程 平面平行力系：2个平衡方程 共线力系：1个平衡方程
材料力学
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4
6.2 拉压超静定问题
例: 图示构件是由横截面
面积和材料都不相同的 两部分所组成的，在C截 面处受 P 力作用。试求杆 两端的约束反力。
(3) 建立补充方程
FN 1 RA FN 2 RB FN 1l1 l1
RA A P
FN 2l2 l2 E2 A2
E1 A1
C
RAl1 RB l2 0 E1 A1 E2 A2
—— 补充方程
B RB
材料力学
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8
(4) 联立求解
的横截面上的最大切应力。
φ
1
φ
φ1 φ2
2
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20
解: 内管2受外力偶T后两端发生相对扭转角φ。
Tl GI P 2
φ φ1 φ2
当撤除外力偶T后内管2由于弹性 恢复，φ减小为φ2，并使外管1产生φ1， 变形几何条件为：
1 2
此时，在两管的横截面上必将产生等值反向的扭 矩，T1=T2，两管的相对扭转角分别为：
材料力学
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19
例: 两根长度为l的钢制圆管松套在一起，外管1的 外 径 D1=100mm ， 内 径 d1=90mm ； 内 管 2 的 外 径 D2=90mm ，内径 d2=80mm ( 如图所示 ) 。在内管两端加 以外力偶 T=2kN·m ，内管发生扭转变形，此时将两管
的两端焊接为一个组合管。试求撤除外力偶T后组合管
qL3 A 24 EI z
挠度： 3、8、48、5384
转角： 2、6、16、24
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25
例：试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
解： 一次超静定
1.取静定基
q A l B
设FBy为多余约束力
2.求FBy 列变形几何方程 yB yBq yBFBy 0 查表
4
q
材料力学 任课教师：金晓勤
22
4 4 D d 1 1 T
φ φ1 φ2
1max
T1 1.165 106 17.3MPa 4 Wt1 90 3 100 1 16 100 T2 1.165 106 21.7 MPa 4 Wt 2 80 3 90 1 16 90
16
联立(a)式得:
FN 1 FN 3
FN 2
E2 A2 l E2 A2 2 cos 1 3 2 E A cos 1 1 E2 A2 1 E2 A2 l 1 2 E1 A1 cos3 1
(压)
（拉）
⑴内力(或约束力)的分配不仅与外载荷有关,还与杆件的刚度有关; ⑵超静定结构会引起温度应力和装配应力。
7-6
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A
P B L q
PL wB 3EI z qL wB 8EI z PL wC 48EI z
3
4
3
PL2 B 2 EI z qL3 B 6 EI z PL2 A 16 EI z
A
B
L P
A
L/2
C
B
L/2
B L/2
q A
L/2
C
5qL4 wC 384 EI z
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3. 温度应力和装配应力
1）. 温度应力
由于温度变化会引起物体的膨 胀和压缩.对于超静定结构,其胀 缩变形受到约束会产生内应力, 称为温度应力。
设温度上升ΔT,则A、B端 分别有约束力RA , RB
⑴静力平衡方程
RA RB R
a
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⑵变形协调方程
A B FBy q
A
B yBq
BFBy
ql y y Bq , y BFBy A B 8 EI 3 EI F 代入上式，解得 3 FBy ql 8 材料力学 任课教师：金晓勤
By
FBy l 3
26
q
3.求静定基的支反力
5 1 2 FAy ql， M A ql 8 8