《材料力学》第6章-简单超静定问题-习题解
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第六章 简单超静定问题 习题解
[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图
解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：
B BD R N = F R N B CD += F R N B A
C 3+=
变形谐调条件为：
0=∆l
02=⋅+⋅+⋅EA a
N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N
03)(2=++++F R F R R B B B
45F
R B -
=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F
N BD
-= 445F F F N CD -=+-=
4
7345F
F F N AC
=
+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积
分别为21100mm A =，2
2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X
030cos 30cos 01032=-+-N N N
0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)
∑=0Y
030sin 30sin 0103=-+F N N
2013=+N N (2)
变形谐调条件：
设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：
00130cos 30sin x y l δδ+=∆
x l δ=∆2
00330cos 30sin x y l δδ-=∆
03130cos 2x l l δ=∆-∆
2313l l l ∆=∆-∆
设l l l ==31，则l l 2
32=
2
23
31123
3EA l N EA l
N EA l N ⋅
⋅=- 2
2
331123A N A N A N =- 150
23200100231⨯=-N N N
23122N N N =-
21322N N N -= (3)
(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
[习题6-3] 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F 作用在A 点，试求这四根支柱各受多少力。
解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。分别用4321,,,N N N N 表示。 由其平衡条件可列三个方程：
0=∑Z
04321=-+++F N N N N F N N N N =+++4321 (1)
0=∑x
M
02
22242=-⋅
a N a N 42N N = (2)
0=∑y
M
02
22231=⋅-⋅+⋅
a N e F a N a
Fe
N N 231-
=- (3)
由变形协调条件建立补充方程
EA
N EA l N EA l N 2
312=+
2312N N N =+。。。。。。。。。。（4）
(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得：
4
42F N N =
= F a e N )241(1-=
F a
e N )241(3+=
[习题6-4] 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如所示。如已知kN F 50=，两根钢杆的横截面面积2
1000mm A =，
试求两杆的轴力和应力。
解：以AB 杆为研究对象，则：
0=∑A
M
0350221=⨯-⋅+⋅a a N a N 150221=+N N (1)
变形协调条件：
122l l ∆=∆
EA
l
N EA l N 122= 122N N = (2)
(1)、(2)联立，解得：
kN N 301= kN N 602=
MPa mm N
A N 301000300002
11===σ MPa mm N
A N 601000600002
22===
σ
[习题6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。已知钢杆BD 和CE 的横截面面积2
2200mm A =和2
1400mm A =，钢杆的许用应力
MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。
解：以AB 杆为研究对象，则：
0=∑A
M
02
3
)330(3121=⨯
⨯-⨯+⨯N N 135321=+N N (1)
变形协调条件：
3
1
21=∆∆l l 123l l ∆=∆
1
12238.1EA l
N EA l N ⨯=⋅
400
32008.11
2N N =⋅ 212.1N N = (2)
(1)、（2）联立，解得：
kN N 571.381=（压）；kN N 143.322=（拉）
故可记作：kN N 571.381-=；kN N 143.322= 强度校核： MPa MPa mm
N
A N 170][4275.9640038571||
||2111=<===σσ，符合强度条件。 MPa MPa mm N A N 170][715.160200321432
122=<===σσ，符合强度条件。