材料力学——6简单的超静定问题
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材料力学 简单的超静定问题
l1 F N 1l1 E 1 A1
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
第6章超静定问题
T =7 kN.m d1=0.1 m
2m
A
1m
B
1m
C 2m d2
材料力学电子教案
例 7 答案 解：联立三式求出 FN ,即可得结果：
∆l = FN ⋅2 8FN = π d 22 Eπd 2 E 4 ∆l 2 ⋅∆l = = d1 d1 2 T ⋅1 FN d1 ⋅2 = − GI P GI P
材料力学电子教案
对(c)图: (1) 平衡方程
A
1
a
2 C
a
3 B
l
∑F
y
= 0, F1 + F2 + F3 − F = 0
A
F
∑M
= 0, aF2 + 2aF3 = 0
F1
F2
F3
(2) 变形协调方程
∆l1 − ∆l2 = ∆l2 − ∆l3
即∆l1 − 2∆l2 + ∆l3 = 0 (3) 物理方程 F1l ∆l1 = E1 A1
(4)补充方程变为 (4)
FN1 = FN 3
EA cos 2 α E3 A3
材料力学电子教案
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1 = FN 2 =
F E3 A3 2 cos α + EA cos 2 α
FN 3
F = EA 3 1+ 2 cos α E3 A3
在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆 的刚度的比值有关，杆系中任一杆刚度的改变都将引起杆系各 轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。
F N3
α
FN2
A F
x
ΣFy = 0, FN3 + FN1 cos α + FN2 cos α − F = 0
材料力学--简单的超静定问题
第六章
简单的超静定问题
1
第六章 简单的超静定问题
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4
超静定问题及其解法 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1 超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
8
[例6-2-3] 刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材 料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量为 E， 杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷 [F]。
1
2
A
3 D
a
a
a
F
9
解：取刚性梁为研究对象，列 FN1 FN2
静力平衡方程：
MA 0:
受力图 A
a
a
FN1 a FN2 2a FN3 3a F 3a 0
(2)几何方程——变形协调方程：
(2)
A
l2 F l1
l1 l2 l3 cosa
(3)物理方程——胡克定律：
l3
F
FN1l1 E1 A1
l3
FN3l3 E3 A3
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
aa
FN1l1 FN3l3 cosa
(3)
(1)
变形协调条件：
A
位移图
l2 2l1, l3 3l1
l1
l2
即： FN2l 2 FN1l , EA EA
FN3l 3 FN1l EA EA
简单的超静定问题
1
第六章 简单的超静定问题
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4
超静定问题及其解法 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1 超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
8
[例6-2-3] 刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材 料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量为 E， 杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷 [F]。
1
2
A
3 D
a
a
a
F
9
解：取刚性梁为研究对象，列 FN1 FN2
静力平衡方程：
MA 0:
受力图 A
a
a
FN1 a FN2 2a FN3 3a F 3a 0
(2)几何方程——变形协调方程：
(2)
A
l2 F l1
l1 l2 l3 cosa
(3)物理方程——胡克定律：
l3
F
FN1l1 E1 A1
l3
FN3l3 E3 A3
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
aa
FN1l1 FN3l3 cosa
(3)
(1)
变形协调条件：
A
位移图
l2 2l1, l3 3l1
l1
l2
即： FN2l 2 FN1l , EA EA
FN3l 3 FN1l EA EA
《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解
第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。
设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+=变形谐调条件为：0=∆l02=⋅+⋅+⋅EA aN EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N03)(2=++++F R F R R B B B45FR B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45FN BD-= 445F F F N CD -=+-=47345FF F N AC=+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。
试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X030cos 30cos 01032=-+-N N N0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)∑=0Y030sin 30sin 0103=-+F N N2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：00130cos 30sin x y l δδ+=∆x l δ=∆200330cos 30sin x y l δδ-=∆03130cos 2x l l δ=∆-∆2313l l l ∆=∆-∆设l l l ==31，则l l 232=223311233EA l N EA lN EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 15023200100231⨯=-N N N23122N N N =-21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
简单的超静力问题
简单的超静定问题
20
例题 6-2
2. 取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2 为多余未知力。得基本静定系如图c。
F
3
AC
B
(c)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
21
例题 6-2
3. 由变形图（图d）可得变形相容条件为
E
(d) C Dl1 FN1
Δl1 2Δl3 Δl2 2Δl1
F
A
F
FN3
2E F 1A 1F cNo 2 3 l 1sF N E l1 3 3c A 3o s
于是可求出多余未知力FN3 。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
例2
y
q
A
C
BxA
l/2
l/2
l
8
B
超静定梁
q
A
l/2
FC
l
基本静定系统
B 补充方程为 5ql4 FCl3 0 38E4 I 48EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
1
第 6 章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
2
§6-1 超静定问题及其解法
Ⅰ. 关于超静定问题的概述
(b)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
mm×30 mm的矩形，钢的弹性
模量E=210 GPa，铜的弹性模
量E3=100 GPa。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
29
例题 6-3
解：1. 装配后有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，如 图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，
材料力学-第六章 简单的超静定问题
变形协调条件：
l1 l 3 cos
F N1
F N3
F N2
l3
l1
A
A
l2
例2.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
解: 装配后各杆变形 1杆伸长 l1 2杆缩短 l 2 变形协调条件
A
1
l1
4、联解方程
FN 1 F E3 A3 2 cos 2 E1 A 1 cos
FN 3
F E1 A 3 1 1 2 cos E3 A3
●装配应力的计算
装配应力：超静定结构中由于加工误差， 装 配产生的应力。 平衡方程：
FN 1 FN 2
1
3 2
A
l
FN 3 ( FN1 FN 2 ) cos
2、AC和BC材料相同，面积不同，外力作用在 连接界面处，在外力不变的情况下，要使AC上 轴力增加，错误的方法有（ ）。 A、 增加AC的横截面积 B、 减小BC的横截面积 C、 增加AC的长度 D、 增加BC的长度
A l1 C F B l2
3、AB为等截面杆，横截面面积为A，外力F作 用在中间，则AC和BC上应力分别（ ）。
2
l 2
B
2( l1 ) l 2
解: 分析AB
A
aF 1 2aF 2 0
F1l 物理方程 l1 EA 变形协调条件
FA
F1
F2
B
F2 l l 2 (缩短) EA
2( l1 ) l 2
4EA 2EA F1 (拉力) F2 (压力) 5l 5l
材料力学(I)第六章
N2 y N1 N2 N3
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
材料力学
5 Pa RD a RD a 6 EI 3EI 3EI
如何得到？
A D
P
B
自行完成
C D
RD
例题 6
图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为EA，
已知P、L、a。求CD杆所受的拉力。
D
a
A
C
L
2
L
B
2
P
解：变形协调条件为 wC lCD
D
a
C
FC
A
( P FC ) L wC 48EI FC L lCD EA
温度应力：
FB E t A
6 1 12 . 5 10 碳素钢线胀系数为 C0
温度应力：超静定结构中，由于温度变化，使构
件膨胀或收缩而产生的附加应力。
不容忽视！！！
路、桥、建筑物中的伸缩缝 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节
例题 11
图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离=1mm， 材料的弹性模量E=210GPa，上下两段杆的横截 面面积分别为600平方毫米和300平方毫米。试 作杆的轴力图。
C
A
FA
B
L2
FC
FA FB FC qL 0
L2
M
A
0
FB
变形协调方程
L qL2 FC FB L 0 2 2
3 FB qL 16
FA 3 qL 16
C q C FC 0
7.5kNm
5qL4 FC L3 5 0 FC qL 8 384 EI Z 48EI Z
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在 工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
●超静定问题的解法：
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M
(x)
X
1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
l 2
B
l 0
M
(x)M EI
( x)dx
0
如果B处支撑为弹簧 （弹簧系数K） ？
例 P
A
l
l
2
2
BA
P
B
l
l
2
2
X1
解
M
(x)
X1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
静定基
l 2
x
B
l 0
M (x)M EI
(x)dx
X1 K
求解 线性方程
未知力
以一例说明解法
q
12 3
X1 X2 X3
• 静定基（含未知数）
1 0, 2 0, 3 0
• 位移协调条件
建立方程的过程
以1为例说明
X1 X2 X3
1
M (x)M1(x) dx EI
(M X1 M X2 M X3 M q )M1(x) dx EI
M X1M1 dx M X2 M1(x) dx M X3 M1(x) dx M qM1(x) dx
A
P0 =1 B
M (x) x
解： 协调条件——D截面转
角为零
A
静定基
D
/2
0
M
( )M
EI
()Rd
0
DX
P 2
二、装配应力
1、静定问题无装配应力
B
C
2、静不定问题存在装配应力
1
2
A
下图，3号杆的尺寸误差为，
求各杆的装配内力
解：（1）平衡方程
B
3D C
1 2
Fx FN1 sin FN 2 sin 0 Fy FN1 cos FN 2 cos FN3 0
A1
A
（2）变形方程
( L3) cos L1
FN3
FN1 FN2
A1
L3 A1
L1
L2
A
（3） 本构方程
( FN 3L3 ) cos FN1L1
E3 A3
E1 A1
（4）联立求解
FN 1
FN 2
L3
1
E1A1 cos2 2 cos3 E1A1 /
E3 A3
FN 3
L3
1
2E1A1 cos3 2 cos3 E1A1 / E3 A3
三 、温度应力
B
C
1、静定问题无温度应力。
1
2
A
2、静不定问题存在温度应力。
下图，1、2号杆的尺寸及材
B
D
C
3
1 2
A
L2 L3
L1
A1
料都相同，当结构温度由T1变到 T2时,求各杆的温度内力（各杆线
膨胀系数分别为i ; △T= T2 -T1)
解：
（1）平衡方程
B
D
C
Fx FN1 sin FN2 sin 0
BA 0
③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程：
BA
0L
T GIP
dx
02
mA 20x GIP
dx
2mA 40 GIP
0
mA 20 N m
④ 由平衡方程和补充方程得：
mB 20 N m
另:此题可由对称性直接求得结果。
A EI L
y MA
A L
A L
=
q0 Bx
§6-4 简单超静定梁
1、处理方法：变形协调方程、物理
利用协调条件：
11X1 12 X 2 13 X 3 1q 21X1 22 X 2 23X 3 2q 31X1 32 X 2 33X 3 3q
协调方程的矩阵形式 （力法正则方程）
11 21 31
12 22 32
132333
X1 X2 X3
1q 2q 3q
影响系数 ij (i 1,2,3; j 1,2,3)
FN 1
FN 2
E1A1P cos2 2E1A1 cos3 E3 A3
;
FN 3
2E1 A1
E3 A3P
cos3
E3 A3
解法二——混合法：a、由几何和物理方程消除FN1和FN2； b、解3个方程（含1个力未知量，2个位移未知量）
3、超静定问题的解法
（1）静力平衡方程——力学——原有基地 （2）变形协调方程——几何——新开方向 （3）材料本构方程——物理——构筑桥梁 （4）方程联立求解——代数——综合把握
问题. 超静定次数 = 未知量的总数－平衡方程的个数
例:
q 12 3
如何求解？
1. 超静定问题
2. 变形方程补充--------几何相容条件（不允许一 部分脱离另一部分，也不允许一部分嵌入另 一部分）
3. 物理方程在静力平衡与变形协调之间架桥
§6.2 拉压超静定问题及其解法Statically Indeterminate
EI
EI
EI
EI
X1
M1M EI
1
dx
X
2
M2M EI
1
dx
X
3
M3M1 dx EI
M qM1 dx EI
11X1 12 X 2 13X 3 1q
1 11X1 12 X 2 13 X 3 1q
2 21X1 22 X 2 23X3 2q 3 31X1 32 X 2 33X3 3q
一、超静定问题及其处理方法
B
CB
D
C
1 2
3
1、问题的提出
1 2
两杆桁架变成
A
A
三杆桁架，缺一个
P
P
方程，无法求解
Fx 0, FN1 sin FN 2 sin 0
Fy 0, FN1 cos FN 2 cos FN3 P 0
三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为 静不定（ Static indeterminate ）——静力不能确定
B
变形等）
§6-5 用力法求解超静定系统、力法正则方程 （Canonical Equations of Force Method)
• 思想是十分简单易懂的
解除
1
结构静定化
杆件或支座
静定基（不唯一，以 方便为准）
2 在未知力处
建立
变形协调条件
3 变形条件 4 力法方程
借助 补充方程（力法） Mohr积分
在Xj处施加单位力，在Xi点处Xi方向的位移
ij ji
（位移互等定理）
q
1L
L3
A
B
11 EI 0 M(x1 ) M(x1 )dx 3EI
q
A
B
静定基
X1
M(x1
)
1 2
qx
2 1
B A
X1
A
M(x1 ) x1
X1 X1 =1
1L
1P EI 0 M(x1 ) M(x1 )dx1
解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
[例]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，
试求固端反力偶。
解：①杆的受力图如图示，
这是一次超静定问题。
平衡方程为：
mA 2m mB 0
②几何方程——变形协调方程
B
D
C (2)变形协调方程——几何
3
1 2
A
L1 L3 cos
(3) 本构方程——物理
L1
FN1L1 E1 A1
L3
FN 3L3 E3 A3
L2 L3
L1
（4）联立求解——代数
解法一——力法：a、由几何和物理方程消除位移
FN1L1 FN 3L3 cos
A1
E1 A1
E3 A3
b、此方程与平衡方程是3个方程（含3个力未知量），解得
1 EI
L 0
1 2
qx 12
x1dx 1
qL4 8EI
11X1 1P 0
L3
qL4
3EI X1 8EI 0
3qL X1 8
例 A
P B
l
l
2
2
解: 1. 判定超静定度数 2. 释放多余约束, 构造静定基 3. 补充协调方程
P
A
l
l
B A
2
2
X1
x
静定基
P0 =1 B
M (x) x
T3L3) cos
B
D
C
联立求解得
3
1
2
FN 1
FN 2
E1A1(1 3 cos2 )T 1 2 cos3 E1A1 / E3 A3
A
L2 L3
L1
FN 3
2E1A1(1 3 cos2 )T cos 1 2 cos3 E1A1 / E3 A3
A1
a
例 阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固
FN1a EA1
FN 2a EA2
由变形和本构方程消除位移未知量
2T FN1 FN 2
EA1 EA2
（4）联立求解得
FN1 FN 2 33.3kN
（5）温度应力
1
FN1 A1
66.7MPa
2
FN 2 A2
33.3MPa
§6–3 扭转超静定问题
解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得；
q0