M06简单的超静定问题
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第6章简单的超静定问题
T1l 1 GI P1 T2l 2 GI P 2
材料力学 任课教师：金晓勤
21
φ
代入变形几何条件得：
φ1 φ2
T1l T1l Tl GI P1 GI P 2 GI P 2
I P1T 32 T1 T2 I P1 I P 2 D 4 d 4 D 4 d 4 1 1 2 2 32 32 1004 904 2 1.165kNm 4 4 4 4 100 90 90 80
代入数据，得
FW 0.717 F Fst 0.283F
根据角钢许用应力，确定F
F
st
0.283F st Ast
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
0.717 F W W AW
许可载荷
F 1046kN
250 250
F 698kN
材料力学
将平衡方程与补充方程联立，求解，可得：
RA RB P RAl1 RB l2 E A E A 0 2 2 1 1
P RA E2 A2l1 1 E1 A1l2
P RB E1 A1l2 1 E2 A2l1
材料力学 任课教师：金晓勤
9
例题 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst 变形协调关系: l st l w （1）
b
⑶物理方程
FN 1l1 FN 1l l1 E1 A1 E1 A1 cos FN 2l2 FN 2l l2 E2 A2 E2 A2
材料力学 任课教师：金晓勤
21
φ
代入变形几何条件得：
φ1 φ2
T1l T1l Tl GI P1 GI P 2 GI P 2
I P1T 32 T1 T2 I P1 I P 2 D 4 d 4 D 4 d 4 1 1 2 2 32 32 1004 904 2 1.165kNm 4 4 4 4 100 90 90 80
代入数据，得
FW 0.717 F Fst 0.283F
根据角钢许用应力，确定F
F
st
0.283F st Ast
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
0.717 F W W AW
许可载荷
F 1046kN
250 250
F 698kN
材料力学
将平衡方程与补充方程联立，求解，可得：
RA RB P RAl1 RB l2 E A E A 0 2 2 1 1
P RA E2 A2l1 1 E1 A1l2
P RB E1 A1l2 1 E2 A2l1
材料力学 任课教师：金晓勤
9
例题 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst 变形协调关系: l st l w （1）
b
⑶物理方程
FN 1l1 FN 1l l1 E1 A1 E1 A1 cos FN 2l2 FN 2l l2 E2 A2 E2 A2
简单的超静定问题 超静定问题及其解法
( wB ) FBy
C C F F
8FBy a 3 3EI
(b) (b)
B B
所以
3 14 Fa 3 8FBy a 0 3EI 3EI
MA
MA MA
A A
B B (c) (c) B B B (d) (d) FBy FBy
FA y
A A A
C C
7 FBy F 4
4）由整体平衡条件求其他约束反力
第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法
§6-2 拉压超静定问题
§6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
§6-1 超静定问题及其解法
超静定问题与超静定结构：未知力个数多于独立 的平衡方程数。 超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差。 变形几何相容方程：有多余约束的存在，杆件（或 结构）的变形受到多于静定结构的附加限制。根据 变形的几何相容条件，建立附加的方程。
7-6
目录
采用超静定结构
MA MA FA y FA y
A A 2a 2a (a) (a) A A
B B a a
F F
C C
例 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。 解：
1）判定超静定次数
(b) (b)
B B F F FBy FBy B B B
C C
2）解除多余约束，建立相当系统 3）进行变形比较，列出变形协调 条件
FN1 FN 2 33.3kN
FN 2 2 33.3MPa A2
FN 1 1 66.7MPa A1
例：设温度变化为t，1、2杆的膨胀系数为1， 3杆
的膨胀系数为3，由温差引起的变形为l= •t •l,
求各杆温度应力。
简单超静定问题
05
案例分析
案例一：简支梁的超静定问题
总结词
简支梁的超静定问题通常涉及到梁的弯曲变形和剪切变形，需要利用材料力学和弹性力学的基本原理进行分析。
详细描述
简支梁的超静定问题是指具有简支边界条件的梁在受到外力作用时发生的弯曲变形和剪切变形。这类问题需要考 虑梁的弯曲刚度和剪切刚度，通过建立力和位移的关系来求解。在分析过程中，需要利用材料力学和弹性力学的 基本原理，如弯曲理论、剪切理论等，来推导梁的位移和内力分布。
机械系统的超静定问题
机械系统的超静定问题主要涉及到复杂机械装置和设备，如多自由度机构、柔性 机构和机器人等。这些机构的运动学和动力学特性需要采用超静定分析方法来准 确描述。
超静定问题在机械设计中具有重要意义，通过对机械系统的超静定分析，可以更 好地了解机构的运动性能、动态响应和稳定性等，有助于优化设计并提高机械设 备的性能和可靠性。
超静定问题在桥梁设计中具有重要意义，因为它们能够提供 更精确的结构内力和变形分析，有助于优化设计并提高结构 的安全性和稳定性。
建筑物的超静定问题
建筑物的超静定问题主要涉及到高层建筑、大跨度结构和 复杂结构体系等。这些结构的几何非线性和材料非线性使 得传统的静力分析方法无法得到准确的结果。
超静定问题在建筑设计中同样重要，通过对建筑物的超静 定分析，可以更好地了解结构的动力响应、地震作用和风 荷载等，从而优化设计方案，提高建筑物的安全性和稳定 性。
02
03
解析法
通过建立系统的平衡方程 和多余约束力的方程，求 解未知数的方法。
试算法
通过尝试不同的解法，逐 步逼近最优解的方法。
迭代法
通过不断迭代修正解的方 法，直到满足精度要求为 止。
03
工程力学-简单的超静定问题
工程力学
第十章 简单超静定问题
例10.7 如图10.14所示 结构，在梁BCD受载荷作用 以前，拉杆AB内没有内力。已知梁和拉杆用同种材 料制成，材料的弹性模量为E，梁横截面的惯性矩 为I，拉杆的横截面积为A。试求拉杆的内力。
（a）
（b）
（c）
工程力学
第十章 简单超静定问题
解：梁BCD除受C处的固定铰约束和D处的活动铰约束，还 在B处受拉杆AB的约束，故为一次超静定梁。在此设拉杆
工程力学
第十章 简单超静定问题
又如细长悬臂梁，为了减小其最大弯矩和最大挠度，通 常在自由端增加一个支座，如图10.2所示。这也构成了 超静定问题
（a） 图10.2
（b）
工程力学
第十章 简单超静定问题
3. 求解方法
只有独立方程的个数与未知力的个数相等，才能 求出全部未知力，所以对于超静定问题，必须寻 找补充的方程。
图10.10
工程力学
第十章 简单超静定问题
解：设内轴承担的扭转力偶矩为 M 1 外轴承担的扭转力偶矩为 M 2 则可首先列出静力学方程：
M1 M2 Me
（a）
由于内、外轴紧密地粘和在一起，因此当该组合轴在扭
转力偶矩作用下发生扭转变形时，内轴左右两端截面的
相对扭转角与外轴左右两端截面的相对扭转角大小相同、
FN1 FN2 F 0
（a）
， 由于实心圆杆和套筒在两刚性板之间，所以二者的变形量 是相等的，可得补充方程：
l1 l2
l1
FN1l E1 A1
（b）
l2
FN 2 l E2 A2
（c）
工程力学
第十章 简单超静定问题
把（d）代入（c）可得：
FN1 FN2 E1 A1 E2 A2
第六章简单的超静定问题
例1 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和 木材的许用应力分别为[]1=160M Fa和[]2=12MFa，弹性模
量分别为E1=200GFa 和 E2 =10GFa；求许可载荷P。 P 解：平衡方程: y Y 4F F P 0
N1
N2
4FN1
FN2
几何方程
2 FN1 FN3
X F
Y F
FN2
N1
N1
sin FN 2 sin 0
A P
cos FN 2 cos FN 3 P 0
A P
B 3
D
1
A
2
C 几何方程——变形协调方程： L1 L3 cos
物理方程——弹性定律：
L1 FN 1 L1 E1 A1 L3 FN 3 L3 E3 A3
(a)
Tb Ta
(b)
解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 ── 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程
Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。
2. 位移相容条件为
Ba Bb
Tb Ta
(b)
3. 利用物理关系得补充方程为
Ga I pa Tal Tbl ，即 Ta Tb Ga I pa Gb I pb Gb I pb
P1 A11 / 0.07 308.6 160/ 0.07 705.4kN
FN 2 0.72P A2 2
P2 A2 2 / 0.72 2502 12 / 0.72 1042kN
求结构的许可载荷： 方法2:
1 L1 / E1 0.8mm 2 L 2 / E2 1.2mm
第六章简单的超静定问题
全部未知力，这类问题为超静定问题或静不定
问题。相应结构称超静定结构或静不定结构。
超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之 差，也等于多余约束数。
多余约束：在结构上加上的一个或几个约束，
对于维持平衡来说是不必要的约束称多余约束。
对应的约束力称多余约束反力。
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变 形，在工程上应用非常广泛。
FN 3 ( FN 1 FN 2 ) cos
1
3 2
A
l
变形协调条件：
l3 l1
cos
F N1
F N3
F N2
l3
l1
l2
A
A
例2.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
基本静定系：解除多余约束代之于未知力后的 结构。 超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之
差，也等于多余约束数。
●超静定问题的解法：综合考虑变形的几何相
容条件、物理关系和静力学平衡条件。 解超静定问题必须找出求解所有未知约束反 力所缺少的补充方程。 关键：变形协调条件（几何相容条件）
二、拉压超静定问题
拉压变形时的胡克定律
l
FN l EA
综合考虑变形的协调条件、胡克定律和静力 学平衡条件求解拉压超静定问题。
例1.已知:1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚
度为E3A3,F，求各杆内力。 解: 1、分析A结点 一次超静定问题。
FN1 FN3 FN2
1 3
A
2
l
F x 0,
FN 1 FN 2
简单的超静定问题
第六章简单的超静定问题知识要点1．超静定问题的概念（1）静定问题结构或结构的约束反力或内力均能通过静力学平衡方程求解的问题。
（2）超静定问题结构或构件的约束反力或内力不能仅凭静力学平衡方程全部求解的问题。
（3）超静定次数未知力(约束反力或内力)数超过独立的静力平衡方程书的数目。
（4）多余约束力超静定问题中，多余维持静力平衡所必需的约束（支座或杆件）。
（5）多余未知力与多余（支座或杆件）相应的支座反力或内力。
（6）基本静定系在求解静定结构时，解除多余约束，并代之以多余未知力，从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构，称之为原超静定结构的基本体静定系。
2．静不定问题的解题步骤（1） 静力平衡条件——利用静力学平衡条件，列出平衡方程。
（2） 变形相容条件——根据结构或杆间变形后应保持连续的变形相容条件，作出位移图，由位移图的几何关系列出变形间的关系方程。
（3） 物理关系——应用胡克定律列出力与变形间的关系方程。
（4） 将物理关系代入变形相容条件，得补充方程 。
补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。
习题详解6-1 试作题6-1图（a ）所示等直杆的轴力图。
解 解除题6-1图（a ）所示等直杆的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-1图（b ）所示。
由静力学平衡条件,03,0=-+=∑F F F FB A Y和变形协调条件0=∆+∆+∆DB CD AC 并将()EAa F EA a F F EA a F B DB A CD A AC -=∆-=∆=∆,22,代入式②，可得 联立式①，③，解得45,47F F F F B A == 轴力如图6-1图（c ）所示6-2 题6-2图（a ）所示支架承受荷载F=10 kN,1,2,3各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为232221200,150,100mm A mm A mm A ===。
试求各杆的轴力。
[工学]第六章简单的超静定问题
![[工学]第六章简单的超静定问题](https://img.taocdn.com/s3/m/0639a72708a1284ac95043cb.png)
(4) 由静力平衡方程和补充 方程联立解 N1 和 N2
2N2+N1-P=0
N1
P 5
N
2
2P 5
1
a
2a
2
A
C
B
P
N1
N2
P
N
(5) 由强度条件求 Pmax 强度条件为
N1 P 5 [σ ] AA N 2 2P 5 [σ ] AA
由
N2 2P 5 [σ ] AA
求得 P=50KN
1
a
A1A2 装配后 3 杆的伸长 B1B2 装配后杆 1 的缩短 C1C2 装配后 2 杆的缩短
B
D
C
l
1
3
2
A
1
3
2
A
C2 C1
A1 B2
A2
B1
N1 N3 N2 A
N1，N2，N3 为各杆的装配内力
A1 A2
N3l EA
l
B1 B2
C1 C 2
N1 cos EA
1
3
2
B
D
C
l
1
3
2
l 2
B
lT
B
l N B
P2 B
补充方程是：
N l T l EA
温度内力为：
N EA T
温度应力为： σ N E T A
A
l
A
A
P1
B
lT
B
l N B
P2 B
例题：桁架由三根抗拉压刚度均为 EA 的杆在 A 点绞接， 试求由于温度升高 T 而引起的温度应力。材料的线膨胀系 数为。
2a
2
A
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F
y
0
FB FA 0
(a)
l
FA FB 得 （2）列变形协调条件 lF
FA l lF EA
B
(b)
lF
B
FB
（3）列物理条件（胡克定律）
(c )
横截面应力为：
FA E A l
（4）建立补充方程，解出约束反力
FA l EA
EA FA FB l
变形协调条件为：
m
(1)
A
AB AC CB 0
即：
a
C
b
B
mA
(2)
A
m
C
mB
B
mA a mB b 0 GI p GI p
由(1)、(2)得：
b mA m ab
a mB m ab
§6.4
简单超静定梁
关于超静定梁的基本概念 静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数
C
0 FC FN
FA
B
FN FN
a
M
a 0 0 M C FN
3 得： FC qa 16 3 2 得：M C qa 16
C
MC
FC
例6 图示结构，悬臂梁 AB 与简支梁 DG 均用 No18 工字钢制成， BC 为圆截面钢杆，直径 d=20mm ，梁与杆的均弹性模量均为 E=200GPa 。如载荷 F=30kN ，试计算梁内的最大弯曲正应力与 杆内的最大正应力，以及横截面C的铅垂位移。
C
A
D
B
A
FN 2 FAx A
FAy
D
FP N1
B
FN1
FN2
FN3
C
C
P B
P
D P
三个未知力，只有两个平衡方程。
一次超静定。
四个未知力，只有三个平衡方程。 一次超静定。
例1
已知：P， A ，E 。 求：AB两端的约束力。
y A
(a)
A
2a
FA
（1）列平衡方程 解：
F
y
0
FA FB P 0
67 MPa(压)
这就是装配应力
§6.3 扭转超静定问题
扭转超静定问题的解法，同拉压超静定问题 的解法相同，同样是综合考虑静力、几何、物理 关系三个方面
例4 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用， 试求:杆两端支座的约束力偶矩。 解：静力平衡方程为：
mA mB m 0
得：
2
7
7
8
N 9.86kN
因此，杆最大正应力
N 9.86 10 3 max 31.3MPa A ( 0.02 )2 4 DG梁C处弯矩最大，梁的 抗弯截面系数为185cm3
max
M max (30 9.86) 103 4 W 4 185 10 6 108.9 MPa
2FA FB
由(a)和（d）联立可得：
FA
P
，F B
2P
装配应力和温度应力
温度应力：在超静定结构中，由于温度变化而引 起的构件内的附加应力。 装配应力：在超静定结构中，由于杆件制造长度不 精确而在安装过程中引起的构件内的附加应力。
注意：
温度应力、装配应力均产生于超静定结构中。
例 2 已知：l=1.5m， A =20cm2 E =200GPa, ΔT=40oC 12.5 106 / C 求：杆横截面上的应力。
MA
q l FAy FBx
FAx
FAx ＝FBx
FBy
应用对称性分析可以推知某些未知量：
MA
q B
MB
FAx
A
FAy
l
FBy
FBx
FAx= FBx= 0 , FAy= FBy= q l / 2 , MA=MB
平衡方程:
FAx=0 FAy+FBy - ql=0
MA+FByl-ql/2=0
变形协调方程：
等于独立的平衡方程数
超静定问题与超静定结构——未知力个数多于独立
的平衡方程数
超静定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差 多余约束——保持结构静定之外多余的约束
解超静定梁的一般步骤
（1）确定超静定次数。 （2）选定便于计算的基本静定梁（相当系统）。 （3）把解除的多余约束用未知的约束力来代替。
（4）变形比较：基本静定梁与原超静定梁在多余约 束力作用处、沿约束力方向的变形进行比较，建立变 形协调方程。 （5）求出多余约束力。然后可以进行和静定梁完全 相同的强度、刚度计算。
q B A
MA
l q l
MB
A或 B 0
A A q A M A A M B 0
例5
试求图示梁的约束力。设抗弯刚度EI为常数。
q
A B
C
解： 把结构分为两部分来求解。由于
a
a
q
A B
轴力很小，可以忽略不计。 对左半部，查表，并利用叠加 原理可得B点挠度：
求解超静定问题的基本方法——平衡、变形几何、 物理关系。现在的物理关系体现为力与变形关系。
超静定系统的相当系统——用多余约束力代替多余 约束，所得到的一个形式上的静定结构。
一般超静定问题的解法
（1）画受力图，列平衡方程，确定超静定次数。 （2）根据约束条件，作位移变形图，找出变形协调条件。 （3）将力与变形的物理关系（胡克定律）代入变形协调条 件，得到补充方程。
wB=wB(q)+wB(FBy)=0
物理关系：
wB(q)=ql4/8EI wB(FBy)= - FByl 3 /3EI
结果：由平衡方程、变形 =5ql /8 ,
2/8 M = ql FBy =3ql /8 , A
静定系统的选取与变形协调条件的建立
q B A l
（4）联立平衡方程和补充方程，求出未知的约束力和内力。
变形协调条件
超静定系统的变形是系统的，而不是单个的某一个杆 件的变形，故为了维护其系统性，组成系统的各个构件的 变形应该是统一的，协调的。 由协调的变形条件可列出补充方程，谓之变形协调条件。
找出变形协调条件是解决超静定问题的关键。
§6.2 拉压超静定问题
代入数据得：
wC 1.21102 4.02 107 N
BC杆的伸长：
N 1.4 EA 1.4 N 200 10 9
4
2.23 10 8 N
( 0.02 )2
由变形协调条件：
wC wB Δ
1.2110 4.02 10 N 8.03 10 N 2.23 10 N
只有一个平衡方程，一次静不定 （2）列变形协调条件
C
P
(b)
a
C C
l
P
FB
l AC lBC l
l AC FA 2a EA
B
B
（3）列物理条件（胡克定律）
l AC
FB a EA
(d )
(c )
（4）建立补充方程，解出约束反力
FA 2a FB a EA EA
解： 把结构分成三部分。
根据作用力与反作用力原理，N BC
NCB NCB N N BC
4 5 4 I 1660 cm 1 . 66 10 m 查表：No18工字钢，
N 23 8 N B处的挠度： wB 代入数据得：wB 8.03 107 N 3EI 3EI C处的挠度： ( F N ) 43 4( F N ) wC 48EI 3EI
第六章简单的超静定问题
§6.1 超静定问题及其解法
基本概念 多余约束 多余未知力 超静定次数 在超静定问题中，存在的多于维持系 统平衡所必需的支座或杆件。 与多于约束相对应的支座约束力或内力。 未知量数目与独立平衡方程数之差。
静定与超静定的辩证关系——多余约束的两种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束， 前者使问题变为不可解，后者使问题变为可解。
MA
q B A FAy l
MB
FAx
FBx FBy
ql B B q B B M B 0 2 ql w B w B q w B w B M B 0 2
静定系统的选取与变形协调条件的建立
qa 4 FN a 3 wB1 8EI 3EI
a
FN
FN
B
对右半部，查表，可得B点挠度： a 3 FN a 3 FN wB 2 3EI 3EI 由于左右两部分是连接在一起的， C 所以它们在B点的挠度相等，即：
a
wB1 wB 2
得：
qa 4 FN a3 FN a 3 所以： 8EI 3EI 3EI
（4）建立补充方程，解出约束反力
FA l l T EA
100 MPa(压)
FA FB T EA 这就是温度应力
例 3 已知：l=1.5m， A =20cm2 E =200GPa, δ=0.5mm 求：杆横截面上的应力。 解： （1）列平衡方程
A
A
FA
A
A
FA
T
l
T
解： （1）列平衡方程
F
y
0
得 （2）列变形协调条件
FB FA 0 FA FB
(a)
B
B
FB
lF
lT
lF lT
FA l lF EA
(b)
横截面应力为：
(c )
（3）列物理条件（胡克定律）
lT l T