材料力学 简单静不定问题

温度应力： 由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。
温度引起的变形量 —
DL aDtL
1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。
例10-4 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A、L、E，求：当 1杆温度升高 DT 时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数 a
a
3a
1
2
A
C B
解： 解除1杆约束，使其自由膨胀；
a
3a
1
2
AB横梁最终位置在A’B ’
B'
A
C B
Dl 2
1、平衡方程:
DlT A'
A' '
M
c
0, FN1 a FN2 3a 0
Dl1
FN 2
C
B
FN 1
A
2、几何方程： DlT Dl1 Dl2 a 3a 3、物理方程： FN 2 l Dl2 , EA F L DlT aDTL, Dl1 N 1 EA
例10-2 如图所示杆系结构，设AB为刚性杆，①②杆的刚度为EA, 载荷为F,求①②杆的轴力。
① A a a
② B a F
l
1、对AB杆进行受力分析，确定静 力学平衡方程：
① A a a a F
FN1 FN2
B
② B
l
M
A
0 : FN1 a FN2 2a F 3a 0
Dl 2 2Dl1
T 3
Mx T/3
2T/3
+ － －
按照计算结果，画出扭矩图
T/3
第四节
静不定梁
工程中有许多约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁，这 种梁称为静不定梁。 求解静不定梁的方法:
1、在静定基上加上外载荷以及多余约束力，得到受力和变形 与原静不定梁完全相同的静定系统；
A
TC
TD
B
l
l
l
A
TC
TD
B
1、对轴进行受力分析，确定静力 学平衡方程：
M xA T T M xB 0
l l l
M xA M xB
2、变形几何方程
A
TC
TD
B
MxA
MxB
设B1、 B2 、B3 分别表示外力偶 和MxB引起B截面相对于A截面的扭 转角，而B截面实际相对于A截面的 扭转角为0，因此:
A F
F F
x
0
FN1 sin a FN2 sin a 0 FN1 FN2
y
0
FN1cosa FN2 cosa FN3 F 0
y
FN2 FN3 FN1
2个方程不能求3个未知量，还需要增加一个 补充wenku.baidu.com程。 通过三杆的变形及A点的位移找出变形协调 方程 补充方程
a a
B B1 B2 B3 0
3、物理方程
A TC TD B
l
A TC
l
TD
l
B
M xB 3l Tl T 2l B1 B2 B3 GI p GI p GI p
结果代入变形几何方程，可得
MxA
MxB
T 2T 3M xB 0 M xA M xB
x
F
B
D
C 2
Dl1 Dl2 DL3 cosa
FN 1 L1 F L N 3 3 cosa E1 A1 E3 A3
1
3 a a A
补充方程
Dl3
Dl2
A2
Dl1
A3
A1
FN 1 E1 A 1 cos 2 a FN 3 E3 A3
超静定结构的特征：内力按照刚度分配 能者多劳的分配原则
F
静不定次数
1． 外静不定结构 约束反力数-平衡方程数 2 ．内静不定结构 将结构切开一个或n个截面——去掉内部多余约束，使其变 成静定的，则切开截面上内力分量的总数就是静不定次数 内力分量的总数=原内部多余约束数
（1）切开一个链杆（2力杆），只有N，相当于去掉1个多 余约束。
N
P
P
N
（2）切开一个单铰，有2个内力分量：N、Q，
例
2、静不定结构的类型
工程中的超静定结构（ Statically indeterminate structure in engineering）
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以 增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?
例10-3 吊桥链条的一节由三根长l的钢杆组成，简化为如图所示的 静不定结构，若三杆的横截面积相等，材料相同，中间钢杆略短 于名义长度，且加工误差为d = l / 2000, 求各杆的装配应力。
d
① ② ③
d
① ② ③
Dl1 Dl2
FN1 FN2 FN1
当把较短的中间杆与两侧杆一同固 定于两端的刚体时，中间杆将受到 拉伸，两端杆将受到压缩，最后在 红色虚线所示位置，两杆的变形相 互协调。 设两侧杆的轴向压力FN1, 中间杆的轴向拉力为FN2
第十章 简单静不定问题
第一节 静不定结构的基本概念
结构按静力学特性可以分成静定结构和静不定结构两类。
F
FAx FAy
如图所示，求固定端的约束反力
平面任意力系，通过静力学平衡方 程可以解出全部的三个约束反力。 若在C处增加一个约束 则无法仅通过静力学平衡方程求出 全部的四个未知力。
A
MA
B a
a
F FAx FAy A MA a
加工构件时，尺寸上的一些微小误差是难以避免的。对于 静定结构，加工误差只不过是造成结构几何形状的轻微变化， 不会引起内力。但对于超静定结构，加工误差却往往要引起内 力，这与温度应力的形成是非常相似的。
F F
FF
因杆件尺寸有微小误 差而于装配后在杆件内产 生的应力称为装配应力。
1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。
Dl3 Dl2 Dl1
一般拉压静不定问题的基本步骤
1、根据静力学原理列出独立的平衡方程； 2、根据变形与约束应互相协调的要求列出变形几何方程； 3、列出物理关系，这通常是胡克定律； 4、从2、3两项得到补充方程； 5、联立求解平衡方程和补充方程，即得到问题的解答。
例10-1：图示杆系结构 l1 l2 , E1 A1 E2 A2 , E3 A3 ，求：各杆的内力。
RC
9 EA alDT 3EA alDT 6 EA alDT N1 , N2 , RC , 10 10 5
第三节
扭转静不定问题
解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
FN 2 2FN1
2、变形几何方程
Dl1 1 Dl 2 2
3、物理方程
FAx
A
Dl1
FAy
Dl2
F
FN1l Dl1 EA
FN 2 l Dl 2 EA
联立静力方程求解得到： 3 6 FN1 F FN 2 F 5 5
装配应力： 由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产
生变形而引起的应力。
[例10-5]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，
如图，若杆的内外径之比为a =0.8 ，外径 D=0.0226m ， G=80GPa，试求固端反力偶。
解：①杆的受力图如图示，
这是一次超静定问题。 平衡方程为：
mA 2m mB 0
②几何方程——变形协调方程
BA 0
2．相当系统：在基本静定系上，用相应的多余约束力代替被解 除的多余约束，并加上原载荷，则称为相当系统。 “相当”：相当系统的受力状态与原静不定结构完全相同。 3．基本静定系和相当系统的选取：不唯一。
m
（基）
m
（相）
X1
X1
P
P
P
X2
X
X3
X1
X3
X2
P X2 X3
X1
P
X1
P
X1
X2
X3
X2
X3
A1
、物理方程－变形与受力关系
FN 1 L1 FN 3 L3 cosa E1 A1 E3 A3 补 充 方 程 (3)
F
x
FN1
A
FN3 FN2
a a
、联立方程(1)、(2)、(3)可得:
FN1 FN 2 E3 A3 F E1 A1F cos2 a ; FN 3 3 2E1 A1 cos a E3 A3 2E1 A1 cos3 a E3 A3
多余约束并不“多余”，通过增加多 余约束，可提高安全度，减少变形。
B
a
2、静不定结构的类型 外力静不定结构 仅在结构外部存在多余约束，即支座反力不能全由静力 平衡方程求出。
q
q FAx
D
A
B
C
FAy
FB
FC
FD
2、静不定结构的类型 内力静不定结构 仅在结构内部存在多余约束，即结构内力不能全由静力平 衡方程求出。
B D C 2
解：、平衡方程:
1
3 a a A
X 0 F sin a F sin a 0 Y 0 F cosa F cosa F F 0
N1 N2
N1 N2 N3
(1)
(2)
、几何方程——变形协调方程：
Dl3
Dl2
A2
y
Dl1
A3
Dl1 Dl2 DL3 cosa
A F
x
变形几何关系
设AC杆长为l 得到变形协调方程
Dl1 Dl3 cosa FN1l1 FN3l3 Dl1 Dl3 E1 A1 E3 A3
D
C
B
a a
A
A1 F
A
FN3l cosa E1 A1cosa E3 A3
结合前面的静力学方程
FN1l
FN1 FN2 FN1cosa FN2 cosa FN3 F 0
Dl2
Dl3 Dl1
得到结果是
F cos a FN1 FN2 E3 A3 3 2 cos a E1 A1
2
D
C
B
a a
A
A1 F
A
F FN3 E1 A1 1 2 cos3a E3 A3
如果有若干根杆，结构是n次静不定,则总可 以找到n个补充条件，相应建立n个补充方 程(变形协调方程)。
静力平衡方程有
FN1 FN2 FN1 0 FN2 2FN1
d
FN2 2FN1
①
由图中可知
Dl1
Dl2
FN1 FN2 FN1
l Dl1 Dl 2 d ② 2000 FN1l FN 2 l ③ Dl1 Dl 2 EA EA EA FN1 FN2 2000 EA EA 上式联立静力平衡方程可求得: FN1 FN2 6000 3000 FN1 E 1 33.3MPa A 6000 FN2 E 2 66.7MPa A 3000
F1
F2
F3
A
B
2、静不定结构的类型 混合静不定结构 内、外静不定兼而有之的结构。
F1
F2
F3
A C
B
判断下列结构属于哪类超静定
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
混合超静定
（d）
外力超静定
（e）
内力超静定
（f）
混合超静定
基本静定系和相当系统
1．基本静定系：去掉原载荷，只考虑结构本身解除多余约束 后得到的静定结构，称为原结构的基本静定系。
③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程：
2mA 40 T 2 mA 20x BA dx 0 dx 0 GIP GIP GIP
L 0
mA 20 N m
④ 由平衡方程和补充方程得：
mB 20 N m
另:此题可由对称性直接求得结果。
例10-6 已知在C、D两处作用有外力偶矩T, 绘出该轴的扭矩图
辅助支撑
跟 刀 架
顶 尖
在铣床上洗削工件时，为 防止工件的移动并减小其变形 和振动，需要增加辅助支撑， 虎钳和辅助支撑构成系统
用车床加工细长轴时，经常 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 减少其变形。卡盘和辅助支撑 构成超静定系统。
第二节
拉压静不定问题
D
C
B
如图所示，求三杆的轴力 问题:
a a
A F
这个结构是静定的还是静不定的？ 如果是静不定问题，那么有静不定次数 是多少?
D
C
B
若对A点分析，可知三杆的轴力与外力F 构成平面汇交力系。 平面汇交力系的独立平衡方程数是: 2 未知力个数是 因此这个结构是 1 次静不定。 3
a a
A F
D
C
B
先对A点进行受力分析，写出2个平衡方程。
a a
Fc
C
B
a
1、静定和静不定结构
F A a
F A a
C
若结构的全部约束反力和内力都可由 静力平衡方程求得，称为静定结构。
B
a
B
a
若结构的约束反力与内力不能仅仅 根据静力平衡方程求出，称为静不 定结构或超静定结构。
1、静定和静不定结构-多余约束
F A a
F A a
C
B
a
比较上下两图，下面的图中是在上面 的图中增加了一个约束。在静定结构 上增加的约束，称为多余约束。相应 的反力称为多余约束力。
相当于去掉2个多余约束。
P
P
N
Q Q
N
（3）切开一处刚性联结，有3个内力分量N、Q、 M，相当于去掉3个 多余约束。 平面问题，多一个闭合框架，就多一3次静不定
P
P
M
Q
N
（4）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，相当于去掉1个 多余约束。
3. 静不定次数=外静不定次数+内静不定次数
=多余约束数（内外多余约束数） =多余未知量个数（约束反力和内力） =未知量个数-平衡方程数