材料力学(静不定)

2
EI
a3 a3 4a4 3EI EI 3EI
类推出其它系数。
将
11

4a4 3EI
1P


qa4 6EI
等计算量代入矩阵：
11 21 31
12 22 32
13 23 33

XX12 X3



简支梁中点有支撑并受均布载荷作用的力法分析。
一 取基本结构（去多余约束，补多余反力）
在基本结构中，C点的挠度由q及X1载荷产生。 用叠加法：
二 求C点的总变形 1）由外载荷q作用引起的沿X1方向的位移Δ1 P
符号中：第1个下脚标“1”表示该位移在X1 作用点处 沿着X1方向发生；第2个下脚标“P”表示该位移是由 实际载荷P引起的。
引例: 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠 静力平衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和 尚抬水吃，三个和尚没水吃”，恐怕是最早说到超 静定问题的例子了。
静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立 的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部 未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定 结构。 超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独 立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定 全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.
RA A
相应的结构称超静定结构或静不定结构。
超静定次数：未知力个数与平衡方程
E1 A1
1
数之差，也等于多余约束数
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于超静定结构能有效降低结构
E2 A2
的内力及变形，在工程上（如桥梁等）
P 2
应用非常广泛。
B
多余约束：在静定结构上
RB
加上的一个或几个约束，
对于维持平衡来说是不必
要的约束（但对于特定地
P A
m B
内力超静定结构
3、内、 外超静定结构
三、 拉（压）杆超静定问题的解法：
1. 比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
例1. 杆上段为铜，下段为钢杆，
上段长1, 截面积A1,弹性模量 E1 下段长2 , 截面积A2 ,弹性模量 E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
1P 2P 3P

系数矩阵已知，非齐次项已知，未知量矩阵可得：
XX12


11 21
12 22

13 23

1

1P 2P

X3 31 32 33 3P
超静定问题 力法正则方程
0
式中，y
P A
,
P A
分别表示外载荷在静定基中
X1和X2方向上产生的位移。
按照归一化要求，改写 1 P1 X 1 11 X 2 12 0 2 P2 X1 21 X 2 22 0
式中，i 为Xi 方向上的总位移； Pi 为外载荷(P)在静定基中在Xi 方向上的位移； ij 为未知反力Xj =1在静定基中 作用在Xi 方向上的位移；
二、分别计算载荷作用下的变形
三、变形计算
X1 方向的变形：
Δ1 =δ11 ×X1 ＋δ12 ×X2＋δ13 ×X3 ＋Δ1 P＝0
X2 方向的变形：
Δ2=δ21 ×X1 ＋δ22 ×X2＋δ23 ×X3 ＋Δ2 P＝0
X3 方向的变形：
Δ3=δ31 ×X1 ＋δ32 ×X2＋δ33 ×X3 ＋Δ3 P＝0
1.比较变形法 常用于结构较为简单，一些特定节点位移已知且 计算也较为简单的问题。
2. 几何法分析变形 是求解超静定杆系的基本方法，常用于各杆的变 形关系较为简单，超静定次数较低的杆系的求解。
但是，一般情况下分析变形寻找等量关系较为困难。
§11－2 用力法解静不定系统
变形比较法: 是一种求解静不定梁的直接通过几何关系建立补充 方程的方法。
有未知约束反力所缺少的补充方程。
结构变形后各部分间必须象原来一 样完整、连续、满足约束条件----即 满足变形相容条件。
13

2

例2. 结构如图，1、2杆抗拉刚度为 E1 A1,3杆为E3 A3 , 在F力作用下，
A F
求各杆内力。 解: (1) 画A结点受力图，建立平衡方程
Fx 0 : N1 N2
A
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
RB B
解：（1）选取基本静定结构（静定基如图）， B端解除多余约束，代之以约束反力 RB
（2）求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代 替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移
C

AC

F1 E1 A1
()
B
AB


RB
(
1 E1 A1

2 )( E2 A2
通过计算这些变形量，最终求解出未知约束反力。
力法可以写成标准形式的正则方程：
δ11 ×X1 +Δ1 P=0 当未知力较多时，可以写成一个线性代数方程组， 而解线性方程组的算法有很多，计算很容易。 所以：
力法适合于解未知力较多的静不定结构。
特别适合于计算机求解
参考例题：
三次静不定刚架
一、取基本结构
计算Δ1 P：
1 0
2 1 a(qa2 )
32
M
0 C
2

a
1P


2

M
0 C
2
EI
qa3(a) qa4 2*3EI 6EI
计算δ11 ：
1 1 aa
2
M
0 C1


2 3
a
2 a2
M
0 C
2

a
11


1

M
0 C1
EI


2

M
0 C
N1
N3
N2

①
A
x
F y 0 : 2N1 cos N3 F
未知力个数2个，平衡方程数1个，故为一
F
次超静定。
y
(2)如图三杆铰结，画A节点位移图, 列出变形相容条件。要注意所设的 变形性质必须和受力分析所中设定 的力的性质一致。由对称性知
1 2
1 3 cos
22

23

X
2



2P


0
31 32 33 X3 3P
11 21 31
12 22 32

13 23 33

XX12 X3


12PP 3P
1P

5qL3 384 EI
11

L3 48 EI
5qL4 384 EI

L3 48 EI

X1

0
X1


5qL 8
力法的基本思想是：
以未知约束反力X（反力偶M）为未知数建立 变形方程。
对于弹性体，变形量与外力成正比，未知力产生的 变形量，是单位力产生变形量的X（M）倍。而单位 力产生的变形量可用莫尔积分法求解。
ij=ji
例题 悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。求支反力。
解：画静定基（图a),分别画弯矩图b-d;
先在X1作用处沿X1方向假想施加一个单位力，求出仅在 该单位力作用下的变形δ11。
约束反力X1是单位力的X1 倍。
根据“弹性体的变形与力成正比”这一特点：
单位力的X1 倍的约束反力X1产生的变形 Δ1 X1也是δ11 的 X1倍。
即：Δ1 X1 = δ11 ×X1 由：Δ1 P＋Δ1 X1 =0 ∴ Δ1 P＋δ11 ×X1 =0 式中，δ11 及Δ1 P均可用单位力法求出，则X1可求得。
②
(3)代入物理关系，建立补充方程
13

2

A
2
1
3
A
1

N11 E1 A1

N1
E1 A1 cos
3

N 33 E3 A3

N3 E3 A3
③
得 : N1L N 3 L cos E1 A1 cos E3 A3
④
(4)联立①、④求解：
N1
F
2 c os
第十一章 静不定结构
能量原理在求解 超静定问题上的应用
概述
已有的基础：
什么是超静定； 求解超静定问题的基本方法； 超静定结构的性质。
现在的问题是：
怎样利用对称性和反对称性减少未知力的个数？ 能量原理如何应用: ---用于写变形协调方程，求方程中的位移量？
§11-1 超静定问题的解法
一. 静定与超静定的概念
例题 悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。
问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到 包含未知反力的静定结构，称为静定基。
利用叠加原理，分别画出外载荷（图b);
支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。
yA

y
P A

X1L3 3EI

X 2L2 2EI
0
A


P A

X1L2 2EI

X2L EI

E3 A3
E1 A1 c os2
N3
1 2
F E1 A1
c os3
E3 A3
三. 拉（压）杆超静定问题解法的讨论
1、解拉（压）超静定问题必须正确地画出结构 的变形图，
2、然后分析结构特点，找出结构变形前后的不 变量或者等量关系，
3、再用数学方法刻画它,从而给出补充方程。
观察问题的角度不同所采用的方法也会有很大差 异。同一题，不同的解法难、易、繁、简也相去 甚远。我们必须仔细分析找出最恰当的办法来。
又由于C点是绞支座，则Δ1沿X1方向的实际位移为零： Δ1 ＝０ 即： Δ1 ＝ Δ1 P＋Δ1 X1＝0 由于实际载荷P已知，故Δ1 P可用单位力法求出；
而多余约束反力X1未知，故Δ1 X1需要考虑如何计算。
三 计算Δ1 X1(X1引起的沿X1方向的位移) 直接计算Δ1 X1较困难。 可根据“弹性体的变形与力成正比”这一特点考虑。
成为三阶线性方程组： δ11 ×X1 ＋δ12 ×X2＋δ13 ×X3 ＋Δ1 P＝0 δ21 ×X1 ＋δ22 ×X2＋δ23 ×X3 ＋Δ2 P＝0 δ31 ×X1 ＋δ32 ×X2＋δ33 ×X3 ＋Δ3 P＝0
写为矩阵形式：
11 12 13 X1 1P
21
2）由多余约束反力X1作用引起的沿X1方向的位移Δ1 X1
符号中：第1个下脚标“1”表示该位移在X1 作用点处 沿着X1方向发生；第2个下脚标“X1”表示该位移是由 多余约束反力X1引起的。 Δ1 X1需要寻找新算法。 C点的总位移：Δ1 P＋Δ1 X1
若以Δ1表示基本结构在外力(q)及多余约束反力(X1) 的共同作用下C点沿X1方向的位移。 则C点的总位移： Δ1 ＝ Δ1 P＋Δ1 X1

由位移互等定理：δij＝δji
11 21
12 22

13 23

XX12


12PP

31 32 33 X3 3P
系数矩阵中只有六个独立的系数，且是关于主对角 线的对称矩阵。
先分别计算出系数矩阵及非齐次项的列向量。即可 求出未知量列向量X。
Δ1 P＋δ11 ×X1 =0 1）Δ1P（仅在外载荷作用下，中点的挠度）：
Δ1P＝5qL4/（384EI）
2）δ11 （仅在单位力作用下，中点的挠度）
单位力的方向取 与X1方向相同。
11

2
1 EI
(1 2

L 2

L)(2 43

L) 4

L3 48 EI
Δ1 P＋δ11 ×X1 =0
力法是一种直接求解未知反力的方法。 基本思想:
是以未知约束反力X（反力偶M）为未知数建立 变形方程。
基本原理： 1、对于弹性体，变形量与外力成正比 2、未知力产生的变形量，是单位力产生变形量的X
（M）倍。 3、而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解。
通过计算这些变形量，最终求解出未知约束反力。
例：
工程要求是必要的）称多
余约束。对应的约束力称
多余约束反力（B—固端
约束）
二、 超静定问题分类
根据结构及其约束的特点，超静定结构分为三类：
１、外力超静定结构－－外部约束存在多余约束。
如：
P
A
B
为一次外力超静定
２、内力超静定结构－－仅在内部存在多余约束。 如：封闭刚架在一般的横截面上有三种 内部约束力N、Q及M。
上式称为力法正则方程， ij称为柔度系数。
利用莫尔积分，正则方程中的柔度系数写为
Pi

1 EI
l
M
p
M
0 i
dx
ij

1 EI
l
M
0 i
M
0j dx
提问 ：对二次静不定问题要作几个弯矩图，用莫尔图乘
法，要作几次图乘？三次静不定问题呢?
提问 ：运用前面的知识，证明柔度系数具有对称性
RB为负值）
（3）比较两次计算的变形量，其值应
该满足变形相容条件，建立方程求解。
AC AB 0
A
E1 A1
C
E2 A2
1
F
2
RA

E1 A12 F E2 A21 E1A12
RB B
RB

E2 A21F E1A12 E2 A21)
2. 几何分析法
解超静定问题的关键是找出求解所