材料力学(静不定)
吉林大学考研材料力学题型六静不定
第 1 页/共 10 页(2000)八、水平曲拐ABC 为圆截面杆，在C 段上方有一铅垂杆DK ，发明时DK 杆短了△。
曲拐AB 和BC 段的抗扭刚度和抗弯刚度皆为GI P 和EI 。
且GI P =45EI 。
杆DK 抗拉刚度为EA ，且EA=225EIa 。
试求：（1）在AB 段杆的B 端加多大扭矩，才可使C 点刚好与D 点相接触？ （2）若C 、D 两点相接触后，用铰链将C 、D 两点连在一起，在逐渐撤除所加扭矩，求DK 杆内的轴力和固定端处A 截面上的内力。
（15分）(2001)五、已知钢架受力如图，试求: A 处的约束反力。
（12分）(2002)七、圆截面杆AB、BC的直径、材料均相同，已知：p、a，E=2.5G，且CD杆的EA=2EI/5a2，试求：CD杆的内力。
（12分）(2003)五、圆截面平面曲拐OAB与直杆CD直径、材料均相同。
已知P、L，且=0.8EI，EA=0.4EI/L2，求O端的约束反力。
（20分）GIp第3 页/共10 页(2004)三、已知平面曲拐ABC和DF梁的抗弯刚度为EI、抗扭刚度为GI和CD杆p=2EAL2。
试求CD杆的内力。
（20分）的抗拉刚度为EA，设EI=4GIP(2023年年)二、结构受力如图所示，已知平面钢架ABCD的抗弯刚度为EI，EF 杆的抗拉刚度为EA，设3EI=EAL2。
试求E、F两点的相对位移。
（20分）第5 页/共10 页(2023年年)八、已知平面钢架EI为常数，试问：若在C处下端增强一刚度为K=3EI/A3（单位：N/M）的弹性支座后，该钢架的承载能力（强度）将提高多少倍？（20分）第 7 页/共 10 页(2023年年)七、求BC 杆的内力，设2/EA EI a 。
（20分）(08.3)(2023年年)三、平面直角曲拐ABC和CD杆均为圆截面，材料相同，已知：3EI=GIp，第9 页/共10 页3EI=EAL2，试求CD杆的内力。
静定、超静定的概念与刚体系统平衡问题
物体系统的平衡静定与静不定（超静定）问题•静定与超静定（静不定）的概念对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平衡方程的数目。
则应用刚体静力学的理论,就可以求得全部未知量,这样的问题称为静定问题。
（理论力学）若未知量的数目超过独立平衡方程的数目，则单独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量,这样的问题称为静不定问题（超静定问题）。
（材料力学等）静定：未知量个数等于独立的平衡方程数；未知量的数目=独立平衡方程的数目静不定(超静定)：未知量个数大于独立的平衡方程数。
未知量的数目> 独立平衡方程的数目超静定次数：未知量个数与独立的平衡方程数之差。
当研究对象中未知约束力个数小于独立的平衡方程数时，其运动状态一般都是变化的，工程中将这样的力学系统称为机构，这种情况在工程结构设计中是应该避免的。
具有n个物体组成的平面静定物体系统：最多3n个独立平衡方程，求解3n个未知量。
超静定问题：材料力学原理建立补充方程求解。
A BPF PF PF判断各图示结构的静定性•刚体系统（物体系统）的平衡问题1. 两个或两个以上刚体用一定的方式连接起来组成的系统，称为刚体系统；2. 刚体系统整体处于平衡时，每一局部均处于平衡。
局部：组成系统的单个或几个刚体所构成的子系统。
0A M =∑0D M =∑0C M =∑0B M =∑∑=0X 0=∑Y 刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统整体平衡，一般无法求得全部未知力。
1m 1m q pF F 1A 0.5m 0.5m (a)1m1m D B C Q Ax F Ay F M A BF P1.一般解法：编程，运用计算机求解线性代数方程组。
对于每个刚体都受平面任意力系作用的刚体系统，总可以建立3n个独立的平衡方程。
如果系统是静定的，也应有相同个数的未知量，最终就归结为求解线性代数方程组的问题，利用高斯消元法等方法，总能在计算机上程式化地实现数值求解。
2.分析解法：由于许多工程实际问题并不需要求出刚体系统的所有内部和外部的约束力，而通常只需求出某一部分的约束力，因此，利用分析解法以简化运算是必要的。
材料力学课件：静不定问题分析-1
是否是原结构静力 许可场？
Page20
例2：图示桁架，各杆EA相同，求各杆轴力
a
a
4
2
a 57
8 3
1
6
解： 判断静不定度： P 存在1个多余内部约束
内力静不定度： 8 - 25 + 3 = 1
4
m
5 N7m’N7 8 3
2 1
6
1、 去除多余约束，建立相当系统
P
2、 建立补充方程(找变形协调条件)
内力静定
5度
5度
4度
Page6
➢ 混合(一般)静不定
2度
6度
➢ 组合梁或梁杆结构的静不定度分析
Page7
➢ 组合梁或梁杆结构的静不定度分析
安装法 2度
拆卸法
2度
Page8
拆卸法
1度
安装法 两杆多余，2度内力静不定
Page9
➢ 静不定问题的分析方法： 力法： 以多余未知力为待定量，利用变形 协调条件列方程。 位移法： 以位移为待定量，利用平衡条件求解。
4 - 24 + 3 = -1
5 - 24 + 3 = 0
6 - 24 + 3 = 1
Page4
平面刚架： 三度内力静不定
断开：内力静定
刚性连接：多了三 个约束
两度内力静不定
六度内力静不定
四度内力静不定
封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加三，加一铰支杆加一
Page5
平面曲杆：
三度内力静不定 两度内力静不定 ➢ 例：判断内力静不定度
l
B
l
B
l
l
A RC
l
C
HC
材料力学：ch14静不定问题分析
,
FN3
F 2
2. 角位移计算
施加单位力偶如图 d 所示，并同样以刚性杆 BC 与 DG 为研究对象，则由平衡方程
11
M B 0, 1 F N2 2a F N3 3a 0
M G 0, F N2 2a F N3 a 0
得
F
N2
1 4a
,
F
N3
1 2a
于是得杆 BC 的转角为
F 2
（负号代表压力）
15
MC
MD
π2 2π
FR
，
MA
MB
FR π
由 F 引起的 Δ C D 可根据图 14-12（a）和（b）来算。
弯矩方程为
图 14-12
M
π2 2π
FR
F 2
R1
cos
M Rsin
将其代入 积分后，得
C/ D
2 EI
π2 M M Rd
0
C/ D
4 πFR3
2πEI
ΔBy
1 EI
π/2 0
(Rsin ) qR2 ( sin ) FBy Rsin Rd
由此得
ΔBy
R3 4EI
qR(4 π) FBy π
代入式（a），得补充方程为
qR(4 π) FBy π 0
由此得
FBy
qR(4 π
π)
2. 计算水平位移
多余未知力确定后，将其代入式（b），得曲杆的弯矩方程为
解：此为一度静不定问题。
题 14-5 图
7
选杆 BC 为多余杆，求切口处相对位移 Δe / e' 的载荷状态及单位状态分别如图 14-5（a）和（b）
所示。
求相对位移 Δe / e' 的过程列于下表：
材料力学第六章静不定
FN2
FN3
（c） F
材料力学
中南大学土木工程学院
13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大
A
F
材料力学
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C
刚度增加 内力不变
A
F
14
静不定结构的特点（2） 配应力
——装
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
中南大学土木工程学院
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联
立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
l1
FN1
2 3
EA
l ，l2
1F.5NE2lA，l3
FN3
2 3
2EA
l
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
14 2 3 FN1 23 F 0.76F
FN2 3
3 2 F 0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
32 2 3 FN3 23 F 1.24F ()
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
材料力学第14章(静不定)
FN i FN i li
−Fa −Fa 0 0
FN i FN i li
a a a a
2 2a 2 2a
1
1 1
0
2F
0
2 2
2 2Fa
0
FN i FN i l i Fa(2 2
2)
FN i FN i l i 4(1 2 )a
(2 2 2 ) 1 1F FN i FN i l i EA Fa EA
C
4 5 3 6 2
D
1 X 1
F
C
1 X 1
3
4 5 6 1
D
1
A
B
2
A
B
X1
应用叠加法求桁架各杆的内力
F 2
( P78)
表14.1
杆件 编号 1 2 3 4 5 6
FNi －F －F 0 0 2F 0
FNi
1 1 1 1
2 2
F FNi
FNi FNi X1
F /2 F /2 F /2 F /2 F/ 2 F / 2
F
B
1 1F 1X1 0
由 1X1 11X1
∴变形协调方程
1F
1F 11X1 0
或： 11 X 1 1F 0 ——力法正则方程
系数11和Δ1F可由莫尔定理求得 (积分或图乘) A 1 X1
1X1
11
系数11和Δ1F可由莫尔定理(积分或图乘)求得(图c、d) F
qa 2 16 qa 2 16
qa 16
7qa 16
[例5] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 F 解：①刚架有一个多余约束。
材料力学 第十四章 静不定问题分析
第十三章
静不定问题分析
思考：计算 BH ，下图相当系统选取是否正确？
M0 3R M0 3R
R A
M0
o
B
对应的单位载荷系统：
R A
o
B
1
Page16
第十三章 例：求B 端反力
q A
l l
静不定问题分析
q A B
FBx
A B 1 B FBy
单位载荷系统 1
相当系统
A B 1
单位载荷系统 2
Page17
F
F
4度内力静不定,加一根二力杆增加一 度静不定
Page 6
第十三章 混合静不定
F
静不定问题分析
F
1（内）＋1（外）＝ 2 度
3（内）＋3（外）＝ 6 度
F
圆环
梁：外3 环：内3 梁环接触：1 3+3+1=7 度
圆环在水平方向有一自由度
Page 7
第十三章
静不定问题分析
混合静不定（梁杆结构）
Page24
第十三章
静不定问题分析
B A R D
例：已知圆环EI，求B、D相对位移d
解：（1）利用对称性，选取相当系统
F
C
F
F
B
B R
F
R A
C
B
A
MA
o
F 2
A
MA
C
MA
MA
F 2
FN A
FN A
A 0
A 0
1 FN A F 2 A C 0
Page25
第十三章 解：（2）利用单位载荷法，计算MB
Page12
第十三章
材料力学(单辉祖)第十四章静不定问题分析
求解上式可得
X1
=
1−
π2
π
4⋅ −1
P 2
=
4−π π2 −8
P
,8X2来自=π π−3
2
−1
⋅
PR 4
=
2(π
π2
− 3)
−8
PR
8
27
Example-7
在平面xy内，由k根等直杆组 y
成的杆系，在结点A处用铰连 接在一起，并受到水平载荷P1 和垂直载荷P2的作用。已知各 杆的材料相同，其拉压弹性模
∂X 1
∂X 2
Rϕ
25
Example-6
由对称截面处的约束条件， 可得变形相容性条件
Δ = ∂Uc = 0, θ = ∂Uc = 0
∂X 1
∂X 2
P/2 X2
X1 X3
Rϕ
即
∫ − 1
EI
π 2
0
⎜⎛ ⎝
PR 2
sin
ϕ
−
X 1R(1 −
cos ϕ )
−
X
2
⎟⎞ ⎠
⋅
R(1 −
cosϕ )Rdϕ
F
M (ϕ ) = FR (1− cosϕ ) − FByR sinϕ
π
∫ Δ By
=
∂Vε ∂FBy
=
2
[M
0
(ϕ ) ∂M (ϕ )][EI ]−1Rdϕ
∂FBy
8
Example-1
π
M (ϕ ) = FR (1− cosϕ ) − FByR sinϕ
∫ Δ By
=
∂Vε ∂FBy
=
2
[EI ]−1 ⎡⎣FR (1− cosϕ ) − FBy R sinϕ ⎤⎦ (−R sinϕ ) Rdϕ
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1
能量原理在求解 超静定问题上的应用
概述
已有的基础：
什么是超静定； 求解超静定问题的基本方法； 超静定结构的性质。
现在的问题是：
怎样利用对称性和反对称性减少未知力的个数？ 能量原理如何应用: ---用于写变形协调方程，求方程中的位移量？
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2
§11-1 超静定问题的解法
E2 A2
的内力及变形，在工程上（如桥梁等）
P 2
应用非常广泛。
B
多余约束：在静定结构上
RB
加上的一个或几个约束，
对于维持平衡来说是不必
要的约束（但对于特定地
工程要求是必要的）称多
余约束。对应的约束力称
多余约束反力（B—固端约
束）
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4
二、 超静定问题分类
根据结构及其约束的特点，超静定结构分为三类：
超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独 立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定 全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.
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3
RA A
相应的结构称超静定结构或静不定结构。
超静定次数：未知力个数与平衡方程
E1 A1
1
数之差，也等于多余约束数
C
由于超静定结构能有效降低结构
1 2
13cos
②
(3)代入物理关系，建立补充方程
13
2
A
2
1
3
A
1
N1 1 E1 A1
N1
E1 A1 cos
3
N3 3 E3 A3
N3 E3 A3
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③
10
得:E1A N 11 cLosE N 33A L3cos
④
(4)联立①、④求解：
N1
F
2 cos
E 3 A3
E 1 A 1 cos 2
A
把超静定问题转化为静定问题解，但
必须满足原结构的变形约束条件。
E1 A1
1
例1. 杆上段为铜，下段为钢杆，
C
F
上段 1,截 长面 A 1,弹 积性E1 模量 E2 A2
2
下段 2,截 长面 A2,弹 积性E2模量R B B
杆的两端为固支,求两段的轴力。
解：（1）选取基本静定结构（静定基如图）， B端解除多余约束，代之以约束反力 R B
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7
（2）求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代
替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移
C ACEF1A11()
A
BABRB(E11 A1E2A 22) (RB为负值E） 1 A1
1
（3）比较两次计算的变形量，其值应
C
该满足变形相容条件，建立方程求解。
AC AB0
E2 A2
F 2
RA
E1A1 2F E2 A21 E1A1 2
符号中：第1个下脚标“1”表示该位移在X1 作用点处
沿着X1方向发生；第2个下脚标“P”表示该位移是由
实际载荷P引起的。
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18
2）由多余约束反力X1作用引起的沿X1方向的位移Δ1 X1
符号中：第1个下脚标“1”表示该位移在X1 作用点处 沿着X1方向发生；第2个下脚标“X1”表示该位移是由 多余约束反力X1引起的。
一. 静定与超静定的概念
引例: 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠 静力平衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和 尚抬水吃，三个和尚没水吃”，恐怕是最早说到超 静定问题的例子了。
静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立 的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部 未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定 结构。
RB B
RB
E2 A21F E1A1 2 E2 A21)
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8
2. 几何分析法
解超静定问题的关键是找出求解所
有未知约束反力所缺少的补充方程。 结构变形后各部分间必须象原来一 样完整、连续、满足约束条件----即 满足变形相容条件。
13
2
例2. 结构如图，1、2杆抗拉刚度为
E1A1,3杆E 为 3A3, 在F力作用下，
求各杆内力。
解: (1) 画A结点受力图，建立平衡方程
Fx0:N1N2
①
F y 0 :2 N 1co N s3 F
未知力个数2个，平衡方程数1个，故为一 次超静定。
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A F
N1
N3
N2
A
x
F
y
9
(2)如图三杆铰结，画A节点位移图, 列出变形相容条件。要注意所设的 变形性质必须和受力分析所中设定 的力的性质一致。由对称性知
Δ1 X1需要寻找新算法。
C点的总位移：Δ1 P＋Δ1 X1
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19
若以Δ1表示基本结构在外力(q)及多余约束反力(X1) 的共同作用下C点沿X1方向的位移。
变形比较法: 是一种求解静不定梁的直接通过几何关系建立补充方 程的方法。
力法是一种直接求解未知反力的方法。 基本思想:
是以未知约束反力X（反力偶M）为未知数建立 变形方程。
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14
基本原理： 1、对于形量，是单位力产生变形量的X
（M）倍。 3、而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解。
N3
1
2
F E 1 A1
cos
3
E 3 A3
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11
三. 拉（压）杆超静定问题解法的讨论
1、解拉（压）超静定问题必须正确地画出结构 的变形图，
2、然后分析结构特点，找出结构变形前后的不 变量或者等量关系，
3、再用数学方法刻画它,从而给出补充方程。
观察问题的角度不同所采用的方法也会有很大差 异。同一题，不同的解法难、易、繁、简也相去 甚远。我们必须仔细分析找出最恰当的办法来。
通过计算这些变形量，最终求解出未知约束反力。
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15
例：
简支梁中点有支撑并受均布载荷作用的力法分析。
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16
一 取基本结构（去多余约束，补多余反力）
在基本结构中，C点的挠度由q及X1载荷产生。
用叠加法：
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17
二 求C点的总变形 1）由外载荷q作用引起的沿X1方向的位移Δ1 P
１、外力超静定结构－－外部约束存在多余约束。
如：
P
A
B
为一次外力超静定
精选ppt
5
２、内力超静定结构－－仅在内部存在多余约束。 如：封闭刚架在一般的横截面上有三种 内部约束力N、Q及M。
P A
m B
内力超静定结构
3、内、 外超静定结构
精选ppt
6
三、 拉（压）杆超静定问题的解法：
1. 比较变形法
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12
1.比较变形法 常用于结构较为简单，一些特定节点位移已知且 计算也较为简单的问题。
2. 几何法分析变形 是求解超静定杆系的基本方法，常用于各杆的变 形关系较为简单，超静定次数较低的杆系的求解。
但是，一般情况下分析变形寻找等量关系较为困难。
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13
§11－2 用力法解静不定系统