材料力学-静不定结构

X1
1F
11
F 22
F
C
B
A
FC A
B
X
1
FC
B
φ
A
C A
B
1
φ
12
例8、求图示结构 C
的约束反力
EI
EA
a
A EI l
B
P 解：1）判断静不定种类及次数
约束反力一次静不定
2）解除B点约束，建立静定基
3）对静定基进行受力分析，建立相当系统 4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相 对线位移，建立正则方程
Δ1F
1 EI
a 0
q0 x13 6a
x1
d x1
a 0
q0a 6
2
a
dx2
q0
q0a4 5EI
由 11 X1 1F 0 得
FBy
X1
3 20
q0a
()
a x2
B
x1 X1
21
例14 等截面半圆形杆受力如图所示，EI为常数，略去剪力、轴力对变形影 响，求A，B固定端处的支座反力和C处垂直位移
a aa
1 F
Fa
9
例5：已知结构的弯曲刚度为EI， 试求对称轴上A截面的内力。
解：11
2a EI
,
Δ1F
Fa2 4EI
A
由 11 X1 1F 0 得
X1
Fa 8
a
FSA 0
1
FNA
F 2
,
MA
Fa 8
A X1 F/2
a Fa
a
a
F 1
Fa/2 1
F/210
例6：已知刚架的弯曲刚度为EI。 试求截面A处弯矩。
使用莫尔积分，在任一横截面上，
M FRcos（j/4） j[/4，/2]
M R sinj
j[0，/2]
11
s
M2 ds
EI
1 EI
2 R sinj 2 Rdj R3
0
4EI
MM 1
1P
s
ds E I EI
2
4
FR
sin
j
4
R
sin
j
Rdj
FR3 8 2EI
2
2a 3
Fa2 2
a
5Fa3 6EI
X1
1P
11
F 2
F
B a
C a
F
X1 X1 B a
C a
6
例3：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。 F
F
试求：刚架多余约束反力。
F 1
a
A
A
11
1 EI
a2 8
2 3
a 2
a3 4
7a3 24EI
a a
A
B
F
F
X1 X1
a
a
A
B
Δ1F
1 EI
a/2
Δ1F
Fa3 4EI
A
6F
Fa
X1 7 17
3_F__a
3_F__a
F
7
7
_6_F 7
M图
4_F__a
4_F__a
7
7
18
例12：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。
q
B
C
a a
A
D a
19
11
1 EI
a2 2
2a 3
a2
a
4a3 3EI
Δ1F
1 EI
qa3 2
a
qa4 2EI
由11X1 Δ1F 0 得
X1
3qa 8
FBx 0, FAx 0,
FBy
3qa 8
FAy
11qa 8
,
M
A
qa2 8
逆时针
20
例13：已知刚架的弯曲刚度为EI。 q0
试求支座B处的反力。
C
解：
11
1 EI
a x12 dx1
0
a 0
a2
dx2
百度文库
4a3 3EI
a A
a
a
q
解： 11
2a EI
,
Δ1F
qa3 EI
q
由 11 X1 1F 0 得
a q A
a
M
A
X1
1 2
qa2
q
q
另解：
q
FS
2qa ,
MA
qa2 2
X1 A qa
FS
1F1 S
例7: 1/4圆形曲杆ACB如图。半径为R，曲杆抗弯刚度为
EI。求:A、B处的反力矩（只考虑杆件的弯曲变形）。
解： 一、 分析 B点为多余约束，解除多余约束以反力代替，形成基 本静定系
1 8
5 6
1 2
29Fa3 48EI
由 11X1 Δ1F Δ 得
29F 3EIΔ
X1
64
4 a3 5
例2：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。 A
试求：刚架多余约束反力。
F
A
B
A
X1 X1 B
D
a
a
FD
C
D
C
a
a
A
F
F
11
2 EI
a2 2
2a 3
a3
5a3 3EI
D
Δ1F
1 EI
Fa2
习题课
1
力法及正则方程
力法的正则方程:
11 X1 12 X 2 1n X n Δ1F Δ1
21
X1
22
X2
2n X n Δ2F
Δ2
n1 X1 n2 X 2 nn X n ΔnF Δn
i j表示X i作用点沿着X i方向由于X j 1单独
作用时所产生的位移
ΔiF表示X i作用点沿着X i方向由于实际载荷单独
作用所产生的位移
2
设
X X
i j
1引起的弯矩为 M i 1引起的弯矩为 M
j
实际载荷引起的弯矩为 M F
则
ij
l
MiM j dx, EI
ΔiF
l
Mi M F dx EI
对于静不定桁架:
i j
n k 1
FNi,k FN j,k lk Ek Ak
支座A、B的约束反力.
1
1 2
Fa2 8
2
Fa2 4
1
a2 2
11
1 EI
a2 2
2a 3
a3 3EI
Δ1F
Fa2 4EI
a 2
Fa3 8EI
X1
1F
11
Fa3
8EI a3
3F 8
3EI
16
例11：图示刚架 EI为常量，画 F
F
出刚架的弯矩图。
a
a
解：
A
B
X1
a/2
1
F
F
11
7a3 24EI
q
a/2 C a/2 a
A
B
14
解： q
q
X1
1
a/2 C
qa 2/8
a
qa 2/8
A
a
11
1 EI
a2 2
2a 3
a3 3EI
Δ1F
1 EI
a2 2
qa2 8
qa4 16EI
由力法正则方程11X1 Δ1F 0得
X1
3qa 16
15
例10：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力及
,
ΔiF
n k 1
FNi,k FNF,k lk Ek Ak
3
例1：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F后，支座C有一 下陷量Δ，试求刚架C处的反力。
a/2 F a/2
B
C
Δ a
A
4
解：
a/2 F a/2
F
a
B
C
Δ
Fa/2
X1
1
a
Fa/2
a
A
11
a3 EI
1 2
2 3
1
4a3 3EI
Δ1F
Fa3 EI
1 1P 11.X1 0
1 N
1
P
Pl
M
l
M
X1
1P
1 . (1.l.Pl. EI 2
2 .l ) 3
Pl 3 3EI
11
1 EI
.(1 .l.l. 2
2.l) 3
1 .(a.1.1) EA
l3 3EI
a EA
X1
P
13
例9：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的
约束力及支座A、B的约束反力。
Fa2 2
a
2
Fa3 4EI
X1
1P
11
6F 7
7
例4：已知刚架的弯曲刚度为EI，试求刚架内最大弯矩
及其作用位置。
a Fa
A
B
C
a
E
D
a
8
解：
11
2a3 EI
,
Δ1F
Fa3 3EI
由 11 X1 1F 0
得
X1
F 6
()
M max
5Fa 6
作用于固定端A
a Fa
A
B
C
a
E
D
a
a
X1