第6章 简单的超静定问题
合集下载
材料力学 简单的超静定问题
l1 F N 1l1 E 1 A1
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
第6章超静定问题
T =7 kN.m d1=0.1 m
2m
A
1m
B
1m
C 2m d2
材料力学电子教案
例 7 答案 解：联立三式求出 FN ,即可得结果：
∆l = FN ⋅2 8FN = π d 22 Eπd 2 E 4 ∆l 2 ⋅∆l = = d1 d1 2 T ⋅1 FN d1 ⋅2 = − GI P GI P
材料力学电子教案
对(c)图: (1) 平衡方程
A
1
a
2 C
a
3 B
l
∑F
y
= 0, F1 + F2 + F3 − F = 0
A
F
∑M
= 0, aF2 + 2aF3 = 0
F1
F2
F3
(2) 变形协调方程
∆l1 − ∆l2 = ∆l2 − ∆l3
即∆l1 − 2∆l2 + ∆l3 = 0 (3) 物理方程 F1l ∆l1 = E1 A1
(4)补充方程变为 (4)
FN1 = FN 3
EA cos 2 α E3 A3
材料力学电子教案
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1 = FN 2 =
F E3 A3 2 cos α + EA cos 2 α
FN 3
F = EA 3 1+ 2 cos α E3 A3
在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆 的刚度的比值有关，杆系中任一杆刚度的改变都将引起杆系各 轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。
F N3
α
FN2
A F
x
ΣFy = 0, FN3 + FN1 cos α + FN2 cos α − F = 0
材料力学第六章静不定
FHale Waihona Puke 5、列补充方程将物理方程代入几何方程得补充方程
材料力学
.
6
FN2l2FN3l3FN1l1cos
E2A2 E3A3 E1A1
解得
FN1
1
F 2E2A2l1
cos2
E1 A1l2
FN2 FN3 2cosE F2A E21l1 Ac1lo2s
材料力学
.
7
OAB为刚性梁，写几何方程。
450
①
②
O
A
B
l
l1 l l2
l
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。
F
①
F
O
B l1 C
bA
l2 sin 45o
2l1
②
l
l
l
EAsF in N 1 2 clos2EAsiF nN b2closb
FN1 sin 2 FN2 sin 2b
l1 2 l2
sin sin b
l1F E N A 1(co 2 sl)， l2F E N A 2(colsb)
材料力学
.
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联 立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
2
l2 l2
2l1 2l1
变形协调方程 。
6-简单超静定问题
4、补充方程
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
材料力学——6简单的超静定问题
M
(x)
X
1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
l 2
B
l 0
M
(x)M EI
( x)dx
0
如果B处支撑为弹簧 （弹簧系数K） ？
例 P
A
l
l
2
2
BA
P
B
l
l
2
2
X1
解
M
(x)
X1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
静定基
l 2
x
B
l 0
M (x)M EI
(x)dx
X1 K
求解 线性方程
未知力
以一例说明解法
q
12 3
X1 X2 X3
• 静定基（含未知数）
1 0, 2 0, 3 0
• 位移协调条件
建立方程的过程
以1为例说明
X1 X2 X3
1
M (x)M1(x) dx EI
(M X1 M X2 M X3 M q )M1(x) dx EI
M X1M1 dx M X2 M1(x) dx M X3 M1(x) dx M qM1(x) dx
A
P0 =1 B
M (x) x
解： 协调条件——D截面转
角为零
A
静定基
D
/2
0
M
( )M
EI
()Rd
0
DX
P 2
二、装配应力
1、静定问题无装配应力
B
C
2、静不定问题存在装配应力
1
2
A
下图，3号杆的尺寸误差为，
《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解
第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。
设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+=变形谐调条件为：0=∆l02=⋅+⋅+⋅EA aN EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N03)(2=++++F R F R R B B B45FR B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45FN BD-= 445F F F N CD -=+-=47345FF F N AC=+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。
试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X030cos 30cos 01032=-+-N N N0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)∑=0Y030sin 30sin 0103=-+F N N2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：00130cos 30sin x y l δδ+=∆x l δ=∆200330cos 30sin x y l δδ-=∆03130cos 2x l l δ=∆-∆2313l l l ∆=∆-∆设l l l ==31，则l l 232=223311233EA l N EA lN EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 15023200100231⨯=-N N N23122N N N =-21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
简单的超静力问题
简单的超静定问题
20
例题 6-2
2. 取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2 为多余未知力。得基本静定系如图c。
F
3
AC
B
(c)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
21
例题 6-2
3. 由变形图（图d）可得变形相容条件为
E
(d) C Dl1 FN1
Δl1 2Δl3 Δl2 2Δl1
F
A
F
FN3
2E F 1A 1F cNo 2 3 l 1sF N E l1 3 3c A 3o s
于是可求出多余未知力FN3 。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
例2
y
q
A
C
BxA
l/2
l/2
l
8
B
超静定梁
q
A
l/2
FC
l
基本静定系统
B 补充方程为 5ql4 FCl3 0 38E4 I 48EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
1
第 6 章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
2
§6-1 超静定问题及其解法
Ⅰ. 关于超静定问题的概述
(b)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
mm×30 mm的矩形，钢的弹性
模量E=210 GPa，铜的弹性模
量E3=100 GPa。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
29
例题 6-3
解：1. 装配后有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，如 图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，
材料力学(I)第六章
N2 y N1 N2 N3
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
FNBD 创 l 1.8 3 FNCE l = 200创 - 6 m2 E 400创 - 6 m2 E 10 10
30 kN / m
B
A
C 1m E
L
1.8L
D
5 FNBD = FNCE 6 FNCE = 38.4kN FNBD = 32.2kN
FNBD 32.2´ 103 N s BD = = = 161MPa < [s ] 2 ADB 200mm
六个未知量，三个平衡方程，三个几何相容条件 先不考虑轴向支反力
n0 n ¢= a L (t2 - t1 )
a L (t2 - t1 ) dq = dx h a L (t2 - t1 ) dq =dx h
a L (t2 - t1 ) d 2w =2 dx h
轴向支反力可根据梁的平均温度与安装时的温度 只差来求解。
5 FC = qL 8
FA =
M
4.22kNm 4.22kNm
max
= 7.5kNm
= 76.4MPa < [s ]
s=
M
max
WZ
=
32 M pd
max 3
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的 拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
D
a
q
A
2a
将杆CB移除，则AB,CD均为静定 结构，杆CB的未知轴力FN作用在 AB,CD梁上。为1次超静定。
2m
D
FNBD
30 kN / m
B
B
1m
FNCE 38.4´ 103 N s CE = = = 96MPa < [s ] ACE 400mm2
2m
A
C
E
F¢ NBD
D LBD D LCE
例2 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢， 2杆材料为铜，两杆的横截面面积分别为A钢=1000mm2，A 2 铜=2000mm 。当F=200kN，且温度升高20℃时，试求1、2 杆内的应力。钢杆的弹性模量为E钢=210GPa，线膨胀系数 αl钢=12.5×10-6 ℃-1；铜杆的弹性模量为E铜=100GPa，线膨 胀系数αl铜=16.5×10-6 ℃ -1。
FN = a L EAD t
1
F1
2m
2m
A
F
D L1
4m
F2
2
1m
D L2
D L1
1
F1
2m
2m
A
F
4m
F2
2
1m
D L2
列静力平衡方程 变形协调方程
FL D L1 = 1 1 + a g D TL1 E1 A!
å
MA = 0
2m? (F
D L2 = 4 a
F1 ) = 4m F2
D L2 = 2D L1
F1 + 2 F2 = F
b、在该处施加所解除的约束相对应的支反力(多余未知力)；
这时就得到了一个作用有外荷载和多余未知力的静定结构， 称为原超静定结构的基本静力系或相当系统。
c、根据变形相容条件、静力学平衡和物理关系求解多余未知 力；
d、求解基本静力系的其它支反力，以及构件的内力、应力、 变形（位移）等。
§6-2 拉压超静定问题
q
A
B
l
3、多余约束和超静定次数
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这 些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡 却是多余的,故称为多余约束. 未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次 数.
q
A
B
l
4、超静定问题的求解 求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理 三个方面. a、将某一处的支座当做多余约束解除（静定结构）；
B
A
L
EA
d
EAd FN = L+ d
EAd L
E = 200GPa
d L = 1 1000
Ed s = L
§6-3 扭转超静定问题
Me
Me
例4
A
L L L
B
MA
Me
Me
A
L L L
B
MA + MB = 0
j
A
=0
M A L (M A - M e ) L (M A - M e + M e ) L + + GI p GI p GI p
B
FN
wB = wC + D LBC
a
wB =
D
q (2 a )
4
FN C
q
A
2a
a
FN
8EI Z FN a 3 wC = 3EI Z
4
-
FN (2a ) 3EI Z
3
D LBC
3
FN a = EA
q (2 a )
B
FN
8EI Z
-
FN (2a ) 3EI Z
FN a 3 FN a = + 3EI Z EA
第六章 简单的超静定问题
1、超静定问题及其解法 2、拉压超静定问题 3、扭转超静定问题
4、简单超静定梁（弯曲超静定问题）
§6-1 超静定问题及其解法
q
A
B
l
1、静定问题和静定结构 未知力个数等于独立的平衡方程数目,仅由平衡方程即可解 出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静 定结构. 2、超静定问题和超静定结构 未知力个数多于独立的平衡方程数目,仅由平衡方程无法确 定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相 应的结构称为超静定结构或静不定结构.
F A
Me
C
B
C1 FC 1
FB
图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接. 在截面C上_____. D
A. 有弯矩，无剪力；
B. 有剪力，无弯矩；
C. 既有弯矩又有剪力；
D. 既无弯矩又无剪力；
q
B
A
L2
C
L2
支座沉陷
四个未知量，三个平衡方程，补充一个几何相容条件
支座沉陷
=
+
温度荷载
梁在安装时，由于上下表面工作条件的不同，梁顶 温度由t0上升到t1；梁底温度由t0上升到t2，并且t2>t1， 弹性模量E，线膨胀系数α，惯性矩I均已知，自重不 计，求反力。
=0
Me MA = - MB = 3
§6-4 弯曲超静定问题（简单超静定梁）
1、超静定梁的解法 2、支座沉陷（位移荷载） 3、温度变化（温度荷载）
q
A
EIZ
L q
B
A
EIZ
L
B
FB
wB1 + wB 2 = 0
FB L3 qL4 =0 8EI Z 3EI Z
q
A
EIZ
B
w B1
l
FB =
wB 2
A
30 kN / m
B
1.8L
D
D
A
C 1m E
L
2m
FBD
30 kN / m
B
B
A
C
E
1m 2m
¢ FBD
D LBD D LCE
列静力平衡方程
å
MA = 0
0
FNCE ? 1m 30kN / m创 m 1.5m + FNBD ? 3m 3
FNCE = 135kN - 3FNBD
变形协调方程
D LDB = 3D LCE
1、拉压超静定问题解法 2、装配应力（初应力） 3、温度应力 由于有多余约束，杆在温度变化所引起的变形受 到限制，从而在杆件内产生的内力。
DL = a L 譊 t L
EAD L FN = L
FN = a L EAD t
例1 图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和C点由 两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积ADB=200mm2， ACE=400mm2，其许用应力[σ]=170MPa，试校核钢杆的强度。
3 ql 8
EIZ
B
FB
l
q
A
EIZ
L
mA = 1 2 ql 8
B
q
B
FB = 3 ql 8
A
FA =
5 ql 8
5 ql 8
L
+
-
kN
3 ql 8
剪力图
1 2 ql 8
9 2 ql 128
kNm
弯矩图
图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均 布荷载.已知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径 d=100mm,[σ]=100MPa.试校核该梁的强度. q 解：列静力平衡方程
2qa 3 当系统的温度升高时,下列结构中的____不会产 生温度应力.
( A)
(B)
(C )
(D)
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用,梁的两端铰 支,中间截面C处有弹簧支座.在下列关于该梁的多余约束力 与变形协调条件的讨论中,___是错误的. C A. 若取支反力FB为多余约束力，则变形协调条件是截面B 的挠度ωB=0; B. 若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则 变形协调条件为C1面的铅垂线位移ΔC1=0; C. 若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力， 则变形协调条件为C1面的铅垂线位移ΔC1等于弹簧的变形; D. 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调 条件为梁在C截面的挠度ωc等于弹簧的变形。
A
L2
30 kN / m
B
A
C 1m E
L
1.8L
D
5 FNBD = FNCE 6 FNCE = 38.4kN FNBD = 32.2kN
FNBD 32.2´ 103 N s BD = = = 161MPa < [s ] 2 ADB 200mm
六个未知量，三个平衡方程，三个几何相容条件 先不考虑轴向支反力
n0 n ¢= a L (t2 - t1 )
a L (t2 - t1 ) dq = dx h a L (t2 - t1 ) dq =dx h
a L (t2 - t1 ) d 2w =2 dx h
轴向支反力可根据梁的平均温度与安装时的温度 只差来求解。
5 FC = qL 8
FA =
M
4.22kNm 4.22kNm
max
= 7.5kNm
= 76.4MPa < [s ]
s=
M
max
WZ
=
32 M pd
max 3
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的 拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
D
a
q
A
2a
将杆CB移除，则AB,CD均为静定 结构，杆CB的未知轴力FN作用在 AB,CD梁上。为1次超静定。
2m
D
FNBD
30 kN / m
B
B
1m
FNCE 38.4´ 103 N s CE = = = 96MPa < [s ] ACE 400mm2
2m
A
C
E
F¢ NBD
D LBD D LCE
例2 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢， 2杆材料为铜，两杆的横截面面积分别为A钢=1000mm2，A 2 铜=2000mm 。当F=200kN，且温度升高20℃时，试求1、2 杆内的应力。钢杆的弹性模量为E钢=210GPa，线膨胀系数 αl钢=12.5×10-6 ℃-1；铜杆的弹性模量为E铜=100GPa，线膨 胀系数αl铜=16.5×10-6 ℃ -1。
FN = a L EAD t
1
F1
2m
2m
A
F
D L1
4m
F2
2
1m
D L2
D L1
1
F1
2m
2m
A
F
4m
F2
2
1m
D L2
列静力平衡方程 变形协调方程
FL D L1 = 1 1 + a g D TL1 E1 A!
å
MA = 0
2m? (F
D L2 = 4 a
F1 ) = 4m F2
D L2 = 2D L1
F1 + 2 F2 = F
b、在该处施加所解除的约束相对应的支反力(多余未知力)；
这时就得到了一个作用有外荷载和多余未知力的静定结构， 称为原超静定结构的基本静力系或相当系统。
c、根据变形相容条件、静力学平衡和物理关系求解多余未知 力；
d、求解基本静力系的其它支反力，以及构件的内力、应力、 变形（位移）等。
§6-2 拉压超静定问题
q
A
B
l
3、多余约束和超静定次数
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这 些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡 却是多余的,故称为多余约束. 未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次 数.
q
A
B
l
4、超静定问题的求解 求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理 三个方面. a、将某一处的支座当做多余约束解除（静定结构）；
B
A
L
EA
d
EAd FN = L+ d
EAd L
E = 200GPa
d L = 1 1000
Ed s = L
§6-3 扭转超静定问题
Me
Me
例4
A
L L L
B
MA
Me
Me
A
L L L
B
MA + MB = 0
j
A
=0
M A L (M A - M e ) L (M A - M e + M e ) L + + GI p GI p GI p
B
FN
wB = wC + D LBC
a
wB =
D
q (2 a )
4
FN C
q
A
2a
a
FN
8EI Z FN a 3 wC = 3EI Z
4
-
FN (2a ) 3EI Z
3
D LBC
3
FN a = EA
q (2 a )
B
FN
8EI Z
-
FN (2a ) 3EI Z
FN a 3 FN a = + 3EI Z EA
第六章 简单的超静定问题
1、超静定问题及其解法 2、拉压超静定问题 3、扭转超静定问题
4、简单超静定梁（弯曲超静定问题）
§6-1 超静定问题及其解法
q
A
B
l
1、静定问题和静定结构 未知力个数等于独立的平衡方程数目,仅由平衡方程即可解 出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静 定结构. 2、超静定问题和超静定结构 未知力个数多于独立的平衡方程数目,仅由平衡方程无法确 定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相 应的结构称为超静定结构或静不定结构.
F A
Me
C
B
C1 FC 1
FB
图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接. 在截面C上_____. D
A. 有弯矩，无剪力；
B. 有剪力，无弯矩；
C. 既有弯矩又有剪力；
D. 既无弯矩又无剪力；
q
B
A
L2
C
L2
支座沉陷
四个未知量，三个平衡方程，补充一个几何相容条件
支座沉陷
=
+
温度荷载
梁在安装时，由于上下表面工作条件的不同，梁顶 温度由t0上升到t1；梁底温度由t0上升到t2，并且t2>t1， 弹性模量E，线膨胀系数α，惯性矩I均已知，自重不 计，求反力。
=0
Me MA = - MB = 3
§6-4 弯曲超静定问题（简单超静定梁）
1、超静定梁的解法 2、支座沉陷（位移荷载） 3、温度变化（温度荷载）
q
A
EIZ
L q
B
A
EIZ
L
B
FB
wB1 + wB 2 = 0
FB L3 qL4 =0 8EI Z 3EI Z
q
A
EIZ
B
w B1
l
FB =
wB 2
A
30 kN / m
B
1.8L
D
D
A
C 1m E
L
2m
FBD
30 kN / m
B
B
A
C
E
1m 2m
¢ FBD
D LBD D LCE
列静力平衡方程
å
MA = 0
0
FNCE ? 1m 30kN / m创 m 1.5m + FNBD ? 3m 3
FNCE = 135kN - 3FNBD
变形协调方程
D LDB = 3D LCE
1、拉压超静定问题解法 2、装配应力（初应力） 3、温度应力 由于有多余约束，杆在温度变化所引起的变形受 到限制，从而在杆件内产生的内力。
DL = a L 譊 t L
EAD L FN = L
FN = a L EAD t
例1 图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和C点由 两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积ADB=200mm2， ACE=400mm2，其许用应力[σ]=170MPa，试校核钢杆的强度。
3 ql 8
EIZ
B
FB
l
q
A
EIZ
L
mA = 1 2 ql 8
B
q
B
FB = 3 ql 8
A
FA =
5 ql 8
5 ql 8
L
+
-
kN
3 ql 8
剪力图
1 2 ql 8
9 2 ql 128
kNm
弯矩图
图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均 布荷载.已知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径 d=100mm,[σ]=100MPa.试校核该梁的强度. q 解：列静力平衡方程
2qa 3 当系统的温度升高时,下列结构中的____不会产 生温度应力.
( A)
(B)
(C )
(D)
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用,梁的两端铰 支,中间截面C处有弹簧支座.在下列关于该梁的多余约束力 与变形协调条件的讨论中,___是错误的. C A. 若取支反力FB为多余约束力，则变形协调条件是截面B 的挠度ωB=0; B. 若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则 变形协调条件为C1面的铅垂线位移ΔC1=0; C. 若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力， 则变形协调条件为C1面的铅垂线位移ΔC1等于弹簧的变形; D. 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调 条件为梁在C截面的挠度ωc等于弹簧的变形。
A
L2