人教版八年级数学上册专题与三角形有关的角度的计算

人教版八年级数学上册专题与三角形有关的角度的计算

模型1：两个内角平分线的夹角

1.如图，在△ABC中，P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，若∠A=50°，则∠P=______.

2.如图，已知△ABC的三条内角平分线交于点I，AI的延长线与BC交于D点，IH⊥BC 于H，试比较∠CIH和∠BID的大小.

模型2：一个内角平分线和一个外角平分线

3.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠A=50°，则∠D=______.

4.如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是x，y轴上的两个动点，∠BAO的角平分线与∠ABO的外角平分线相交于点C，在A，B的运动过程中，∠C的度数是一个定值，这个定值为______.

5.(达州中考改编)如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2 014BC和∠A2 014CD 的平分线交于点A2 015，求∠A2 015的度数.

模型3：两个外角平分线

6.如图，在△ABC中，P点是∠BCE和∠CBF的角平分线的交点，若∠A=60°，则∠P=______.

7.一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是______三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)

模型4：“8”字形图案的两条角平分线的夹角

8.已知，如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP

和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，如图2.试解答下列问题：

(1)在图1中，直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系;

(2)在图2中，∠D 与∠B 为任意角，试探究∠P 与∠D ，∠B 之间是否存在一定的数量

关系，若存在，写出它们之间的关系并证明；若不存在，说明理由.

模型5：角平分线与高线的夹角

9.已知：如图，在△ABC 中，∠C=70°，∠B=30°，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，则∠DAE=______.

10.如图1，在△ABC 中，AE 平分∠BAC(∠C>∠B)，F 为AE 上的一点，且FD ⊥BC 于点

D.

(1)试推导∠EFD 与∠B ，∠C 之间的数量关系.

(2)如图2，当点F 在AE 的延长线上时，其余的条件都不变，判断在(1)中推导出的结论是否还成立？

参考答案

1.115°

2.∵AI 、BI 、CI 为△ABC 的三条内角平分线，∴∠BAD=∠BAC ，∠ABI=∠ABC ，∠HCI=∠ACB.∴∠BAD ＋∠ABI+∠HCI=∠BAC+∠ABC+∠ACB ＝(∠BAC+∠ABC+∠ACB)＝

×180°＝90°.∴∠BAD ＋∠ABI ＝90°-∠HCI.又∵∠BAD ＋∠ABI ＝∠BID ，90°-∠

HCI ＝∠CIH ，∴∠BID ＝∠CIH.∴∠BID 和∠CIH 是相等的关系.2121212121212121 3.25°4.45°5.∵A1B 平分∠ABC ，A1C 平分∠ACD ，∴∠A1=∠A ，∠A2=∠A1=∠A ，…

∴∠A2 015=∠A=. 6.60°7.锐角 8.(1)∠A+∠D=∠B+∠C.(2)∠D+∠B=2∠

P.由(1)得：∠D+∠1=∠P+∠3,∠B+∠4=∠P+∠2.∴∠D+∠1+∠B+∠4=∠P+∠3+∠P+

∠2,又∵AP,CP 是∠DAB 和∠BCD 的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠D+∠B=2∠P.21212212015212015

2m 9.20°10.(1)过点A 作BC 边上的高AG ，则∠EAG=(∠C-∠B).∵FD ⊥BC ，∴FD ∥AG.∴

∠EFD=∠EAG=(∠C-∠B).(2)(1)中结论仍然成立，方法同(1).212

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