双曲线的渐近线和离心率问题

第30练 双曲线的渐近线和离心率问题[题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型精析题型一 双曲线的渐近线问题例1 (1)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________.(2)(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点).①求双曲线C 的方程；②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MFNF 恒为定值，并求此定值.点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y ＝±b a x ⇔x a ±y b ＝0⇔x 2a 2－y 2b 2＝0，所以可以把标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.变式训练1 (2014·山东改编)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为______________________. 题型二 双曲线的离心率问题例2 (1)(2015·湖北改编)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则下列命题正确的是________. ①对任意的a ，b ，e 1>e 2；②当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2； ③对任意的a ，b ，e 1<e 2；④当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2.(2)已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为________. 点评 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ，y 的范围问题.变式训练2 (2014·湖南)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3、F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且F 2F 4＝3－1. (1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.题型三 双曲线的渐近线与离心率的综合问题例3 (2014·福建)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，请说明理由.点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3 (2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足P A ＝PB ，则该双曲线的离心率是________.高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是__________.2.(2015·镇江模拟)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的________相等.(填序号)①实轴长；②虚轴长；③离心率；④焦距.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为______________.4.以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是________________.5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________.6.(2015·镇江模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________. 7.已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________.8.已知双曲线C 的中心在原点，且左，右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为底边作正三角形，若双曲线C 与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C 的离心率为________. 9.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是____________.10.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝14a 2的切线，切点为E ，直线EF交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是______.11.已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积.12.(2015·盐城模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率.答案精析第30练 双曲线的渐近线和离心率问题常考题型典例剖析 例1 (1)±1解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a,0)，易求B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，则 kA 2C ＝b 2aa －c ，kA 1B ＝b 2aa ＋c ，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a 2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±ba＝±1.(2)解 ①设F (c,0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B (c 2，－c2a)．又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A (c ，ca )，k AB ＝c a －(－c 2a )c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a )＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.②由①知a ＝3，则直线l 的方程为 x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)；直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)．则MF 2NF 2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋(32x 0－3)2(3y 0)2＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2. 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1， 代入上式得MF 2NF 2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)24x 20－12x 0＋9＝43， 即所求定值为MF NF ＝23＝233.变式训练1 x ±2y ＝0解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ，∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2， ∴c 21＝a 2－b 2， ∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－(b a)4， 即1－(b a )4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0. 例2 (1)④ (2) 2解析 (1)由题意e 1＝ a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ，离心率e 2＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2(a ＋m )2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2. 因为b ＋m a ＋m －b a ＝m (a －b )a (a ＋m )，且a >0，b >0，m >0，a ≠b ，所以当a >b 时，m (a －b )a (a ＋m )>0，即b ＋m a ＋m >ba .又b ＋m a ＋m>0，ba >0，所以由不等式的性质依次可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>⎝⎛⎭⎫b a 2,1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，即e 2>e 1；同理，当a <b 时，m (a －b )a (a ＋m )<0，可推得e 2<e 1.综上，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2.(2)如图，设OF 的中点为T ，由(AO →＋AF →)·OF →＝0可知AT ⊥OF ， 又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ⎝⎛⎭⎫c 2，c 2， 又A 在直线y ＝ba x 上，∴a ＝b ，∴e ＝ 2.变式训练2 解 (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝F 2F 4＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)， 故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.易知此方程的判别式大于0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根， 所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M (－2m 2＋2，mm 2＋2)，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x .由⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而PQ ＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ， 则点B 到直线PQ 的距离也为d ， 所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0， 于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2| ＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|， 从而2d ＝(m 2＋2)|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.故四边形APBQ 的面积S ＝12·PQ ·2d ＝22·1＋m 22－m 2＝22·－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2. 例3 解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a＝2， 所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ， 从而双曲线E 的离心率e ＝c a＝ 5. (2)方法一 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则OC ＝a ，AB ＝4a .又因为△OAB 的面积为8，所以12·OC ·AB ＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C (－mk ，0)．记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k ，同理，得y 2＝2m 2＋k . 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得 12|－mk |·|2m 2－k －2m2＋k |＝8，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)．又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1. 方法二 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1. 设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得－12<m <12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t 1－2m ， 同理，得y 2＝－2t 1＋2m. 设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)．由S △OAB ＝12·OC ·|y 1－y 2|＝8，得 12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8. 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a 2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1. 变式训练3 52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm 3b －a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b )， 所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a2)． 设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为P A ＝PB ，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52. 常考题型精练1.⎝⎛⎭⎫－33，33 解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 2．③解析 双曲线C 1：e 21＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ，双曲线C 2：e 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2的离心率相等．3.x 25－y 24＝1 解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ， 圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1. 4．x 2＋y 2－10x ＋9＝0解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4， 所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆．即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0. 5.233或2 解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a ＝c 2a 2＝ a 2＋b 2a 2 ＝1＋(b a )2＝233或2. 6. 2解析 取双曲线的渐近线y ＝b a x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－a b(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a＝ 2. 7．x 2－y 23＝1 解析 由y 2＝8x,2p ＝8，p ＝4，∴其准线方程为x ＝－2，即双曲线的左焦点为(－2,0)，c ＝2，又e ＝2，∴a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 8.3＋1解析 设以F 1F 2为底边的正三角形与双曲线C 的右支交于点M ，则在Rt △MF 1F 2中，可得F 1F 2＝2c ，MF 1＝3c ，MF 2＝c ，由双曲线的定义有MF 1－MF 2＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 9．(2，＋∞)解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，设直线方程为y ＝b a(x －c )，与y ＝－b a x 联立求得M ⎝⎛⎭⎫c 2，－bc 2a ，因为M 在圆外，所以满足MF 1→·MF 2→>0，可得－34c 2＋⎝⎛⎭⎫bc 2a 2>0，解得e ＝c a>2. 10.102解析 设双曲线的右焦点为F 1，连结PF 1.由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP 的中点． 又O 是FF 1的中点，∴OE ∥PF 1，且OE ＝12PF 1，易知OE ⊥FP ，∴PF 1⊥FP ，∴PF 2＋PF 21＝FF 21，PF 1＝a ，PF ＝2a ＋PF 1＝3a ，∴9a 2＋a 2＝(2c )2，∴c a ＝102. 11．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m >0，n >0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n . 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45. 又OA ＝5m ，OB ＝5n ，∴S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin 2θ＝2mn ＝2. 12．解 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0.① 依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ， ∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，c 2，代入双曲线方程得 34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2.② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0.∵e >1，∴e ＝2， ∴双曲线的离心率为 2.。