九年级数学： 21.3.3实际问题与一元二次方程(第3课时)教案
21.3.3 实际问题与一元二次方程(3) 教案
教学目标：
1.能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程.
2.通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
教学重点：根据而积与而积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
教学难点：根据而积与而积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
教学过程：
一、复习引入
【问题】
1.直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？
2.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3.梯形的面积公式是什么？
4.菱形的面积公式是什么？
5.平行四边形的面积公式是什么？
6.圆的面积公式是什么？
【设计意图】
复习一些简单几何图形的面积公式，为继续学习建立一元二次方程的数学模型并解决几何图形问题作好铺垫．
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二、探索新知
探究3如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是
一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面
面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的
宽度？（精确到0.1cm ）
【分析】
(1)本题中有哪些数量关系？
(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形” ？
(3)如何利用己知的数量关系选取未知数井列出方程？
(4)解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？
【解答】
依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽
之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm ，•则左、右边衬的宽均为7xcm ，依题意，得：中央矩形的长为
（27-18x ）cm ，宽为（21-14x ）cm ．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x ）（21-14x ）=
34×27×21 整理，得：16x 2-48x+9=0
解方程，得：x=64
， x 1≈2.8cm，x 2≈0.2 所以：9x 1=25.2cm （舍去），9x 2=1.8cm ，7x 2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm ，左、右边衬的宽均为1.4cm ．
【师生活动】
教师提出问题
学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．
在活动中，教师应注意：
（1）学生对几何图形的分析能力；
（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；
（3）在讨论中能否互相合作；
（4）解答一元二次方程的能力；
（5）学生回答问题时的语言表达是否准确．
【设计意图】
使学生通过多种方法解几何图形问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关
系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
三、应用拓展
例.如图，我校为绿化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干宽度相等道路，余下部分种植草坪,草坪的总面积为540平方米.
以下是三种设计方案，求各方案中道路的宽是多少米？请你设出未知数，列出方程.
直观展示：多媒体动态展示两种不同的道路移动方法.
探究归纳：通过移动图形来化“分散为整体”、利用面积公式建立一元二次方程模型是本节课的难点.
练习：如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的
矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3:2，若使余
下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【师生活动】
学生分组讨论，画图，上台演示．
教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则．
四、反馈练习
1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（2）所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
2.如图，是宽为20米，长为32米的矩形场地，要修建互相垂直的两条道路，纵向道路与横向道路的宽度
比为3：2，要使剩余场地的面积为570平方米.
（1）由题意，可设纵向道路宽为：________米，则横向道路宽为：___________米；
（2）可列方程为：___________________________.
3.剪一剪、拼一拼、移一移：
如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上下底分别为 100米、180米，高为80米，在两腰中点连线处有
一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各条甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的六分之一，甬
道的宽为多少?
五、课堂小结
解应用题的步骤是：_____________________________________________
列方程的关键是：_______________________________________________
解决面积问题常用的方法是： ____________________________________
我还收获了：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 六、作业布置
如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,
另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144平方米,求甬路的宽度？。
21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时)
达标测评
教科书习题21.3第9题．
回顾前面几节课的学习内容，你能总结一
下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？
需要注意哪些问题？
小组评价与总结
这节课你有什么收获？
九、作业：教科书复习题21第8题．
十、课后反思
利用未知数表示边长，通过面积之间的等量关系建立方程解决问题．
展示目标
学习目标：
1．能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程；
2．进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
二、学情分析
学生对列方程解应用题的一般步骤已经熟悉，适合由特殊到一般的探究方式。
九年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。容易开发他们的主观能动性，适合自主探究、合作交流的数学学习方式。
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
知识和技能目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并求解检验。
课题
21.3实际问题与一元二次方程---面积问题（第3课时）
课时
1
主备人:张红亮
一、教材内容分析
生活中不少实际问题的解决都要用到方程的知识，在学习本节课之前，学生已经学会了用一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题，所以本节课对学生来说并不陌生。本节内容是运用一元二次方程分析解决生活中面积问题。通过本节课的学习，可以对一元二次方程的解法加以巩固，同时本节课的学习又是后面继续学习二次函数解决实际问题的基础。因此，它具有承上启下的作用。
人教版九年级数学上册教案-21.3 第3课时 几何图形与一元二次方程2带教学反思
21.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．重难点关键1．•重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．•难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，•渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：12（x+2+x+0.4）x=1.6整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1=45=0.8m，x2=-2（舍）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．（2）1.675048⨯=25天答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？九年级 练数学 习同步老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，•则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，则中央矩形的面积是封面面积的．所以（27-18x）（21-14x）=34×27×21整理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：x=64±，x1≈2.8cm，x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．三、巩固练习有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）四、应用拓展例3．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A•开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C•后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q•作DQ⊥CB，垂足为D，则：DQ CQ AB AC）(a)BACQP(b)BACQ DP分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．则：12（6-x）·2x=8整理，得：x2-6x+8=0解得：x1=2，x2=4∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有DQ CQ AB AC=∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：∴DQ=6(28)6(4) 105y y--=则：12（14-y）·6(4)5y-=12.6整理，得：y2-18y+77=0解得：y1=7，y2=11即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=•2y-8=6），使△PCD的面积为12.6c m2．经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．∴本小题只有一解y1=7．五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．六、布置作业1．教材P53综合运用5、6 拓广探索全部．2．选用作业设计:一、选择题1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．AB．5 C．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;D．以上都不对3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8c m2 D．64cm2二、填空题1．矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．三、综合提高题1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：•背水坡度CFBF=12，迎水坡度11DEAE）（精确到0.1m）BACEDF2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?3．谁能量出道路的宽度:如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，•只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．2．32cm3．20m 和7.5m 或15m 和10m 三、1．设坝的高是x ，则AE=x ，BF=2x ，AB=3+3x ，依题意，得：12（3+3+3x ）x ×30=4500 整理，得：x 2+2x-100=0 解得x ≈220.102-+即x ≈9.05（m ） 2．设宽为x ，则12×8-8=2×8x+2（12-2x ）x 整理，得：x 2-10x+22=0解得：x 1，x 2=3．设道路的宽为x ，AB=a ，AD=b 则（a-2x ）（b-2x ）=12ab 解得：x=14[（a+b ）量法为：用绳子量出AB+AD （即a+b ）之长，从中减去BD 之长（对角线，得L=•AB+AD-BD ，再将L 对折两次即得到道路的宽4AB AD BD +-．~。
人教版九年级数学上册21.3.3实际问题与一元二次方程(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体下落并反弹的情况？”（如抛球游戏）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在解决实际问题中的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版九年级数学上册21.3.3实际问题与一元二次方程（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册21.3.3节“实际问题与一元二次方程”，本节内容主要包括以下两部分：
1.利用一元二次方程解决实际问题的步骤和技巧，包括：理解问题背景，建立方程模型，求解方程，检验结果，回答实际问题。
-例子：小球落地反弹问题，要求学生根据给定条件建立一元二次方程，求解反弹高度。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了实际问题与一元二次方程的应用，整体来看，学生的学习态度很积极，对一元二次方程有了更深入的理解。但在教学过程中，我也发现了一些需要改进的地方。
人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程(第三课时)教学设计
具体教学设想如下：
教学步骤一：导入新课
教学步骤二：自主探究
1.让学生尝试独立解决引入的实际问题，培养他们的问题解决能力。
2.引导学生通过小组合作、讨论，总结一元二次方程的求解方法，提高学生的合作意识和交流能力。
3.使学生能够运用一元二次方程解决一些简单的几何问题，如面积、体积等，加强对几何知识的理解和运用。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察、分析实际问题，培养他们将现实问题抽象为数学问题的能力，提高学生的数学建模素养。
2.通过小组合作、讨论的方式，让学生在解决问题的过程中，掌握一元二次方程的求解方法，培养学生的团队合作意识和交流能力。
（4）强调在求解过程中要注意细节，避免计算错误。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：让学生分组讨论，共同解决实际问题。
教学过程：
（1）将学生分成若干小组，每组分配一个实际问题。
（2）学生通过讨论、交流，共同完成问题求解。
（3）教师巡回指导，关注学生的讨论过程，适时给予提示。
（4）小组代表汇报讨论成果，其他小组给予评价。
（二）教学设想
1.创设生活情境，引导学生从实际问题中发现数学问题，提高学生的问题意识。通过生活实例，让学生感受到数学与现实生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。在教学过程中，教师要注意引导学生分析问题、讨论方法、总结规律，使学生真正成为学习的主人。
1.完成教材课后习题第21.3节中的第1、2、3题，重点巩固一元二次方程的求解方法，特别是因式分解法在实际问题中的应用。
人教版九年级数学上册教学设计：21.3实际问题与一元二次方程
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握一元二次方程在解决实际问题中的应用，理解实际问题的数学模型构建过程，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.使学生熟练掌握一元二次方程的求解方法，包括直接开平方法、配方法、公式法等，并能根据实际问题选择合适的方法进行求解。
4.拓展提升：针对学有余力的学生，布置一些拓展性的题目，如涉及一元二次方程与不等式、函数等知识的综合应用题。这些题目旨在提高学生的思维品质和数学素养，培养学生的自主学习能力。
5.反思总结：要求学生撰写一份学习心得，内容包括对本节课所学知识的理解、在解决问题过程中的收获与困惑以及今后学习的计划。这样有助于学生养成反思总结的良好习惯，提高自我认知能力。
4.培养学生严谨、踏实的科学态度，使学生养成勤奋刻苦的学习习惯，为未来的学习和发展奠定基础。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们对于一元二次方程的求解方法有了一定的了解，但可能在解决实际问题时，还不能熟练地将数学知识运用其中。此外，学生在分析问题和解决问题的过程中，可能存在以下情况：
3.案例教学，总结规律：通过具体案例的分析，引导学生总结一元二次方程求解的方法和技巧，培养学生的归纳总结能力。
4.分层次教学，关注个体差异：针对不同层次的学生，设计不同难度的实际问题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
5.强化练习，巩固知识：通过课后练习和拓展训练，巩固学生对一元二次方程求解方法的掌握，提高学生的应用能力。
1.教学内容：对本节课所学的一元二次方程求解方法进行总结，强调各种方法在实际问题中的应用。
2.教学方法：引导学生自主总结，鼓励学生发表自己的看法，教师进行补充和归纳。
人教版数学九年级上册第3课时 实际问题与一元二次方程(3)(教案)
第3课时实际问题与一元二次方程（3）知己知彼，百战不殆。
《孙子兵法·谋攻》樱落学校曾泽平【知识与技能】1.探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.2.能根据实际问题的意义检验结果的合理性.【过程与方法】经历数学建模建立一元二次方程的过程，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.【情感态度】通过建立一元二次方程解决实际生活问题，感受数学在生活中的实用性，提高学生学习数学的积极性，体会数学给人类生活带来的促进作用.【教学重点】列一元二次方程解决实际应用问题.【教学难点】寻找问题中的等量关系.一、情境导入，初步认识问题现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？不妨试试看.【教学说明】通过问题引入本节要处理的问题，使学生初步感受到一元二次方程也是解决几何问题的重要手段之一，引入新课.二、思考探究，获取新知探究教材20页探究3.【教学说明】让学生自主探究，相互交流，尝试寻求解决问题的方法.为了帮助学生更好地理解题意，可设置如下几个问题：（1）中央长方形的长与宽的比是多少呢？（2）如果设出中央长方形的长的话，你能求出左、右边衬的宽吗？上、下边衬的宽呢？（3）问题中的等量关系是什么？由此你能得到怎样的方程？（4）如果将问题中的等量关系（四周彩色边衬所占面积是整个长方形面积的四分之一）转化为中央长方形面积与整个长方形面积之间的关系时，结论如何？由此你又能列出怎样的方程呢？然后教师在巡视过程中，关注学生的解题方法，选取有代表性的依据不同方式而获得结论的学生上黑板展示他们的解答过程，共同分析，提高认知.三、典例精析，掌握新知例1有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.解：设四周垂下的宽度为x尺时，题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84,x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.例2如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；（2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.分析:如图,若设BC=xm，则B的长为352x-m,若设AB=xm,则BC=(35-2x)m,再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC 边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.解:(1)设BC=xm,则AB=CD=352x-，依题意可列方程为x·352x-=150,解这个方程，得x=20,x2=15.当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;(2)当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应去，此时所围成的长方鸡场的长与宽只能是15m和10m;(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm,由（1）知AB=352x-m,从而有x·352x-=160,方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0,原方程没有实根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.【教学说明】以上两例均应先让学生独立思考，探索出问题的解.教师在学生自主探究过程中，应关注学生是否能正确理解题意，如何设未知数并构建方程，是否能根据问题的实际意义检验结果的合理性等，及时帮助学生克服困难，掌握列方程解决实际问题的方法.最后师生共同给出答案.让学生进一步加深理解，在反思中获取新知.四、运用新知，深化理解1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（）37 B.5382.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为_____.3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.4.如图，在△ABC中，∠B=90°,点P从点A开始，沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A,B同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？【教学说明】让学生学以致用，巩固新知.【答案】1.B 2.64cm23.解：设花边的宽为xm，依题意有（6+2x）(3+2x)=40，解得x1=1,x2=-1/12(不合题意应舍去)，即花边的宽度为1m.4.解：设要经过x秒钟，则1/2（6-x）·2x=8.整理得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4,∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？【教学说明】让学生回顾整理本节知识，反思学习过程的体会，加深理解.1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解应用题是下章中学习二次函数解决问题的基础.【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。
人教版九年级数学上册《21-3 第3课时 几何图形与一元二次方程》导学案设计优秀公开课3
自主学习第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第 3 课时 几何图形与一元二次方程学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.一、知识链接用长为 60m 的篱笆围一个矩形的菜园.宽 AD 为 x m.用含 x 的代数式填空：（1）如图①，AB = m ，S 矩形 ABCD = ；（ 2 ） 如图② ， 菜园中间用一根篱笆隔开， 则 AB = m ， S 矩 形ABCD =；（3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则 AB = m ，S 矩形ABCD =.图① 图② 图③课堂探究二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究1 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)方法点拨：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.典例精析例1 如图，在一块宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽为多少？【变式题1】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题2】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题3】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题4】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).例 2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58m 的围栏围成总面积为200m2的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB 和BC 的长各是多少米？【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用80m 的围栏围成面积为600m2 的矩形羊圈，则羊圈的边长AB 和BC 的长各是多少米？【变式题2】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 平方米？方法点拨：围墙问题一般先设其中的一条边为x，根据周长等条件把另一边用x 表示出来，最后根据面积公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.三、课堂小结几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类型课本封面问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程彩条/小路宽度问题动点面积问题当堂检测1.在一幅长80cm，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x 满足的方程是（）A．x2+130x－1400=0B．x2+65x－350=0C．x2－130x－1400=0D．x2－65x－350=02.一块长方形铁板，长是宽的2 倍，如果在4 个角上截去边长为5cm 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？4. 如图所示，在△ABC 中，∠C =90°， AC =6cm ，BC =8cm.点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点 P ，Q 出发几秒后，可使△PCQ 的面积为 9 cm²？参考答案自主学习知识链接 (1)(30-x )x (30-x )(2)(30-1.5x )x (30-1.5x )(3)(60-3x )x (60-3x )课堂探究二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究 1 解：设中央矩形的长和宽分别为 9a cm 和 7a cm 由此得到上下边衬宽度之比为： 1 (27 - 1- 7a ) = 9(3 - a ) : 7(3 - a ) = 9 : 7. 设上下边衬的 9x cm ，左右边衬宽为 7x9a ) : (21 22cm ，则中央的矩形的长为(27-18x )cm ，宽为(21-14x )cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可 列 出 方 程 (27 -18x )(21-14x ) 327 21,整 理 得 16x 2-48x +9=0 ， 解 方 程 得= 创 46 - 3 3 6 + 3 3 （不合题意，舍去）.故上下边衬的宽度为9 6 - 3 3 左右 x 1 =4 , x 2 = 4椿 1.8, 4边衬的宽度为7 6 - 3 3椿41.4.例 1 方法一：解：设道路的宽为 x 米，依题意得 20×32-32x -20x +x 2=540,解得x 1=2，x 2=50.当 x =50 时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取 x =2.答：道路的宽为 2 米.方法二：解：设道路的宽为 x 米，依题意得(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2，x 2=50.当 x =50 时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取 x =2.答：道路的宽为 2 米.【变式题 1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2， x 2=50（不合题意，舍去）.∴x =2. 答：道路的宽为 2 米.【变式题 2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-x )=540，解得x 1=18- 274 » 1.45 ，x 2=18+ 274 （不合题意，舍去）.∴x ≈1.45.答：道路的宽为 1.45 米.典例精析【变式题 3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-2x )=540，解得 x 1=1， x 2=25（不合题意，舍去）.∴x =1. 答：道路的宽为 1 米.【变式题 4 】解： 设横、竖小路的宽度分别为 3x 、 2x ， 于是可列方程(32-4x )(20-6x )= 3 创20 32, 解得 x 140.62 ，x 210.71 （不合题意，舍去）.∴x ≈0.62.则 3x ≈1.86,2x ≈1.24.答：横、竖小路的宽度分别为 1.86 米、1.24 米.例 2 解：设 AB 长是 x m.依题意得 (58-2x )x =200，即 x 2-29x +100=0，解得 x 1=25， x 2=4.x =25 时，58-2x =8，x =4 时，58-2x =50.答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是 25m ，8m 或 4m ，50m.【变式题 1】 解：设 AB 长是 x m.依题意得(80-2x )x =600，即 x 2-40x +300=0，解得 x 1=10，x 2=30.x =10 时，80-2x =60>25，(舍去)，x =30 时，80-2x =20<25. 答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是 30m ，20m.【变式题 2】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m ，则平行于住房墙的一边长(25-2x +1)m.由题意得 x (25-2x +1)=80，化简，得 x 2-13x +40=0，解得 x 1=5， x 2=8.当 x =5 时，26-2x =16>12 (舍去），当 x =8 时，26-2x =10<12，故所围矩形猪舍的长为 10m ，宽为 8m. 当堂检测 1.B2.解：设铁板的宽为x cm, 则长为2x cm. 依题意得5(2x-10)(x-10)=3000 ，即x2-15x-250=0.解得x1=25，x2=-10(舍去）.所以2x=50.答：铁板的长50cm，宽为25cm.3.解：设横向彩条的宽度2x cm , 竖彩条的宽度3x cm ，依题意得(20-6x)(30-4x)=400，即6x2-65x+50=0.解得x= 5 , x = 10 （舍去）. 2x = 5 , 3x = 5 .1 623 2答：横向彩条的宽度5 cm ,竖彩条的宽度5 cm.3 2能力提升解：若设出发x s 后可使△PCQ 的面积为9cm² ,根据题意得AP= x cm，PC=(6-x)cm，CQ=2x cm.依题意得，整理，得x2-6x+9=0，解得x1= x2=3.答：点P，Q 出发3s 后可使△PCQ 的面积为9cm².。
九年级数学上册教学课件《实际问题与一元二次方程 (第3课时)》
课堂检测
21.3 实际问题与一元二次方程
基础巩固题
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条
金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使
整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，
那么x满足的方程是（ B ）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.
课堂检测
21.3 实际问题与一元二次方程
拓广探索题
如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两
竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原
来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度2xcm ,
2x
2x
20
20-2x
32-2x
32
探究新知
21.3 实际问题与一元二次方程
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下
的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，
且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽
为多少？
探究新知
21.3 实际问题与一元二次方程
小路所占面积是矩形
面积的四分之一
一下，使列方程容易些（目的是求出结果，
至于实际施工，仍可按原图的位置进行）.
巩固练习
21.3 实际问题与一元二次方程
如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽
的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕
地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为
570平方米,问:道路宽为多少米?
整理得：x²-17x+52=0.
人教版数学九年级上册21.3实际问题与一元二次方程优秀教学案例
4.教师巡回指导，给予学生必要的帮助和提示。
（四）总结归纳
1.让学生汇报各自小组的讨论成果，总结一元二次方程解决实际问题的方法；
2.教师引导学生归纳一元二次方程的解法及其应用，强调重点和难点；
3.结合学生的讨论，总结解决实际问题的策略和技巧；
4.培养学生自主探究、动手实践的能力，使其能在实际问题中灵活运用一元二次方程的解法。
（三）情感态度与价值观
1.让学生体验数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的兴趣和信心；
2.通过解决实际问题，让学生感受到数学在生活中的重要性，提高学生的数学应用意识；
3.培养学生勇于探索、积极动脑思考的良好学习习惯，增强学生的自主学习能力；
3.通过设置悬念，引发学生的好奇心，激发学生积极探索的欲望；
4.结合学生的认知水平，创设适宜难度的情境，使学生能顺利地进入学习状态。
（二）问题导向
1.引导学生分析问题，明确已知条件和所求目标，培养学生的问题解决能力；
2.鼓励学生提出假设，引导学生运用一元二次方程进行验证，培养学生的推理能力；
3.设计具有挑战性的问题，激发学生的思维，使学生在解决问题的过程中不断提高；
3.小组合作的学习方式：通过小组合作，学生能够相互交流、分享解题思路，培养团队合作精神和沟通能力。这种学习方式不仅提高了学生的学习效果，还使他们能够从同伴那里获得不同的观点和解决问题的方法。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本案例以购物场景为背景，让学生在熟悉的环境中感受数学与生活的紧密联系。这样的设计不仅激发了学生的学习兴趣，还使他们能够更容易地理解一元二次方程在实际问题中的应用，从而提高了教学的实效性。
九上数学新人教版213实际问题与一元二次方程课时3
课堂小结
几何
图形
与一
元二
次方
程问
题
等量关系
几何图形面积公式
课本封面问题
类型
小路宽度问题
围墙问题
动态几何问题
常采用图形平移，
聚零为整方便列
方程.
对接中考
1.在长为 160 m ，宽为 100 m的矩形地
面上修筑同样宽的道路，余下的部分
1
依题意得 ×6×(16-3x+2x)=33，解得
2
x=5，
所以经过 5 s 时，四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2.
(2)设经过 y s 时，点 P 和 Q 的距离为 10 cm，
依题意得 62+(16-3y-2y)2=102，
整理得 25y2-160y+192=0，
解得 y1=1.6，y2=4.8，均符合题意，
未知数，如探究中的第一种设法.
间接设元法：设待求量之外的量为未知数，将待求量
用含未知数的代数式表示,如探究中的第二种设法.
新知探究 跟踪训练
例1 如图，某小区有一块长为 30 m，宽为 24 m 的矩形
空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的
面积之和为480 m2 ，两块绿地之间及周边有宽度相等
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时
初中数学
九年级上册 RJ
知识回顾
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
1.审清题意
2.设未知数
3.列方程
4.解方程验根
5.作答
学习目标
1.会用面积法建立一元二次方程数学模型.